생활과 그래프(Graph Theory) -

생활과 그래프(Graph Theory)

- 생활 속의 도형의 변환

목적: 생활 속에서 일어나는 여러 가지 일들 중에 그래 프를 이용하여 간단하고 효율적으로 해결할 수 있는 일 들을 찾아보고 그 수학적 배경을 살펴본다.

제주도 김녕동굴앞 미로공원

1. 그래프이론의 뜻과 유래

1990년 미국 알래스카대에서 열린 국제 수학학술회의의 주제는 「쿠오 바디스, 그래프 이론」(그래프 이론이여, 어디로 가시나이까？)이었다.

수학상의 그래프이론이 어느 분야까지 영향을 미치고, 도움을 줄 수 있 는지에 대한 연구방향을 수학자들이 제시하는 자리였다.

회의 결론은 순수 수학적 그래프 이론에 그치지 않고, 유전학, 사회학,

화학, 정보통신, 생태학, 교통문제 등 수학과 무관한 분야에 대한 이론

까지 모두 제공할 수 있다는 것이었다.

그럼 그래프이론이란 무엇일까?

그래프 이론에 대한 최초의 논의는 오일러에 의하여 시작되었다.

지금은 러시아에 속해 있지만 그 때 당 시 에는 독일 영토였던 쾨니히스부르크

(Konigburg)라는 마을의 Pregel강을 가로

지르는 7개의 다리들을 각각 단 한 번씩 건

너 다시 제 자리로 돌아 올 수 있겠느냐는

문제가 제기되었는데, 이것이 유명한 "쾨니

히스부르크의 다리문제"이다.

[쾨니히스베르크의 다리 건너기 문제]

문제 : 쾨니히스베르크시의 한 가운데는 프레골라 강이 흐

르고 있고 여기에는 가운데 섬들과 연결되어있는 일곱 개

의 다리가 있다. 다음 그림과 같이 놓여 있는 (1)~(7)의 일

곱 개의 다리들을 어느 다리나 한번씩만 차례로 모두 건널

수 있겠는가?

위대한 수학자 오일러는 처음 이 문제를 질문 받고 즉석에서 " 이 문제는 불가 능하다 "고 단언했다고 전해진다. 오일러는 1732년에 이 문제를 다음과 같은 그래프로 바꾸어 생각하였다.

위의 지도에서 강으로 분할되는 네 지역 A, B, C, D를 점으로 나타내고, 다리들 을 이 네 점을 연결하는 선으로 생각할 때 다리 건너기 문제는 " 한붓그리기 "

문제로 바뀌게 된다.

그런데 " 한붓그리기"가 가능한 도형이란 다음의 두 가지 경우뿐이 다.

1) 홀수점이 하나도 없는 경우에는 시점과 종점이 일치한다.

2) 홀수점이 두 개 있는 경우는 시점과 종점이 다르다.

즉, 홀수점이 세 개 이상이면 한붓그리기가 불가능하다. 한 점에 연 결된 선의 수가 짝수이면 짝수 점, 홀수이면 홀수점이라고 하는데 그림을 보면 점 A에 연결된 선이 5개, 점 B에 연결된 선이 3개, 점C 에 연결된 선이 3개, 점 D에 연결된 선이 3개로 점 A, B, C, D 가 모 두 홀수 점이 된다. 즉, 홀수 점의 개수가 4개나 되므로 "한붓그리기"

가 불가능하다.

그러나 홀수점이 두 개 있을 경우에는 그 두 점이 각각 시점과 종점이 되어야 한다.

따라서 점 A에서 출발하여 E에서 끝나든지 또는 점 E에서 출발하여 A 에서 끝나도록 하든지 해야 가능하다.

또 다른 예를 들어 보자. 다음 그림에서 홀수 점은 점 A, E 2개뿐이므로 한붓그리 기가 가능하다.

2. 그래프 이론의 중요문제

★ 오일러의 오솔길(Euler's trail) ★

• 오일러의 오솔길(Euler's trail) : 한 그래프의 모든 모서리를 다 포함하는 오솔길

• 오일러의 순환로(Euler's cycle): 시점과 종점 이 일치하는(닫혀있는) 오일러의 오솔길

[한붓그리기 문제 ]

“점과 선으로 이루어진 도형을 펜을 떼지 않고 선을 한번만 지나면서 그릴 수 있는가?

= 선형그래프에서 그 그래프의 모든 모서리를

다 포함하면서 모서리가 각각 다른 연결된 길을

찾을 수 있는가? “

[중국인 우체부 문제(chinese postman problem)]

우체부는 모든 길을 다 지나 가고 우체국 에 되돌아와야 하는데, 수고를 덜기 위하여 한 번 간 길을 다시 가지 않는다. 우체부는 어떤 길을 택하여야 할까?

아래의 그림에서 보는바와 같이 우체부는 오일러의 순환로를 찾아야 한다.

[ 오일러 순환로는 a-b-c-d-e-c-a-b-e-d-a ]

[오일러 오솔길은 e-c-a-b-c-d-a-b-e-d 이고, 오일러 순환로는 없다.]

한붓그리기 문제는 다음과 같은 세 정리로 나타낼 수 있다.

[정리 1] 연결된 그래프가 오일러의 순환로를 가질 필요충분조건 은

꼭지점의 차수가 모두 짝수일 때이다.

[정리 2] 연결된 그래프가 닫혀있지 않은 오일러의 오솔길을 가질 필요충분조건은

홀수차수를 가지는 꼭지점이 꼭 2개 있을 때이다.

[정리 3] 연결된 그래프의 한붓그리기가 가능할 필요충분조건은

꼭지점의 차수가 모두 짝수이거나 홀수차수를 가지는 꼭

지점이 꼭 2개 있을 경우이다.

★ 해밀턴 경로와 해밀턴 순환로(Hamilton path and Hamilton circuit) ★

해밀턴경로(Hamilton path)

: 한 그래프의 모든 점을 다 포함하는 경로

해밀턴 순환로(Hamilton cycle) 또는 해밀턴 회로(Hamilton circuit) : 닫혀있는 해밀턴 경로

즉, 해밀턴 순환로는 한 꼭지 점에서 출발하여 모든 꼭지 점을 한 번씩

만 지나고 다시 출발점으로 되돌아오는 경로. ( 오일러 순환로 의 선 <-

?-> 꼭지 점)

[세일즈맨 문제(salesperson problem)]

세일즈맨은 길은 상관하지 않지만, 모든 지점을 다 방문하고 자기 사무실로 되돌아와야 한다.

방문할 지점들 사이에는 버스노선이 있는 곳도

있고, 없는 곳도 있다. 이 세일즈맨이 버스만 이

용하여 모든 지점을 다 방문하고 회사로 돌아오

기 위하여 어떤 길을 택하여야 할까?

아래의 그림 예에서 보는 바와 같이 이 때는 해밀턴 순환로를 찾아야 한다.

[해밀턴 순환로는 a e c d f b a 이다]

[해밀턴 순환로는 없고 a e c d f b 가 해밀턴경로이다]

[정리] 위수(꼭지점의 수)가 n≥3일 때, 완전그래프(어떤 두 점도 연결 되어있는 그래프)는 n! 개의 해밀턴 경로와 같은 개수의 해 밀턴순환 로가 있다.

3. 그래프의 활용 (1) 화학식

분자식이 그래프로 어떻게 구성되는가? 점은 원자에 선은 화학결합에 해 당한다.

예를 들어 C

₂

₅

이와 같은 그래프에서

탄소는 degree 4 (degree=차수)이고

산소는 degree 2 그리고 수소는 degree 1이다.

우리는 위와 같은 방식으로 그래프를 이용하면 하나의 화학물에 대한 서 로 다른 원소의 결합을 체계적으로 구할 수 있다.

(점에 연결된 선의 수=degree 위수)

[그래프 그리기]

1.탄소만으로 생각하면 다음과 같은 탄소-그래프를 얻을 수 있다.

2.탄소는 degree 4 이므로 남은 탄소 degree를 수소로 연결 한다 3.점과 선을 화학기호로 바꾼다.

4.같은 화학식을 가지는 여러 분자를 표기할 수 있다.

(2) 사회학

사회학에서 그래프는 사람사이의 관계를 나타내는데 이용된다. 사회 또는 집단 에서 점은 개인을 나타낸다. 그리고 그 점 사이의 선은 관계이다. 또 국가간의 관 계에서는 점은 각 국가를 나타낸다.

[그래프 그리기]

1.개인을 점으로 나타낸 다음 긍정적 관계는 +선으로 부정적 관계는 -선으로 나 타낸다

2.긍정적 관계끼리는 선으로 이어져있는 양 끝점의 색을 같게, 부정적 관계는 다 르게 한다. (검은색과 흰색 사용)

3.이런 식으로 나타낼 수 있으면 갈등이 없는 집단이고, 나타낼 수 없으면 갈등 이 생길 소지가 있다.

(3) 미로

다음 그림은 유명한 Hampton Court를 그래프로 나타낸 것이다.

[영국의 런던 근교의 Hampton Court palace 정원 모습]

이와 같이 그림으로 나타내면 A-B-D-E-G-H-J-M이 최단으로 빠져 나갈 수 있는 길임을 알 수 있다. 이것은 미로에서 세 칸이 막혀있는 길을 지운 다음 길을 얻 는 것과 같다.

알고 있는 미로에 대해 그래프를 작성함으로서 최단거리의 통로를 찾아낼 수는 있지만, 기본적으로 모든 미로를 풀 수 있는 수학적 방법은 알려져 있지 않다.

[참고: 햄프톤 코트 미로를 빠져나올 때는 항상 왼쪽 벽만 짚고 따라가기만 하면 된다 ? ! ]

(4) 지도(ex:지하철)

다음 그림은 서울 지하철 중심가의 지도이다. 이와 같은 지도는 사람들의 요구만큼 도시의 모든 특징을 표시할 수는 없지만 그것을 사용하는 사람들 에게 유용하게 이용된다. 서울 지하철지도의 경우에 실제의 지리적 위치는 중요하지 않다. 중요한 것은 여러 역들이 연결되어있는 길이다. 그래서 승 객들은 한 역에서 다른 역으로 이동할 방법을 계획한다. 이런 지도가 역을 나타내는 점과, 길을 나타내는 선으로 이루어진 그래프인 것이다.

(5) 건축 설계

작은 건축설계에 있어서도 이런 다이어그램은 방들이 어떤 상호 관계를 가지고 있는 지 보여주는데 매우 편리하게 쓰인다. 이런 표현은 작은 직선 싸이클과 같아 건축가 들에게 circulation diagram으로 잘 알려져 큰 빌딩에서 사람들의 동선을 파악하거나 공항의 설계, 슈퍼마켓 진열대의 설계에 쓰인다. 하지만 모양이나 크기에 대한 정보 는 제공하지 않는다.

(6) 생물의 계보를 표시하는데 그래프가 이용된다.-가지가 가까울수록 생물학적 연관관계가 깊다

(7) 컴퓨터의 연산과정을 표시하는데 이용된다.-그래프를 따라 하나씩 연산한다.

(8) 구조 공학에서 문제를 해결하는데 그래프가 이용된다.-버팀대의 지각 뼈대

(9) 전기 배선

두 개의 레지스터와 두 개의 콘덴서, 두 개의 유도자, 전압기, 발전기를 포함한 전기 배선도이다. 이런 종류의 다이어그램은 네트워크 연결된 길을 표시하는데 유용하다.

그러나 이것은 네트워크의 지리적 특징, 공간 위치, 전선의 굵기, 길이에 대한 정보 를 제공하지 않는다.

[Feedback]

문제 1] 그래프이론에 지대한 공헌을 한 사람은?

① 오일러 ② 유크리드 ③ 칸토르 ④ 모차르트

문제 2] [세일즈맨 문제(salesperson problem)]세일즈맨이 버스만 이용하여 자신 의 거래처를 다 방문하고 회사로 돌아오기 위하여 어떻게 계획해야하나?

1) 해밀턴의 순환로를 찾아야 한다. 2) 오일러의 순환로를 찾아야 한다.

문제 3] [중국인 우체부문제(chinese postman problem)] 우체부는 모든 길을 다 지나 가고 우체국에 되돌아와야 하는데, 수고를 덜기 위하여 한 번 간 길을 다시 가 지 않는다. 이 때 우체부가 이용해야할 길은 ?

1) 해밀턴의 순환로를 찾아야 한다. 2) 오일러의 순환로를 찾아야 한다.

[Feedback 문제 의 답]

문제 1] 그래프이론에 지대한 공헌을 한 사람은?

① 오일러 ② 유크리드 ③ 칸토르 ④ 모차르트 문제 1의 답] 오일러

문제 2] [세일즈맨 문제(salesperson problem)] 세일즈맨이 버스만 이용하여 자신 의 거래처를 다 방문하고 회사로 돌아오기 위하여 어떻게 계획해야하나?

1) 해밀턴의 순환로를 찾아야 한다. 2) 오일러의 순환로를 찾아야 한다.

문제 2의 답] 1) 해밀턴 순환로를 찾아야 한다.

문제 3][중국인 우체부문제(chinese postman problem)] 우체부는 모든 길을 다 지 나 가고 우체국에 되돌아와야 하는데, 수고를 덜기 위하여 한 번 간 길을 다시 가지 않는다. 이 때 우체부가 이용해야할 길은 ?

1) 해밀턴의 순환로를 찾아야 한다. 2) 오일러의 순환로를 찾아야 한다.

문제 3의 답] 2) 오일러의 순환로를 찾아야 한다.

생활과 도형(테셀레이션)

목적: 테셀레이션(tessellation) 이란 마루나 욕실 바닥에 깔려 있는 타일처럼 어떠한 틈이나 포개짐이 없이 평면이나 공간을 도형으로 완벽하게 덮는 것을 말한다. 이러한 테셀레이션이 우리 생활에서 어떻게 사용되고 있는지 살펴보 고 수학적 원리를 따져 본다.

1. 생활 속 예술과 수학

우리의 생활 주변을 둘러보면 길거리의 보도블록이나 거실벽지, 목욕탕의 타 일, 상품의 포장지 문양 등에서 같은 모양의 도형이나 그림을 규칙적으로 배열하 여 예술작품이나 디자인으로 쓰고 있는 것을 볼 수 있다. 이런 것들을 테셀레이 션(Tessellation) 이라고 하는데 우리나라의 전통문양의 ‘쪽매맞춤’속에서 규칙적 인 무늬들을 찾아볼 수 있다. 이 디자인 속에는 수학적 지식이 배경에 깔려있다.

2-1. 테셀레이션이란 무엇인가?

테셀레이션(Tessellation)이란 ?

정사각형이 늘어서 있는 바둑판 모양의 무늬

고대 로마 모자이크에 사용되었던 작은 정사각형 모양의 돌 또는 타일을 의미

‘타일 깔기’, ‘모자이크’ 와 같은 뜻.

어원: 그리스어인 tesseres 에서 연유했고 영어의 four 를 의미하고 테셀레이션은 정사각형 타일을 만드는데서 출발했음

미술적인 정의 :

테셀레이션이란 여러 가지 모양의 도형이나 사물들을 평면에 빈 여백 없이 잘 조화시킨 디자인

테셀레이션의 예

외국및 고대 문화 - 기원전 4세기에 이슬람 문화의 벽걸이 융단, 퀼트, 옷, 깔개, 가구의 타일, 건축물들과 이집트, 무어인, 로마, 페르시아, 그리스, 비잔틴, 아라 비아, 일본, 중국 등지에서도 발견된다.

한국 - 전통 문양에서도 많이 찾아볼 수 있다.

또한 우리 일상생활 속에서도 흔히 볼 수 있는데, 길거리의 보도블록이나 거실, 목욕탕의 타일, 상품의 포장지 문양 등 수없이 많다.

테셀레이션 = 예술적인 아름다움 (디자인) +

수학적인 개념과 의미(도형의 각의 크기, 대칭과 변환, 합동 등)

- 도형의 내각의 합과의 관계에 대한 성질

- (합동)변환 기하학속의 평행이동, 회전이동, 대칭이동

- 테셀레이션이 가능한 정다각형 : 정삼각형, 정사각형, 정육각형뿐이다.

테셀레이션 패턴으로 가장 유명한 것은 스페인의 그라나다(Granada)에 위치한 이슬람식 건축물인 알함브라(Alhambra) 궁전이다. 이 곳의 마루, 벽, 천장들은 반복 되는 문양으로 테셀레이션 되어 있다. 명품 회사들이 새로운 스카프를 만들 때 디자 이너들을 출장 보내는 곳 또한 알함브라 궁전이라고 하는데. 다양한 모자이크 문양 들에서 디자인에 대한 영감을 얻을 수 있기 때문이다.

스페인의 알함브라궁전의 내부 아푸가니스탄의 금요사원 Jamaa

테셀레이션은 1960년대부터 미국에서 교육과정의 일부분으로

변환의 기하학을 쉽고 재미있게 소개하는 교육과정의 일부분이 되고 있다.

여러 방법의

테셀레이션

수학적 개념(대칭과 변환)

들과 만나고, 개념들을 통합하고 복습할 수 있게 해준다. 또한, 이러한 테셀레이 션 활동은 예술적 창조와 기하학적 탐구를 가능하게 한다.

[수학적 개념을 시각화 한 네델란드 화가 Maurits Cornellius Escher ]

에셔(Escher)는 1898년 네덜란드의 레우바르덴에 서 태어났다. 그는 교묘한 수학적 개념을 시각화하는 특이한 그림을 많이 그렸다. 1950년대 까지는 별로 알려져 있지 않다가 1956년 처음 개인전시회를 열고 그것이 타임지에 소개되면서 세계적인 명성을 얻게 되었다. 그의 그림은 특히 수학자들을 매료시켰는데 수학의 원리들을 매우 독창적인 방식으로 시각화하 고 있기 때문이었다.

M.C.Escher(1898～1972) :테셀레이션의 예술적 아름다움을 더욱 부각시킨 네덜란드 화가. 스페인의 알함브라 궁전에서 무어인들의 모자이크에 영감을 받아 단순한 수학적 도형에 기하학적 변환을 이용하여 새, 물고기, 도마뱀, 개, 나비, 사람과 같은 창조적인 형태의 테셀레이션 작품 세계를 구축하여 대중화 하였다.

[Escher 는 수학적 도형뿐만 아니라 다양한 일상적 형태들의 공간분할에 더 관 심을 가졌다. 에셔는 반사(reflection), 미끄럼반사(glide reflection), 평행이동

(translation), 회전(rotation)의 기법을 이용해서 규칙적 공간분할에 사용될 수 있 는 이 세 정다각형들의 변형들을 탐색했다. 그는 정다각형들을 동물, 새, 기타 여 러 형태로 변형시켰다. ]

다음은 에셔의 "천마도"(pegasus)이다

말의 모양으로 평면을 규칙적으로 분할 =>기본형인 사각형의 패턴의 반복 그 사각형 밖으로 튀어나온 부분은 다른 부분에서 빼고 들어간 부분은 다른 부분에 덧붙이는 방식으로 변형된 기본형인 천마를 만든다.

평행사변형에서 테셀레이션을 만드는 예

특히 규칙적인 평면분할 + "변형"(metamorphoses)--형태가 다른 형태와 얽혀 서서히 변해가는(심지어는 2차원 평면을 벗어나는) 2차원 형태들--

에셔가 1936년 스페인 여행 중에 알함브라 (Alhambra) 이슬람 궁전을 방문

무어인들은 알함브라의 벽과 바닥을 다색 합동 의 도자기로 빈틈없이 장식했다. 이슬람인들에 겐 종교적인 이유에서 신에 대한 구체적 이미 지의 사용 금지되어 있어 항상 추상적, 기하학 적 문양만을 사용해야했다.

2-2. 여러 가지 테셀레이션

A) 정 다각형 테셀레이션 (Regular Polygon Tessellation) - 같은 종류의 정다각형들로만 구성된 테셀레이션

B) 반-정다각테셀레이션(Semi-Regular Polygon Tessellation) - 다른 종류의 정다각형들을 함께 사용하여 구성된 테셀레이션 모든 꼭지점에 모이는 정다각형의 배열이 일정한 테셀레이션

천국과 지옥(Escher작)

1. 정 다각형 테셀레이션 (Regular Polygon Tessellation) 정다각형=> 변과 각들이 모두 같은 도형

정통의 테셀레이션은 정다각형들로 만들어진다.

(유클리드) 평면에서는 오직 3개의 다각형(삼각형, 사각형, 육각형)들로 만 정통 테셀레이션을 만들 수 있다. 그 외에는 불가능하다.

1) 정삼각형

그림과 같이 한 점을 중심으로 6개의 정삼각형을 가지고 빈틈이나 겹침이 없이 평면을 덮을 수 있다. 이는 정삼각형의 한 각이 60도 이고, 한 점을 중심으로 정 삼각형 6개가 360도에 꼭 맞게 배열될 수 있기 때문이다.

삼각형을 이용한 테셀레이션 도안법

평면에 정삼각형을 빈틈없이 그려 넣는다.

변형시킬 모양을 도안한다.

모든 정삼각형을 반복하여 변형시킨다

원하는 색을 넣어 완성시킨다.

2) 정사각형

정사각형 테셀레이션은 위의 방법과 마찬가지로 한 각이 90도 이고 4개의 정사각형이 모여서 360도를 이룬다

3) 정육각형

4) 그 외의 도형

정오각형이나 원등의 도형들은 평면에 빈틈이 생겨서 테셀레이션을 만들 수 없다.

2. 다른 종류의 정다각형들을 함께 사용하여 구성되는 테셀레이션 1) 다각형의 테셀레이션

인접해 있는 각의 합이 180도가 되고, 접하는 변의 길이가 같을 때 2) 준 정다각 테셀레이션

*㈜ 3.3.3.4.4 표시는 삼각형3 개 사각형 2개를 기본 단위로 한 쪽맞춤

한 점을 중심으로 몇 개의 정삼각형과 정사각형이 모여서 그 내각의 합이 360도

4.8.8 3.3.3.3.6 각 꼭지 점에서 정다각형 배열 순서가 일정

=> 열 한 개의 준 정 다각 테셀레이션이 있는데, 정6각형과 정3각형의 타일 ,

8각형과 4각형의 타일,

12각형과 3각형의 타일 등이 있다.

3. 변환

1) 평행이동

도형을 이루고 있는 모든 점이 한 방향으로 같은 거리만큼 움직이는 것 을 ‘평행이동’이라고 하는데 이 때 평행이동 한 후의 도형은 원래의 방향과 크기가 변하지 않는다.

[평행이동]

2) 대칭이동 (반사, 뒤집기)

[대칭이동(반사, 뒤집기)]

도형을 이루는 모든 점을 마치 거울에 반사된 것처럼 주어진 선에 대 해 뒤집는 것을 ‘반사’라 하며, 이 때 주어진 선이 ‘대칭축’이 되고 대칭축 위에 있는 점은 이동되지 않는다.

3) 회전(돌리기)

도형을 이루는 모든 점을 한 점을 중심으로 일정한 각만큼 옮기는 것을 ‘회전’

이라고 하며 그 점을 ‘회전의 중심’이라고 하고, 회전의 중심은 이동되지 않는다.

[회전(한점을 중심으로 돌리기)]

4) 미끄러짐 반사(뒤집어 옮기기)

반사와 평행이동이 결합된 움직임도 가능하다. 즉, 주어진 도형을 대칭축을 따라 반사(뒤집기)한 후에 다시 평행이동(옮기기)시키는 것을 말하는데 이를

‘미끄러짐 반사’ 라 한다.

[평행이동 후 화살표와 평행인 직선에 대칭이동]

도마뱀 테셀레이션 제작 과정

정육각형 도형에

회전이동을 이용하여 도마뱀을 그렸다.

평면을 정육각형대신 도마뱀으로

채워넣을 수 있다.

도마뱀 테셀레이션 제작 과정

육각형을 분할하고 회전이동을 이용해서 도마뱀을 상상해 보자 !

분할 문제

재단사의 앞에 모양이 다른 짐승의 가 죽을 여러 개 앞에 놓여있다.

가장 적게 잘라 붙여서 큰 정삼각형이

나 정사각형을 만들기 위해서는 어떻게

하면 좋을까?

4. 분할

분할이란 한 개 이상의 도형을 조각으로 나누어 다른 모양으로 재형성하는 것.

1) Superposing 테셀레이션

넓이가 같은 두개의 테셀레이션을 겹침으로써 그 속에서 분할의 원리를 찾아 두 테셀레이션의 한 꼭지점을 일치시키는 방법

=> 분할의 조각수를 줄이기 위한 방법으로 사용됨.

분할하는 방법에는 여러 가지가 있다. 기본적인 superposing 테셀레이션과 p-slide, 기본요소를 이용한 테셀레이션을 설명하자.

2) P-slide를 이용한 평면 분할

P-slide란 평행사변형 ABCD를 세 조각으로 분할하여 이 조각을 그대로 미 끄러뜨리는 평행이동을 하여 길이가 다른 새로운 평행사변형을 만드는 조 작이다.

② 별 형

꼭지점 개수가 (2n+4)/2 별형 도형은 n+2 정다각형 도형으로 변환된다.

여러가지 분할 문제

정사각형모양의 밭을

별표와 + 를 포함하도

록 4등분하라

[ 십자 분할 ] 다음 그림과 같은 십자 모양을

(1) 4개의 부분으로 나누되 다시 합하면 정사각형이 되도록 분할하여라.

(2) 3개의 부분으로 나누되 다시 합하면 가로의 길이가 세로의 길이의

2배인 직사각형으로 분할하라.

정사각형의 분할

정사각형의 분할

합동인 2개의 도 형으로 분할

합동인3개의 도 형으로 분할

합동인 4개의 도형으로 분할

합동인 두 도형으로 분할 하라

2조각으로 잘라서 사각형으로 만들어라

같은 크기의 직사각형 3개로 이루어진 도형을 4개의 합동인 도형으로 분할하시오.

정사각형 5개로 이루어진

도형을 3개의 합동인 도형

으로 분할하시오.

정사각형을 직사각형 5개로 분할하여라.

단 어떤 두 개의 직사각형도 한 변을 서로 완전히 공유할 수는 없으나 일부는 공유할 수 있다.

정사각형을

1) 합동인 3개의 도형으로 분할하라.

2) 3 개의 닮은 도형으로 분할하되 그 중 2개만 합동이 되도록 분할하라.

3) 3 개의 닮은 도형으로 분할하되 그 중 어느 2 개도 합동이 되지 않도록

분할하라.

정삼각형을

1) 3개의 합동인 도형으로 분할하라.

2) 3 개의 닮은 도형으로 분할하되 그 중 두개만 합동이 되도록 분할하라.

3) 3 개의 닮은 도형으로 분할하되 그 중 어느 두개도 합동이 되지 않도록 분할하라.

임의의 삼각형을 3개의 부분 영역으로 나누되 그 부분

영역을 다시 합하면 직사각형이 되도록 하여라.

삼각형의 분할

- 삼각형을 분할하여 마름모꼴을 만들었다.

도형의 분할을 이용한

여러가지 퍼즐

먼저 각자 에게 A B C 에게 케이크의 1/ 3을 직선으로 표시하게 한다.

만약 A, B, C 순의 크기로 분할하였다면 제일 적은 A 와 B 사이를 잘라 A 에게 준다.

다음으로 B C 의 절반을 점선으로 긋게 한 후 그 가운데를 잘라서 B C 에 게 나누어 준다.

모두가 만족하게 하는 케이크 나누는 법

생일 케이크를 세 사람이 나누어 먹으려고 한다. 세 사람이 모두 각자 1/ 3 이상 케이크를 먹었다고 생각할 수 있도록 케이크를 나누는 법 을 생각해 보라.

[FeedBack]

문제 1] 평면을 빈틈없이 채우기가 가능한 정다각형은?

문제 2] 에셔의 테셀레이션에 이용된 합동변환은 어떤 것들이 있는가?

문제 3] 보도 블록을 사각형 또는 육각형으로 만드는 이유는?

[FeedBack 문제의 답]

문제 1] 평면을 빈틈없이 채우기가 가능한 정다각형은?

문제 1의 답] 정삼각형 정사각형 정육각형

문제 2] 에셔의 테셀레이션에 이용된 합동변환은 어떤 것이 있는가?

문제 2 의 답] 대칭이동, 평행이동, 회전이동

문제 3] 보도 블록을 사각형 또는 육각형으로 만드는 이유는?

문제 3의 답] 평면을 빈틈없이 채울 수 있기 때문이다.