기본 도형

(1)

기본 도형

1 기본 도형

2 작도와 합동

(2)

사물을 도형으로 나타내려면

우리가 살아가는 이 세상의 모든 사물은 점, 선, 면, 각을 바탕으로 그릴 수 있으며, 건축 설 계와 디자인에서 사용하는 도면뿐만 아니라 일반적인 그림을 그리는 활동에서도 점, 선, 면, 각 은 빠뜨릴 수 없습니다.

자동차나 컴퓨터처럼 많은 부품으로 이루어진 공산품은 물론이고 초고층 건물, 발전소, 항 공 모함, 우주선 제작 등과 같은 거대하지만 정밀함을 필요로 하는 작업의 설계도를 그리는 데 있어서 점, 선, 면, 각과 같은 기본 도형을 포함한 삼각형의 작도는 매우 중요합니다.

이와 같은 일을 잘하기 위해서는 도형의 기본 성질과 위치 관계 등을 잘 알고 있어야 합니다.

도형을 구성하는 기본 요소인 점, 선, 면, 각을 이해하고, 점, 직선, 평면의 위치 관계 및 삼각형의 작도와 합동을 배웁니다.

이 단원에서는

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(3)

기본 도형

우리 주변의 사물을 그릴 때는 보통 점, 선, 면, 각과 같은 도형으로 나타내게 됩니다.

한국디자인문화재단은 1960년 이후부터 현재까지 우리나라 사람의 일상생활에 큰 영향을 준 디자인 52가지를 선정하였는데, 그중의 하나가

1988년 서울 올림픽의 공식 마스코트인 ‘호돌이’입니다.

‘호돌이’는 우리나라의 상징 동물인 호랑이를 점, 선, 면 을 이용하여 디자인한 것으로 친근하고 당찬 표정이 잘 나 타나 있습니다.

한편, 헝가리 태생의 프랑스 화가인 바자렐리(Vasarely,

V. , 1906~1997)는 시각 미술의 일종인 옵아트(Op art)의 창시자로서, 점과 선들 의 위치 관계와 색의 배합만으로 입체감과 움직임이 모두 느껴지는 시각 디자인 분야 를 개척했습니다.

이 단원에서는 기본 도형인 점, 선, 면, 각과 관련된 여러 가지 성질과 위치 관계를 알아봅니다.

1

2

•수직과 평행

오른쪽 그림을 보고, 다음에 답하시오.

⑴ 서로 수직인 직선을 말하시오.

⑵ 서로 평행한 직선을 말하시오.

⑶ 안에 알맞은 각도를 써넣고, 예각인지 둔각인지 말하시오.

40^æ 가

라 다

나

1

•직선, 선분, 반직선

다음에서 알맞은 것끼리 짝 지으시오.

⑴ _ㄱ _ㄴ • •선분 ㄱㄴ

⑵ _ㄱ _ㄴ • •직선 ㄱㄴ

⑶ _ㄱ _ㄴ• •반직선 ㄱㄴ

준비 학습

(4)

점, 선, 면

학습 목표 •점, 선, 면을 이해한다.

우리 주변에는 점, 선, 면으로 이루어진 그림이나 도형을 쉽게 찾아볼 수 있다.

이때 선은 무수히 많은 점으로 이루어져 있고, 면은 무수히 많은 선으로 이루어져 있다.

삼각형이나 원과 같은 평면도형과 직육면체나 원기둥과 같은 입체도형은 모두 점, 선, 면으로 이루어져 있다.

따라서 점, 선, 면은 도형을 이루는 기본 요소라 할 수 있다.

평면도형 입체도형

다 가 서 기

생각 열기

도형을 이루는 기본 요소는 무엇인가 ?

오른쪽 그림에서 도시와 비행기 항로는 각각 어떻게 나타내는지 말해 보자.

동해

1. 기본 도형

151

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 151 17. 7. 21. 오후 5:27

(5)

오른쪽 삼각기둥에서 교점은 6개이고, 교선은 9개이다.

오른쪽 그림을 보고, 다음을 각각 구하시오.

⑴ 삼각형에서 교점의 개수

⑵ 직육면체에서 교점과 교선의 개수

1

문 제

직선, 반직선, 선분을 기호로 어떻게 나타내는가?

한 점을 지나는 직선은 무수히 많으나, 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나 뿐이다.

이때 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B를 지나는 직선 AB를 기호로

AB`

ê

와 같이 나타낸다. 이것을 간단히 직선 l로 나타내기도 한다.

오른쪽 그림과 같이 직선 AB 위의 점 A에서 시작 하여 점 B의 방향으로 한없이 뻗은 반직선 AB를 기호로

AB³

와 같이 나타낸다.

오른쪽 그림과 같이 직선 AB 위의 점 A에서 점 B까 지의 부분인 선분 AB를 기호로

ABÓ 와 같이 나타낸다.

A B

l

▶ AB와 ê BAê는 같은 직선 이다.

A B

AB³ 와 BÕA³는 같은 반직선일까?

생각

A B

▶ ABÓ 와 BAÓ는 같은 선분 이다.

다음 그림과 같이 선과 선 또는 선과 면이 만나서 생기는 점을 교점이라 하고, 면 과 면이 만나서 생기는 선을 교선이라고 한다.

교점 교점 교선

교선

▶ 보통 점은 A, B, C, y와 같이 나타내고, 직선 은 l, m, n, y과 같이 나타낸다. 또 평면을 그림 으로 나타낼 때는 평행사 변형으로 그리며 P, Q, R, y와 같이 나타낸다.

l P A

(6)

오른쪽 그림과 같이 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 때, 다음 중에서 서로 같은 것끼리 짝 지으시오.

ABê,　BCÓ,　AC³,　BC`ê,　CB³,　AB³,　CBÓ

2

문 제 A

B C

오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B를 잇는 선은 무수히 많으나 그중에서 길이가 가장 짧은 것은 선분 AB이다.

이때 선분 AB의 길이를 두 점 A, B 사이의 거리라고 한다.

ABÓ는 선분을 나타내기도 하고, 그 선분의 길이를 나 타내기도 한다.

예를 들어 선분 AB의 길이가 5`cm일 때, ABÓ=5`cm와 같이 나타낸다. 또 선분 AB와 선분 CD의 길이가 같을 때, ABÓ=CDÓ와 같이 나타낸다.

A

B

오른쪽 그림의 네 점 A, B, C, D를 이용하여 서로 다른 직선, 반직선, 선분을 각각 2개 이상 그려 보고, 기호를 사용하여 나타내시오.

3

문 제 A

D

B C

생각 열기

두 점 사이의 거리란 무엇인가 ?

다음은 배후령터널 개통에 대한 기사의 일부이다.

(출처: 『매일경제』, 2012년 3월 29일)

국내 도로 터널의 새로운 역사를 쓴 배후령터 널이 오는 30일에 개통된다. 강원도 춘천시와 화천군을 연결하는 배후령터널은 심한 굴곡과 경사가 있는 배후령 고갯길을 직선화한 것이 다. 이로 인해 기존 11.1 km에서 8.8 km로

2.3 km를 단축했으며 운행 시간도 당초 17분에서 9분으로 줄어든다.

오봉산 봉화산 소양호 춘천시 수풀무산화천군 용화산 배후령터널

(5.1`km)

46

배후령터널이 개통된 후 춘천시와 화천군 사이의 운행 거리가 단축된 이유를 말해 보자.

1. 기본 도형

153

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 153 17. 7. 21. 오후 5:27

(7)

한편, 오른쪽 그림과 같이 선분 AB 위의 점 M에 대하여

AMÓ=MBÓ

일 때, 점 M을 선분 AB의 중점이라고 한다. 이때 다음이 성립한다.

AMÓ=;2!; ABÓ

오른쪽 그림에서 점 M은 선분 AB의 중점이고, 점 N은 선분 AM^{의 중점이다}. 다음 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

⑴ ABÓ= AÕMÓ,　AÕMÓ= NMÓ

⑵ ABÓ=12`cm이면 NMÓ= cm이다.

4

문 제

B

A N M

수학 이야기

고대 그리스의 수학자 유클리드(Euclid, B.C. 325?~B.C. 265?)는 『원론』이라는 책을 저술하였다. 이 책은 당시까지의 수학자들의 연구를 정리 · 완성 · 개량하여 논리적으로 해설한 것으로, 오늘날까지 수학의 기초가 되고 있다. 『원론』은 총 13권으로 이루어져 있는데, 점, 선, 평행선 등의 정의는 이 책의 제1권에서 찾아볼 수 있다.

한편, 중국의 춘추 전국 시대에 활동한 사상가 묵자(墨子, B.C. 480~B.C. 390)가 저술한 책 『묵자』에도 유클 리드의 『원론』과 비견할 만한 수학적 내용이 담겨 있다. 『묵자』의 경편(輕篇)과 경설편(輕說篇)에는 논리학과 수 학에 대한 내용이 실려 있는데, 이 책에서 점, 선, 평행선 등의 정의를 찾아보면 고대 동양의 수학이 서양의 수학 과 비슷한 내용과 형식을 갖추고 있었음을 알 수 있다. (출처: 김학주, 『묵자(상)』)

『원론』과 『묵자』

B

A M

『원론』

• 점은 쪼갤 수 없는 것이다.

• 선은 폭이 없이 길이 만 있는 것이다.

• 평행선은 아무리 길 게 늘여도 서로 만나 지 않는 직선들이다.

『묵자』

• 한 장소에 서로 다른 점이 있을 수 없다.

• 선은 길이가 있고 너 비가 없다.

• 두 직선이 평행하다는 것은 높이가 같다는 것이다.

(8)

생각 열기

각

학습 목표 •각을 이해한다.

오른쪽 그림과 같이 두 반직선 OA와 OB로 이루어진 도 형을 각 AOB라 하고, 이것을 기호로

∠AOB

와 같이 나타낸다. 또 ∠AOB를 간단히 ∠O 또는 ∠a와 같 이 나타내기도 한다.

∠AOB에서 점 O를 이 각의 꼭짓점이라 하고, 두 반직선 OA와 OB를 이 각의 변이라고 한다. 또 ∠AOB에서 꼭짓점 O를 중심으로 변 OB가 변 OA까지 회전한 양을 ∠AOB의 크기라고 한다. 이때 ∠AOB는 각을 나타내기도 하고, 그 각의 크 기를 나타내기도 한다.

예를 들어 ∠AOB의 크기가 30ù일 때, ∠AOB=30ù와 같이 나타낸다. 또 ∠a와

∠b의 크기가 같을 때, ∠a=∠b와 같이 나타낸다.

▶ ∠AOB와 ∠BOA는

같은 각을 나타낸다. a 각의 변

각의 크기

B A

O 각의 변

각의 꼭짓점

각을 기호로 어떻게 나타내는가 ?

위의 다가서기에서와 같이 우리 주변에서 각을 이용하여 설명할 수 있는 것을 찾아 말해 보자.

참고 오른쪽 그림에서 두 반직선 OA와 OB로 이루어진 각은 2개인데,

∠AOB는 보통 크기가 작은 쪽의 각인 ∠

a

를 나타낸다.

B A

O a 다 가 서 기

1. 기본 도형

155

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 155 17. 7. 21. 오후 5:27

(9)

맞꼭지각이란 무엇인가?

오른쪽 그림과 같이 두 직선이 한 점에서 만날 때 생 기는 네 각 ∠a, ∠b, ∠c, ∠d를 두 직선의 교각이라고 한다.

이때

∠a와 ∠c,　∠b와 ∠d

와 같이 서로 마주 보는 각을 맞꼭지각이라고 한다.

d

b

a c

오른쪽 그림에서 ∠AOD^{가 평각일 때}, 다음 각의 크기를 구하시오.

⑴ ∠AOC ⑵ ∠COD ⑶ ∠BOD

2

문 제

D A

B C

50^æ O

오른쪽 그림에서 ∠

a

, ∠

b

, ∠

c

^{를 점}O, A, B, C^{를 사용하여} 각각 기호로 나타내시오.

1

문 제

C A

b cB

a

O

오른쪽 그림과 같이 ∠AOB의 두 변 OA와 OB 가 점 O를 중심으로 서로 반대쪽에 있으면서 한 직 선을 이룰 때, ∠AOB를 평각이라고 한다. 이때 평 각의 크기는 180ù이다.

직각은 평각의 크기의 ;2!;인 각, 즉 크기가 90ù인 각이다. 또 예각은 크기가 0ù보 다 크고 90ù보다 작은 각이고, 둔각은 크기가 90ù보다 크고 180ù보다 작은 각이다.

A

둔각 O

A

직각

O B

예각

O B

A

B

O B

A 평각

180^æ

(10)

다음 그림에서 ∠

a

, ∠

b

의 크기를 각각 구하시오.

⑴

a b

60^æ

⑵

a b 50^æ 35^æ

3

문 제

오른쪽 그림에서 ∠AOB=∠COD일 때, ∠AOB와

∠COD가 맞꼭지각인지 아닌지를 판단하고, 그렇게 판 단한 이유를 설명하시오.

4

문 제 A D

B C

O

다음을 통하여 맞꼭지각의 성질을 알아보자.

오른쪽 그림에서 ∠a와 ∠c, ∠b와 ∠d는 서로 맞꼭지 각이다.

맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

맞꼭지각의 성질

1

∠a+∠b와 ∠b+∠c의 크기를 각각 구하고, ∠a와

∠c의 크기를 비교해 보자.

2

∠b+∠c와 ∠c+∠d의 크기를 각각 구하고, ∠b와 ∠d의 크기를 비교해 보자.

위의 활동에서

∠a+∠b=180ù,　∠b+∠c=180ù

이므로 ∠a+∠b=∠b+∠c, 즉 ∠a=∠c임을 알 수 있다.

같은 방법으로 맞꼭지각 ∠b와 ∠d에 대하여 ∠b=∠d임을 알 수 있다.

일반적으로 다음이 성립한다.

▶ 탈레스(Thales, B.C.624?~B.C.546?) 고대 그리스의 수학자로, 맞꼭지각의 크기가 서로 같음을 설명하였다.

d

b

a c

함께 하기

1. 기본 도형

157

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 157 17. 7. 21. 오후 5:27

(11)

직교란 무엇인가?

오른쪽 그림과 같이 두 직선 AB와 CD의 교각이 직 각일 때 두 직선은 직교한다고 하며, 이것을 기호로

ABê

⊥

CDê

와 같이 나타낸다. 직교하는 두 직선 AB와 CD는 서로 수직이고, 이때 한 직선을 다른 직선의 수선이라고 한다.

오른쪽 그림과 같이 직선 l이 선분 AB의 중점 M을 지나고 선분 AB에 수직일 때, 즉

AMÓ=BMÓ,　l⊥ABÓ

일 때, 직선 l을 선분 AB의 수직이등분선이라고 한다.

오른쪽 그림과 같이 직선 l 위에 있지 않은 점 P에서 직선 l에 수선을 그어 생기는 교점을 H라 할 때, 이 점 H를 점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발이라고 한다. 이 때 선분 PH는 점 P와 직선 l 위의 점을 잇는 선분 중에 서 길이가 가장 짧다. 이 선분 PH의 길이를 점 P와 직 선 l 사이의 거리라고 한다.

B C

D

▶ 두 선분 AB와 CD가 A 직교할 때, 이것을 기호로 ABÓ⊥ CDÓ 와 같이 나타 낸다.

B l

A M

P

점 P와 직선 l 사이의 거리 수선의 발

H l

오른쪽 사다리꼴 ABCD에서 다음을 구하시오.

⑴ BCÓ와 직교하는 변

⑵ 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발

⑶ 점 A와 BCÓ 사이의 거리

5

문 제 _A

B 13`cm C

7`cm

9`cm

D

오른쪽 그림과 같이 한 눈금의 길이가 1인 모눈종이 위에 직선

l

^{과 세 점}A, B, C^{가 있다}.

⑴ 세 점 A, B, C에서 직선 l에 내린 수선의 발을 각각 모눈종이 위에 나타내시오.

⑵ 세 점 A, B, C와 직선 l 사이의 거리를 각각 구하시오.

6

문 제

l A

B

C

(12)

➊ 원반던지기

원반은 가운데 부분이 두껍고 끝으로 갈수록 얇아지는 타원형 모양이기 때문에 공기 저항의 영향을 크게 받아 45ù로 던지면 원반이 위로 떠올라서 멀리 날아가지 못하게 된다. 그래서 선수들은 30ù 정도의 각도로 원반을 던진다고 한다.

➋ 창던지기

창은 길이가 270`cm(여자는 230`cm)나 되기 때문에 공기 저항도 크게 받지만, 무게가 800`g(여자는 600`g)으로 투척 기구 중에서 가장 가볍기 때 문에 바람의 영향도 많이 받는다. 그래서 선수들은 맞바람이 불 때는 28ù~29ù, 뒷바람이 불 때는 32ù~33ù 정도의 각도로 창을 던진다고 한다.

➌ 포환던지기

포환은 쇠로 만든 공 모양이기 때문에 공기 저항을 상대적으로 적게 받 지만 어깨로부터 밀어 올리면서 앞으로 던지기 때문에 던지는 각도가 클 수록 힘이 많이 든다. 그래서 선수들은 던지는 데 힘을 많이 쓸 수 있는 37ù 정도의 각도로 포환을 던진다고 한다.

➍ 해머던지기

해머는 포환과 같은 공에 줄이 달린 모양이기 때문에 포환과 마찬가지 로 공기 저항을 상대적으로 적게 받는다. 그런데 해머는 달려 있는 줄을 잡고 원심력을 이용하여 던지기 때문에 포환과는 달리 던지는 각도에 따 라 드는 힘이 크게 달라지지 않는다. 그래서 선수들은 가장 이상적인 각 도인 45ù에 맞춰서 해머를 던진다고 한다.

30^æ 1

28^æ 2

37^æ 3

45^æ 4

육상 경기는 크게 달리기, 넘기, 던지기의 종목으로 나누는데, 이 중에서 던지기에는 원반던 지기, 창던지기, 포환던지기, 해머던지기의 네 종목이 있다.

던지기는 투척 기구의 특성을 잘 살려서 최대한 멀리 던지는 것으로 우열을 가리는데, 경기 하는 모습을 살펴보면 종목마다 선수들이 던지는 각도가 조금씩 다름을 알 수 있다.

수학과 물리학의 이론에 따르면 공 모양의 물체는 45ù의 각도로 공중에 던질 때 가장 멀리 날아 간다고 알려져 있지만, 실제로 가장 멀리 날아가는 경우의 던지는 각도는 물체에 작용하는 공기 저항에 따라 달라진다고 한다.

각 종목에서 투척 기구를 던지는 각도는 다음과 같다.

육상 경기의 종목별 투척 각도

알콩 달콩 수학

스포츠

(출처: 이동욱 외 3인, 『육상 경기 지도 방법론』)

창의•융합

1. 기본 도형

159

중학수학1교과서(148~193).indd 159 19. 8. 30. 오전 10:34

(13)

생각 열기

점과 직선 , 점과 평면 사이에는 어떤 위치 관계가 있는가?

오른쪽 그림을 보고, 다음에 답해 보자.

1.

^{두 점}^C^,^D^{중에서 선분}^AB의 연장선이 지나는 점을 추측 해 보자.

2.

자신의 추측이 옳은지 선분 AB의 연장선을 그어 확인해 보자.

위치 관계

학습 목표 •점, 직선, 평면의 위치 관계를 설명할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 점과 직선의 위치 관계는 점이 직선 위에 있을 때와 직선 위에 있지 않을 때의 두 가지 경우가 있다.

점과 평면의 위치 관계도 오른쪽 그림과 같이 점이 평면 위에 있을 때와 평면 위에 있지 않을 때의 두 가지 경우가

있다. ^P

l

오른쪽 사각뿔에서 다음을 모두 구하시오.

⑴ 모서리 AB 위에 있는 꼭짓점

⑵ 모서리 AB 위에 있지 않은 꼭짓점

⑶ 면 ABCD 위에 있는 꼭짓점

⑷ 면 ABCD 위에 있지 않은 꼭짓점

1

문 제

A B

D C O A

B

DC 다 가 서 기

(14)

생각 열기

평면에서 두 직선 사이에는 어떤 위치 관계가 있는가?

오른쪽 그림과 같이 철로에 그려진 네 직선 l, m, n, p를 보고, 다음을 말해 보자.

1.

^직선l과 만나는 직선

2.

^직선^m과 만나지 않는 직선

오른쪽 그림에서

l

∥

m

^{일 때}, 직선

m

과 평행하고 직선

l

^{과 같} 지 않은 직선

n

을 그려 보고, 두 직선

l

^과

n

의 위치 관계를 말 하시오.

3

문 제 l

m

한 평면 위에서 두 직선은 만날 때와 만나지 않을 때가 있다.

한 평면 위에 있는 두 직선 l, m이 만나지 않을 때, 두 직선 l, m은 서로 평행하 다고 하고, 이것을 기호로

l ∥ m

과 같이 나타낸다.

평면에서 두 직선의 위치 관계는 다음 세 가지 경우가 있다.

위의 ¹ 과 ²는 두 직선이 만나는 경우이고, ³은 두 직선이 만나지 않는 경우 이다.

오른쪽 평행사변형 ABCD에서 다음에 답하시오.

⑴ 변 AD와 한 점에서 만나는 변을 모두 말하시오.

⑵ 변 AB와 평행한 변을 찾아 그 관계를 기호로 나타내시오.

2

문 제

B A

C D 1 한 점에서 만난다. 2 일치한다. 3 평행하다.

l P m

l,`m P

l P m

평면에서 두 직선의 위치 관계

l m

p n

1. 기본 도형

161

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 161 17. 7. 21. 오후 5:27

(15)

생각 열기

공간에서 두 직선 사이에는 어떤 위치 관계가 있는가?

오른쪽 그림과 같이 성냥개비로 만든 건물의 모 서리를 따라 그려진 네 직선 l, m, n, p를 보고, 다음을 말해 보자.

1.

^직선^l^{과 만나는 직선}

2.

^직선^l^{과 평행한 직선}

3.

^직선^l과 만나지도 않고 평행하지도 않은 직선

한 평면 위에 있는 두 직선은 만나거나 평행하다. 그러나 공간에서는 두 직선이 서로 만나지도 않고 평행하지도 않은 경우가 있다. 이와 같은 두 직선을 꼬인 위치 에 있다고 한다.

꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지 않다. 예를 들어 위의 생각 열기 에서 두 직선 l과 p는 꼬인 위치에 있다.

공간에서 두 직선의 위치 관계는 다음 네 가지 경우가 있다.

위의 ¹과 ²는 두 직선이 만나는 경우이고, ³과 ⁴는 두 직선이 만나지 않는 경우이다.

한 평면 위에 있다. 한 평면 위에 있지 않다.

1 한 점에서 만난다. 2 일치한다.　　 3 평행하다.　　 4 꼬인 위치에 있다.

l P m

l,`m

P

l P m

m

P l

공간에서 두 직선의 위치 관계

오른쪽 직육면체에서 다음을 모두 구하시오.

⑴ 모서리 AB와 한 점에서 만나는 모서리

⑵ 모서리 AB와 평행한 모서리

⑶ 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리

4

문 제

E F

G C D

H A B l

m

n p

(16)

항공기는 안전을 위하여 서로 다른 고도로 비행하는데 이때 운항 경로는 서로 꼬인 위치에 있다고 할 수 있 다. 이와 같이 우리 주변에서 두 직선이 꼬인 위치에 있는 경우를 말하시오.

5

문 제

위의 ¹ 과 ²는 직선과 평면이 만나는 경우이고, ³은 직선과 평면이 만나지 않는 경우이다.

오른쪽 그림과 같이 직선 l이 평면 P와 한 점 H에서 만 나고 점 H를 지나는 평면 P 위의 모든 직선과 수직일 때, 직선 l과 평면 P는 서로 수직이다 또는 직교한다고 하고, 이것을 기호로

l⊥ P

이때 직선 l을 평면 P의 수선이라 하고, 점 H를 수선의 발이라고 한다.

l

P H

▶ 직선 l이 평면 P와 직 교하는지 알아보기 위해서 는, 직선 l이 교점 H를 지 나는 평면 P^{위의 두 직} 선과 서로 수직인지 알아 보면 된다.

공간에서 직선과 평면 사이에는 어떤 위치 관계가 있는가?

공간에서 직선과 평면은 만날 때와 만나지 않을 때가 있다.

직선 l과 평면 P가 만나지 않을 때, 직선 l과 평면 P는 서로 평행하다고 하고, 이것을 기호로

l∥P

공간에서 직선과 평면의 위치 관계는 다음 세 가지 경우가 있다.

1 한 점에서 만난다. 2 포함된다. 3 평행하다.

P

l

l P

l

P

공간에서 직선과 평면의 위치 관계

1. 기본 도형

163

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 163 17. 7. 21. 오후 5:28

(17)

위의 ¹과 ²는 두 평면이 만나는 경우이고, ³은 두 평면이 만나지 않는 경우 이다.

오른쪽 그림과 같이 평면 P가 평면 Q와 수직인 직선 l을 포함할 때, 평면 P와 평면 Q는 서로 수직이다 또는 직교한 다고 하고, 이것을 기호로

P⊥ Q

Q

lP

오른쪽 삼각기둥에서 다음을 모두 구하시오.

⑴ 면 BCFE와 한 점에서 만나는 모서리

⑵ 면 BCFE에 포함되는 모서리

⑶ 면 BCFE와 평행한 모서리

⑷ 면 BCFE와 수직인 모서리

6

문 제

B C

F D

A E

공간에서 두 평면 사이에는 어떤 위치 관계가 있는가?

공간에서 두 평면은 만날 때와 만나지 않을 때가 있다.

두 평면 P, Q가 만나지 않을 때, 두 평면 P, Q는 서로 평행하다고 하고, 이것을 기호로

P∥Q

공간에서 두 평면의 위치 관계는 다음 세 가지 경우가 있다.

한 평면에 평행한 서로 다른 두 평면은 서로 평행할까?

생각

1 한 직선에서 만난다. 2 일치한다. 3 평행하다.

P

`Q P,`Q

P

Q

공간에서 두 평면의 위치 관계

(18)

생각이 크는 수학

오른쪽 그림과 같이 직육면체의 일부를 잘라낸 입체도형에서 다음을 모두 구하시오.

⑴ 모서리 FG를 교선으로 하는 두 면

⑵ 면 EFGH와 평행한 면

⑶ 면 EFGH와 수직인 면

7

문 제

F G

H A D

E B C

오른쪽 그림과 같이 공간에 한 평면 P가 있을 때, 다음을 그려 보자.

⑴ 두 평면 P와 Q가 한 직선에서 만나는 평면 Q

⑵ ⑴에서 두 평면 P와 Q, Q와 R, P와 R의 교선이 모 두 서로 평행한 다른 한 평면 R

다음 그림은 공간에서 세 평면 P, Q, R가 한 점에서 만나는 경우와 한 직선에서 만나는 경우를 각각 나타낸 것이다.

Q Q

R R

P P

다음은 태호와 지원이가 공간에서 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계에 대해 나눈 대 화이다. 대화에서 틀리게 말한 부분을 찾으시오.

8

문 제

한 평면에 수직인 서로 다른

두 평면은 평행해 . 한 직선에

평행한 서로 다른 두 평면은

평행해 .

태호 지원

P

추론 창의•융합

1. 기본 도형

165

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 165 17. 7. 21. 오후 5:28

(19)

어떤 사물이나 도형이 규칙적으로 배열되어 있더라도 그들 사이의 위치 관계 때문에 크기나 형태를 정확하게 파악하기 어려울 때가 있다.

이와 같이 주변의 다른 정보의 영향으로 시각 자극을 인지하는 과정에서 시각적인 착각을 일 으켜 실제 사물이 사실과 다르게 인식되거나 허상이 보이는 것을 ‘착시 현상’이라고 한다.

평행선 착시

1

여러 개의 평행선 사이에 흑백의 칸들을 불규칙하게 그려 넣으면 실제 평 행선이 평행하지 않은 것처럼 보이는 착시 현상을 관찰할 수 있다.

격자 착시

2

검은색 사각형이 흰색 선에 영향을 주어 흰색 선들의 교점에 회색 점이 보였 다가 사라졌다가 하는 착시 현상을 관찰할 수 있다. 이것은 흰색과 검은색이 우 리 눈을 지나치게 자극하여 눈과 두뇌의 인지 균형이 깨져서 생기는 현상이라고 한다.

불가능한 도형

3

현실적으로 불가능한 형상을 시각적으로 가능한 것으로 인지하거나 자연스럽게 받아들이는 착시 현상도 있다. [그림 1]^{은 막대가}3개로 보이기도 하고 4개로 보이기도 하는데, 자세히 보면 각각의 막대 그림이 분리되어 있지 않고 연결되어 있음을 알 수 있다. [그림 2]는 입체도형을 그릴 때 모서리의 위치 관계를 정 확하게 정하지 못해서 만들어진 불가능한 도형이다.

[그림 1] [그림 2]

시각적인 착각 ^, 착시 현상

알콩 달콩 수학

예술

창의•융합

(20)

생각 열기

오른쪽 그림과 같이 한 평면 위에서 두 직선 l, m이 다른 한 직선 n과 만나면 8개의 교각이 생긴다. 이때

∠a와 ∠e,　∠b와 ∠f,

∠c와 ∠

g,　∠d와 ∠h

와 같이 서로 같은 위치에 있는 각을 동위각이라고 한다.

또

∠b와 ∠h,　∠c와 ∠e

와 같이 서로 엇갈린 위치에 있는 각을 엇각이라고 한다.

▶ 동위각에서 ‘동위(同位)’ 는 같은 위치에 있다는 뜻 이다.

l n

a b c

d

e f g

h m

오른쪽 그림에서 다음 각을 말하고, 그 크기를 구하시오.

⑴ ∠a의 동위각

⑵ ∠b의 엇각

1

문 제

a b c

d e

60^æ

동위각과 엇각이란 무엇인가 ?

위의 다가서기에서 ‘안내 표지판’의 교차로를 보고, 다음에 답해 보자.

1.

교차로 ㉮와 교차로 ㉯의 왼쪽 위에 있는 꽃을 각각 말해 보자.

2.

교차로 ㉮의 왼쪽 아래에 있는 꽃과 교차로 ㉯의 오른쪽 위에 있는 꽃을 각각 말해 보자.

평행선의 성질

학습 목표 •평행선에서 동위각과 엇각의 성질을 이해한다.

다 가 서 기

튤립

안내 표지판 백합

국화

해바라기

민들레

카네이션

1. 기본 도형

167

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 167 17. 7. 21. 오후 5:28

(21)

평행선과 동위각 사이에는 어떤 관계가 있는가?

생각 열기

다음 그림에서

l

∥

m

일 때, ∠

a

, ∠

b

⑴

l

b m a

40^æ ⑵

l

m b a

60^æ 110^æ

2

문 제

종이와 투명 필름을 이용하여 평행선과 동위각 사이의 관계를 알아보려고 한다.

1 종이에 평행한 두 직선 l, m 을 그리고, 이들과 만나는 직선 n을 그린 후 동위각을 나타낸다.

2 종이 위에 투명 필름을 대고

∠a를 본뜬 후 투명 필름을 움직여 ∠b에 포개어 본다.

∠a와 ∠b가 완전히 포개어지는지 확인해 보자.

1 n

a

b

l m

2 n

a

b m

l a

한 평면 위에서 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

1 두 직선이 서로 평행하면 동위각의 크기는 같다.

2 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 서로 평행하다.

평행선과 동위각

위의 생각 열기에서 알 수 있듯이 서로 평행한 두 직선

l, m이 한 직선 n과 만나서 생기는 동위각 ∠a와 ∠b의

크기는 항상 같다.

즉, l∥m이면 ∠a=∠b이다.

거꾸로 한 직선 n에 대하여 동위각인 ∠a와 ∠b의 크기 가 같도록 두 직선 l, m을 그으면 두 직선 l, m은 서로 평행하다.

즉, ∠a=∠b이면 l∥m이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

▶ 두 개의 삼각자를 이용 하여 평행선과 동위각 사이 의 관계를 확인할 수 있다.

a b

a

b

l n

m

(22)

오른쪽 그림에서 l∥m일 때, 세 각 ∠a, ∠b, ∠c의 크기를 비교하려고 한다.

함께 하기

다음 그림에서

l

∥

m

일 때, ∠

a

, ∠

b

⑴

l

m a

70^æ b

⑵ b

a

35^æ

150^æ l

m

3

문 제

평행선과 엇각 사이에는 어떤 관계가 있는가?

다음을 통하여 평행선과 엇각 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아보자.

한 평면 위에서 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

1 두 직선이 서로 평행하면 엇각의 크기는 같다.

2 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 서로 평행하다.

평행선과 엇각

오른쪽 그림에서 ∠

a+

∠

b=180ù

일 때,

l

∥

m

^{임을 설명하} 시오.

4

문 제 a l

b m

1

∠a와 ∠b, ∠a와 ∠c의 크기가 각각 같은 이유를 말해 보자.

2 1

을 이용하여 ∠b와 ∠c의 크기를 비교해 보자.

위의 활동에서 l∥m이면 ∠b=∠c임을 알 수 있다.

거꾸로 엇각 ∠b, ∠c에 대하여 ∠b=∠c이면, ∠a=∠b이므로 ∠a=∠c이다.

그런데 ∠a와 ∠c는 동위각이므로 l∥m이다.

즉, ∠b=∠c이면 l∥m이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

a

c

b l

n

m

1. 기본 도형

169

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 169 17. 7. 21. 오후 5:28

(23)

오른쪽 그림에서 x, y의 값을 각각 구하시오.

02

70^æ x^æ+40^æ

y^æ

오른쪽 삼각기둥에서 다음을 모두 구하시오.

⑴ 모서리 AB와 만나는 모서리

⑵ 모서리 AB와 평행한 모서리

⑶ 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리

03

^A

B C

E F

D

점, 선, 면

1

⑴ 직선, 반직선, 선분

① 직선 AB: AB ê _A _B

② 반직선 AB: AB³ _A _B

③ 선분 AB: ABÓ _A _B

2

각

⑴ 맞꼭지각의 성질: 맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

⑵ 수선의 발: 직선 l 위에 있지 않은 점 P에서 직선

l에 수선을 그어 생기는 교점

⑵ 공간에서 두 직선의 위치 관계

① 한 점에서 만난다. ② 일치한다. ③ 평행하다.

④ 꼬인 위치에 있다.

⑶ 공간에서 직선과 평면의 위치 관계

① 한 점에서 만난다. ② 포함된다. ③ 평행하다.

⑷ 공간에서 두 평면의 위치 관계

① 한 직선에서 만난다. ② 일치한다. ③ 평행하다.

위치 관계

3

⑴ 평면에서 두 직선의 위치 관계

① 한 점에서 만난다. ② 일치한다. ③ 평행하다.

평행선의 성질

4

한 평면 위에서 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만 날 때

① 두 직선이 서로 평행하면 동위각과 엇각의 크기 는 각각 같다.

② 동위각과 엇각의 크기가 각각 같으면 두 직선은 서로 평행하다.

오른쪽 그림과 같이 네 점 A, B, C, D가 직선 l 위에 있을 때, 다음 보기 중에서 같은 것끼리 바르게 짝 지어진 것을 모 두 고르시오.

ㄱ. ABÓ, BAÓ ㄴ. AC³, CA³ ㄷ. AB³, AD³ ㄹ. AC ê, BDê

보기

01

기본 문제

A B C D l

(24)

다음 그림에서 l∥m일 때, ∠a+∠b의 값을 구하시오.

⑴

m l 45^æ

80^æ a

b

⑵

m a

b 130^æ l

48^æ

04

오른쪽 사다리꼴 ABCD에서 점 B와 변 CD 사이의 거리를 x`cm, 점 D와 변 BC 사이의 거리를 y`cm라 할 때, x+y의 값을 구하시오.

06

^A ^D

C 5`cm

7`cm 4`cm

B

오른쪽 그림에서 ABÓ ⊥ COÓ이고 ∠DOA=4∠COD,

∠DOB=4∠DOE일 때, ∠DOE의 크기를 구하시오.

07

A

C D

E

O B

오른쪽 그림에서 AD ê ⊥ FC ê일 때, x의 값을 구하시오.

08

E B

C D

F

O A

2x^æ 3x^æ+10^æ

오른쪽 그림에서 점 M은 선분 AC의 중점이고, 점 N은 선 분 CB의 중점이다. MòNÓ=6`cm일 때, ABÓ의 길이를 구하 시오.

05

표준 문제

A M C N B

6`cm

1. 기본 도형

171

중학수학1교과서(148~193).indd 171 19. 8. 30. 오전 9:27

(25)

오른쪽 그림은 직사각형 모양의 종이를 선분 EG를 접는 선으로 하여 접은 것이다. ∠DEG=76ù일 때, 다음에 답하시오.

⑴ ∠DEG와 크기가 같은 각을 모두 구하시오.

⑵ ∠x의 크기를 구하시오.

12

문제 해결 76^æ

E D

G F

A

C

B x

다음 그림에서 l∥m일 때, ∠x의 크기를 구하시오.

⑴

m l

x 40^æ

65^æ

⑵

m l x

25^æ 80^æ 35^æ

10

공간에 있는 서로 다른 두 직선 l, m과 평면 P에 대하여 다음 보기 중에서 옳은 것을 모두 고르시오. (단, 평면 P는 두 직선 l, m을 포함하지 않는다.)

ㄱ. l∥m, m⊥P이면 l⊥P이다. ㄴ. l∥m, m∥P이면 l∥P이다.

ㄷ. l∥P, m∥P이면 l∥m이다. ㄹ. l⊥m, m⊥P이면 l∥P이다.

보기

09

오른쪽 전개도로 만들 수 있는 직육면체에서 모서리 AB 와 꼬인 위치에 있는 모서리를 모두 구하시오.

11

발전 문제

A

B

I

C H N M

K J L

D

F G E

(26)

작도와 합동

아주 옛날부터 우리 조상들은 집을 짓거나 도구를 만들기 위해 직선을 긋거나 직각삼각형, 직사각형 또 는 원을 그려야 했는데, 이들을 어떻게 그렸을까요?

곧은 막대기만 있으면 직선을 그릴 수 있으므로, 그 리기에 가장 쉬운 도형은 당연히 직선이고 그다음은 원 이었습니다. 막대기 하나와 끈만 있으면 원을 그릴 수 있었는데, 이것이 컴퍼스의 시초입니다.

하지만 곧은 막대기만 가지고 직각을 그리는 것은 쉽 지 않았기 때문에, 옛날 사람들은 직각을 그리기 위해 서는 자뿐만 아니라 컴퍼스를 반드시 사용해야 함을 알게 되었습니다. 자와 컴퍼스를 이용하여 직각을 그

릴 수 있게 되자 직각을 간편하게 그리거나 직각인지 아닌지 확인하기 위해서 직각자 를 만들어 사용하게 되었습니다.

이와 같은 어려움을 극복하는 과정에서 옛날 사람들은 기하학을 연구하여 크게 　발전시켰던 것입니다.

이 단원에서는 컴퍼스와 눈금 없는 자를 사용하여 도형을 그리는 작도와 삼각형의 합동을 알아봅니다.

2

1

•도형의 합동

아래 두 도형은 합동이다. 다음을 구하시오.

65^æ 80^æ

110^æ 10`cm

A 7`cm

D C

B 10`cm

E H7`cm G F

⑴ 각 EFG의 크기 ⑵ 각 ADC의 크기

⑶ 변 AB의 길이 ⑷ 변 EH의 길이

준비 학습

2. 작도와 합동

173

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 173 17. 7. 21. 오후 5:28

(27)

삼각형의 작도

학습 목표 •삼각형을 작도할 수 있다.

눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것을 작도라고 한다. 이때 눈금 없는 자는 두 점을 연결하여 선분을 그리거나 선분을 연장하는 데 사용하고, 컴퍼스는 원을 그리거나 주어진 선분의 길이를 옮기는 데 사용한다.

주어진 선분과 길이가 같은 선분을 작도하기

오른쪽 그림의 선분 AB와 길이가 같은 선분 PQ는 다음과 같이 작도할 수 있다.

1 자를 사용하여 직선 l을 긋고, 그 위에 점 P를 잡는다.

2 컴퍼스를 사용하여 ABÓ의 길이를 잰다.

3 점 P를 중심으로 반지름의 길이가 ABÓ인 원을 그려 직선 l과의 교점을 Q라 하면 PQÓ가 구하는 선분이다.

1 2 3

B A

▶ 작도에서 사용하는 자는 눈금 없는 자를 의미한다.

작도란 무엇인가?

다 가 서 기

오른쪽 그림의 선분 AB^{를 점}B^{의 방향으로} 연장하여 ACÓ=2ABÓ가 되도록 선분 AC를 작도하시오.

1

문 제

B A

(28)

다음 그림의 ∠XOY^{와 크기가 같고}, 반직선 AB를 한 변으로 하는 ∠CAB^{를 작도하시오}.

Y X

O A B

2

문 제

주어진 각과 크기가 같은 각을 작도하기 오른쪽 그림의 ∠XOY와 크기가 같고 반 직선 AB를 한 변으로 하는 ∠CAB는 다음 과 같이 작도할 수 있다.

1 점 O를 중심으로 적당한 원을 그려 OX³, OY³와의 교점을 각각 P, Q라고 한다.

2 점 A를 중심으로 반지름의 길이가 OPÓ인 원을 그려 AB³ 와의 교점을 D라고 한다.

3 점 D를 중심으로 반지름의 길이가 PQÓ인 원을 그려 ²에서 그린 원과의 교점을 C라고 한다.

4 반직선 AC를 그으면 ∠CAB가 구하는 각이다.

1 2 3 4

B A

Y X

O

오른쪽 그림에서 ㉠ ~ ㉥ 은 점 P를 지나고 직선

l

^{에 평행한 직} 선을 작도하는 과정을 나타낸 것이다.

⑴ 작도 순서를 바르게 나열하시오.

⑵ 이 작도에서 이용한 평행선의 성질을 말하시오.

3

문 제

P

l

㉠

㉡

㉢㉣

㉤

㉥

2. 작도와 합동

175

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 175 17. 7. 21. 오후 5:28

(29)

오른쪽 △ABC에서 다음을 구하시오.

⑴ ∠C의 대변의 길이

⑵ 변 AC의 대각의 크기

4

문 제

C B

A 4`cm

60^æ 30^æ 8`cm

다음과 같이 주어진 길이를 세 변의 길이로 하는 삼각형을 만들려고 한다. 삼각형을 만들 수 없는 것을 모두 찾고, 그 이유를 말하시오.

⑴ 1`cm, 2`cm, 3`cm

⑵ 3`cm, 4`cm, 5`cm

⑶ 5`cm, 6`cm, 12`cm

5

문 제

두 점 B와 C를 잇는 선 중에서 길이가 가장 짧은 것은 선분 BC이므로 △ABC에서 다음이 성립한다.

ABÓ<BCÓ+CAÓ BCÓ<CAÓ+ABÓ ACÓ<ABÓ+BCÓ

따라서 삼각형의 세 변의 길이 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

삼각형에서 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작다.

C B

A

삼각형은 어떻게 작도하는가?

삼각형 ABC를 기호로

△ABC

와 같이 나타낸다. 이때 △ABC에서 ∠A와 마주 보는 변 BC를 ∠A의 대변이라 하고, ∠A를 변 BC의 대각이 라고 한다.

일반적으로 △ABC에서 ∠A, ∠B, ∠C의 대변 BC, CA, AB의 길이를 각각

a, b, c로 나타낸다.

▶ 삼각형에서 세 변과 세 각을 삼각형의 6요소라고 한다.

C B

A

»A의 대변 a c b 변 BC의 대각

(30)

이제 세 변의 길이가 주어진 삼각형을 작도해 보자.

풀이 1 직선 l을 긋고, 그 위에 길이가 a인 선분 BC를 작도한다.

2 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 c인 원을 그린다.

3 점 C를 중심으로 반지름의 길이가 b인 원을 그려 ²에서 그린 원과의 교점을 A라고 한다.

4 선분 AB와 선분 AC를 그으면 △ABC가 구하는 삼각형이다.

1

3

2

4 1

3

2

4

풀이 참조 오른쪽 그림과 같이 길이가 각각 a, b, c인 선분을 세 변으로 하는

삼각형 ABC를 작도하시오.

예 제

1

^a

c b

위의 작도에서 주어진 세 선분을 세 변으로 하는 삼각형은 모양과 크기가 한 가지 로 정해진다.

세 각의 크기가 주어 진 삼각형은 모양과 크기가 한 가지로 정해 질까?

생각

다음 그림과 같이 길이가 각각

a

,

b

,

c

인 선분을 세 변으로 하는 삼각형을 작도하고, 그 방 법을 설명하시오.

a

c b

6

문 제

2. 작도와 합동

177

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 177 17. 7. 21. 오후 5:28

(31)

다음 그림과 같이 길이가 각각

b

,

c

인 선분을 두 변으로 하고 ∠A를 그 끼인각으로 하는 삼각형을 작도하고, 그 방법을 설명하시오.

b c

A

7

문 제

이제 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 삼각형을 작도해 보자.

2 반직선 BC를 한 변으로 하고 ∠B와 크기가 같은 각을 작도한다.

3 점 B를 중심으로 반지름의 길이가 c인 원을 그려 그 교점을 A라고 한다.

4 선분 AC를 그으면 △ABC가 구하는 삼각형이다.

1

3

2

4 1

3

2

4

풀이 참조 오른쪽 그림과 같이 길이가 각각 a, c인 선분을 두 변

으로 하고 ∠B를 그 끼인각으로 하는 삼각형 ABC를 작도하시오.

예 제

2

위의 작도에서 주어진 두 선분과 한 각을 각각 두 변과 그 끼인각으로 하는 삼각 형은 모양과 크기가 한 가지로 정해진다.

두 변의 길이와 한 각 의 크기가 주어진 삼 각형은 모양과 크기가 한 가지로 정해질까?

생각

B a

c

(32)

다음 그림과 같이 길이가

b

인 선분을 한 변으로 하고 ∠A^와∠C를 그 양 끝 각으로 하는 삼각형을 작도하고, 그 방법을 설명하시오.

b

C A

8

문 제

이제 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 삼각형을 작도해 보자.

2 반직선 BC를 한 변으로 하고 ∠B와 크기가 같은 ∠PBC를 작도한다.

3 반직선 CB를 한 변으로 하고 ∠C와 크기가 같은 ∠QCB를 작도한다.

4 BP³와 CQ³의 교점을 A라 하면 △ABC가 구하는 삼각형이다.

1

3

2

4 1

3

2

4

풀이 참조 오른쪽 그림과 같이 길이가 a인 선분을 한 변으로 하고

∠B와 ∠C를 그 양 끝 각으로 하는 삼각형 ABC를 작 도하시오.

예 제

3

위의 작도에서 주어진 한 선분과 두 각을 각각 한 변과 그 양 끝 각으로 하는 삼 각형은 모양과 크기가 한 가지로 정해진다.

한 변의 길이와 두 각 의 크기가 주어진 삼 각형은 모양과 크기가 한 가지로 정해질까?

생각

B C

a

2. 작도와 합동

179

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 179 17. 7. 21. 오후 5:28

(33)

생각 열기

모양과 크기가 같아서 포개었을 때 완전히 겹쳐지는 두 도형을 서로 합동이라고 한다.

삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 서로 합 동일 때, 이것을 기호로

△ABCª△DEF

와 같이 나타낸다. 이때 두 삼각형의 꼭짓점 은 대응하는 차례대로 쓴다.

서로 합동인 두 도형은 모양과 크기가 같으므로 대응변의 길이와 대응각의 크기 가 각각 서로 같다. 즉, △ABCª△DEF일 때, 다음이 성립한다.

ABÓ=DEÓ,　BCÓ=EFÓ,　ACÓ=DFÓ

∠A=∠D,``∠B=∠E,``∠C=∠F

A

B C

D

E F

배웠어요!

합동인 두 도형에서 　대응하는 점을 대응점, 　대응하는 변을 대응변, 　대응하는 각을 대응각 이라고 한다.

삼각형의 합동 조건

학습 목표 •삼각형의 합동 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 삼각형이 합동인지 판별할 수 있다.

합동인 도형의 특징은 무엇인가 ?

다음 그림과 같이 각 도형을 점선을 따라 잘라 두 부분으로 나누려고 한다.

원 삼각형 정사각형 정오각형

잘린 두 도형을 포개었을 때 완전히 겹쳐지는 것을 모두 찾아보자.

다 가 서 기

(34)

오른쪽 그림에서 △ABCª△DEF^{일 때}, 다음 을 구하시오.

⑴ 변 BC의 길이

⑵ 변 DE의 길이

⑶ ∠B의 크기

⑷ ∠D의 크기

1

문 제 A

6`cm

9`cm 65^æ 75^æ

B

C

D

E

F

삼각형의 합동 조건에는 어떤 것이 있는가?

두 삼각형에서 대응하는 세 변의 길이와 대응하는 세 각의 크기가 각각 같으면 두 삼각형은 서로 합동이다. 그러나 두 삼각형이 합동인지 알고자 할 때, 세 변의 길이 와 세 각의 크기를 모두 비교할 필요는 없다.

다음 각 경우에 삼각형은 모양과 크기가 한 가지로 정해지므로 합동인 삼각형을 작도할 수 있다.

1 세 변의 길이가 주어질 때

2 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때

3 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어질 때

이로부터 다음과 같은 삼각형의 합동 조건을 얻는다.

두 삼각형은 다음의 각 경우에 서로 합동이다.

1 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때 (SSS 합동)

2 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각 의 크기가 같을 때 (SAS 합동)

3 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때 (ASA 합동)

▶ 삼각형의 합동 조건에서 S는 Side (변), A는 Angle (각) 의 첫 글자이다.

삼각형의 합동 조건

2. 작도와 합동

181

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 181 17. 7. 21. 오후 5:28

(35)

생각이 크는 수학

다음 삼각형 중에서 서로 합동인 것끼리 짝 지어 보고, 각각의 합동 조건을 말하시오.

⑴ 5`cm 60^æ 45^æ

⑵ 3`cm 6`cm

5`cm

⑶

50^æ 5`cm 6`cm

⑷

50^æ 5`cm 6`cm

⑸

60^æ 75^æ

5`cm

⑹ 6`cm 3`cm

5`cm

2

문 제

다음 그림에서 합동인 두 삼각형을 찾아 기호 ª를 사용하여 나타내고, 합동 조건을 말하 시오.

⑴

B C

A D ⑵ A D

B C

E

3

문 제

주어진 삼각형과 합동이 아닌 삼각형을 생각한 학생을 찾고, 그 이유를 말해 보자.

다음은 세 학생이 각자 오른쪽 그림의 삼각형을 보고 합동인 삼각형을 생각한 것이다.

60^æ 30^æ

3`cm 6`cm

경민 보라 현수

문제 해결 의사소통

(36)

정삼각형을 합동인 삼각형으로 분할하기

1

다음은 정삼각형을 각각 합동인 삼각형 2개, 3개, 4개로 분할한 그림이다.

활동 1 다음 정삼각형을 각각 합동인 삼각형 6개, 8개, 9개로 분할한 그림을 그려 보자.

정사각형을 합동인 삼각형으로 분할하기

2

다음은 정사각형을 각각 합동인 삼각형 2개, 4개(2가지)로 분할한 그림이다.

활동 2 다음 정사각형을 각각 합동인 삼각형 6개, 8개(2가지)로 분할한 그림을 그려 보자.

주어진 도형을 합동인 도형 여러 개로 분할하는 퍼즐은 재미있을 뿐만 아니라 집중력과 공간 분석 능력을 키워 주는 효과가 있다.

여기서는 정삼각형과 정사각형을 합동인 삼각형으로 분할해 보자.

합동인 삼각형으로 도형 분할하기

알콩 달콩 수학

퍼즐

추론 창의•융합

2. 작도와 합동

183

중학수학1교과서(148~193)3교.indd 183 17. 7. 21. 오후 5:28

(37)

삼각형의 작도

1

⑴ 작도: 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 도형을 그리는 것

⑵ 삼각형 ABC

① 기호로 △ABC와 같이 나타낸다.

② 대변: 한 각과 마주 보는 변

③ 대각: 한 변과 마주 보는 각

⑵ 삼각형의 합동 조건

두 삼각형은 다음 각 경우에 서로 합동이다.

① 대응하는 세 변의 길이 가 각각 같을 때 (SSS 합동)

② 대응하는 두 변의 길이 가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같을 때 (SAS 합동)

③ 대응하는 한 변의 길이 가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때 (ASA 합동) 삼각형의 합동 조건

2

⑴ 삼각형의 합동

삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 서로 합동일 때, 기호로 △ABCª△DEF와 같이 나타낸다.

오른쪽 그림에서 △ABCª△DEF일 때, 다음을 구하시오.

⑴ 변 DE의 길이 ⑵ ∠F의 크기

02

B

E F

C D

A

5`cm 8`cm 40^æ 70^æ

오른쪽 그림에서 두 삼각형이 서로 합동일 때, 합동인 두 삼각형을 기호 ª를 사용하여 나타 내고, 합동 조건을 말하시오.

03

B C

A

10`cm

8`cm E

D

F 10`cm 8`cm

60^æ

오른쪽 그림에서 ㉠ ~ ㉤ 은 ∠XOY와 크기가 같고 반직선 PQ를 한 변으로 하는 각을 작도 하는 과정을 나타낸 것이다. 안에 작도하는 순서를 알맞게 써넣으시오.

㉡ → → → → ㉢

01

기본 문제

B Y A

X

O D Q

C

P

㉠

㉡

㉢

㉣

㉤