파생상품론

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파생상품론

제9주제 이항옵션가격결정모형

교재: 파생상품의 원리(윤평식 저, 탐진출판사, 2011년)

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1. 기본 원리

• 기본원리: “복제(replication)와 차익거래(arbitrage)”

기초자산과 채권을 이용하여 옵션과 동일한 현금흐름을 제공하는 복제포트 폴리오를 구성하고 이를 이용하여 옵션가격을 구함

• 이항모형은 블랙-숄즈 모형에 비해 이해하기 쉽고 옵션의 조기행사 를 쉽게 고려할 수 있음

• 여기서 소개하는 이항모형은 콕스-로스-루빈스타인(Cox-Ross- Rubinstein) 모형임

• 주가가 미래시점에서 단 두 가격만을 갖으며, 한 경우는 내가격, 다 른 경우는 외가격에 있도록 하여 주가의 불확실성을 모형화함

2 제9주제 이항옵션가격결정모형

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2. 옵션가격결정의 세 가지 방법

• 주식과 채권을 이용하여 콜옵션을 복제하는 방법으로, 각 상황에서 콜옵션 의 이득과 정확히 동일한 금액을 제공하도록 복제포트폴리오가 구성됨.

• 예시(주가 10,000원, 1년 후 11,000원 또는 9,000원, 무위험이자율 2%, 콜옵 션(만기 1년, 행사가격 10,000원))에서 이항과정은 각각 다음과 같음:

2.1 복제포트폴리오 방법

주가

11,000

9,000 10,000

채권가격

1.02

1.02 1

콜옵션 가치

1,000

0 C

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제9주제 이항옵션가격결정모형 4

주식과 채권을 이용하여 콜옵션의 현금흐름을 복제하므로

다음 두 식이 성립해야 한다.

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콜옵션 복제포트폴리오는 주식 0.5주와 채권(원금 4,500원, 현가 4,412원)

공매도로 구성됨



4412 5

.

0 

 S C

해:

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동일함

이렇게 구성된 복제포트폴리오는 당연히 콜옵션과 동일한 현금흐름을 갖는다.

따라서 콜옵션 가격은 복제포트폴리오를 구성하는데 소요되는 비용 588원과 동일해야 한다.

만약 동일하지 않으면 차익거래가 발생한다.

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2.2 무위험포트폴리오 방법

• 주식과 콜옵션을 이용하여 무위험포트폴리오를 구성함

• 우리의 예시에서 주식 1주를 매입하고 콜옵션 2개를 발행하면,

포트폴리오의 가치가 주가와 무관하게 9,000원으로 일정함. 따라서 이 무위 험포트폴리오의 수익률은 무위험이자율이어야 하며 이로부터 콜옵션

가격이 결정된다.

0 2 1000

9000 11000

 



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참고: 무위험포트폴리오가 주식 0.5주와 콜옵션 1개로 구성되면 무위험 포트폴리오의 만기일에서의 가치는 4,500원이고 옵션가격은 다음과 같이 계산된다.

02 588 . 1

500 , 000 4

, 10 5 .

0   C   C 

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앞에서 콜옵션 복제포트폴리오는 주식 0.5주와 채권(원금 4,500원, 현가 4,412원) 공매도로 구성된다고 설명하였음

 이를 식으로 표현하면: 또는

 “4412=0.5S – C”는 주식 0.5주와 콜옵션 1개 매도의 현재가치는 가격이 4,412원인 채권과 동일하다는 의미임.

 따라서 무위험포트폴리오는 주식 0.5주와 콜 1개 매도로 구성되며 이 포트폴리오의 가치가 4,412원이므로 콜옵션의 가치는 588원임.

0.5ⅹ10,000 – C=4412  C=588

 “4412=0.5S – C”의 양변에 2를 곱하면, 무위험포트폴리오는 주식 1 주와 콜옵션 2개 매도로 구성될 수 있으며 이 경우 포트폴리오의 가치 는 8,824원임.

10,000 – 2C=8824  C=588

4412 5

.

0 

 S

C 4412  0 . 5 S  C

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• 1단계: 주식의 기대수익률이 무위험이자율과 동일해지도록 상승확률(π)과 하락확률(1-π)을 결정함

2.3 위험중립가치평가 방법

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• 2단계: 옵션의 기대이득을 계산함

• 3단계: 무위험이자율을 이용하여 기대이득의 현가를 계산함

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Question:

현재 주가는 50,000원이다. 1년 후 주가는 60,000원으로 상승하거나 또는 40,000원으로 하락할 예정이다.

만기가 1년이고 행사가격이 51,000원인 유로피언 콜옵션의 가격을 다음의 방법으로 구하라. 무위험이자율은 5%이다.

① 복제포트폴리오 방법

② 무위험포트폴리오 방법

③ 위험중립가치평가 방법

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Answer:

① 복제포트폴리오 방법

두 식을 풀면, Δ=0.45, B=–17,143이다.

60,000Δ + 1.05B = 9,000 40,000Δ + 1.05B = 0

콜옵션 복제포트폴리오는 주식 0.45주와 채권 공매도

(현재가치 17,143원)로 구성된다. 따라서 콜옵션의 가치는 5,357원이다.

0.45ⅹ50,000 –17,143 = C  C=5,357

50,000

60,000

40,000

콜옵션 이득 9,000

0

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② 무위험포트폴리오 방법

“0.45S –17,143 = C”이므로 무위험포트폴리오는 주식 0.45주와 콜옵션 1개 매도로 구성된다: 0.45S–C=17143.

따라서 콜옵션의 가치는 5,357원이다.

또는 무위험포트폴리오는 주식 1주와 콜옵션 1/0.45 = 2.2222개 매도로 구성된다. 이 포트폴리오의 만기일에서의 가치는 9,000원으로 일정하다.

현재가치가 9,000/1.05이므로 “S–2.2222C=9000/1.05”의 관계가 성립함.

이 식으로부터 C는 5,357원이다.

③ 위험중립가치평가 방법

상승확률이 (1.05–0.8)/(1.2–0.8)=0.625이고 하락확률이 0.375이므로 기대이득은 0.625ⅹ9,000=5,625원이고 이득의 현가는 5,625/1.05 = 5,357원이다.

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3. 풋옵션의 가격결정

예시: 앞과 동일한 조건에서 행사가격이 9,000원인 유로피언 풋옵션의 가격을 결정해 보자.

이항과정은 다음과 같다.

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(1) 복제포트폴리오 구성

즉, 복제포트폴리오는 주식 0.5주 공매도와 채권(원금 5,500원, 현가 5,392원)으로 구성됨.

풋옵션 가격은 복제포트폴리오를 구성하는데 소요되는 비용과 동일해야 함:

풋옵션의 현금흐름을 복제포트폴리오의 구성은 다음 두 식을 만족시킴:

해:

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(2) 무위험포트폴리오 구성

무위험포트폴리오는 주식 1주 매입과 풋옵션 -2개 매도로 구성됨

(즉, 풋옵션 2개 매입으로 구성됨). 이 포트폴리오의 만기일에서의 가치는 11,000원으로 동일함)

또는 무위험포트폴리오는 주식 0.5주와 풋옵션 1개로 구성되며 이 포트폴리오 의 만기일에서의 가치는 5,500원으로 동일함.

1000 2 0

9000

11000  



02 . 1

500 , 5 5

.

0

S  P 

0.5 10,000 392 02

. 1

500 ,

5

  



P

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(3) 위험중립가치평가 방법

위험중립 상승확률이 60%이고 하락확률이 40%이고

옵션의 기대 현금흐름이 400원이므로

풋옵션 가격은 400원의 현가인 392원이다.

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4. 옵션의 델타

• 델타(delta)는 기초자산의 가격변화에 대한 옵션가격변화

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델타의 속성

-콜옵션의 델타는 양수이고 풋옵션의 델타는 음수임 -이항모형에서의 델타 계산

-매도포지션의 델타는 매입포지션의 델타에 -1을 곱한 값임

-콜옵션의 델타는 0과 1 사이의 값을 갖고, 풋옵션의 델타는 0과 -1 사이의 값을 가짐

-델타는 합산원칙이 적용됨

-델타는 발행한 옵션의 위험을 헤지하기 위해 필요한 주식의 수임

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5. 2기간 모형과 아메리칸옵션의 가격결정

5.1 2기간 이항모형으로의 확장

먼저 만기일에서의 옵션이득을 계산하고, 현재시점으로 가면서 옵션의 가격을 계산함.

상승/하락 확률은 항상 일정함 위험중립가치평가법을 적용하는 것이 가장 편리함

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델타의 변화

델타가 계속 변하므로 복제포트폴리오를 구성하여 옵션의 가치를 평가하는 방법은 매우 복잡하게 됨

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• 만기일에서의 아메리칸옵션의 가치는 유로피언옵션의 가치와 동일 함.

• 만기일을 제외한 시점에서 아메리칸 옵션의 가치는 다음 두 값 중에 서 큰 값과 같음

6.2 아메리칸옵션에의 적용

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바로 앞의 예시에서 행사가격이 10,000원이고 만기가 2년인 아메리칸 풋옵션의 가치를 평가해 보자

10,000

11,000

9,000

12,100

9,900

8,100 1,900 100

0 풋옵션 가치

0.6

0.6 0.6

0.4

(0.6ⅹ0+0.4ⅹ100)/1.02=392 (0.6ⅹ100+0.4ⅹ1,900)/1.02=804

392

804 1,000

(0.6ⅹ392+0.4ⅹ1,000)/1.02

=623

623

동일 조건의 유로피언 풋옵션의 가치는 546원임: (0.6ⅹ392+0.4ⅹ804)/1.02=546 내재가치가 더

크므로 대체함