파생상품론

파생상품론

제7주제 풋콜패리티와 옵션가격범위

교재: 파생상품의 원리(윤평식 저, 탐진출판사, 2011년)

1. 풋-콜 패리티

• 풋-콜 패리티(put-call parity)는 기초자산, 만기, 행사가격이 동일한 유로피 언 콜옵션과 풋옵션 프리미엄 사이에 성립해야 하는 관계

(기초자산은 배당을 지급하지 않는다고 가정함)

(배당을 지급하거나 또는 아메리칸 옵션의 경우 풋-콜 패리티가 성립하지 않음)

1.1 풋-콜 패리티의 증명

2 제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위

증명1:

주식1주 매입, 풋옵션 1개 매입, 콜옵션 1개 매도로 구성된 포트폴리오의 만기일에서의 현금흐름이 K로 일정함

따라서 이 무위험포트폴리오의 수익률은 무위험이자율이어야 함. 만일 무위험이자율이 아니면 차익거래가 발생함

제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위 4

증명2:

C+PV(K)와 P+S의 만기일에서의 가치가 max(S^T,K)로 동일함:

C+PV(K) = P+S

C+PV(K) P+S

S^T < K S^T > K

K S^T K ST 만기일에서의 현금흐름 포트폴리오

Question:

현재 기초자산인 무배당 주식의 가격은 50,000원이다.

투자자가 주식 1주를 매입하고, 이 주식에 대한 콜옵션 1개를 발행하고 풋옵션 1개를 매입하였다. 콜옵션과 풋옵션의 행사가격은 50,000원이고 만기는 1년이다.

1년 후 투자자가 보유한 포지션의 가치는 얼마인가?

Answer:

이 포트폴리오의 만기일에서의 가치는 K이므로 50,000원이다.

(1) 가치평가

(2) 차익거래 기회의 확인 (3) 합성포지션의 구성

(4) 등가격 옵션프리미엄 비교

(5) 무위험포트폴리오의 구성(2개의 행사가격 기준)

1.2 풋-콜 패리티의 이용

6 제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위

• 가치평가(예시)

기초자산 가격이 40,000원이다. 그리고 만기가 1년이고 행사가격이 38,000원인 콜옵션의 가격이 5,000원이다. 동일 조건의 풋옵션 가격은 얼마인가? 옵션은 모두 유로피언 옵션이며 기초자산은 배당을 지급하지 않는다. 무위험이자율은 연 5%이다.

풋-콜 패리티에 의해 풋옵션 가격은 1,190.48원이다.

40 , 000 1 , 190 . 48 05

. 1

000 ,

000 38 ,

5   



P

• 차익거래 기회의 확인 S

P K

PV

C  ( )  

S P

K PV

C  ( )  

과대평가된 콜옵션 매도

과소평가된 풋옵션과 주식 매입 무위험이익:

과소평가된 콜옵션 매입

과대평가된 풋옵션과 주식 매도 무위험이익:

r

C S P

K  (   )( 1  )

K r

C S

P   )( 1  )

 (

8 제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위

(구체적인 예시는 pp 266-268을 참조할 것)

Question:

기초자산 가격이 40,000원이다. 그리고 만기가 1년이고 행사가격이 38,000원인 콜옵션의 가격이 5,000원이고 동일 조건의 풋옵션 가격은 1,500원이다.

옵션은 모두 유로피언 옵션이며 기초자산은 배당을 지급하지 않는다.

무위험이자율은 연 5%이다. 어떤 차익거래 기회가 존재하는가?

Answer:

P+S=41,500원이고, C+PV(K)=41,190이므로 차익거래 전략은 콜매입, 풋매도, 주식 공매도이다.

• 합성포지션의 구성

- 콜옵션 매입의 복제: 풋매입, 주식매입, PV(K) 차입

- 주식매입의 복제: 콜매입, PV(K) 대출, 풋발행 - 선물매입의 복제: 콜매입, 풋발행

- 채권매입의 복제: 풋매입, 주식매입, 콜발행

S P

K PV

C  ( )  

10 제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위

C=P+S-PV(K)

S=C+PV(K)-P

Futures = S-PV(K) = C-P

PV(K) = P+S-C

• 등가격 콜옵션이 등가격 풋옵션보다 비싸야 하는 이유는?

증명1: 풋-콜 패리티를 이용한 증명

제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위 12

증명2: C-P가 0보다 커야 하는 이유

등가격 콜옵션을 매입하고 등가격 풋옵션을 발행하면 합성선물 매입포지션이 복제되므로 만기일에 기초자산을 매입하게 됨.

C-P의 비용이 발생하는 것은 기초자산 가격지불을 1년 연기하면서 이자소득을 얻기 때문이며 C-P는 이자금액의 현가와 동일해야 함.

• 2개의 행사가격을 이용한 풋-콜 패리티

P²와 C¹을 매입하고 P¹과 C²를 발행하는 포트폴리오는 만기일에 일정한 가치 를 갖는다  무위험 포트폴리오

_

2. 합성 풋-콜 패리티

14 제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위

풋-콜 패리티에서 S 대신에 PV(F)를 대입하면 다음 식이 유도됨 (이 관계는 현물-선물 패리티로부터 유도된 식임)

)

( F K

PV P

C   

) ( F K PV

P

C   

컨버젼 전략(콜매도, 풋매입, 선물매입)

역컨버젼 전략(콜매입, 풋매도, 선물매도) Conversion

Reverse conversion

(컨버전과 역컨버전에 관한 예시는 pp 303-305를 참조할 것)

3. 옵션프리미엄 결정요인

16 제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위

4. 옵션프리미엄의 분해

• 옵션프리미엄 = 내재가치 + 시간프리미엄

• 내재가치: 콜옵션 max(S-K,0), 풋옵션 max(K-S,0)

• 콜옵션의 경우 시간프리미엄은 항상 양의 값을 갖는 반면에, 풋옵션

의 경우 시간프리미엄이 0보다 작을 수 있음

제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위 18

Question:

다음 각각의 경우에 내재가치와 시간프리미엄을 계산하라.

① 주가 10,000원, 행사가격이 8,000원인 유럽형 콜옵션 가격 2,200원

② 주가 10,000원, 행사가격이 13,000원인 유럽형 풋옵션 가격 2,900원

Answer:

① 내재가치 2,000원, 시간프리미엄 200원

② 내재가치 3,000원, 시간프리미엄 -100원

5. 콜옵션 가격범위

• 상한가

• 하한가

콜옵션 vs D포트폴리오

(주식 1주와 PV(K) 차입)

 콜옵션이 D포트폴리오보다 결코 불리하지 않음

제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위 20

Question:

주가 30,000원, 유로피언 콜옵션의 행사가격 29,000원, 만기 1년, 무위험이자율 연 6%, 기초자산은 배당을 지급하지 않음

① 콜옵션의 상한가는 얼마인가?

② 콜옵션의 하한가는 얼마인가?

Answer:

① 상한가: 30,000원

② 하한가: 2,642원

642 , 2 0

06 , . 1

000 ,

000 29 ,

30

max 

 

  

• 아메리칸 콜옵션의 조기행사

- 무배당의 경우 권리행사가 항상 최적이 아님

6. 풋옵션 가격범위

• 상한가

• 하한가

• 유로피언 풋옵션 가격범위

22 제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위

Question:

주가 80,000원, 유로피언 풋옵션의 행사가격 80,000원, 만기 6개월, 무위험이자율 연 5%, 기초자산은 배당을 지급하지 않음

① 풋옵션의 상한가는 얼마인가?

② 풋옵션의 하한가는 얼마인가?

Answer:

① 상한가: 78,072원

② 하한가: 0원

000 ,

80 



072 , 05 78

. 1

000 , 80

5 .

0



• 아메리칸 풋옵션의 가격범위

• 아메리칸 풋옵션의 조기행사는 주가가 충분히 하락한 경우에 최적임

24 제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위

7. 행사가격과 옵션프리미엄

상대적으로 낮은 가격에 매입할 수 있는 콜옵션의 가격이 더 높음 만일 C1<C2이면 C1을 매입하고 C2를 매도하여 무위험 차익을 얻음

상대적으로 높은 가격에 매도할 수 있는 풋옵션의 가격이 더 높음 만일 P >P 이면 P 를 매입하고 P 을 매도하여 무위험 차익을 얻음

제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위 26

콜옵션 가격 차이는 행사가격 차이의 현재가치보다 클 수 없다.

만약 C¹-C²>PV(K²-K¹)이면 C¹을 매도하고 C²를 매입하여 무위험 차익을 얻음

풋옵션 가격 차이는 행사가격 차이의 현재가치보다 클 수 없다.

만약 P²-P¹>PV(K²-K¹)이면 P¹을 매입하고 P²를 매도하여 무위험 차익을 얻음

행사가격 볼록성(exercise price convexity)

콜옵션의 경우 행사가격이 커짐에 따라 프리미엄은 감소하는데

감소하는 속도가 감소한다. 반면에 풋옵션의 경우 행사가격이 커짐에 따라 프리미엄은 증가하는데 증가하는 속도가 증가한다.

제7주제 풋-콜 패리티와 옵션가격범위 28

만일 이면 다음 관계가 성립함

K

 K

 K

 K

행사가격의 볼록성을 식으로 표현하면 다음과 같다: