삼각비의 활용

│70쪽│

01⑴ c sin B, ⑵ c cos B,

⑶ , a tan B

02², 2, '3, '3, 2, 2, 1, 1, 3, '3, 3, 2'3 03^{sin 30˘}, ;2!;, 5 b

tan B

a cos B b

sin B

│71쪽│

01⑴ x=6 cos 25˘, y=6 sin 25˘

⑵ x= , y=

02⑴ x=7.7, y=6.4 ⑵ x=4.56, y=6.56

03⑴ 2 ⑵ 2'3 ⑶ '3 ⑷ '7 04⑴ 3'3 ⑵ 3'6

05⁶⁰, 60, '3h, 45, 45, h, '3h, h, '3+1, '3+1, '3-1

06⑴ 12'3 ⑵ 18'2 07⑴ 10'3 ⑵ 44

08⑴ 12'2 ⑵ 35'3 2

4 sin 40˘

4 tan 40˘

02

⑴ x=10 sin 50˘=10_0.77=7.7 y=10 cos 50˘=10_0.64=6.4

⑵ x=8 sin 35˘=8_0.57=4.56 y=8 cos 35˘=8_0.82=6.56

03

⑴ △ABH에서 AH”=4 sin 30˘=4_;2!;=2

⑵ △ABH에서 BH”=4 cos 30˘=4_ =2'3

⑶ CH”=BC”-BH”=3'3-2'3='3

⑷ △AHC에서 AC”="√2¤ +('3 )¤ ='7 '3

2

04

⑴ △ABH에서 AH”=6 sin 60˘=6_ =3'3

⑵ △AHC에서 AC”= =3'3_ 2 =3'6 '2 3'3

cos 45˘

'3 2

06

⑴ △ABC=;2!;_6_8_sin 60˘

⑴ △ABC=;2!;_6_8_ =12'3

⑵ △ABC=;2!;_9_8_sin(180˘-135˘)

⑴ △ABC=;2!;_9_8_'2=18'2 2 '3

2

07

^⑴ ABCD=4_5_sin 60˘=4_5_ =10'3

⑵ ABCD=8_11_sin(180˘-150˘)

⑵ ABCD=8_11_;2!;=44

'3 2

08

^⑴ ABCD=;2!;_6_8_sin 45˘

⑴ ABCD=;2!;_6_8_'2=12'2 2

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수 학

⑵ ABCD=;2!;_10_7_sin(180˘-120˘) ABCD=;2!;_10_7_ =35'3

2 '3

2

│72~75쪽│

대표 유형01① 01- ⑤ 01- 6.9 m

01- _{50('3+1) m} 01- ③ 대표 유형022'∂21 cm 02- _{4'5 m}

02- ④

대표 유형034'3 cm 03- _12'2 03- 10(3+'3 ) m

대표 유형045(3-'3 ) 04- _{30('3-1) m} 04- 16(3-'3) cm¤

대표 유형054('3+1) 05- ③

대표 유형0615'3 cm¤ 06- ② 06- 45˘

대표 유형0724'3 cm¤ 07- 10 cm

07- cm¤

대표 유형08① 08- ③ 08- cm¤

대표 유형09③ 09- _{24'2 m¤}

0110(2-'2 ) cm 02;5#; 03^{21 cm¤}

3'2 2 7'3

2

│실수하기쉬운 문제│

대표 유형01 x=10 sin 43˘=10_0.68=6.8 y=10 cos 43˘=10_0.73=7.3

∴ y-x=7.3-6.8=0.5

01-

∠A=34˘이므로 AC”=5 tan 56˘= 5 tan 34˘

01-

AO”=6 sin 60˘=6_ =3'3(cm)

BO”=6 cos 60˘=6_;2!;=3(cm)

∴ (원뿔의 부피)=;3!;_(p_3¤ )_3'3=9'3p(cm‹ ) '3

2

01-

△ABC에서 BC”=10tan 28˘=10_0.53=5.3(m)

∴ (나무의 높이)=CH”=BC”+BH”

=5.3+1.6=6.9(m)

01-

△ACH에서 CH”=50 tan 45˘=50_1=50(m)

△AHB에서 BH”=50 tan 60˘=50_'3=50'3(m)

∴ (건물 Q의 높이)=BC”=BH”+CH”

=50'3+50=50('3+1)(m)

대표 유형02 꼭짓점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라고 하면

△ABH에서 AH”=8 sin 60˘

AH”=8_'3=4'3(cm) 2

B C

8 cm

10 cm A

60˘ H

BH”=8 cos 60˘=8_;2!;=4(cm) CH”=BC”-BH”=10-4=6(cm)이므로

△AHC에서 AC”=ø∑(4'3 )¤ +6¤ =2'∂21(cm)

02-

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서

AH”=4 sin 45˘=4_ =2'2(m) CH”=4 cos 45˘=4_ =2'2(m)

BH”=BC”-CH”=8'2-2'2=6'2(m)이므로

△ABH에서 AB”="√(6'2√ )¤ +√(2'2 )¤ =4'5(m) '2

2 '2

2

45˘

H A

B C

4###m

m 8 2

02 -

꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면

△ACH에서

∠ACH=180˘-120˘=60˘

이므로

AH”=4 sin 60˘=4_ =2'3 CH”=4 cos 60˘=4_;2!;=2

BH”=BC”+CH”=3+2=5이므로 △ABH에서 AB”="√5¤ +(2'3 )¤ ='∂37

'3 2

120˘

A

B 3 C H

4

대표 유형03 ∠A=180˘-(75˘+45˘)=60˘

꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △BCH에서 BH”=6'2 sin 45˘

BH”=6'2_ =6(cm) 따라서 △ABH에서

AB”= =6_ 2 =4'3(cm) '3

6 sin 60˘

'2 2

75˘ 45˘

A H

B C

6 2cm

03-

∠A=180˘-(105˘+30˘)=45˘

꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 △ABH 에서

BH”=12 sin 45˘

BH”=12_ =6'2

따라서 △BCH에서 BC”= 6'2 =6'2_2=12'2 sin 30˘

'2 2

105˘30˘

A H

B C

12

03-

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수 선의 발을H라고 하면

△AHC에서 AH”=30'2 cos 45˘

AH”=30'2_

AH”=30(m)

CH”=30'2 sin 45˘=30'2_'2=30(m) 2

'2 2

A B

H C

45˘

45˘ 60˘60˘

m 30 2

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△CHB에서 BH”= =30_ =10'3(m)

∴ AB”=AH”+BH”=30+10'3=10(3+'3 )(m) 1

'3 30

tan 60˘

대표 유형04 AH”=h라고 하면 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h

∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h BC”=BH”+CH”이므로 10=h+ h, {1+ } h=10

∴ h= 30 =5(3-'3 ) 3+'3

'3 3 '3

3 '3

3

04-

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A 에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 AH”=h m라고 하 면 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(m)

∠CAH=60˘이므로 CH”=h tan 60˘='3h(m) BC”=BH”+CH”이므로 60=h+'3h, (1+'3 )h=60

∴ h= =30('3-1)

따라서 나무의 높이는 30('3-1) m이다.

60 1+'3

45˘

45˘

30˘

60˘

A

B H C

60###m

04-

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하고 AH”=h cm 라고 하면 ∠BAH=30˘이므로 BH”=h tan 30˘= h(cm)

∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h(cm) BC”=BH”+CH”이므로 8= h+h, { +1}h=8

∴ h= =4(3-'3)

∴ △ABC=;2!;_8_4(3-'3 )=16(3-'3 )(cm¤ ) 24

'3+3

'3 3 '3

3 '3

3

60˘ 45˘

A

B H C

8###cm

대표 유형05 CH”=h라고 하면 ∠ACH=60˘이므로 AH”=h tan 60˘='3h

∠BCH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h

AB”=AH”-BH”이므로 8='3h-h, ('3-1)h=8

∴ h= 8 =4('3+1) '3-1

05-

CH”=h m라고 하면 ∠ACH=60˘이므로 AH”=h tan 60˘='3h(m)

∠BCH=30˘이므로 BH”=h tan 30˘= h(m) AB”=AH”-BH”이므로 h=10 ∴ h=5'3 따라서 굴뚝의 높이는 5'3 m이다.

2'3 3

'3 3

대표 유형06 △ABC=;2!;_10_6_sin 60˘

△ABC=;2!;_10_6_'3=15'3(cm¤ ) 2

06-

∠C=∠B=75˘이므로 ∠A=180˘-2_75˘=30˘

06-

2!;_6_8_sin B=12'2이므로 sin B=

이때 sin 45˘='2이므로 ∠B=45˘

2

'2 2

∴ △ABC=;2!;_12_12_sin 30˘

∴ △ABC=;2!;_12_12_;2!;=36(cm¤ )

대표 유형07 △ABC=;2!;_8_12_sin (180˘-120˘)

△ABC=;2!;_8_12_'3=24'3(cm¤ ) 2

07-

;2!;_AB”_16_sin (180˘-135˘)=40'2이므로

;2!;_AB”_16_ =40'2, 4'2AB”=40'2

∴ AB”=10(cm) '2

2

07-

AC”를 그으면 ABCD

=△ABC+△ACD

=;2!;_3_4_sin 60˘

+;2!;_2_'3_sin(180˘-150˘)

=;2!;_3_4_ +;2!;_2_'3_;2!;=7'3(cm¤ ) 2 '3

2

60˘

150˘

A

B C

D 2###cm 3###cm

4###cm

cm 3

대표 유형08 ABCD=4_3'3_sin 30˘

ABCD=4_3'3_;2!;=6'3(cm¤ )

08-

5_8_sin B=20'3이므로 sin B=

이때 sin 60˘='3이므로 ∠B=60˘

2

'3 2

08-

△BED=;2!;△BCD

△BED=;2!;_;2!; ABCD=;4!; ABCD

△BED=;4!;_3_4_sin(180˘-135˘)

△BED=;4!;_3_4_ =3'2(cm¤ ) 2 '2

2

대표 유형09 ABCD=;2!;_9_8_sin 60˘

ABCD=;2!;_9_8_'3=18'3(cm¤ ) 2

09 -

ABCD=;2!;_8_12_sin(180˘-135˘) ABCD=;2!;_8_12_'2=24'2(m¤ )

2

│실수하기쉬운 문제│

01

점 B에서 OA”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △OBH에서 OH”=20 cos 45˘

OH=20_'2=10'2(cm) 2

45˘

A

B B'

H O 20###cm

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수 학

│76~77쪽│

01 ①, ③02① 03160'3 cm‹ 04100'3 m

05 06④ 07② 084('3-1)

0925('3+1) m

10

③

11

④

12

③

13

(12p-9'3 ) cm¤

14

4'2 cm

15

②

16

② 2'7

7

➊회

02

△AMN= ABCD-△ABM-△AND-△MCN

△AMN=2¤ -;2!;_2_1-;2!;_2_1-;2!;_1_1=;2#;

AM”=AN”="√2¤ +1¤ ='5이므로

△AMN=;2!;_'5_'5_sinx=;2#;

;2%; sin x=;2#; ∴ sin x=;5#;

∴ AH”=OA”-OH”=20-10'2=10(2-'2)(cm) 따라서 B 지점은 A 지점을 기준으로 10(2-'2 ) cm의 높이에 있다.

03

두 대각선이 이루는 예각의 크기를 x라고 하면 ABCD=;2!;_7_6_sin x=21 sin x(cm¤ ) 이때 sin x의 최댓값은 1이므로 ABCD의 넓이의 최댓 값은 21 cm¤ 이다.

01

x=9 sin 50˘=9 cos 40˘

02

h=3 sin 20˘=3_0.3420=1.026(m)

03

DH”=8 sin 30˘=8_;2!;=4(cm)

GH”=8 cos 30˘=8_ =4'3(cm)

∴ (직육면체의 부피)=10_4'3_4=160'3(cm‹ ) '3

2

04

^△ABH에서

AH”=200 sin 60˘=200_ =100'3(m) 따라서 △AHC에서

CH”=100'3 tan 45˘=100'3_1=100'3(m) '3

2

05

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면

△ABH에서 AH”=6 sin 30˘

AH”=6_;2!;=3(cm)

BH”=6 cos 30˘=6_ =3'3(cm)

CH”=BC”-BH”=5'3-3'3=2'3(cm)이므로

△AHC에서

AC”="√3¤ +√(2'3 )¤ ='∂21(cm)

∴ cos C= =2'7 7 2'3 '∂21

'3 2

30˘

6###cm A

B H C

5 3cm

06

∠A=180˘-(60˘+75˘)=45˘

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면 △BCH에서 CH”=10 sin 60˘

CH”=10_ =5'3(cm) 따라서 △AHC에서

AC”= =5'3_ 2 =5'6(cm) '2

5'3 sin 45˘

'3 2

A

H

B 60˘ C

75˘

10 #cm

07

AH”=h라고 하면 ∠BAH=44˘이므로 BH”=h tan 44˘

∠CAH=27˘이므로 CH”=h tan 27˘

BC”=BH”+CH”이므로 60=h tan 44˘+h tan 27˘

∴ h= 60

tan 44˘+tan 27˘

08

AH”=h라고 하면 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h

∠CAH=60˘이므로 CH”=h tan 60˘='3h BC”=BH”+CH”이므로 8=h+'3h, (1+'3)h=8

∴ h= 8 =4('3-1) 1+'3

09

CH”=h m라고 하면 ∠ACH=60˘이므로 AH”=h tan 60˘='3h(m)

∠BCH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(m) AB”=AH”-BH”이므로 50='3h-h, ('3-1)h=50

∴ h= =25('3+1)

따라서 지면에서 기구까지의 높이는 25('3+1) m이다.

50 '3-1

10

△ABC=;2!;_8_9_sin 30˘

△ABC=;2!;_8_9_;2!;=18(cm¤ )

11

정팔각형의 대각선을 모두 그으면 두 변의 길이가 각각 4이고, 그 끼인각의 크기가 360˘÷8=45˘인 합동인 8개 의 이등변삼각형이 생긴다.

∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_4_4_sin 45˘}

∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_4_4_'2}=32'2 2

O

12

^{BD”를 그으면}

ABCD

=△ABD+△BCD

=;2!;_2'7_2'7

_sin (180˘-120˘)+;2!;_8_10_sin 60˘

=;2!;_2'7_2'7_ +;2!;_8_10_'3=27'3(cm¤ ) 2

'3 2

60˘

120˘

A

B C

D

8###cm 10###cm 2 7cm

cm 2 7

13

OC”를 그으면 OA”=OC”이므로

∠AOC=180˘-2_30˘=120˘

A 30˘ B

C

6###cm O

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│78~79쪽│

01 희선 02^16.9203③ 04(3+'3) m 05②

063'5 07① 08(3-'3 ) cm 099('3-1)

10

②

11

③

12

18'3 cm¤

13

②

14

③

15

12'2 cm¤

16

③

➋회

14

마름모 ABCD의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 ABCD=x_x_sin(180˘-135˘)=16'2이므로

x¤ =16'2, x¤ =32 ∴ x=4'2 (∵ x>0) 따라서 마름모 ABCD의 한 변의 길이는 4'2 cm이다.

'2 2

15

△ABP=;4!; ABCD=;4!;_4_8_sin 30˘

△ABP=;4!;_4_8_;2!;=4(cm¤ )

16

ABCD=;2!;_4_5_sin 60˘=;2!;_4_5_'3=5'3 2

01

희선 : c sin A=BC”=a

02

x=12 sin 39˘=12_0.63=7.56 y=12 cos 39˘=12_0.78=9.36

∴ x+y=7.56+9.36=16.92

03

(높이)=1.4+8sin 48˘=1.4+8_0.74=7.32(m)

04

△CBD에서 BD”=3 tan 45˘=3_1=3(m)

△CDE에서 DE”=3 tan 30˘=3_ ='3(m)

∴ (큰 나무의 높이)=BE”=BD”+DE”=3+'3(m) '3

3

05

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 A’H”=2 sin 60˘

A’H=2_ ='3(cm) BH”=2 cos 60˘=2_;2!;=1(cm)

CH”=BC”-BH”=3-1=2(cm)이므로 △AHC에서 AC”="√('3)¤ +2¤ ='7(cm)

'3 2

60˘

2 cm

3 cm

B H C

A

06

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △AHC에서 AH”=10 sin C=10_;5#;;=6 CH”=10 cos C=10_;5$;=8

BH”=BC”-CH”=11-8=3이므로 △ABH에서 AB”="√3¤ +6¤ =3'5

B C

10

H 11 A

∴ (색칠한 부분의 넓이)

∴=(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC

∴=p_6¤ _ -;2!;_6_6_sin(180˘-120˘)

∴=12p-;2!;_6_6_'3=12p-9'3(cm¤ ) 2

120 360

07

∠A=180˘-(105˘+45˘)=30˘

꼭짓점B에서 AC”에 내린 수선의발 을 H라고 하면 △BCH에서 BH”=10 sin 45˘

BH”=10_ =5'2(cm) 따라서 △ABH에서

AB”= 5'2 =5'2_2=10'2(cm) sin 30˘

'2 2

10 cm A

B C

H 105˘

45˘

08

AH”=h cm라고 하면

∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(cm)

∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h(cm) BC”=BH”+CH”이므로 2=h+ h, {1+ } h=2

∴ h= 6 =3-'3 3+'3

'3 3 '3

3 '3

3

09

^BC”= =3'2_ =6

점 E에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 EH”=h라고 하면

∠BEH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h

∠CEH=60˘이므로 CH”=h tan 60˘='3h BC”=BH”+CH”이므로 6=h+'3h, (1+'3)h=6

∴ h= =3('3-1)

∴ △EBC=;2!;_6_3('3-1)=9('3-1) 6

1+'3

45˘

60˘

A

B H C

D E

3 2 2

'2 3'2

cos 45˘

10

AH”=h라고 하면 ∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3h

∠ACH=60˘, ∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h

BC”=BH”-CH”이므로 2'3h=4 ∴ h=2'3 3

'3 3

11

;2!;_AB”_6_sin 45˘=6'2이므로

;2!;_AB”_6_'2=6'2 ∴ AB”=4(cm) 2

12

ABCD=△ABC+△ACD ABCD=△ABC+△ACE ABCD=△ABE

ABCD=;2!;_6_(8+4) _sin 60˘

ABCD=;2!;_6_12_'3=18'3(cm¤ ) 2

60˘

A

C D

B E

6###cm

4###cm 8###cm

13

∠A=180˘-(32˘+13˘)=135˘이므로

△ABC=;2!;_4_9_sin(180˘-135˘)

△ABC=;2!;_4_9_'2 =9'2(cm¤ ) 2

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수 학

│80~81^쪽│

01 ⑴ 2'∂10 ⑵ 6'6

02⑴ 50'3 cm¤ ⑵ cm¤

03^{13.8 m} 0450('3-1) m

0510(3+'3 ) m 0635'3 cm¤

07- _6'3 07- _{3'3 cm¤} 07- :™7¢: cm 27'2

2

14

AB”=AD”=4, AE”=4 sin 60˘=4_ =2'3

∠BAE=∠BAD+∠DAE=90˘+30˘=120˘이므로

△ABE=;2!;_4_2'3_sin(180˘-120˘)

△ABE=;2!;_4_2'3_'3=6 2

'3 2

15

ABCD=4_6_sin 45˘=4_6_'2=12'2(cm¤ ) 2

16

ABCD=;2!;_4_4_sin (180˘-120˘) ABCD=;2!;_4_4_'3=4'3(cm¤ )

2

01

⑴ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면

△ABH에서 AH”=4 sin 45˘

AH”=4_ =2'2

BH”=4 cos 45˘=4_ =2'2

CH”=BC”-BH”=6'2-2'2=4'2이므로 △AHC에 서 AC”=øπ(2'2 )¤ +(4'2 )¤ =2'∂10

⑵ ∠B=180˘-(45˘+75˘)=60˘

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면 △BCH에서 CH”=12 sin 60˘=12_ =6'3 따라서 △AHC에서

AC”= =6'3_ 2 =6'6 '2 6'3

sin 45˘

'3 2

45˘

75˘

A

H

B C

12 '2

2 '2

2

45˘

A

B H C

4

6 2

02

⑴ ABCD=10_10_sin 60˘

ABCD=10_10_ =50'3(cm¤ )

⑵ △AED=;2!; ABCD=;2!;_6_9_sin 45˘

⑵ △AED=;2!;_6_9_ =27'2(cm¤ ) 2 '2

2 '3 2

03

⑴ AB”=10 cos 57˘=10_0.54=5.4(m)

⑵ AC”=10 sin 57˘=10_0.84=8.4(m)

⑶ 쓰러지기 전 나무의 높이는 AB”+AC”=5.4+8.4=13.8(m)

04

⑴ ∠APH=60˘이므로 AH”=h tan 60˘='3h(m)

⑵ ∠BPH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(m)

⑶ AB”=AH”+BH”이므로 100='3h+h

∴ h= =50('3-1)

따라서 헬리콥터의 높이는 50('3-1) m이다.

100 '3+1

H 45˘

30˘

P

A B

100###m

05

AD”=h m라고 하면 ∠BAD=45˘이므로

BD”=h tan 45˘=h(m) …… [1점]

∠CAD=30˘이므로

CD”=h tan 30˘= h(m) …… [1점]

BC”=BD”-CD”이므로 20=h- h, {1- } h=20

∴ h= =10(3+'3 )

따라서 건물의 높이는 10(3+'3 ) m이다. ^{…… [3점]}

60 3-'3

'3 3 '3

3 '3

3

06

두 대각선의 교점을 O라고 하면

∠AOB=25˘+35˘=60˘

…… [2점]

∴ ABCD=;2!;_10_14_sin 60˘

∴ ABCD=;2!;_10_14_'3=35'3(cm¤ )^{…… [2점]}

2

25˘ 35˘

A

B C

D 14###cmO 10###cm

07 -

△ABC=;2!;_8_9_sin 60˘

△ABC=;2!;_8_9_ =18'3 ^{…… [2점]}

∴ △AGC=;3!;△ABC=;3!;_18'3=6'3 ^{…… [1점]}

'3 2

07-

△ABC에서

AC”=4 sin 60˘=4_ =2'3(cm) ^{…… [1점]}

AB”=4 cos 60˘=4_;2!;=2(cm) ^{…… [1점]}

∴ ABCD

∴=△ABC+△ACD

∴=;2!;_2_4_sin 60˘+;2!;_2'3_2_sin 30˘

∴=;2!;_2_4_ +;2!;_2'3_2_;2!;

∴=2'3+'3=3'3(cm¤ ) …… [2점]

'3 2

'3 2

07-

AD”=x cm라고 하면

△ABC=△ABD+△ADC이므로 …… [2점]

;2!;_8_6_sin (180˘-120˘)

=;2!;_8_x_sin 60˘+;2!;_x_6_sin 60˘

…… [1점]

;2!;_8_6_ =;2!;_8_x_ +;2!;_x_6_

12'3=2'3x+ x, x=12'3 ∴ x=:™7¢:

∴ AD”=:™7¢:(cm) ^{…… [2점]}

7'3 2 3'3

2

'3 2 '3

2 '3

2

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│84~87^쪽│

➊회

01 ^③ 02^⑤ 03^④ 04^① 05^① 06^① 07^③ 08^③ 09^④

10

^⑤

11

^①

12

^②

13

^④

14

^②

15

^②

16

^③

17

^②

18

^④

19

^①

20

^③

21

^{166 cm}

22

2'2

23

3'2 cm¤

24

;2!;

25

^3'3₂ ^cm¤

│서술형 문제│

01

도수가 가장 큰 계급은 10시간 이상 12시간 미만인 계급이 므로

(최빈값)=10+12=11(시간) 2

02

^(평균)= =;;£5º;;=6(회)

∴ (분산)=

∴ (분산)=;;™5º;;=4

0¤ +1¤ +(-1)¤ +3¤ +(-3)¤

5 6+7+5+9+3

5

03

^{(평균)= =5이므로}

x+y+15=25 ∴ x+y=10 표준편차가 '2, 즉 분산이 2이므로

(분산)= =2

x¤ +y¤ -10(x+y)+58=10

∴ x¤ +y¤ =10(x+y)-48=10_10-48=52 이때 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이므로

52=10¤ -2xy, 2xy=48

∴ xy=24

(x-5)¤ +(-2)¤ +2¤ +0¤ +(y-5)¤

5 x+3+7+5+y

5

04

성적이 가장 고르게 분포된 반은 표준편차가 가장 작은 1반 이다.

06

4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 EFGH는 정사각 형이다.

△ABH에서 BH”="√10¤ -6¤ =8(cm) BE”=AH”=6 cm이므로

EH”=BH”-BE”=8-6=2(cm)

∴ EFGH=2¤ =4(cm¤ )

07

a cm가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되기 위한 조건 에 의하여 7<a<6+7

∴ 7<a<13 yy㉠

둔각삼각형이 되려면 a¤ >6¤ +7¤`, a¤ >85

∴ a>'∂85 (∵ a>0) yy㉡

㉠, ㉡에 의하여 '∂85<a<13

따라서 구하는 자연수 a는 10, 11, 12의 3개이다.

05

x¤ +8¤ =(x+2)¤이므로 x¤ +64=x¤ +4x+4 4x=60 ∴ x=15

08

△AOD에서 AD”="√4¤ +6¤ =2'∂13

∴ AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤

=(2'∂13 )¤ +(3'∂11 )¤ =151

09

정사각형이원에 내접할 때, 정사각형의넓이는 최대가된다.

정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 '2x=30 ∴ x=15'2

따라서 정사각형의 한 변의 길이는 15'2 cm이다.

10

정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a cm라고 하면 a=2'3 ∴ a=4

이때 △ABC의 둘레의 길이는 3_4=12(cm)

따라서 정사각형 DEFG의 한 변의 길이는 12÷4=3(cm) 이므로 DEFG의 대각선의 길이는 '2_3=3'2(cm)

'3 2

11

꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 D라고 하면 △CDB에서 BC”：CD”=2：'3

2'2：CD”=2：'3

∴ CD”='6 (cm)

∴ AC”=2CD”=2_'6=2'6(cm) 30˘

30˘

A B

C D

2 2cm

12

직육면체의 높이를 h cm라고 하면 "√4¤ +√7¤ +h¤ =3'∂10 h¤ +65=90, h¤ =25 ∴ h=5 (∵ h>0)

따라서 직육면체의 높이는 5 cm이다.

13

밑면의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 2p_6_;3!6@0);=2pr ∴ r=2 주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른쪽 그림과 같으므로

(원뿔의 높이)="√6¤ -2¤ =4'2(cm)

∴ (원뿔의 부피)=;3!;_(p_2¤ )_4'2

∴ (원뿔의 부피)=16'2p(cm‹ ) 3

6###cm

2###cm

14

AC”="√2¤ +3¤ ='∂13

① sin A= =

③ tan A=;2#;

④ sin C= =

⑤ cos C= =3'∂13 13 3 '∂13

2'∂13 13 2 '∂13

3'∂13 13 3 '∂13

15

sin A=;5#;이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC에서

AB”="√5¤ -3¤ =4

∴ tan A=;4#;

A B

C 5

3

16

△ABCª△HBA(AA 닮음)이므로 ∠C=x

△ABC에서 BC”="√12¤ +5¤ =13(cm)

∴ sinx+cosx=sin C+cos C=;1!3@;+;1∞3;=;1!3&;

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수 학 17

cos (∠AOB)= = =OB”=0.7193이고 주어진

삼각비의 표에서 cos 44˘=0.7193이므로 ∠AOB=44˘

이때 sin 44˘= = =AB”이므로 AB”=sin 44˘=0.6947

AB”

1 AB”

OA”

OB”

1 OB”

OA”

18

△ACH에서 AH”= =10_ =10'3(m)

△AHB에서 BH”=10'3 tan 45˘=10'3(m)

∴ (건물 Q의 높이)=BC”=BH”+CH”

=10'3+10=10('3+1)(m) 3

'3 10

tan 30˘

19

∠A=180˘-(75˘+45˘)=60˘

꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △BCH에서 BH”=100 sin 45˘

BH”=100_ =50'2(m) 따라서 △ABH에서

AB”= =50'2_ =100'6(m) 3 2 '3 50'2

sin 60˘

'2 2

75˘ 45˘

A H

B C

100###m

20

^{BD”를 그으면}

ABCD

=△ABD+△BCD

=;2!;_5_5_sin(180˘-120˘) +;2!;_5'3_5'3_sin 60˘

=;2!;_5_5_ +;2!;_5'3_5'3_

= +75'3=25'3 4

25'3 4

'3 2 '3

2

60˘

120˘

A

B C

D

5 5

5 3 5 3

22

△ABC에서 AC”="√a¤ +a¤ ='2a ^{…… [1점]}

△ACD에서 AD”=øπ('2a)¤ +a¤ ='3a ^{…… [1점]}

△ADE=;2!;_'3a_a=4'3이므로

a¤ =8 ∴ a=2'2 (∵ a>0) ^{…… [2점]}

21

은지를 제외한 학생 9명의 키의 총합을 A cm라고 하면

=165, A+152=1650

∴ A=1498 …… [3점]

∴ (평균)=1498+162=;;;!1^0^;º;;=166(cm) ^{…… [2점]}

10 A+152

10

23

△BCD는 정삼각형이므로

DM”= _6=3'3(cm) …… [1점]

점 H는 △BCD의 무게중심이므로

MH”=;3!;DM”=;3!;_3'3='3(cm) ^{…… [2점]}

한편, AH”= _6=2'6(cm)이므로 ^{…… [1점]}

△AMH=;2!;_'3_2'6=3'2(cm¤ ) ^{…… [1점]}

'6 3 '3

2

│서술형 문제│

25

정육각형의 대각선을 모두 그으면 정 육각형은 한 변의 길이가 1 cm인 합 동인 6개의 정삼각형으로 나누어진다.

…… [2점]

∴ (정육각형 넓이)

∴=6_{;2!;_1_1_sin 60˘}

∴=6_{;2!;_1_1_ }=3'3(cm¤ ) …… [2점]

2 '3

2

1###cm

24

x¤ -x+;4!;=0에서 {x-;2!;}¤ =0

∴ x=;2!; (중근) ^{…… [2점]}

sin A=;2!;이므로 A=30˘ …… [1점]

∴ cos 2A=cos 60˘=;2!; ^{…… [2점]}

│88~91^쪽│

➋회

01④ 02④ 03② 04③ 05③ 06②

07② 08⑤ 09③

10

④

11

③

12

④

13

⑤

14

④

15

④

16

⑤

17

①

18

④

19

①

20

④

21

⁹

22

;5*; cm

23

^{17 cm}

24

2'2+1

25

12'3 cm¤

3

│서술형 문제│

01

^{중앙값을 구해 보면}

① -1 ② 0 ③ -1 ④ ;2!; ⑤ -1

02

성준이의 음악 성적의 편차를 x점이라고 하면 편차의 합은 0이므로

2+(-3)+0+(-2)+x=0 ∴ x=3

① 석영이와 지수의 성적의 차는 2-(-3)=5(점)

② 편차가 0점이므로 현중이의 성적은 평균과 같다.

③ 성적이 가장 낮은 학생은 지수이다.

⑤ (분산)= =;;™5§;;=5.2

∴ (표준편차)='∂∂5.2(점)

2¤ +(-3)¤ +0¤ +(-2)¤ +3¤

5

03

연속하는 세 자연수를 a-1, a, a+1이라고 하면

(평균)= =a

∴ (분산)=

∴ (분산)=;3@;

{(a-1)-a }¤ +(a-a)¤ +{(a+1)-a }¤

3 (a-1)+a+(a+1)

3

04

^(평균)=

(평균)=;;¡2º0º;;=5(점)

1_2+3_4+5_8+7_4+9_2 20

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(분산)

=

=;2(0^;=4.8

∴ (표준편차)='∂4.8(점)

(-4)¤ _2+(-2)¤ _4+0¤ _8+2¤ _4+4¤ _2 20

06

^△ABC에서

AB”="√10¤ -6¤ =8(cm)

∴ △ABF=△EBC

∴ △ABF=△EBA

∴ △ABF=;2!; ADEB

∴ △ABF=;2!;_8¤

∴ △ABF=32(cm¤ )

A

B

M H C L D E

F G

I 6###cm

10###cm

07

AH”¤ =BH”_CH”이므로 2¤ =1_CH” ∴ CH”=4 따라서 △AHC에서 AC”="√2¤ +4¤ =2'5

09

정사각형의 한 변의 길이를 a라고 하면 △BCD에서

"√(2a)√¤ +a¤ =3'5, '5a=3'5

∴ a=3

08

R=;2!;_(p_10¤ )=50p(cm¤ ) R=P+Q이므로

P+Q+R=2R=2_50p=100p(cm¤ )

10

BH”=x cm라고 하면 CH”=(21-x) cm

△ABH와 △AHC에서 AH”¤ =13¤ -x¤ =20¤ -(21-x)¤

42x=210 ∴ x=5

∴ AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)

11

AB”="√{2-(-1)√}¤ +(0-1)¤ ='∂10 BC”="√(4-2)¤ +√(4-0)¤ =2'5 AC”="√{4-(-1)√}¤ +(4-1)¤ ='∂34

따라서 AC”¤ >AB”¤ +BC”¤ 이므로 ∠B>90˘인 둔각삼각 형이다.

12

EG”=2'2, AG”="√2¤ +2¤ +3¤ ='∂17

△AEG에서 EG”_AE”=AG”_EI”이므로 2'2_3='∂17_EI” ∴ EI”=6'∂34

17

14

△AOB에서 AB”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)

따라서 구하는 단면의 넓이는 p_(3'3 )¤ =27p(cm¤ )

13

AC”=4'2 cm이므로 CH”=;2!;AC”=;2!;_4'2=2'2(cm)

△OHC에서 OH”="√6¤ -(2'2 )¤ =2'7(cm)

∴ △OAC=;2!;_4'2_2'7=4'∂14(cm¤ )

15

^{sin 45˘=} 이므로 2x-15˘=45˘

2x=60˘ ∴ x=30˘

∴ cos x=cos 30˘= '3 2 '2

2

05

△ABC에서 AC”="√10¤ -8¤ =6(cm)

∴ AD”=AC”-CD”=6-4=2(cm)

따라서 △ABD에서 BD”="√8¤ +2¤ =2'∂17(cm)

16

△ABC에서 tan 30˘= =

∴ BC”=8'3(cm)

△ADC에서 tan 45˘= =1 ∴ DC”=8(cm)

∴ BD”=BC”-DC”=8'3-8=8('3-1)(cm) 8

DC”

'3 3 8 BC”

17

45˘<A<90˘일 때, tan A>1이므로 tan A-1>0, 1-tan A<0

∴ "√(tan A-1)¤ -"√(1-tan A)¤

∴=tan A-1-{-(1-tan A)}

∴=tan A-1+1-tan A

∴=0

18

BC”=10 cos 44˘=10_0.7193=7.193

19

AH”=h cm라고 하면 ∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3h(cm)

∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h(cm) BC”=BH”+CH”이므로 10='3h+h, ('3+1)h=10

∴ h= 10 =5('3-1)(cm) '3+1

20

(어두운 부분의 넓이)

=(부채꼴 AOB의 넓이)-△OAB

=p_3¤ _ -;2!;_3_3_sin(180˘-120˘)

=3p-;2!;_3_3_

=3p-9'3(cm¤ ) 4

'3 2 120 360

21

가장 많이 나타나는 값은 7이므로 최빈값은 7권이다.

…… [1점]

(평균)= =7이므로 …… [2점]

40+x=49 ∴ x=9 …… [1점]

7+10+6+7+x+3+7 7

22

AF”=x cm라고 하면 FB”=FD”=(5-x) cm …… [1점]

△ABF에서 3¤ +x¤ =(5-x)¤ …… [2점]

` 10x=16, x=;5*; ∴ AF”=;5*;(cm) ^{…… [1점]}

23

오른쪽 그림과 같이 BC”에 대하여 점 D와 대칭인 점을 D'이라고 하면 DP”=D'P”이 므로

AP”+DP”=AP”+D'P”

æAD'” …… [2점]

점 D'에서 AB”의 연장선에 내린 수선의 발을 B'이라고 하면 BB'”=CD'”=5 cm이므로

AB'”=3+5=8(cm) …… [2점]

따라서 △AB'D'에서

AD'”="√8¤ +15¤ =17(cm) ^{…… [1점]}

A B

P D

B' D' 15###cm C

3###cm 5###cm

│서술형 문제│

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수 학

│92~95쪽│

➌회

01 ② 02② 03④ 04③ 05⑤ 06②

07① 08⑤ 09③

10

④

11

④

12

④

13

②

14

④

15

③

16

⑤

17

④

18

①

19

②

20

④

21

⁷²

22

2'5 km

23

48'3 cm¤

24

'∂13

25

16'2 cm¤

13

│서술형 문제│

24

정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면

AM”=DM”= a …… [1점]

꼭짓점 A에서 △BCD에 내린 수 선의 발을 H라고 하면

AH”= a

MH”=;3!;DM”

MH”=;3!;_ a= a …… [2점]

따라서 △AMH에서 sin x+cos x= +

sin x+cos x= +;3!;=2'2+1 ^{…… [2점]}

3 2'2

3

MH”

AM”

AH”

AM”

'6 3 '3

2 '6

3 _x

A

H C M

B D

'3 2

25

ABCD=4_6_sin (180˘-120˘) …… [1점]

=4_6_'3=12'3(cm¤ ) ^{…… [2점]}

2

01

(평균)= =3630=66(점)

55 30_71+25_60

30+25

02

(평균)=

(평균)= =52(kg)

∴ a=52

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 46, 48, 51, 51, 53, 53, 53, 61이므로 (중앙값)= =52(kg)

∴ b=52

최빈값은 53 kg이므로 c=53

∴ a=b<c 51+53

2 416

8

53+46+48+61+53+51+53+51 8

04

^(평균)=

(평균)=;;™1¶0º;;=27(개)

(분산)=

(평균)=;;•1¡0º;;=81

∴ (표준편차)='∂81=9(개)

(-17)¤ _1+(-7)¤ _3+3¤ _4+13¤ _2 10

10_1+20_3+30_4+40_2 10

03

2학기 기말고사 수학 성적의 편차를 x점이라고 하면 편차 의 합은 0이므로

-5+1+0+x=0 ∴ x=4

따라서 2학기 기말고사의 수학 성적은 86+4=90(점)

05

넓이가 144 cm¤ 인 정사각형의 한 변의 길이는

'∂144=12(cm), 넓이가 64 cm¤ 인 정사각형의 한 변의 길 이는 '∂64=8(cm)이므로 x="√12¤ +(12+8)¤ =4'∂34

06

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

BH”=15-10=5(cm)

△ABH에서

AH”="√13¤ -5¤ =12(cm)

따라서 DC”=AH”=12 cm이므로 △BCD에서 BD”="√15¤ +12¤ =3'∂41(cm)

A

B H C

D

15###cm 13###cm

10###cm

08

⑤ ('∂15 )¤ +4¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

09

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”

에 내린 수선의 발을 H라고 하면 BH”=;2!;BC”=;2!;_6=3(cm)

△ABH에서

AH”="√7¤ -3¤ =2'∂10(cm)

∴ △ABC=;2!;_6_2'∂10=6'∂10(cm¤ ) A

B H C

7###cm 7###cm

6###cm

07

△CBE는 직각이등변삼각형이므로 △CBE=;2!;BC”¤ =2 BC”¤ =4 ∴ BC”=2(cm)(∵ BC”>0)

△ABC에서 AB”="√2¤ -('3 )¤ =1(cm)

∴ ADEC=;2!;_('3+1)_(1+'3)

∴ ADEC=2+'3(cm¤ )

10

△BCD에서 BD” : CD”=2 : '3 BD” : 6=2 : '3 ∴ BD”=4'3(cm)

△ABD에서 AB” : BD”=1 : '2

AB” : 4'3=1 : '2 ∴ AB”=2'6(cm)

11

BG”=GD”=DB”=8'2(cm)이므로 △BGD는 정삼각형 이다.

∴ △BGD='3_(8'2 )¤ =32'3(cm¤ ) 4

12

DM”=;2#;DG”=;2#;_'3= (cm) 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라고 하면

a= ∴ a=3

∴ (정사면체의 부피)= _3‹ =9'2(cm‹ ) 4 '2

12 3'3

2 '3

2

3'3 2

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