상태방정식이 있는 열역학계의 에너지 밀도와 엔트로피

(1)

Vol. 68, No. 5, May 2018, pp. 543∼547 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.68.543

Energy Densities and Entropies of Thermodynamic Systems with Equations of States

Won Sik L’Yi

^∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 28644, Korea (Received 2 March 2018 : revised 19 April 2018 : accepted 24 April 2018)

The temperature dependences of the energy densities and the entropies are found for thermody- namic systems that follow the equation of states p = wρ for the pressure p and the energy density ρ, with w being a constant. When the matter is in a volume V , the general forms of the energy density ρ and the entropy S are ρ = f (T V^w)/V^1+wand S = g(T V^w), where f and g are arbitrary differentiable functions. The cases when the energy density is inversely proportional to or inde- pendent of V are solved. The case when the entropy density is independent of V is also solved.

When the energy density and the entropy density are both independent of V , which are important in cosmology, they are found to satisfy ρ = bT^1+w^w and s = cT^w¹.

PACS numbers: 05.70.-a, 05.70.Ce, 98.80.-k

Keywords: Equation of state, Energy density, Entropy

상태방정식이 있는 열역학계의 에너지 밀도와 엔트로피

이원식

^∗

충북대학교 자연과학대학 물리학과, 청주 28644, 대한민국

(2018년 3월 2일 받음, 2018년 4월 19일 수정본 받음, 2018년 4월 24일 게재 확정)

물질이 가지는 압력과 에너지 밀도에 대한 상태방정식 p = wρ 에서 w 가 상수인 경우에 대해 열역학 제2법칙의 엔트로피 관계식을 풀어 에너지 밀도와 엔트로피의 온도 의존성을 구하였다. 물질의 부피가 V인 경우, 에너지 밀도와 엔트로피는 임의의 미분 가능한 함수 f 와 g 에 의해 ρ = f (T V^w)/V^1+w와

S = g(T V^w) 같은 꼴을 가지는 것을 보였다. 결과의 타당성을 확인하기 위해 에너지 밀도가 부피에

역비례하는 경우와 부피에 무관한 경우에 대해서 에너지 밀도의 일반적인 꼴을 구했고, 엔트로피 밀도가 부피에 무관한 경우도 구했다. 우주론에서 중요한 에너지 밀도와 엔트로피 밀도가 부피에 무관한 경우, 에너지 밀도는 ρ = bT^1+w^w 와 같은 꼴을 가져야 하며, 엔트로피 밀도는 s = cT^w¹와 같은 꼴을 가져야 함을 확인하였다.

PACS numbers: 05.70.-a, 05.70.Ce, 98.80.-k Keywords: 상태방정식, 에너지밀도, 엔트로피

∗E-mail: [email protected]

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(2)

I. 서 론

우주에는 많은 종류의 물질들이 존재하는데, 우리가 알고 있으며 이해하는 물질은 매우 작은 부분에 해당한다. 예를 들어 아직도 그 본질을 정확히 이해하지 못하는 암흑 에너 지는 우주 전체 물질의 약 68%를 차지하고, 암흑 물질은 약 27%를 차지하는 것으로 알려져 있다 [1–4]. 아인슈타인이 도입한 우주론적인 상수는 암흑 에너지의 한 형태일수도 있으며, 우주의 가속 팽창에 중요한 역할을 한다 [2,5,6].

이러한 물질들은 그 본질이 아직까지 정확히 밝혀지지 않았 기 때문에 물질들이 가지는 통계물리학적 성질들을 알기는 어렵다 [7].

미지의 물질을 이해하는데 있어서 도움을 줄 수 있는 물 리학의 분야는 열역학이다. 열역학은 물질의 본질과 무관 하게 보편적으로 적용되는 것으로서, 모든 물질이 만족하는 에너지 보존법칙과 미시적 정보 혹은 무질서도의 존재에 바탕을 둔다. 그러므로 암흑 에너지나 암흑 물질과 같이 그 본질이 명확하게 밝혀지지 않은 물질을 이해하는데는 열역학의 도움을 받을 수 있다 [8].

특히 물질들은 에너지 밀도와 압력을 가지는데, 이 두 물리량은 차원이 같고 또 에너지-운동량 보존법칙이란 관계 식으로 엉켜져 있기 때문에 이들 사이에는 p = wρ 와 같은 관계식이 존재한다. 그러므로 이 관계식을 열역학 법칙에 적용하면 어떠한 물질이든지 그 물질의 열적 성질을 이해할 수 있는 실마리를 얻는다 [9].

본 논문에서는 물질의 보편적인 상태방정식 p = wρ 에서 w가 일정한 경우 열역학 제2법칙의 엔트로피 관계식 T dS

= dU + pdV 에 이를 적용한 다음, 이 미분 형태의 식을 해석적으로 정확히 풀고자 한다. 엔트로피 관계식에 따르면 형식상 변수는 (S, U, V ) 와 같이 세 개가 존재하지만, 한 개의 제약 조건이 존재하기 때문에 독립변수의 수는 두 개 이다. 그러므로 T dS = dU + pdV 은 두 개의 미분방정식을 준다.

제 III장과 제 IV장에서는 이 미분방정식을 해석적으로 풀어서 에너지 밀도와 엔트로피의 온도 의존성을 구했다.

제 V장에서는 이상기체, 등방형 전자기복사, 그리고 우주 론적인 상수로 주어지는 에너지 밀도등과 같은 특수한 예에 대해서 얻은 풀이의 타당성을 검토하였다. 결론은 제 VI 장에 정리하였다.

II. 물질의 상태방정식과 열역학 방정식

물질이 가지는 압력 p 와 에너지 밀도 ρ 는 차원이 같다.

그러므로 물질의 상태방정식을

p = wρ (1)

라 둘 때 w 는 차원이 없다. 예를 들어 자유도가 f0인 다원자 분자 N 개로 이루어진 이상기체의 부피와 온도가 각각 V 및 T 이고, 에너지를

E = N f₀1

2kT (2)

라 하고 이를 상태방정식

pV = N kT (3)

에 적용하면 w = 2/f0인 것을 알 수 있다.

한 편, 상 대 성 이 론 에 서 에 너 지- 운 동 량 스 트 레 스 텐 서 T^µν는 대 칭 텐 서 이 므 로 이 를 대 각 화 하 여 T^µν = diag (ρ, p1, p₂, p₃)라 할 때, 등방적인 물질 분포의 경우에는

T^µν = diag (ρ,−p, −p, −p) (4)

이다. 이를 전자기 복사에 적용해 보면, 광자의 질량은 없기 때문에 로렌츠 불변인 T^µµ도 영일수 밖에 없다. 즉 T_µ^µ

= 0이다. 그러므로 p = ρ/3 이고, 그래서 등방적인 전자 기 복사의 경우는 w = 1/3 이다. 만일 전자기 복사가 한 쪽 방향, 예를 들어 x 좌표 방향으로만 쪼여진다면 T_ν^µ = diag (ρ,−p, 0, 0) 이고, 이 경우는 p = ρ이며, 그래서 w = 1 이다.

일반상대론적 우주론에서 우주론적 상수 Λ 가 존재할 경우

T^µν = Λ δ^µν

= diag (Λ, Λ, Λ, Λ) (5)

인데, 이를 식 (4) 와 비교해 보면 p =−ρ 이므로 w = −1 이다. 이 음의 압력은 우주의 가속팽창의 근원이 됨은 잘 알려져 있다 [2,5,6].

상태방정식에 나오는 w 는 ρ 의 함수일 수 있으나 위에서 예를 든 모든 경우에서 w 는 ρ 에 무관한 상수이다. 그래서 w가 상수라 가정하고 열역학 제2법칙의 엔트로피 관계식 T dS = dU + pdV 에서 내부에너지를 U = ρV 라 하고 p = wρ을 사용하면 다음과 같은 기본 방정식을 얻는다.

T dS = (1 + w)ρdV + V dρ (6)

이 식은 정확히 풀 수 있는데, 이는 다음 장에서 보였다.

(3)

III. 에너지 밀도의 온도 의존성

기본식 (6) 에서 T 가 일정하다 하고 부피 V 에 대한 변화 를 살펴보면

T (∂S

∂V )

T

= (1 + w)ρ + V (∂ρ

∂V )

T

(7)

과 같은 식을 얻을 수 있다. 잘 알려진 Maxwell 관계식¹ (∂S

∂V )

T

= (∂p

∂T )

V

(8)

에 상태방정식 식 (1) 을 사용하면 식 (7) 은 다음과 같이 된다.

wT (∂ρ

∂T )

V

= (1 + w)ρ + V (∂ρ

∂V )

T

(9)

이 식을 ρ 로 나누면

w

(∂ log ρ

∂ log T )

V

= (1 + w) +

(∂ log ρ

∂ log V )

T

(10)

와 같이 되는데, 이를 다시 정리하면 다음과 같다.

(∂ log(ρV^1+w)

∂ log T )

V

=

(∂ log(ρV^1+w)

∂ log V^w )

T

(11)

이 식은

∂ψ

∂x =∂ψ

∂y (12)

와 같은 형태를 가지고 있는데, 새로운 변수 z+= x + y와 z₋ = x−y 를 도입하면_∂z^∂₋ψ = 0으로 줄어든다. 그러므로 식 (12)의 일반적인 풀이는 ψ(x, y) = ψ(x+y)이다. 결국 식 (11) 의 일반적인 풀이는 log(ρV^1+w) = ψ(log T + log V^w) 이고, 그래서 에너지 밀도는

ρ = f (T V^w)

V^1+w (13)

와 같은 꼴을 가지게 된다는 것을 알 수 있다. 여기서 f 는 미분 가능한 일반적인 함수이다.

1엔트로피 관계식 T dS = dU + pdV 는 수학적으로 1-form 식이라 할 수 있는데, d²= 0을 사용하면 dT∧ dS = dp ∧ dV 라는 2-form 관계식을 얻는다. 한편 열역학계의 일반적 독립변수를 (x, y) 라 하면 dT∧ dS

= ^{∂(T ,S)}_∂(x,y)dx∧ dy 이 되는데, 여기서^{∂(T ,S)}_∂(x,y) = _∂x^∂T^∂S_∂y −^∂T_∂y^∂S_∂x이다.

같은 방법으로 dp∧ dV =^{∂(p,V )}_∂(x,y)dx∧ dy 이므로 엔트로피 관계식에서

∂(T ,S)

∂(x,y) = ^{∂(p,V )}_∂(x,y)를 얻는다. 본문에서 사용된 Maxwell 관계식 (8) 은 x = T와 y = V 를 택하면 얻게 된다.

IV. 엔트로피의 온도 의존성

상태방정식을 만족하는 열역학계에서, 엔트로피의 온도 의존성을 구하기 위해 기본식 (6)에서 V 가 일정하다고 하고 상태방정식 (1) 을 사용하면 다음을 얻는다.

T (∂S

∂p )

V

= V

w (14)

여기에 Maxwell 관계식² (∂S

∂p )

V

=− (∂V

∂T )

S

(15)

을 사용하면 식 (14) 은

T (∂V

∂T )

S

=−V

w (16)

이 된다. 이 식은 다시

( ∂log V^w

∂ log T⁻¹ )

S

= 1 (17)

와 같이 정리 되는데, 일반적인 풀이는 임의의 함수 φ 에 의해

T V^w= φ(S) (18)

와 같이 표현된다. 이 식을 엔트로피 S 에 관한 식으로 나타 내면

S = g(T V^w) (19)

와 같이 되는데, 여기서 g 는 미분 가능하다는 조건만 충족 되기만 하면 되는 일반적인 함수이다.

특히 식 (13) 와 식 (18) 를 결합하면 임의의 함수 h 를 사용하여

ρV

T = h(S) (20) 와 같은 결과도 얻을 수 있다.

V. 특수한 경우의 예

지금까지 구한 에너지 밀도 관계식 (13) 과 엔트로피 관 계식 (19) 의 온도 의존성이 타당한가를 확인하기 위해서 다음과 같은 특수한 경우에서 이를 확인해 보자.

2엔트로피 관계식에서 얻은 Jacobian 관계식 ^{∂(T ,S)}_∂(x,y) = ^{∂(p,V )}_∂(x,y)에서 x = V와 y = S 를 택한 후, 얻은 식의 역을 취하면 식 (15) 가 된다.

(4)

1. 에너지 밀도가 부피에 역비례하는 경우

ρ∝ 1/V 인 경우, 식 (13) 의 함수 g 는 g(x) = ax 와 같은 선형함수일 수 밖에 없고, 그래서

ρ = aT

V (21)

이다. 예를 들어 에너지가 식 (2) 로 표현되는 이상기체의 경우, 이상기체 상태방정식 (3) 을 사용하면 a = 1

2N kf0

일때 식 (21) 는 만족됨을 알 수 있다.

2. 이상기체의 엔트로피

우리가 구한 식 (19) 에 따르면 엔트로피는 T V^w의 함수 이다. 이를 확인하기 위해 이상기체의 엔트로피를 구해보 자. 이상기체의 경우, 식 (2) 과 식 (3) 에 의해 열역학 제2 법칙의 엔트로피 관계식은

T dS = N kf₀

2 dT + N kT dV

V (22)

이 된다. 이 식을 적분하면 엔트로피는

S = N k (f0

2 log T + log V )

+ const. (23)

혹은

S = N kf₀ 2 log(

T V^f0² )

+ const. (24)

이다. 이상기체의 경우 w = 2/f0이므로 엔트로피는 실제 로 T V^w의 함수인 것을 확인할 수 있다.

3. 에너지 밀도와 엔트로피 밀도가 부피에 무관한 경우

광자의 수가 고정되지 않은 등방적 전자기 복사의 경우나 우주론적 상수에 의한 압력의 경우에는 밀도, 즉 에너지 밀도나 엔트로피 밀도를 고려하는 것이 자연스럽다.

우선 에너지 밀도가 부피에 무관한 경우를 생각해 보자.

이 경우 식 (13) 에서 사용된 함수 f 는 f (x) = b x^1+w^w 꼴일 수 밖에 없다. 여기서 b 는 상수이다. 그러면 에너지 밀도는 다음과 같이 결정된다.

ρ = b, T^1+w^w (25)

한편 엔트로피 밀도를 s = S/V 라 두고 s 가 V 에 무관 하다고 하면, 엔트로피에 관한 일반식 (19) 의 함수 g 는

g(x) = c x^w¹와 같은 꼴을 가져야 한다. 여기서 c 는 상수이 다. 그래서 엔트로피 밀도는

s = c, T^w¹ (26)

와 같다.

예를 들어, 등방적인 전자기 복사의 경우는 w = 1/3 이므로 에너지 밀도와 엔트로피 밀도의 온도 의존성은

ρ ∝ T⁴ (27)

s ∝ T³ (28)

와 같이 주어지는데, 이러한 사실은 잘 알려져 있다 [10].

한편, 우주론적인 상수에 의한 경우는 w =−1 이므로 식 (25) 와 식 (26) 은 다음과 같이 된다.

ρ = const. (29)

s ∝ T⁻¹ (30)

실제로 식 (5) 에서 ρ = Λ 이기 때문에 에너지 밀도는 상수 이다. 보통 물질의 경우, 온도가 올라가면 엔트로피 밀도는 증가하기 때문에 식 (30) 는 다소 특이한데, 이것은 우주론적 상수는 음압을 주기 때문이다. 즉 p = wρ 에서 양의 압력의 경우는 w > 0 이기 때문에 식 (26) 의 엔트로피 밀도는 온 도에 따라 증가하지만, 음압의 경우는 w < 0 이고, 그래서 엔트로피 밀도는 온도가 올라가면 감소한다.

VI. 결 론

우주에 있는 물질들의 형태는 다양하여 그 본질을 아직 잘 이해하지 못하는 것이 많는데, 암흑 물질이나 암흑 에너 지가 그러하다. 이러한 물질들이 존재하고 있음은 알려져 있지만 어떤 종류인지는 모른다. 그렇지만 물질들은 압력 p 와 에너지 밀도 ρ 를 가지고 있고, 또한 이들은 차원이 같이 때문에 p = wρ 라 두고 모든 물질에 적용되는 열역학 제2 법칙의 엔트로피 관계식을 사용하면 에너지 밀도와 엔트로 피의 온도 의존성을 알아낼 수 있다는 사실은 미지의 물질을 이해하는데 도움을 주리라고 생각된다.

상태방정식의 비례 상수 w 가 상태 변수의 함수인 경우, 식 (16) 를 적분할 때 이를 고려하면 될 것이다. 이것은 w 가 변수들로 어떻게 표현되어지는가에 따라 적분이 쉬울 수도 있고 그러하지 않을 수도 있다. 한편 식 (10) 의 적분에서도 w가 변수들로 어떻게 표현되어지는가에 간단한 답을 얻을 수도 있지만 그렇지 않을 수도 있다. 그러나 원칙적으로는 가능할 것이다.

(5)

만일 우주에 우주론적인 상수에 의한 에너지 밀도만 있었 다면, 빅뱅 초기의 매우 고온 상태에서는 s∝ 1/T 에 의해 엔트로피 밀도가 매우 작았었다. 그러나 엔트로피 증가라는 열역학 제2법칙에 의하면 엔트로피는 증가하는 것이 자연 스러운 경향인데, 그러려면 우주는 식어져야 한다. 이것은 우주가 팽창하면서 가능해진다고 볼 수 있다.

에너지 밀도와 엔트로피를 구하는데 있어서 w 가 상수라 는 가정을 사용하였지만, 좀 더 일반적인 경우에 대해서는 이와 비슷한 방법으로 연구할 수 있을 것이다.

감사의 글

이 논문은 2018학년도 충북대학교 연구년제 지원에 의하 여 연구되었습니다 (This work was conducted during the research year of Chungbuk National University in 2018).

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