Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표
이문배
건국대학교 수학과
Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표
Contents
9.1 매개변수방정식으로 정의된 곡선
9.2 매개변수곡선에 대한 계산법
아래 그림과 같이 곡선 C를 따라 움직이는 한 질점을 생각하자. C는 y = f (x)의 형태로 나타낼 수 없다.
x와 y가 소위매개변수라 불리는 제 3의 변수 t의 함수로서 방정식 x = f (t), y = g(t)
로 주어졌다고 가정하자. 이런 방정식을매개변수방정식이라부른다. 각 t의 값들은 점 (x, y)를 결정하고 좌표평면에 이 점들을 그릴 수 있다. t가 변할 때 점 (x, y) = (f (t), g(t))도 변하고 그 자취를 따라 곡선 C가 그려진다. 이 곡선을매개변수곡선이라 부른다.
Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표 9.1 매개변수방정식으로 정의된 곡선
Example
매개변수방정식 x = t2–2t, y = t + 1로 정의된 곡선을 그리고 이를 확인하여라.
풀이.
매개변수방정식은 언제 질점이 특정한 위치에 있었는지를 알 수 있는 장점이 있다. 또한 운동의 방향도 알려준다.
Example
매개변수방정식 x = cos t, y = sin t (0 ≤ t ≤ 2π)에 의하여 나타내어지는 곡선은 무엇인가?
풀이.
Example
매개변수방정식 x = cos(−2t), y = sin(−2t) (0 ≤ t ≤ π)에 의하여 나타내어지는 곡선은 무엇인가?
풀이.
위의 두 예제는 매개방정식의 다른 집합이 같은 곡선을 나타낼 수 있다는 것을 보여준다. 따라서 우리는 점의 집합인 곡선과 점들이 특별한 순서를 따라 그 자취가 그려지는 매개변수곡선을 구별하기로 한다.
Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표 9.1 매개변수방정식으로 정의된 곡선
Example
원의 반지름이 r이고 원이 x축을 따라 구르고 점 P 의 한 위치가 원점일 때 cycloid의 매개변수방정식을 구하여라.
풀이. http://www.ies.co.jp/math/java/calc/cycloid/cycloid.html
Remark
▶ Bernoulli는 점 A 와 B를 잇는 가능한 모든 곡선들 중에서 만일 그 곡선이 cycloid 를 뒤집어 놓은 형태일 때 질점은 점 A 부터 B까지의 최단시간에 미끄러져 갈 것이라는 사실을 밝혀냈다.
▶ 네델란드 물리학자 호이겐스는 cycloid 가 또한 등시곡선 문제에 대한 해라는 것을 이미 밝혀냈다. 즉, 한 질점 P 가 거꾸로 된 cycloid 위의 어느 곳에 있던지 상관없이 바닥까지 미끄러져 내려가는데 똑같은 시간이 걸린다는 것이다.
Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표 9.2 매개변수곡선에 대한 계산법
11.1절 에서 매개변수방정식 x = f (t), y = g(t)로 정의된 어떤 곡선들은 또한 매개변수를 제거하여 y = F (x)형태로 표현될 수 있다는 것을 알았다. 방정식 y = F (x)에 x = f (t)와 y = g(t)를 대입하면 g(t) = F (f (t))가 되고 g, F, f 가 미분가능하면 연쇄 법칙에 의하여
g′(t) = F′(f (t))f′(t) = F′(x)f′(t) 를 얻는다. f′(t) ̸= 0이면 F′(x)에 대해 풀 수 있다. 즉,
F′(x) = g′(t) f′(t) Remark
▶ 곡선 y = F (x) 위의 점 (x, F (x))에서의 접선의 기울기가 F′(x)이기 때문에 위 방정식은 매개변수를 소거하지 않아도 매개변수곡선에 대한 접선을 구할 수 있게 해 준다.
▶ 라이프니츠 표기법을 사용하여 기억하기 쉬운 꼴로 다시 쓸 수 있다.
dy dx =
dy dt dx dt
if dx dt ̸= 0
▶ dy/dt = 0 (만일 dx/dt ̸= 0라면)일 때 곡선은 수평접선을 갖는다.
▶ dx/dt = 0 (만일 dy/dt ̸= 0라면 )일 때 곡선은 수직접선을 갖는다.
Example
곡선 C는 매개변수방정식 x = t2, y = t3–3t에 의하여 정의된다.
1. C가 점 (3, 0)에서 접선의 방정식을 구하여라.
2. 접선이 수평이거나 수직인 C 위의 점들을 구하여라.
3. 곡선이 위 또는 아래로 오목인 곳을 결정하여라.
4. 이 곡선을 그려라.
풀이.
Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표 9.2 매개변수곡선에 대한 계산법
Example
1. θ = π/3 인 점에서 cycloid x = r(θ– sin θ), y = r(1– cos θ)에 대한 접선을 구하여라.
2. 어느 점에서 접선이 수평이거나 수직인가?
풀이.
F (x) ≥ 0일 때 a에서 b까지의 곡선 y = F (x) 아래의 넓이는 A =
Z b a
F (x) dx 임을 알고 있다.
만약 그 곡선이 매개변수방정식 x = f (t)와 y = g(t), α ≤ t ≤ β로 주어지고 t 가 α에서 β까지 증가할 때 그 그래프가 꼭 한번만 가로지른다면 정적분에 대한 치환 적분법을 이용하여 앞의 공식을 수정할 수 있다. 즉,
A = Z β
α
y dx = Z β
α
g(t)f′(t) dt
Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표 9.2 매개변수곡선에 대한 계산법
Example
Cycloid x = r(θ– sin θ), y = r(1– cos θ)의 한 아치 밑의 넓이를 구하여라 풀이.
Theorem
곡선 C가 매개변수방정식 x = f (t), y = g(t), α ≤ t ≤ β로 주어지고 f′와 g′ 는 [α, β]에서 연속이고 t가 α에서 β로 증가할 때 C는 꼭 한 번 가로지른다면 C의 길이는
L = Z β
α
s
dx dt
2
+ dy dt
2
dt 이다.
증명. [α, β]를 폭이 ∆t로 동일한 n개의 소구간으로 분할하자. t0, t1, · · · , tn
을 이 소구간들의 끝점이라 하면 xi= f (ti)와 yi= g(ti)는 C 위에 놓인 점 Pi(xi, yi)의 좌표이다. 8.1절에서처럼 C의 길이 L을 n → ∞일 때 이 들 근사 다각형의 길이의 극한으로 정의한다.
L = lim
n→∞
n
X
i−1
|Pi−1Pi|
Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표 9.2 매개변수곡선에 대한 계산법
[ti–1, ti] 위의 함수 f 에 평균값 정리를 적용하면 적당한 실수 t∗i 가 (ti–1, ti) 내에 존재하여
f (ti)–f (ti–1) = f′(t∗i)(ti–ti–1)
를 만족한다. ∆xi= xi–xi–1라 놓으면 위 식은 ∆xi= f′(t∗i)∆t 가 된다. 같은 방법으로 g에 적용했을 때 평균값 정리로 부터 적당한 실수 t∗∗i 가 (ti–1, ti) 내에 존재하여 ∆yi= g′(t∗∗i )∆t를 만족한다. 그러므로
|Pi−1Pi| = q
(∆xi)2+ (∆yi)2 = q
[f′(t∗i) ∆t]2+ [g′(t∗i∗) ∆t]2
= q
[f′(t∗i)]2+ [g′(t∗i∗)]2∆t
따라서
L = lim
n→∞
n
X
i=1
q
[f′(t∗i)]2+ [g′(t∗i∗)]2∆t 위 식의 합은 함수p[f′(t)]2+ [g′(t)]2에 대한 리만합과 비슷하나,
일반적으로 t∗i ̸= t∗∗i 이기 때문에 정확히 리만합은 아니다. 그럼에도 불구하고 f′과 g′이 연속이면 위 식에서의 극한은 t∗i와 t∗∗i 가 같을 때의 극한과 일치함을 밝혀낼 수 있다. 즉,
L = Z β
α
q
[f′(t)]2+ [g′(t)]2dt
Example
x = cos t, y = sin t (0 ≤ t ≤ 2π)로 기술되는 곡선의 길이를 구하시오.
풀이.
Example
Cycloid x = r(θ– sin θ), y = r(1– cos θ)의 한 개의 반원형의 호의 길이를 구하시오.
풀이.
