머리말
‘구조방정식모형’은 꽤 넓은 영역에서 사용되고 있다. 크게 둘로 영역을 분류한다면, 실무중심의 연구영역과 학술적 연구영역으로 나뉠 수 있다.
구조방정식모형은 추정(estimation)과 풀이 (solving)로 이루어지는데, 추정에 관한 내용은 계량경제학에서 다루고 있으며, 풀이에 대해서 는 수리경제학이나 이론경제학에서 다루고 있 다. 실무중심의 연구들은 추정과 풀이에 모두 관 심을 갖되 엄밀성(rigorous)에 대해서는 관대한 편이다. 그러나 학술적인 연구들은 추정과 풀이 중 한쪽에 집중하는 경향이 있다. 즉 계량경제학 자들은 추정에 집중하고 이론경제학자들은 풀이 에 집중한다. 한쪽에 집중하는 대신 엄밀성을 중 시한다.
대표적인 실무중심 연구로는 예측모델을 들 수
있다. 구조방정식모형을 지원하는 대표적인 소프 트웨어인 AREMOS를 만든 DRI-WEFA라는 기 관이 있는데 이곳에서는 각국의 경기전망치를 정 기적으로 발표하고 있으며, 이 전망치를 산출하는 데 구조방정식모형을 사용한다. 우리나라에서도 한국개발연구원과 한국은행 등에서 경기전망을 위한 구조방정식모형을 운영하고 있다.
구조방정식모형으로 불리는 또 다른 형태의 모 형이 있다. 설문조사 자료를 근간으로 한 형태의 모형이다. 통상적으로 설문의 응답률과 회수율을 높이기 위해서 척도형 설문을 많이 사용하게 되는 데 이렇게 구한 값들은 불연속적인 성질을 갖는 다. 따라서 고전적 계량경제모형의 가정 중 동분 산성이 깨지게 된다. 이런 문제를 해결하기 위해 요인분석을 통해 연속적인 형태의 요인점수를 도 출하고 요인점수 간의 인과관계를 계량적으로 풀 어가고자 하는 접근방법이다. 결국 요인점수를 추 알기 쉬운 연구방법론 �
구조방정식모형:
데이터를 이용한 체계적 효과분석 및 전망
김민철｜국토연구원 책임연구원
추정과 풀이 중에서 먼저 푼다는 의미에 대해서 살펴보자. 구조방정식을 푼다는 의미를 가장 알기 쉽게 이해하려면 중학교 시절에 배우게 되는 연립 방정식을 연상하면 된다.
<식 1>
위 식에서 , 는 우리가 풀어야 하는 변수 로 내생변수라 한다. 는 초기값을 결정하는 것 으로 외부에서 주어지며 외생변수라 한다. 그리고 부터 까지는 시스템의 성질을 결정짓는 값들 로 이미 알고 있거나 주어지며 모수(parameter)라 한다. 모수값을 알고 있고 외생변수값이 주어져 , 를 구하는 것은 이원일차 연립방정식을 푸 는 것과 같다. 결국 구조방정식모형을 푼다는 것 은 연립방정식을 푸는 것과 같다고 할 수 있다. 이 렇게 간단한 형태로 설명이 되는 예를 현실에서 찾아 볼 수 있다.
대표적으로 경제학에서 많이 사용되는 수요- 공급 모형이 여기에 해당한다. , 는 각각 사 과 생산[소비]량, 배 생산[소비]량이고, 는 주 어진 소득이다. 는 사과의 가격, 는 배의 가격 이다. 는 사과의 생산비이고 는 배의 생산비 다. 이렇게 놓고 보면 <식 1>은 로빈슨 크루소가
화, 케이크 등 수많은 재화들이 존재한다. 많은 재 화들을 모두 고려하려면 내생변수와 방정식의 수 가 고려하고자 하는 재화의 수만큼 증가하면 된 다. 그리고 이런 문제 역시 간단히 역행렬을 구하 는 것만으로도 쉽게 풀 수 있다.
구조방정식모형이 이렇게 간단하다면‘모형’
이라고 하거나 컴퓨터로 프로그래밍을 하는 거창 한 수고를 할 필요가 없다. 불행히도 현실은 <식 1>과 같이 단순한 형태로 설명이 잘 되지 않는 경 우가 대부분이다.
실질적으로 모형이 복잡해지는 단계는 비선형 성이 나타나면서부터다. <식 1>에서는 사과와 배 의 단위당 생산비가 일정하다고 하였다. 그러나 실제로는 많은 양을 생산하다보면 평균생산비가 줄어드는 규모에 대한 수확체증 현상이 발생하는 경우가 많다. 구내식당을 경영한다고 할 때, 일정 식수 인원이 되지 않으면 입점하고자 하는 외식업 체들이 없으므로 외주를 줄 수 없고 직영을 해야 한다. 그때까지는 규모에 대한 수확체감이 존재한 다고 보면 된다. 그러다가 직영하는 것과 외주를 주는 것이 별 차이가 없는 식수 인원이 있을 수 있 다. 이 경우가 규모에 대한 수익불변의 상태다. 그 리고 일정 수의 식수 인원을 초과하면 외식업체들 이 경쟁적으로 입점하고자 한다. 이런 상태를 규 모에 대한 수확체증 상태로 보면 된다. 엄밀히 말 하면, 생산량 증가에 따라 평균비용이 증가하면
알기 쉬운 연구방법론 �
수확체감, 불변이면 수확불변, 그리고 감소하면 수확체증이다.
사과를 생산하는 기술이 수확체증이고 배를 생 산하는 기술은 수확불변이라면 <식 2>와 같은 형 태로 구조모형을 구성할 수 있다.
여기서, ,
<식 2>
는 생산에 필요한 자본으로 외생변수이며, 은 생산에 필요한 노동력으로 내생변수다. 즉 삽과 괭이 등 일정한 장비를 보유하고 있는 로빈 슨 크루소가 몇 시간이나 일해서 사과와 배를 얼 마나 생산해야 하는가의 문제가 된다. 이렇게 놓 고 보면 미지수가 , 그리고 이고 방정식이 세 개인 연립방정식 형태다. 그러나 <식 1>과 다 른 점은 비선형이라는 점이다. 따라서 크래머 공 식을 적용하여 역행렬을 한 번만 구해주는 방법으 로 해를 구할 수 없다. <식 2>는 비교적 단순하므 로 종이에 수식을 푸는 형식으로 분석적 (analytical) 해를 구할 수 있다. 그러나 비선형이 포함된 형태의 방정식과 미지수가 조금만 더 늘어 나더라도 분석적 해를 구할 수 없게 된다. 이럴 경 우 수치적(numerical) 해를 구할 수밖에 없으며, 이때 비로소 구조방정식모형의 의의가 발생하게 된다.
비선형성보다 문제를 더욱 복잡하게 만드는 요
소가 있는데 바로 시간(time)이 개입됨으로 인한 동태성(dynamics)이다. 만일 로빈슨 크루소에게 사과나무와 배나무가 있어서 평생동안 이것을 팔 아서 소득을 올릴 수 있다면, <식 2>의 ①은 다음 과 같이 바뀌게 된다.
즉 평생지출과 평생소득이 같아야 한다는 의미 다. 또한 자본은 시간이 지남에 따라 마모되어 감 가상각이 발생한다. 이와 같은 상황을 모두 감안 하여 모형을 새롭게 구성해 보면 다음과 같다.
여기서, , , given
<식 3>
는 자본의 감가상각률이다. t=1이라는 시점 에 삽과 괭이를 만큼 갖고 있는 로빈슨 크루소 가 매기 율로 삽과 괭이가 마모되는 것을 감안하 면서 평생동안 먹을 만큼 적절히 매일의 사과와 배의 생산 및 소비량을 결정하고 이를 위해 매기 에 얼마나 일을 해야 할 것인지를 결정하는 문제 가 된다. 이쯤되면 문제를 풀고 싶은 마음이 싹 가 시게 된다. <식 3>과 같은 형태를 비선형연립차분
론을 중심으로 발전하였다. 통상적으로 구조방정 식모형의 풀이를 제공하는 소프트웨어에서는 Gauss-Seidel방법을 사용한다.
마지막으로 한 가지 더 고려할 요소는 불확실 성과 예측이다. 이 중에서 불확실성은 구조모형에 서 다루지 않고 있으나 예측의 문제는 다루고 있 다. <식 3>의 ⑤에서는 미래의 소득을 완전히 알 고 있는 것처럼 가정한 경우라 할 수 있다. 그러나 실제로는 그렇지 않으므로 사안별로 예측에 대한 가정을 해야 한다. 예측이 모형을 구성하는 과정 을 복잡하게 만들지만, 일단 예측 기제가 결정되 고 나면 <식 3>과 같은 형태로 귀착된다. 따라서 예측기제는 동태성이라는 성질에 포함되는 문제 라 할 수 있다.
구조방정식모형의 추정
풀이(solving)에서 알고 있는 것으로 가정하였던 모수값들을 구하는 과정이 추정(estimation)이다.
풀이과정은 다분히 기계적인 성질이 있다. 따라 서 특별히 논쟁거리가 되지 않는다. 그러나 추정 은 그렇지 않다. 불편성과 일치성을 충족시키는 추정치인지 그렇지 않은지가 중요하기 때문이다.
통계적으로 추정치의 평균이 모수값과 같아지는 것을 불편성(unbiasedness) 혹은 일치성 (consistency)이라 하고 추정치의 분산이 크지 않
Unbiased Estimator)다.
학술적인 글일수록 추정치의 일치성과 효율성 충족 여부를 중시한다. 노동공급함수를 예로 들 어 보자. 노동공급함수의 탄력치가 1보다 커서 탄력적이라면 고전학파의 견해가 맞고, 1보다 작 아서 비탄력적이라면 케인즈학파의 견해가 맞다 는 결론에 이르게 되어 경제현상을 설명하고 정 책을 수립하는 데 본질적인 차이를 가져올 수 있 다. 따라서 고전학파의 견해를 지지하는 학자들 은 노동공급의 임금에 대한 탄력성이 1보다 크다 는 것을 계량경제학적으로 엄밀하게 보여주고자 노력하며, 이때 일치성과 효율성을 충족시키고 있음을 논리적으로, 실증적으로 보여줘야 한다.
그중에서도 일치성의 충족여부는 일차적으로 만 족되어야 한다. 그런데 일치성이 깨지는 중요한 이유가 내생성(endogeneity)이고 내생성 문제를 해결할 수 있는 방법이 도구변수(instrument variable)를 사용하는 방법과 구조모형(연립방정 식모형: simultaneous equations model)을 구축하 는 것이다.
내생성으로 인한 편의(bias)의 대표적인 예를 살펴보자. 사회간접자본(Social Overhead Capital:
SOC)투자가 경제성장에 기여하는지, 기여한다면 얼마나 기여하는지를 알고자 한다. 이때 쉽게 할 수 있는 방법이 국내총생산을 SOC투자로 단순회 귀하는 것이다. 그러나 이렇게 구한 계수값은
SOC투자가 국내총생산에 기여하는 정도를 과대 추정할 수 있다. 왜냐하면 소득수준이 높을수록 SOC에 대한 중요성을 더욱 절실히 인식하게 되 고 그만큼 SOC투자를 많이 하기 때문이며, 이 부 분이 단순회귀 추정치에 포함되어 편의(bias)를 유발하게 된다. 이 문제를 해결하기 위해서는 [SOC 투자 → 국내총생산]과 [국내총생산 → SOC투자]의 영향을 동시에 추정해야 한다. 이때, 구조방정식모형(연립방정식모형)을 구성하고 간 접추정법이나 2단계추정법을 이용한다. 그런데 내생성이 두 변수 간에만 존재하는 것은 아니다.
앞의 예에서‘SOC에 대한 의식수준’이라는 변수 가 별도로 존재한다면, 이때는 세 변수 사이에 순 환적인 내생성이 존재하는 셈이다.
실무적인 연구에서는 현실에 존재하는 다양한 순환적 인과관계를 모두 고려하는 것이 중요하다.
그러나 학술적인 연구에서는 중요한 인과관계를 추출하여 엄밀하게(rigorously) 내생성을 제거하 는 것이 중요하다. 이런 견해차이로 인해 실무적 인 연구에서는 추정의 엄밀성은 포기하되 모형의 크기를 충분히 확장해 왔다. 이런 의미로 실무적 인 영역에서 사용되는 구조방정식 모형을‘대규 모(large scale)모형’이라고 부르기도 한다. 모형 의 크기가 커지면 존재가능한 모든 내생성을 감안 하여 추정하기가 어려워지므로 별 수 없이 단순회 귀를 적용하는 사례가 많다. 이런 이유로 대규모 모형에 대해 학계에서는 큰 관심을 갖고 있지 않 다. 이런 문제를 극복하기 위해 최근 한국은행에 서는 다모형접근법 등 새로운 접근법을 시도하고 있다.
구조방정식모형의 적용
모형 내에 내생성이 존재하면 외부충격에 대한 영향이 환류효과(feed back)를 거쳐서 증폭되는 경향이 있다. 이를 보여주는 대표적인 예가 바 로 투자승수다. 예를 들어 정부의 SOC투자로 100억 원의 투자증가라는 외부충격이 주어지면, 일차적으로 100억 원의 소득증가가 발생한다. 한 계소비성향이 0.6이라면, 소득증가는 한계소비 성향만큼, 즉 60억 원의 새로운 소비수요를 유발 한다. 소비수요가 증가하면 소비재 생산이 유발 되어 60억 원의 추가적인 소득증가가 발생한다.
이는 다시 0.6배의 소비재 수요를 낳는다. 결국 전 체적인 소득증가의 효과는, 100×(1＋0.6＋
0.62＋0.63＋…)＝250이다.
실제 경제에서는 투자(생산)→소득→소비→
투자(생산)로 이어지는 과정에 일정한 시간이 소 요되므로 250만큼의 투자승수효과가 몇 년에 걸 쳐 일어날 수 있으며, 그 효과의 크기는 반드시 점 진적으로 감소하지 않을 수도 있다. 이와 같은 내 용들을 파악하기 위한 구조모형의 예를 하나 들어 보기로 하자. 투자승수를 파악하기 위해서는 거시 경제모형 중에서 총 수요부문만 있으면 된다.
다음은 EVIEWS를 이용하여 가장 중요한 한 계소비성향을 추정한 예다.
‘민간소비[cp]’는 평생소득에 영향을 받는 점 알기 쉬운 연구방법론 �
equation eq_cp.ls log(cp) c log(cp(-1)) log(gdp- taxv/pgdp) log(m3e/pgdp) spike1998
을 감안하여 전기소비[cp(-1)]와 가처분소득[gdp- taxv/pgdp], 그리고 실질유동성[m3e/pgdp]과 외 환위기의 영향[spike1998]을 받았을 것이라고 가 정하고 단순회귀 방식으로 추정한 결과가 <표>다.
<표>의 음영에서 본 바와 같이 한계소비 성향이 0.46 정도임을 알 수 있다. 즉 세후 소득이 1 증가 하면 그중에 반 가량을 소비하는 셈이다. 같은 방 식으로 투자, 수출, 수입 등과 관련된 방정식들을 추정한다.
풀이를 위해 개별적으로 흩어져 있는 추정방정 식을 하나의 연립방정식체계로 묶는다.
model md
md.merge eq_cp→ 소비 md.merge eq_ifb→ 건물투자 md.merge eq_iff → 토목투자 md.merge eq_ifm→ 설비투자 md.merge eq_xx→ 수출 md.merge eq_mm→ 수입
md.append GDP = CP + CG + IFG + IS + XX - MM + STD→ 국내총생산 정의식
모형을 풀어본 후 실제값과 모형의 풀이값을 비교해 본다. 민간소비를 예로 들면 <그림 1, 2>와
log(m3e/pgdp) 0.056049 0.032823 1.707619 0.0988
spike1998 -0.12502 0.020287 -6.16239 0.0000
<그림 2> 역사적 시뮬레이션 - 민간소비(증분)
<그림 1> 역사적 시뮬레이션 - 민간소비(수준) 소비량
실제값 풀이된 값 연도 실제값 풀이된 값 연도
소비량
같이 수준변수와 증가율 변수에 대하여 실제치와 모형이 푼 값을 비교해 볼 수 있다. 모형이 비교적 현실 경제를 잘 설명하고 있음을 알 수 있다.
이제는 승수효과를 확인해 볼 차례다. 주택투 자(호수)가 건물건설투자(금액)를 증가시키고 그 로 인해 나타나는 소비의 증가효과를 살펴보도록 하자. 주택투자로 인한 민간소비의 변동은 <그림 3, 4>와 같은 형태로 나타난다.
일시적 충격에 대해 0으로 수렴하는 성질이 있 음을 볼 수 있고 모형의 안정성을 확인할 수 있다.
주택투자 효과의 크기와 지속기간, 그리고 시간이 지남에 따라 효과가 어떻게 변하는지 등을 확인할 수 있다.
맺음말
이상에서 구조방정식모형에 대해 개괄적으로 설 명해 보았다. 주어진 자료(data)를 이용하여 정책 효과를 정량적으로 분석하고 체계적으로 전망치
를 제시하는 데는 다른 어떤 방법론에 비해서 쉽 고 유용한 모형이라고 할 수 있다. 모형의 한계를 극복하려는 시도들이 꾸준히 이루어지고 있으므 로 구조방정식모형의 적용 가능성은 더욱 더 커질 것으로 보인다. 향후에도 구조방정식 모형을 이용 한 다양하고 유익한 연구들이 많이 추진되기를 기 대한다.
알기 쉬운 연구방법론 �
<그림 3> 일시적 주택투자 증가에 대한 민간소비의 변화 <그림 4> 지속적 주택투자 증가에 대한 민간소비의 변화
% %
연도 연도
