13주차: 규칙성 지도(2)
광주교육대학교 수학교육과 이 대 현
수학과 교육 2-강의 자료
학습 내용: 비와 비율의 지도
✔두 양 을 비교하는 방법
① > , = , < 인지를 알아본다.
② 얼마나 크거나 작은지를 알아본다.
③ 몇 배인지를 알아본다.
✔비(ratio): a가 b의 몇 배인지를 알아보는 경우 양의 상대적인 크기를 비교하는 것 두 양의 크기를 비교하는 장면을 생각
✔두 양 a , b에서 기준량을 b, 비교하는 양을 a라고 할 때, a가 b의 몇 배인가라 는 관점에서 볼 때 이를 ‘a 의 b에 대한 비’ 라고 하고, a:b 로 나타낸다.
a:b 를 a가 b의 몇 배 즉, “ b를 1로 볼 때의 a의 값”으로 생각할 때 이것을 b에 대한 a의 비의 값
학습 내용: 여러 가지 비율
① 할, 푼, 리
비율을 소수로 나타낼 때 그 소수의 자리 수에 따라 할푼리가 정해진다.
기준량을 10으로 보았을 때의 비율을 할이라고 하고, 기준량을 100으로 했을 때의 비율을 푼이라 하며, 기준량을 1000으로 했을 때의 비율을 리라고 한다.
② 백분율
100을 기준량으로 했을 때의 비율을 백분율이라고 하며, 기호 %를 사용하여 나타낸다. 예를 들어 A가 B의 25%란 말은 B를 100으로 보았을 때 A는 25에 해당된다는 의미이다.
학습 내용: 비율과 분수의 차이
① 비는 다른 종류의 대상도 비교할 수 있지만, 부분과 전체의 의미로 분수는 같은 종류의 대상을 비교할 때만 사용된다.
② 비는 분수가 아닌 다른 여러 가지 기호로 나타낼 수 있다.
③ 비에서는 특수한 경우에 후항이 0이 될 수도 있다. 비에서는 2:0과 같이 쓸 수 있지만, 부분과 전체의 의미로 분수에서는 분모가 0이 될 수가 없다.
④ 비의 값은 항상 유리수인 것은 아니다.
⑤ 비의 연산은 일반적으로 정의되어 있지 않지만, 부분과 전체로서 분수는 사칙연산이 정의되어 있다. 비에서 덧셈을 특수하게 사용할 수는 있다.
야구 경기에서 5타석에 2안타이면 타율은 2/5이고 9타석에 3안타이면 타율은 3/9이므로 이를 합하면 14타석에 5안타가 되어 타율은 5/14와 같이 계산하는 경우이다.
학습 내용: 정비례와 반비례
✔정비례: 변하는 두 양 x, y에 대하여 x의 값이 2배, 3배, 4배, ㆍㆍㆍ가 될 때 y의 값도 2배, 3배, 4배, ㆍㆍㆍ가 되는 관계
y=ax
✔반비례: 변하는 두 양 x, y에 대하여 x의 값이 2배, 3배, 4배, ㆍㆍㆍ가 될 때 y의 값도 2배, 3배, 4배, ㆍㆍㆍ가 되는 관계
xy=a
학습 내용: 규칙성 지도
✔규칙의 탐구: 실생활에서 쉽게 접할 수 있는 여러 가지 물체나 무늬의 규칙을 찾아보고 그 규칙에 따라 배열, 수의 배열의 규칙에 따라 수를 배열
가로 10칸, 세로 10칸인 100까지의 수 배열표나 곱셈표에서 규칙을 찾기 반복적 규칙, 증가하는 규칙 등을 활용
① 신체 활동을 이용한 반복적 규칙 ② 그림을 이용한 반복적 규칙
③ 수를 이용한 반복적 규칙
④ 신체 활동을 이용한 증가하는 규칙 ⑤ 그림을 이용한 증가하는 규칙
⑥ 수를 이용한 증가하는 규칙
학습 내용: 대응의 지도
✔대응: 어떤 관계에 의하여 두 집합의 원소를 짝지어 주는 것
하나의 값이 정해지면 그 값에 따른 다른 값이 정해지는 두 값으로 이루어진 짝
첫째, 주어진 대응표에서 대응 규칙을 찾는다. 아래 표와 같이 대응된 수를
제시하고 시행착오를 통해서 대응 규칙을 찾게 한다. 암산으로 쉽게 할 수 있는 것을 택하는 것이 바람직
둘째, 주어진 규칙에 의한 대응 수를 찾는다.
규칙의 의미를 분명하게 이해하는 데에 도움이 된다.
셋째, 대응 규칙을 식으로 나타내게 한다. 대응 규칙을 분명히 의식하게 되면 이것을 ‘□에 대응되는 수는 □+2’와 같이 수학적 문장으로 나타내게 한다.
학습 내용: 비율의 지도(1)
✔비례를 생각할 수 있는 능력: 형식적인 사고를 하는데 중요한 요소
대수, 기하는 물론 과학의 일부분을 포함하여 양적인 사고와 이해를 필요 공식이나 기호를 의미 없이 조작하기보다는 의미를 이해하도록 지도
✔비와 비례: 일상생활에서 자주 사용, 일반적인 사고유형에서도 매우 중요 ‘A는 B의 몇 배이다’와 같이 곱셈구조로 비교하는 상대적인 크기의 비교
✔비의 값: 에 대한 의 비는 를 단위, 즉 1로 보았을 때 는 얼마인가를 나타내는 것
✔두 비는 같다: 비의 값이 같을 때
비의 값은 같으므로 30:15=20:10이다.
✔비의 상등관계를 이용하여 주어진 비를 가장 간단히 정수비로 고치는 것
학습 내용: 비율의 지도(2)
✔비율을 나타내는 방법: 분수, 소수, 할푼리, 백분율 분수나 소수로 나타내는 경우: 기준량을 1로 보았을 때
할은 기준량을 10, 푼은 기준량을 100, 리는 기준량을 1000, 백분율은 기준량을 100
✔ 연 비
같은 종류의 몇 개의 양 사이의 관계를 의 꼴로 나타낼 수 있는데, 이를 연비라 고 한다. 연비는 기준량과 비교되는 양이 있는 것이 아니고, 3개 이상의 양을 비의 형식을 써서 나타낸 것이다.
✔ 비례배분
어떤 양을 몇 개의 부분으로 똑같이 나누는 것이 아니라, 주어진 비에 따라 나누는 것을 비례배분이라고 한다.
학습 내용: 함수적 사고의 지도
✔함수의 개념: 두 집합 사이의 대응이라는 함수의 개념보다
‘따라서 변하는 두 양 사이의 관계’라는 관점에서 취급
✔따라서 변하는 두 양사이의 관계 중 정비례와 반비례 관계는 우리의 경험 세계에서 흔히 볼 수 있는 중요한 현상으로서, 여러 실제 문제를 해결하는 강력한 도구
✔정비례와 반비례 관계의 지도
첫째, 정비례와 반비례 관계의 의미를 이해
둘째, 정비례와 반비례 관계를 식으로 나타내게 한다. 식을 통해서 정비례․
반비례 관계의 특징을 찾아낼 수 있게 한다.
셋째, 정비례와 반비례 관계를 문제 해결에 활용할 수 있게 한다. 변화 관계에 있는 두 양을 관계의 관점에서 의식적으로 검토하여 미지의 수량에 관련 된 자료를 찾아내는 것에 의해서 효과적으로 문제를 풀 수 있는 기회를 많이 제공하도록 해야 한다.
학습 내용: 학습 내용 정리
비율과 비의 값의 차이를 비교하여라.
일상에서 활용하는 비율을 조사하여라.
정비례와 반비례가 적용되는 상황을 조사하여라.
규칙성 지도와 함수 지도의 관계를 논하여라.
