Black-Scholes-Merton Model Chapter.14

Black-Scholes-Merton Model

Chapter.14

연습문제 #4

현재 주가는 50달러, 무위험이자율은 연 10%,

변동성은 연 30%이다.

만기가 3개월이고 행사가격이 50달러인 유러피언풋옵션의 가격을 계산하라

(무배당주식으로 가정할 것).

연습문제 #4

d₁ = [ln(50/50) + (0.1+ 0.3²/2)0.25] / 0.3*0.25^0.5 = 0.242

d₂ = 0.242 - 0.3*0.25^0.5 = 0.092

p = Ke^rT N(-d₂) - S₀ N(-d₁)

= 50e^-0.1*0.25 N(-0.092) - 50N(-0.242) = 2.37

∴ 풋옵션의 가격은 $2.37

연습문제 #7

현재 주가는 40달러이다.

주식의 기대수익률은 연 15%이고, 변동성은 연 25%이다.

2년 동안의 연속복리 수익률의 확률분포는?

연습문제 #7

S₀ =$40, r=0.15, σ = 0.25, T=2

x ~ ∅(μ-σ²/2, σ² /T)

x ~ ∅(0.15-0.25²/2, 0.25² /2) x ~ ∅(0.11875, 0.1768²)

∴ 연속복리 수익률(연간)은 평균이 0.11875이고 표준편차가 0.1768인 정규분포를 따른다.

연습문제 #8

주가가 기대수익률이 16%, 변동성이 35%인 기하 브라운 운동을 따른다고 가정하자.

현재 주가는 38달러이다.

(a) 만기가 6개월이고 행사가격이 40달러인 유러피언콜옵션이 행사될 가능성은?

(b) 만기가 6개월이고 행사가격이 40달러인 유러피언풋옵션이 행사될 가능성은?

연습문제 #8

(a) lnS_T ~ ∅(lnS₀ + (μ-σ²/2)T, σ²T )

lnS_T ~ ∅(ln38 + (0.16-0.35²/2)0.5, 0.35²*0.5 ) lnS_T ~ ∅(3.6387, 0.247² )

ln40 = 3.689

1-N((3.689-3.687)/0.247) =1-N(0.008)

∴ 49.68%

(b) 1-0.4968 = 0.5032 ∴ 50.32%

연습문제 #13

현재 주가는 52달러, 행사가격은 50달러, 무위험이자율은 연 12%, 변동성은 연 30%, 그리고 만기는 3개월이다.

무배당주시에 대한 유러피언콜옵션의 가격은 얼마인가?

연습문제 #13

d₁ = [ln(52/50) + (0.12+ 0.3²/2)0.25] / 0.3*0.25^0.5 = 0.536

d₂ = 0.536 - 0.3*0.25^0.5 = 0.386

c = 52N(0.536) - 50e-0.12*0.25

N(0.386) = 5.069

∴ 콜옵션의 가격은 $5.069

연습문제 #16

무배당주식에 대한 콜옵션의 시장가격이 2.5달러이다.

현재 주가는 15달러, 행사가격은 13달러, 만기는 3개월, 무위험이자율은 연 5%이다. 내재변동성은 얼마인가?

연습문제 #16

c = $2.5, S₀ = $15, K = $13, T = 0.25, r = 0.05, σ = x

실제로 방정식을 풀어서 x값을 구할 수 없다.

엑셀을 이용하여 블랙숄즈 계산기를 만들고 직접 값을 넣어보면서 근사값을 구한다.

∴ 약 39.64%

연습문제 #18

콜옵션과 풋옵션의 가치를 계산하는 데 이용하는 블랙-숄즈-머튼 공식이 풋-콜 패리티를

만족시킴을 증명하라.

연습문제 #18

c = S₀ N(d₁) – Ke^-rT N(d₂)

c + Ke^-rT = S₀ N(d₁) - Ke^rT N(d₂) + Ke^-rT

c + Ke^-rT = S₀ N(d₁) + Ke^-rT[1- N(d₂)]

c + Ke^-rT = S₀ N(d₁) + Ke^-rTN(-d₂)

p = Ke^-rT N(-d₂) - S₀ N(-d₁)

p + S₀ = Ke^-rT N(-d₂) - S₀ N(-d₁) + S₀

p + S₀ = Ke^-rT N(-d₂) + S₀[1- N(-d₁)]

p + S₀ = Ke^-rT N(-d₂) + S₀ N(d₁)

∴ c + Ke^-rT = p + S₀

연습문제 #25

주가가 50달러이고 발행주식수는 1,000만 주이다.

이 기업은 종업원에게 300만 개의 5년 만기

등가격 콜옵션을 제공하는 것을 고려하고 있다.

옵션이 행사되면 신주가 발행되어야 한다.

주가의 변동성은 25%이고, 무위험이자율은 5%이고 기업은 배당을 지급하지 않는다.

종업원스톡옵션 발행에 따른 비용을 추정하라.

연습문제 #25

c * N/(N+M) * M

d₁ = [ln(50/50) + (0.05+ 0.25²/2)5] / 0.25*5^0.5= 0.7267 ⇒ N(d₁) = 0.7663

d₂ = 0.7267 - 0.25*5^0.5 = 0.1677 ⇒ N(d₂) = 0.5666

c = 50*0.7663 - 50e^-0.05*5 *0.5666 = 16.25 ⇒ 16.25 * 10/13 * 300만 = 3.75*10⁷

∴ 총비용은 $ 3.75*10⁷

연습문제 #26

현재 주가는 50달러이다. 주식의 기대수익률은 연 18%이고 주가변동성은 연 30%이다.

2년후 주가의 확률분포는? 이 분포의 평균, 표준편차, 그리고 95%의 신뢰구간을 계산하라.

연습문제 #26

lnS_T ~ ∅[ln50 + (0.18-0.3²/2)2, 0.3²*2 ] lnS_T ~ ∅(ln50 + (4.18, 0.42²)

50e^-0.18*2 = 71.67

50e^-0.18*2(e^0.09*2-1)^0.5 = 31.83

4.18-1.96*0.42 and 4.18 + 1.96*0.42 3.35 and 5.0

∴ e^3.35 = 28.52 and e^5.01 = 150.44