23.4 전기장 (The Electric Field)

23.4 전기장 (The Electric Field)

O Charges and Forces : A Closer Look

- 두 개의 전하 사이에 작용하는 힘은 Coulomb Force로써 구할 수 있다.

- 임의의 공간에 원천 전하(Source Charge) Q가 있다고 하자. 여기에 Test Charge q를 놓으면 Q와 q 사이에는 Coulomb Force F_e가 작용 - Q와 q 사이의 전기력은 전하 사이의 거리 r이 같은 모든 지점에

대하여 같은 크기의 F_e가 작용하게 된다.

- Test Charge q가 전하 Q에 의하여 받을 수 있는 힘의 크기를 전기력과 Test Charge의 크기 q로써 정의하면 비례계수를 E 로 정의

- E는 Charge Q가 거리 r되는 곳의 Test Charge에 작용할 수 있는 전기력의 크기를 나타내는 단위가 된다.

cf) Charge Q의 위치 : 생점 (Source Point)

- 거리 r 이 그리는 투영은 구의 표면이 된다. ⇒ "Field"(장)의 개념 cf) 구의 표면상의 한 점 : 장점 (Field Point) ⇒ Field는 장점들의 집합

r q k Q

C



F  q

∴

F

 E q

] / 4 [

1

2 0

2

r N C

r r Q

r k Q q

C

 

 



 F

＂The Electric Field" (전기장)

E

- 원천 전하(source charge)인 대전체 주변의 공간 영역에 전기장(electric field)이 존재한다.

- 전기장 벡터(electric field vector) E 는 그 점에 놓인 양(＋)의 시험 전하 q

에 작용하는 전기력 F

를 시험 전하로 나눈 것으로 정의한다

(단위: N/C)

- E 의 정의 : 단위 전하당 전기력

- 전기장은 시험 전하 자체에 의하여 생기는 것이 아니다. 또한 전기장의 존재는 원천 전하 또는 전하 분포의 성질이며, 전기장이 존재하기 위해서는 시험 전하가 필요하지 않다.

- 시험 전하는 전기장을 탐지하는 검출기 역할을 할뿐이다

O 전기장

q

F

E 



cf ) Test Charge q =1 C 이라면 :

→ Test Charge q =1 C 인 경우의 Coulomb Force 단위 전하당 전기력

cf ) Gravitational Field (중력장)

- 만유인력

"중력장“

- 중력장이란 질량 M 인 행성의 중심에서

거리 r 되는 모든 면에 Test Mass m =1 Kg 을 놓았을 때 받게 되는 중력의 세기를 의미.

cf ) Scalar Field : 중력장, Temperature Field, Pressure Field

→ 공간상의 한 표면에 한 개의 값만 대응 Vector Field : E and B Field

→ 공간상에 2개의 값이 동시에 대응 ( E , B 의 통합) :

E F



g m r r

G Mm

G

  



F r

r G M

g  



i i i

i

e

r

k q r

E ˆ





"Principle Of Superposition" (중첩의 원리)

o 여러 점전하에 의한 전기장

(The Electric Field Due to Point Charges) :

O 쿨롱력과 전기장

E F _e  q

F r

E ˆ

r

k q

q

e



P점에서 q가 만드는 전기장



q 의 부호에 따라 전기장의 방향이 결정됨

두 전하에 의한 전기장

예제 23.4

그림과 같이 전하 q₁과 q₂가 x축 상에 있고, 원점에서부터 각각 거리 a 와 b 에 있다.

(A) y 축에 있는 점 P 에서 알짜 전기장 성분을 구하라.

풀이

) ( ^{2 2}

1 2

1 1

1 a y

k q r

k q

E _{e e}

 



) ( ^{2 2}

2 2

2 2

2 b y

k q r

k q

E _{e e}

 



j i

E  sin

) cos (

)

( ^{2 2}

1 2

2 1

1 a y

k q y

a

k_e q _e

 

 

j i

E  sin

) cos (

)

( ^{2 2}

2 2

2 2

2 b y

k q y

b

k_e q _e

 

 



 cos

) cos (

) (

) 1 (

2 2

2 2

2 1 2 1

y b k q y

a k q

E E

E

e e

x x

x

 

 







 sin

) sin (

) (

) 2 (

2 2

2 2

2 1 2 1

y b k q y

a k q

E E

E

e e

y y

y

 

 





☆

두 전하에 의한 전기장 (계속, 뒤의 설명 이용)

예제 23.4

(B) |q₁|=|q₂|와 a=b인 특별한 경우 (전기 쌍극자) 에 점 P 에서 전기장을 구하라.

(C) 점 P 가 원점으로부터 거리 y≫a일 때, 전기 쌍극자에 의한 전기장을 구하라.

풀이







)cos 2 (

)cos cos (

) ) (

3 (

2 2

2 2 2

2

y a k q

y a k q y

a k q E

e

e e

x

 

 

 

0

)sin sin (

)

( ^{2 2 2 2}



 

   

y a k q y

a k q

E_{y e e}

2 / 1 2

2 )

cos ( )

4

( a y

a r

a

 

 

2 / 3 2 2

2 / 1 2 2

2

2 ( )

2 )

( ) 2 (

y a

k qa y

a a y

a k q

E_{x e e}

 



 

이므로

(C) 3

2 y k qa

E  _e 크기가 같고 반대 부호인 두 전하가 인접하여 있는 경우 “전기쌍극자 (Electric Dipole)" 이라 한다.

☆

o 전기 쌍극자 Electric Dipole : 크기는 같지만 부호가 반대인 두 전하가 거리 l 을 두고 떨어져 있을 때

◎ 전기 쌍극자의 중심 O에서 z 떨어진 점 P에서의 E-Field?

Ex 23-4 보충

- 대칭성에 의해 쌍극자를 x-y 평면에 잡아주면, 2차원 문제

크기는 같지만 부호가 반대인 두 전하가 거리 l 을 두고 떨어져 있을 때, 이 계를 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)라 부른다.

◎ Define) "Diploe Moment" :

- Electric Field by Electric Dipole Moment :

cf ) 반경 l/2인 고리의 중심에서 z 떨어진 점에서의 전기장의 세기 E

- Single Charge (or 원형고리전하)의 경우 :

∴ 거리가 멀어짐에 따라 E_Di 이 훨씬 빨리 소멸하게 된다.

cf) Dipole Moment의 방향 (cf ) 전기장의 방향 : "+" → "-"

23.5 연속적인 전하 분포에 의한 전기장

r

E ˆ

r

k

 q





i i

i

e

r

k q r

E ˆ

 ^



r r

E ˆ ˆ

2 2

lim

 ^{ } 







r

k dq r

k q

i i

i q

e

i

V

 Q

 A

 Q



 Q



부피 전하 밀도

(volume charge density)

면 전하 밀도

(surface charge density) 선 전하 밀도

(linear charge density)

 d dq

dA dq

pdV dq

where ,     

많은 전하들 사이의 거리가 이들 전하에서 전기장을 구하고자 하는 점까지의 거리에 비하여 매우 가까운 경우가 있다. 이런 경우의 전하계를 연속적이라고 한다. 즉, 밀집된 전하계는 선, 면 또는 부피에 걸쳐 연속적으로 분포한 전체 전하와 동일하다

전하 막대에 의한 전기장

예제 23.5

길이가 ℓ인 막대에 전체 양 전하 Q 가 단위 길이당 전하 λ 로 고르게 퍼져 있다.

막대의 긴축 한쪽 끝으로부터 a 만큼 떨어진 점 P 에서 전기장을 구하라.

Sol)

균일한 고리 전하에 의한 전기장

예제 23.6

전체 양전하 Q가 반지름이 a인 고리에 균일하게 분포하고 있다. 고리 면에 수직 인 중심축으로부터 x 만큼 떨어져 있는 점 P에서 고리에 의한 전기장을 구하라.

Sol)

☆

균일한 원판 전하에 의한 전기장

예제 23.7

균일한 표면 전하 밀도 σ를 갖는 반지름 R의 원판이 있다. 원판의 중심을 지나고 수직인 축 위의 점 P에서 전기장을 구하라.

23.6 전기력선

(Electric Field Lines)

전기력선(electric field lines)은 전기장의 모양을 시각화하 는 편리한 방법이다.

전기장 벡터 E는 각 점에서 전기장의 접선 방향이다. 화살촉 방 향이 전기장 벡터 방향이다. 전기력선의 방향은 전기장 안에 놓인 양(＋)의 시험 전하가 받는 힘의 방향이다.

전기력선에 수직인 면을 통과하는 단위 면적당 전기력선의 수는 그 영역 안에 있는 전기장 크기에 비례하므로, 전기장이 강한 영 역에서는 전기력선들이 서로 가까이 있고, 전기장이 약한 영역에 서는 멀리 떨어져 있다.

전하 분포에 대한 전기력선을 그리는 원칙

전기력선은 양(+)의 전하에서 시작하여 음(-)의 전하 에서 끝나야 한다. 만일 여분의 전하가 있으면, 전기력 선은 무한히 멀리 떨어진 곳에서 시작하거나 끝날 것 이다.

양(+)전하에서 나오거나 음(-)전하에 들어가는 전기력 선의 수는 전하의 크기에 비례한다.

두 전기력선은 교차할 수 없다.

거리 d 만큼 떨어지고 평행한 전하 판 사이에 균일한 전기장 E는 x축과 나란한 방향이다.

양전하 판에 가까운 점A에서 질량 m인 양의 점 전하 q를 정지 상태에서 가만히 놓으면, 이 양전하는 음전하 판 가까운 점 B쪽으로 가속도 운동을 한다.

(A) 입자가 일정한 가속도를 받고 있는 입자로 모형화하여 B점에서 입자의 속도를 구하라.

23.7 균일한 전기장 속에서 대전 입자의 운동

a E

F

 q  m

m a  qE

양전하의 가속

예제 23.8

Sol m

a  qE

ad d

a x

x a v

v²_f  _i²  2 ( _f  _i)  02 ( 0)  2

m d qEd

m ad qE

v_f 2

2

2  



 



 



- 전하가 위치 d (d 만큼 이동하면서 받는) Energy = KE

☆

qEd m d

qE mv m

KE   2 

2 2

1

qEd KE 



전자의 가속

예제 23.9

그림과 같이 E=200N/C인 균일한 전기장 영역으로, 전자가 처음 속력 v_i =3.00 ×10⁶ m/s으로 들어온다. 판의 수평 길이는 ℓ =0.100m이다.

(A) 전자가 전기장 안에 있는 동안, 가속도를 구하라.

풀이

e y

y y

y m

eE m

a F ma

F     

 

2 13

31 19

/ 10

51 . 3

10 11 . 9

) / 200 )(

10 60 . 1 (

s m

kg

C N a_y C









 

 ^ _

(B) 전자가 시각 t=0에 전기장 안으로 들어온다고 가정하고, 전자가 전기장을 떠나는 시 간을 구하라.

x i f

x i

f v

x t x

t v x

x 







 ^{3.33 10 sec}

/ 10 00 . 3

100 . 0

0 ₈

6

 

 

 

 m s

m t v

x



(C) 전자가 전기장 안으로 들어오는 수직 위치를 y_i=0이라고 가정하고, 전자가 전기장을 떠날 때의 수직 위치를 구하라.

2

2 1 a t t

v y

y_f  _i  _yi  _y

cm m

s s

m y_f

95 . 1 0195

. 0

) 10 33 . 3 )(

/ 10

51 . 3 2( 0 1

0 ^{13 2 8 2}



















 ^

ex) Oscilloscope, TV 브라운관, 모니터, 등 or Ink Jet Printing

- Hot Coil에 의해 C(Cathode)가 가열되면 (열)전자(thermal electron) 방출 : Cathode는 음극 역할 → 전자 방출

- (열)전자는 F에서 Focusing

- Focusing된 전자는 Anode를 통과 : Anode는 양극 역할 - 수평, 수직 편향판을 통하여 전자의 궤도는 편향된다.

- 편향된 전자는 Screen에 발라둔 형광 물질에 부딪혀 빛을 낸다

음극선관

- Ink를 뿜은 후, Charging Unit에서 대전시킨다.

- 대전 된 Ink 방울을 편향시킨 후, 종이에 뿜는다.

- dpi : Dot Per Inch (2.54 cm )

600dpi → 2.54 cm /600 = 0.004 cm

즉, 직경 약 0.05 mm 정도의 Ink 방울을 뿜는다.

cf ) Ink Jet Printer