24. 전기퍼텐셜 (Electric potential) 전기퍼텐셜 ( p )

24. 전기퍼텐셜 (Electric potential) 전기퍼텐셜 ( p )

• Conservative Forces and Energy Conservation

24장 읽고 있자

– Total energy is constant and is sum of kinetic and potential

• Electric Potential Energy (U)

U ↔ F

24장 읽고 있자

……

• Electric Potential (V)

F

U ↔ E

V ↔

– A property of the space and sources as is the Electric Field – Potential differences drive all biological & chemical reactions,

as well as all electric circuits as well as all electric circuits

• Path-independence of Potential

• (계산) Electric Potentials:

: electric dipole, N point charges, continuous charges

지난 시간에 … 지난 시간에 …

Electric Flux ^{Φ ≡} ∫ ^{E r ⋅ d A}

Electric Flux ^Φ ∫ ^{E d A}

∫ ^{r r} q Gauss 법칙

o

q

A d

E ^{⋅ ≡ Φ =} ε

∫ ^{r r}

ε

Φ = q

s

k Qr r

E = Q =

⇒

Q 1 Q Q

3 3

4 0 k a

E a = _e

= πε

⇒

Q

2 2

4 0

1

r k Q r

E Q = _e

= πε

⇒

복습 : 일 (Work) 이란 ? 복습 : 일 (Work) 이란 ?

• Work done by the force given by: y g y

¾

¾ P iti F i i di ti d

θ cos Fd

d F

W = r • r =

¾ Positive: Force is in direction moved

¾ Negative: Force is opposite direction moved

¾ Zero: Force is perpendicular to direction moved

• Careful ask WHAT is doing work!

¾ O it i f k d b !

¾ Opposite sign for work done by you!

: 즉, 계(system)가 한 일은 외부에서 해준 일과 부호가 반대!

: ΔW = - ΔW_app

• Conservative Forces

¾ Δ Potential Energy (U) = - Wconservative

Conservation of Energy of a particle gy

• Kinetic Energy (K)

2 1 mv K =

– non-relativistic

• Potential Energy (U)

determined by force law

2

) , ,

( x y z U

– determined by force law

• for Conservative Forces: K+U is constant

– total energy is always constantgy y

• examples of conservative forces

– gravity; gravitational potential energy

– springs; coiled spring energy (Hooke’s Law):

U ₍ x ₎₌ kx

– electric; electric potential energy

• examples of non-conservative forces (heat)

– friction

– viscous damping (terminal velocity)

전기력도 보존력이다 !

• Consider a charged particle traveling through a region of static electric field:

• A negative charge is attracted to the fixed positive charge

ti h h

• negative charge has more

potential energy and less kinetic energy far from the fixed positive

-

charge, and…

• more kinetic energy and less potential energy near the fixed

+

potential energy near the fixed positive charge.

• But, the total energy is conserved

• 다음에 대해 알아보자

electric potential energy (U)

electric potential energy (U)

electrostatic potential (V)

A positive charge Q is moved from A to B along the path shown by the arrow. What

질문

A B

질문

(a) W

< 0 (b) W

= 0 (c) W

> 0

• A direct calculation of the work done to move a positive charge from point A to point B is not easy.

N i h h i d h di i f h fi ld i

• Neither the magnitude nor the direction of the field is constant along the straight line from A to B.

B t DO NOT h t d th di t l l ti

• But, you DO NOT have to do the direct calculation.

• Remember: potential difference is INDEPENDENT OF THE PATH!!

THE PATH!!

• Therefore we can take any path we wish.

Ch th l th f i l t d t

Choose a path along the arc of a circle centered at the charge. Along this path W = 0 at every point!!

Electric potential energy

• Imagine two positive charges, one with charge Q

_, the other with charge Q

_:

• Initially the charges are very far apart so we say that

Q₁ Q₂

• Initially the charges are very far apart, so we say that the initial energy U

of interaction is zero

(we are free to define the energy zero somewhere).

• If we want to push the particles together, this will p p g require work (since they want to repel).

Q₂ Q₁

Æ the final energy U

of the system will increase by

th t ΔU U U ΔW

Q₂ Q₁

the same amount: ΔU = U

– U

= ΔW

Electric potential energy

• The initial energy U

(∞) of interaction is zero

• The final energy U (r) of the system will increase by

• The final energy U

(r) of the system will increase by the same amount of the work applied:

U U U U W

ΔU = U

– U

≡ U = ΔW

ΔW

= - ΔW

= - ΔW

≡ - W

즉 , 외부에서 해준 일과 두 입자간 작용하는 힘이 한 일은 , 부호가 반대 !!!

Æ U W Æ U = - W

Q₂

Q₁ r

2 1

확인문제 1 2 3 확인문제 1, 2, 3

1. (a) 전기장이 양성자에 한 일은 +, - ??

(b) 양성자의 퍼텐셜에너지는 증가, 감소 ??

(b) 양성자의 퍼텐셜에너지는 증가, 감 ??

2 (a) 힘(f)이 양성자에 한 일은 + - ??

2. (a) 힘(f)이 양성자에 한 일은 +, - ??

(b) 양성자는 더 높은 (낮은) 퍼텐셜 쪽으로 움직이는가 ??

Electric potential energy (U) Electric potential energy (U)

m]

N [J = ⋅

•

−

=

•

−

=

−

= ^W ∫

^{F d s} ∫

^{q E d s}

U r r r r

m]

N

∫ [J

∫

F

d s

q E d s W

U

Æ 즉, 전하 q가 무한대에서 r 위치까지 이동하는 동안 전기력 (전기장)이 한 일

Q ^{F (E)}

r

El t i t ti l (V) 단위 전하당 U Electric potential (V) : 단위 전하당 U

J/C]

[V( l )

∫

^{E d}

W

V U r r

J/C]

[V(volt)

=

•

−

=

−

=

≡ ∫

E d s

q W q

V U r

Æ 즉, 단위전하가 무한대에서 r 위치까지 이동하는 동안 전기력 (전기장)이 한 일

전위차 (electric potential difference : ΔV)

두 지점(f, i) 간의 전기 퍼텐셜차 (전위차 : DV)

( ⁻ ) ^{− ( − )}

=

Δ V V

V

V

V

J/C]

[V(volt)

=

•

−

=

−

= V

V

∫

E r d s r

Q f i

전자볼 ( ) (아주 작은 에너지의 단위)

★ 전자볼트 (electron volt, eV) (아주 작은 에너지의 단위)

≡ 전자 하나의 전하량( e ≡ | q_전자|)을 1 volt 전위차 옮기는데 드는 에너지

J

C ¹⁹

19 ) (1J/C) 1 60 10

10 (1 60 V)

(1 V

1eV e(1V) (1.60 10^-19C) (1J/C) 1.60 10^-19J

1 = = × × = ×

★ 전기장의 또 다른 차원기장의 다 차

[

] [

] [

]

[N/C]

[E] = ⇒ = =

등퍼텐셜면 (등전위면 : Equipotential surface)

등퍼텐셜면 ≡ 전위가 같은 점들로 이루어진 면

등퍼텐셜면은 항상 전기장에 수직 (왜?)

W_I = 0 W_II = 0 각 이동 경로에서

전기장이 한 일 ? ^II

W_III = W_IV 전기장이 한 일 ?

확인문제 3

3. (a) 등퍼텐셜 면에 대한 전기장의 방향은?

(b) 각 경로에 대해 한 일은 +, - ? (b) 각 경로에 대해 한 일은 , ? (c) 한 일이 큰 순서대로

24-6. 점 전하가 만드는 퍼텐셜

J/C]

[V(volt)

=

•

−

=

−

=

≡ ^{U W} ∫

^{E d s}

V r r

점전하 q에서 임의의 r 만큼 떨어진 위치에서의 전기장

] [ ( )

∫

q q

E = 1 q

점전하 q에서 임의의 r 만큼 떨어진 위치에서의 전기장

o

r πε 4

점전하 에서 R 만큼 떨어진 위치에서의 퍼텐셜 (V) 점전하 q에서 R 만큼 떨어진 위치에서의 퍼텐셜 (V)

ds q s

d E r

V

q

1

1

- )

( = − ∫ ^r • ^r = ∫ _s = _r

o 2

o

4

) 4

( ∫

πε ∫

πε

V 1 q

)

( r

r q V

4

) 1

( ⁼ πε

24-7. 점 전하 무리가 만드는 퍼텐셜

∑

∑ ⁼

=

q

V

V 1

Q

∑

∑

n

r

V V

o 1

1

4 πε

Q Q₁

• The potential energy of an added test Q charge

q

Q₂ Q₃

r_1p

r r_3p

Q₂ Q₃

0

3

1 2

0 o f q a t P

Q

Q Q

U q k k k

r r r

⎛ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ + + ⎟ ⎟ ⎠

r_2p ^3p

P

확인문제 4 P 점에서의 알짜 전기퍼텐셜의 크기 순서는?

1p 2p 3p

r r r

⎜ ⎟

⎝ ⎠

확인문제 4 : P 점에서의 알짜 전기퍼텐셜의 크기 순서는?

질문

Which of the following charge distributions produces V ₍ x ) = 0 for all points on the x _-axis?

V ₍ x ) 0 for all points on the x _axis?

+2μC +1μC +2μC +1μC +2μC -2μC

x x x

-2μC

(a)

-1μC

(b)

-1μC

(c)

The key here is to realize that to calculate the total potential at a point, we must only make an ALGEBRAIC sum of the individual contributions.y

Therefore, to make V(x)=0 for all x, we must have the +Q and -Q

contributions cancel, which means that any point on the x-axis must be equidistant from +2 C and 2 C and also from +1 C and 1 C

equidistant from +2μC and -2μC and also from +1μC and -1μC.

This condition is met only in case (a)!

24-8. 전기 쌍극자가 만드는 퍼텐셜

⎟ ⎟

⎞

⎜ ⎜

⎛ −

⎟ =

⎟ ⎞

⎜ ⎜

⎛ + −

=

= ∑

^{V 1 q q q r}

^r

V ⎟ ⎟

⎜ ⎠

⎜

= ⎝

⎟ ⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ +

=

=

− +

−

= +

∑

) ( ) ( o

) ( )

(

1

V 4

r r 4 r r

V

n

n

πε πε

P r₍₋₎

−

≈

cos θ

cos q

2 )

( ) (

V d r r

r

⎟ ⎞

⎜ ⎛

≈

−

≈

+

θ

r >> d

1 cos , ( )

4

2 2 o

qd p p

V r

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎝

≈

θ πε

r d

, ( )

4

r

⎟

⎜ ⎠

πε ⎝

* 유도 쌍극자 모멘트 (induced dipole moment)

(참고 : 물질의 굴절률 근원)

원자 (분자)

E

E 에 의해 분극이 일어남 Æ 원자 (분자)에서의

유도 쌍극자 모멘트 발생 유도 쌍극자 모멘트 발생

24-9. 연속 전하분포가 만드는 퍼텐셜

dV 1 dq

= _r ^{⇒ V = 1} ∫ ^dq

πε

4 ∫ _r

πε

4

= dx dq

λ

= +

=

=

d x

dx r

dV dq

dx dq

o

o 4 2 2

1 4

1

λ

πε πε

λ

L

선 전하

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + +

+ =

=

+

∫

d x

V dx

d x

o L

o

o o

2 2

0 2 2 ln

4

4

πε

λ πε

λ

L

⎥⎦

+ d ⎢⎣

x o

o

dR R dq =

σ

π

[ ]

R z

dR R r

dV dq

o

o = +

= 2 2

' ' ' 2 4

1 4

1

σ π

πε πε

원판 전하

[

]

R z

dR V R

o R

o

− +

+ =

=

∫

' '

2

ε

σ ε

σ

24-10. 퍼텐셜에서 전기장 구하기

s d E V

V

i i f

r r

⋅

−

=

− ∫ ∫

s d E dV r r

⋅

−

=

V V

V

dV ⎡∂ ∂ ∂ ⎤

ˆ ˆ ˆ

E V E V

E V

z z y V

y x V

x V V

s d E dV

∂

∂

∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

∇

−

≡

−

= r

r r

, ,

,

E z

E y

E_x x _{y z}

− ∂

∂ =

−

∂ =

−

=

⇒

If h E fi ld h l E

If the E-field has only one component, E_x,

dx xˆ xˆ dV

E

Er = _x = − dx

If the charge distribution has spherical symmetry, the E-field is radial, E_r,

dV rˆ dr rˆ dV

E

Er = _r = −

예제 : 쌍극자의 전기퍼텐셜과 전기장

2a •

x

-q +q PP

2 2

2 qak q

k q k q

V _e ⁱ _e ⎟ = ^e

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

=

=

∑

(

)

2k

(

)

dx −

4k dV

If x >> a , 2 ₂ x

qa

V ≈ k^e 4 ₃

x qa k dx

E_x = − dV ≈ ^e

24-11. 점 전하계의 전기 퍼텐셜 에너지

• 고정된 점전하계의 전기적 퍼텐셜(위치) 에너지

≡ 주어진 전하분포가 되게 하는데 드는 에너지 (외부에서 해야 하는 일)

q q 1

r q V q

q W

U

o app

2 1

2

4

1

= πε

=

=

보기문제 24-6

그림과 같은 세 점 전하의 전기적 위치 에너지?

그림과 같은 세 점 전하의 전기적 위치 에너지?

24-12. 고립된 대전 도체의 퍼텐셜

rˆ Q

k Q

Er = _{e 2}

(

)

e r2

( )

= 0

(

)

d E d

E

V^{( )}

∫

∫

(

)

r k Q

r d E s

d E r

V

e

r

=

⋅

=

⋅

−

=

∫

∫

)

(

)

r

r d E r

d E s

d E r

V R

r R

r ⋅ + ⋅

=

⋅

−

=

∫

∫ ∫

r r r r

r r )

(

)

0

R k_e Q

=

24. Summary Su a y

Electric potential energy (U)

m]

N [J

= ⋅

•

−

=

•

−

=

−

= ∫

∫

r r

q ds qE ds

F W

U

r r r r

Electric potential (V) : 단위 전하당 U Electric potential (V) : 단위 전하당 U

J/C]

[V(volt)

=

•

−

=

−

=

≡ ∫

r E ds q

W q

V U

r r

∫

q q

∑

∑ ⁼

=

r V q

V

4

1

πε

=

= n n

n ₁

4 πε

∫

= r

V dq

πε

연속 전하 1

∫

πε

4

⎥⎤

⎢⎡∂ + ∂ + ∂

=

∇

≡

= V z

V y V x

dV V

Er r ˆ ˆ ˆ

V ÅÆ E ⎥

⎢ ⎦

⎣ + ∂

+ ∂

− ∂

=

∇

−

≡

−

= z

y z x y

V x s

E dr V ÅÆ E