여러 가지 순열 이항정리 -
1.
1)서로 다른 다섯 통의 편지를 두 개의 우체통에 넣는 방법의 수는?① ② ③
④ ⑤
2.
2)일곱 개의 수 을 모두 한 번씩 사용하여 만들 수 있는 일곱 자리의 자연수의 개수는?① ② ③
④ ⑤
3.
3)그림과 같은 도로망이 있다 이 도로망을 따라. A지점에서 출발하여 P지점을 거치지 않고 B지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수는?① ② ③
④ ⑤
4.
4 )그림과 같이 원을 등분한 각 영역에 빨강 파랑 노랑의 세, , 가지 색을 포함한 서로 다른 개의 색을 아래의 각 영역에 하나씩 색칠하려고 할 때 빨강 파랑 노랑을 이웃하게, , , 색칠하는 경우의 수는?① ② ③
④ ⑤
5.
5 )그림과 같이 정삼각형 ABC의 각 변의 중점을 이어 만든 내접삼각형 DEF를 그리고 다시 삼각형, DEF의 각 변의 중점을 이어 내접삼각형 GHI을 그렸다. 개의 영역으로 구분된 삼각형의 각 영역에 서로 다른 개의 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수는 ×이다 이 때. 의 값은? ( ,단 각 영역에 한 가지 색만을 사용하여 색칠하고 회전하여 일치하는, 것은 같은 것으로 취급한다.)① ② ③
④ ⑤
6.
6)집합 에서 로의 함수 중에서의 모든 원소 에 대하여 를 만족시키는 함수
의 개수는?
① ② ③
④ ⑤
7.
7)종류의 주스 중에서 중복을 허용하여 병을 선택하는 방법의 수는?단 각 주스는
( , 병 이상 있다.)
① ② ③
④ ⑤
8.
8)다항식 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는?① ② ③
④ ⑤
9.
9 )방정식 에서 가 모두 양의 정수인 해의 개수는?① ② ③
④ ⑤
10.
10)부등식 ≤ 에 대하여 가 모두 음이 아닌 정수인 해의 개수는?① ② ③
④ ⑤
11.
11)개의 수 에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 자연수를 크기가 작은 수부터 순서대로 나열할 때, 은 몇 번째에 오는 수인가?① ② ③
④ ⑤
12.
1 2)다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍 의 개수는?
가
( ) 중에서 의 개수는 이다.
나
( )
① ② ③
④ ⑤
13.
1 3)다항식
의 전개식에서 의 계수는?①
②
③
④
⑤
14.
1 4)CCCCCC의 값을 구하면?① ② ③
④ ⑤
15.
15)다음 <보기 의 등식 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른>것은?
.
ㄱ CCC ⋯ C .
ㄴ CCC ⋯ C
.
ㄷ CCCCCCCCC
보 기
[ ]
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄷ,
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
16.
16) CC ⋯ C 을 만족시키는 자연수 의 값은?① ② ③
④ ⑤
17.
17)C CC ⋯ C의 값을 다음 두 조건을 이용하여 구하면?가
( )
나
( ) CC
① C ② C×C ③ ×C
④ C ⑤ × C
18.
1 8)다항식 을 으로 나누었을 때의 나머지를 구하는 과정을 서술한 것이다.
다항식 을 으로 나누었을 때의 몫을
라 하면
이다.
을 이항정리를 이용하여 전개하면C ×C × C ×
⋯ C ×
이 때 세 번째 항부터는 의 배수로 표현된다.
따라서 가 나 로 표현할 수 있다.
가 나 에 알맞은 식을 각각
( ), ( ) 라 할 때,
의 값은?
① ② ③
④ ⑤
19.
1 9)여학생 명과 남학생 명이 원모양의 탁자에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다 각각의 여학생 사이에는. 명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. 명의 학생이 모두 앉는 경우의 수는×이다 이 때. , 의 값을 구하는 과정과 그 답을 서술하시오.
20.
2 0)네 개의 자연수 중에서 중복을 허용하여 세 수를 선택할 때 세 수의 곱이, 이하가 되는 방법의 수를 구하는 과정과 그 답을 서술하시오.21.
21)다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하는 과정과 그 답을 서술하시오.가
( )
나 좌표평면에서 세 점
( ) 가 한 직선 위에 있지 않다.
22.
22) 을 이항정리를 이용하여 전개하고 이를 이용하여,의 계수를 구하는 과정과 그 답을 서술하시오.
빠른정답
1) ⑤ 2) ② 3) ③ 4) ② 5) ③ 6) ④ 7) ③ 8) ② 9) ① 10) ⑤ 11) ① 12) ③ 13) ⑤ 14) ④ 15) ④ 16) ① 17) ④ 18) ① 19) 20)
21) 22)
정답 및 풀이
1) ⑤
∏ 가지
2) ②
맨 앞자리가 인 경우로 나누어 같은 것을 포함한 순열을 생각해 보자
맨 앞자리가 인 경우
가지
맨 앞자리가 인 경우
가지
맨 앞자리가 인 경우
가지
따라서 가지
3) ③
A지점에서 출발하여 B지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수
가지 ⋯ ㉠
A지점에서 출발하여 P지점을 거쳐 B지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수
×
가지 ⋯ ㉡
㉠㉡ 가지
4) ②
빨강 파랑 노랑의 세 가지 색을 한 묶음으로 생각하여, , 원판에 나열하는 방법의 수
가지
빨강 파랑 노랑의 세 가지 색끼리 순서를 정하는 방법의 수, ,
가지
따라서 × 가지
5) ③
삼각형 GHI에 칠할 색깔을 정하는 방법 가지 ⋯ ㉠ 삼각형 DIH EGI FHG에 세 가지 색을 골라서 색칠하는 방법
P ×
가지 ⋯ ㉡
이 만족되어야 한다.
따라서 정의역을 집합 ,
공역을 집합 라 생각하고 함수의 개수를 구하면 된다.
따라서 ∏ 가지
7) ③
HC 가지
8) ②
HC 가지
9) ①
에서
≥ ≥ ≥ 이므로
라 하면
≥ ≥ ≥ 이고
이다.
따라서 HC 가지
10) ⑤
≤ 에서
일 때 HC가지
일 때 HC가지
일 때 HC가지
일 때 HC가지 따라서 CCCCC 가지
11) ①
한 자리 수
가지
두 자리 수
×가지
세 자리 수
×가지
네 자리 수
첫째자리가 인 네 자리 수 가지 첫째자리가 인 네 자리 수 가지
∼에 의하여 보다 작은 자연수는
따라서 × 가지
13) ⑤
에서 이항정리의 일반항이C
이므로 의 계수는 을 대입하여 구할 수 있다.C
14) ④
CCCCCCC
15) ④ .
ㄱ CCC ⋯ C 이므로 ㄱ은 거짓.
.
ㄴ CCC ⋯ C ㄴ은 참.
좌변 .
ㄷ CCCCC 우변 CCCC 이므로 ㄷ은 참.
따라서 옳은 것은 ㄴ ㄷ,
16) ①
CC ⋯ C 에서
CCC ⋯ C 이므로
CC ⋯ C
이고
이므로
17) ④
C CC ⋯ C
C×CC×CC×C ⋯ C×C
이고 조건 나 에 의해( )
C×CC×CC×C ⋯ C×C
C×C ⋯ ㉠ 이고 이것은다항식 을 으로 나누었을 때의 몫을
라 하면
이다.
을 이항정리를 이용하여 전개하면C ×C × C ×
⋯ C ×
이 때 세 번째 항부터는 의 배수로 표현된다.
따라서
× ×
로 표현할 수 있다.
따라서 × 이고
× × ×
19)
각각의 여학생 사이에 명 이상의 남학생이 앉아야 하고 앉은, 남학생의 수가 모두 달라야 하므로 남학생들은 명, 명, 명,
명씩 앉아야 한다.
여학생 명을 원탁에 배열하는 방법
가지
여학생 사이에 남학생들이 앉을 의자를 먼저 각각 개, 개,
개, 개씩 배열한다고 하면, 의자를 배열하는 방법의 수 가지
빈 의자 개에 남학생을 배열하는 방법의 수 가지 따라서 모든 경우의 수는
× × ×가지
즉
20)
네 개의 자연수 중에서 중복을 허용하여 세 수를 선택하는 모든 경우의 수에서 세 수의 곱이 을 초과하는 경우의 수를 빼면 된다.
먼저 네 개의 자연수 중에서 중복을 허용하여 세 수를 선택하는 모든 경우의 수는 H 가지
세 수의 곱이 을 초과하는 경우는
, , , 으로 가지 경우이다.
따라서 세 수의 곱이 이하가 되는 방법의 수는
가지
가지
22)
C C C C C 이므로 의 계수는 C
