삼각함수의 성질
문항 1핵심노트
1
12017(가) 3월/교육청 1sin
의 값은? [2점]
①
②
③
④
⑤
2
22001(인) 수능(홀) 5그림과 같이 직사각형 ABCD 가 중 심이 원점이고 반지름의 길이가 인 원에 내접해 있다. 축과 선분 OA 가 이루는 각을 라 할 때, cos 와 같은 것은?
단, ＜
＜ [3점]
① A의 좌표 ② B의 좌
표 ③ C의 좌표 ④ C의 좌표
⑤ D의 좌표
3
32006 3월/교육청(고2) 5직선 이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 라 할 때,
cos sin
tan 의 값은? [3점]
① ②
③ ④
⑤
4
42010 3월/교육청(고2) 21그림과 같이 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 위의 점 A가 제 사분면에 있을 때 동경 OA가 나타내는 각의 크기를 라 하 자. 점 B 을 지나는 직선 과 동경 OA 가 만나는 점 을 C , 점 A 에서의 접선이 축과 만나는 점을 D 라 하자. 다음 중 삼 각형 OCD 의 넓이에서 부채꼴 OAB 의 넓이를 뺀 어두운 부분의 넓이 와 항상 같은 것은? 단,
[4점]
①
sin
cos ② cos
sin
③
sin
cos
④
cos
sin
⑤
cos
sin
2017
2017 2017 2017 2017
2017년 년 년 년 년 년 3 3 3 3 3 3월 월 월 월 월 월 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 학력평가 ((((((홀수 홀수 홀수 홀수 홀수 홀수)))))) 2017년 3월 학력평가 (홀수)
1 1
1
1
1 1
1
합성함수의 미분법
문항 3핵심노트
5
52017(가) 3월/교육청 3함수
에 대하여
′의 값은? [2점]
① ② ③ ④ ⑤
6
62016(가) 9월/평가원 9실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 모든 실수 에 대하여
을 만족시킬 때,
′의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
7
2018학년(가) 수능 238
82013(B) 7월/교육청 12함수
가 cos sin tan
를 만족시킬 때,
′
의 값은? [4점]
① ② ③
④ ⑤
9
92017(가) 6월/평가원 23함수
에 대하여 ′ 의 값을 구하시오. [3점]
10
102017(가) 6월/평가원 21최고차항의 계수가 인 사차함수 에 대하여
ln
라 하고, 최고차항의 계수가 인 삼차함수 g 에 대하여
lng sin
라 하자.
lim
→
′ lim
→
′
′
일 때, g 의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
지수함수의 평행이동 대칭이동
문항 5핵심노트
11
112017(가) 3월/교육청 5좌표평면에서 곡선
을 직선 에 대하여 대칭이동한 곡선이 점 을 지날 때, 양수 의 값은? [3점]
① ② log
③
④
⑤ log
12
122002(인) 수능 11지수함수의 그래프에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것 은? [2점]
ㄱ.
의 그래프를 축에 대하여 대칭이동하면
의 그래프가 된다.
ㄴ.
의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동하면
의 그래프보다 아래에 놓이게 된다.
ㄷ.
․의 그래프를 축의 방향으로 평행이동하여
의 그래프를 얻을 수 있다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄴ, ㄷ
13
132011(나) /수능 11좌표평면에서 지수함수
의 그래프를 축에 대하여 대칭이동 시 킨 후, 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래 프가 점 를 지난다. 양수 의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
14
142012(가) 4월/교육청 11점근선의 방정식이 인 지수함수
의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 함수
의 그래프가 그림과 같다.
O
O
함수
의 그래프가 점 을 지날 때, 두 상수 , 에 대 하여 의 값은? [3점]
①
② ③
④ ⑤
지수 ․로그함수와 수열
문항 7핵심노트
15
152017(가) 3월/교육청 7좌표평면에서 자연수 에 대하여 두 곡선 log
,
log
가 만나는 점의 좌표를
이라 할 때,
의
값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
16
162012(가) /수능 30자연수 , 에 대하여 곡선
과 곡선
이 직선
≥ 와 만나는 점을 각각 P, Q라 하자.
다음 조건을 만족시키는 , 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시 오. 예를 들어, , 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ≤ ≤ , ≤ ≤
(나) ≥ 인 어떤 실수 에 대하여 PQ ≤ 이다.
[4점]
17
172012(가) 6월/평가원 30 보다 큰 자연수 에 대하여 을 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 라 하자.
(가) ≥
(나) 두 점 , log
를 지나는 직선의 기울기는
보다 작거나 같다.
예를 들어 이다.
의 값을 구하시오. [4점]
18
182012(가) 9월/평가원 30좌표평면에서 다음 조건을 만족시키는 정사각형 중 두 함수
log , log 의 그래프와 모두 만나는 것의 개수를 구하시 오. [4점]
(가) 꼭짓점의 좌표, 좌표가 모두 자연수이고 한 변의 길이가 이다.
(나) 꼭짓점의 좌표는 모두 이하이다.
19
192015(A) /수능 30좌표평면에서 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 삼각형 OAB 의 개수를 이라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.) [4점]
(가) 점 A 의 좌표는
이다.
(나) 점 B의 좌표를 라 할 때, 와 는 자연수이고
≤ log
를 만족시킨다.
(다) 삼각형 OAB의 넓이는 이하이다.
20
202014(A) 9월/평가원 30다음 조건을 만족시키는 두 자연수 의 모든 순서쌍 의 개수 를 구하시오. [4점]
(가) ≤ ≤ ≤ ≤
(나) 곡선
이 원
과 만나지 않는 다.
(다) 곡선
이 원
와 적어도 한 점 에서 만난다.
21
212014(A) /수능 30좌표평면에서 인 자연수 에 대하여 두 곡선
,
과 직선 로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포 함되고 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수가 이상 이하 가 되도록 하는 의 개수를 구하시오. [4점]
22
222013(가) /수능 30좌표평면에서 자연수 에 대하여 영역
≤ ≤ log
에 속하는 점 중 다음 조건을 만족시키는 점의 개수를
이라 하자.
(가) 좌표와 좌표는 서로 같다.
(나) 좌표와 좌표는 모두 정수이다.
예를 들어,
이다.
의 값을 구하시오. [4점]
23
232015(A) 6월/평가원 30 이상의 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 의 모든 순서쌍 의 개수가 이상이 되도록 하는 가장 작은 자연 수 의 값을
이라 할 때,
×
×
의 값을 구하시오. [3 점]
(가)
이면 ≤ log
이다.
(나) ≥
이면 ≤
이다.
24
242013(A) 9월/평가원 30자연수 에 대하여 부등식
≤ 을 만족시키는 모든 자연수 의 합을
이라 하자.
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점]
좌표축과 곡선 사이의 넓이
문항 9핵심노트
25
252017(가) 3월/교육청 9곡선 sin
cos ≤ ≤
와 축으로 둘러싸인 도형의 넓이 는? [3점]
①
②
③
④ ⑤
26
262006(가) 9월/평가원 30자연수 에 대하여 구간 에서 곡선
sin 와
축으로 둘러싸인 부분의 넓이를
이라 하자.
∞
일 때,
의 값을 구하시오. [4점]
27
272017(가) 10월/교육청 30그림과 같이 길이가 인 선분 AB 위의 점 P 를 지나고 선분 AB 에 수직인 직선이 선분 AB 를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 Q 라 하 자. AP 라 할 때, 를 다음과 같이 정의한다.
일 때 는 두 선분 AP, PQ 와 호 AQ 로 둘러싸인 도 형의 넓이이고, 일 때 는 선분 AB 를 지름으로 하는 반원의 넓이이다.
sin cos
일 때,
의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.) [4점]
지수 ․로그함수와 직선의 교점의 활용
문항 11
핵심노트
28
282017(가) 3월/교육청 11그림과 같이 두 곡선 log
, log
( )와 직선
이 만나는 점을 A
, B
이라 하고, 직선 가 만나는 점을 A
, B
라 하자. 선분 A
B
의 중점의 좌표는 이고 A
B
일 때, A
B
의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
29
292012(나) 7월/교육청 15두 곡선
, log
와 직선 가 만나는 점을 각 각 A
, B
라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]
O
log
ㄱ.
ㄴ.
ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
30
302010(가) /수능 16자연수 ≥ 에 대하여 직선 과 곡선 log
가 만나는 서로 다른 두 점의 좌표를 각각
이라 할 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ.
ㄴ.
ㄷ. log
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
지수 ․로그함수의 극한의 활용
문항 13핵심노트
31
312017(가) 3월/교육청 13좌표평면 위의 한 점 P 을 지나는 직선 와 두 곡선
ln , ln 가 만나는 점을 각각 A , B 라 하자. 삼각형 AQB 의 넓이가 이 되도록 하는 축 위의 점을 Q 라 할 때, 선분 PQ 의 길이를 라 하자. lim
→
의 값은?
(단, 점 Q 의 좌표는 보다 작다.) [3점]
①
② ③
④ ⑤
32
322005(가) 10월/교육청 29곡선 ln 위를 움직이는 점 P ln 와 두 점 A , B 에 대하여 삼각형 PAB 의 넓이를 라 할 때,
→
lim
의 값은?(단, 는 자연로그의 밑) [4점]
① ② ③
④
⑤
33
332008(가) 10월/교육청 28그림과 같이 두 곡선
( ), ln 이 제 사분면 에서 만나는 점을 A 라 하자. 원점 O 와 두 점 B , C 에 대하여 삼각형 OAB 의 넓이를
, 삼각형 OAC 의 넓이를
라 하자.
의 값이 한없이 커질 때,
의 값은 에 한없이 가까워진다. 의 값은? [3점]
①
②
③ ④ ⑤
원순열
문항 15핵심노트
34
342017(가) 3월/교육청 15여학생 명과 남학생 명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다.
각각의 여학생 사이에는 명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이 에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. 명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 × 일 때, 자연수 의 값은? (단, 회전하여 일치하는 것들은 같은 것으로 본다.) [4점]
① ② ③ ④ ⑤
35
352013(B) 7월/교육청 27남학생 명, 여학생 명이 그림과 같이 개의 자리가 있는 원탁에 다 음 두 조건에 따라 앉으려고 할 때, 앉을 수 있는 모든 경우의 수를 구 하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]
(가) 남학생, 여학생 모두 같은 성별끼리 명씩 조를 만든다.
(나) 서로 다른 두 개의 조 사이에 반드시 한 자리를 비워둔다.
36
362008(가) 삼사 23그림과 같이 정사각형과 서로 합동인 개의 원으로 이루어진 놀이판이 있다. 각 원의 중심은 정사각형의 네 꼭짓점과 두 대각선이 만나는 점이 다. 서로 다른 개의 돌 중에서 개를 뽑아 개의 원 안에 각각 개 씩 올려놓는 방법의 수는? (단, 회전하여 같은 경우는 한 가지로 계산한 다.) [4점]
① ② ③ ④ ⑤
원의 반지름의 극한
문항 17핵심노트
37
372017(가) 3월/교육청 17그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가
인 부채꼴 OAB 가 있다. 호 AB 위의 점 P 에 대하여 점 B 에서 선분 OP 에 내 린 수선의 발을 Q, 점 Q 에서 선분 OB 에 내린 수선의 발을 R 라 하 자. ∠BOP 일 때, 삼각형 RQB 에 내접하는 원의 반지름의 길이를
라 하자. lim
→
의 값은? (단,
) [4점]
①
② ③
④ ⑤
38
382016(가) 9월/평가원 20그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD가 있다.
변 CD 위의 점 E에 대하여 선분 DE를 지름으로 하는 원과 직선 BE 가 만나는 점 중 E가 아닌 점을 F라 하자.
∠EBC 라 할 때, 점 E를 포함하지 않는 호 DF를 이등분하는 점 과 선분 DF의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이를
라 하자. lim
→
의 값은? 단, [4점]
①
②
③
④
⑤
39
392013(B) 4월/교육청 25그림과 같이 좌표평면에서 점 P가 원점 O를 출발하여 축을 따라 양 의 방향으로 이동할 때, 점 Q는 점 을 출발하여 PQ 을 만족시키며 축을 따라 음의 방향으로 이동한다.
∠OPQ
＜
＜
일 때, 삼각형 OPQ의 내접원의 반지름의 길이를 라 하자. 이때, lim
→
의 값을 구하시오. [3점]
40
402014(B) 7월/교육청 21 AB , AC BC, ∠ABC 인 이등변삼각형 ABC 가 있다. 그림 과 같이 선분 BC의 연장선 위에 AC AD 인 점 D를 잡는다. 삼각형
ABC에 내접하는 원의 반지름의 길이를
, 삼각형 ACD 에 내접하는 원의 반지름의 길이를
라 할 때, lim
→
의 값은? [4점]
B C D
A
① ② ③ ④ ⑤
단면이 밑면과 수직인 입체도형의 부피
문항 19핵심노트
41
412017(가) 3월/교육청 19곡선
과 축 및 직선 로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4점]
①
②
③
④
⑤
42
422017(가) 7월/교육청 15그림과 같이 곡선
와 축 및 직선 , 직선
로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형 을 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도 형의 부피는? [4점]
O
①
②
③
④
⑤
적분구간이 변수로 주어진 정적분의 미분
문항 21핵심노트
43
432017(가) 3월/교육청 21구간 에서 정의된 연속함수 에 대하여 함수
( ≤ ≤ ) 은 다음 조건을 만족시킨다.
(가) (나)
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ. ㄴ.
ㄷ.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
44
442018(가) 7월/교육청 20양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수
와 g
가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 양의 실수 에 대하여 g
(나)
g
일 때,
g
의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
45
452016(가) 8월/영남권 21함수
(단, 는 상수)가 다음 조건 을 만족한다.
(가) ,
(나) 임의의 실수 에 대하여
이 성립한다.
의 값은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
lim sin 을 이용한 극한
문항 23
핵심노트
46
462017(가) 3월/교육청 23함수 sin
일 때, lim
→
의 값을 구하시오.
[3점]
47
471997(자) 수능(홀) 4lim
→
sin
의 값은? [3점]
① ② ③
④ ⑤
sin
48
482010(가) 7월/교육청 26lim
→
ln
sin
sin
의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
부채꼴
문항 25핵심노트
50
502017(가) 3월/교육청 25그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 반 원 위에서 호 BC 의 길이가 인 점 C 를 잡고 점 C 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. CH
의 값을 구하시오. [3점]
51
512013(A) 3월/교육청(고2) 14그림과 같이 넓이가 이고 중심이 O 인 원 위의 두 점 A B 에 대 하여 호 AB 의 길이는 반지름의 길이의 배이다. 선분 AB 의 길이는?
(단, 호 AB 에 대한 중심각 의 크기는 이다.) [4점]
A
B O
① sin ② sin ③ sin
④ sin ⑤ sin
52
522001(인) 수능(홀) 9반지름의 길이가 이고 높이가 인 원기둥에 물이 들어 있다. 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 현에 대한 중심각을
라 하자. 원기둥을 세웠을 때 수면의 높이 를 로 표시하면?
단,
[2점]
①
②
sin
③ sin ④
sin
⑤
sin
지수함수의 평행이동 대칭이동
문항 27핵심노트
53
532017(가) 3월/교육청 27그림과 같이 곡선
을 축에 대하여 대칭이동한 후, 축의 방향 으로
만큼, 축의 방향으로
만큼 평행이동한 곡선을 라 하자. 곡선 와 직선 이 만나는 점 A 와 점 B
사이의 거리를 라 할 때,
의 값을 구하시오. [4점]
54
542015(A) 3월/교육청 19그림과 같이 두 곡선
,
( )가 직선
과 만나는 점의 좌표를 각각 , g 라 할 때,
g가 성립한다. g 을 만족시키는 실수 의 값 은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
55
552007(가) /수능(홀) 25함수 ․
＜＜의 그래프가 두 함수
, ․
의 그래프와 만나는 점을 각각 P Q라 하자. 점 P와 점 Q의 좌표의
비가 일 때, 의 값을 구하시오. [4점]
56
562013(A) 6월/평가원 20그림과 같이 함수
의 그래프 위의 한 점 A 를 지나고 축에 평 행한 직선이 함수 ⋅
의 그래프와 만나는 점을 B라 하자. 점 A 의 좌표를 라 할 때, AB 을 만족시키는 이상의 자연 수 의 개수는? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
57
572015(B) 6월/평가원 18좌표평면 위의 두 곡선
과
이 만나는 서로 다른 두 점의 좌표를
라 할 때,
를 만 족시키는 모든 자연수 의 값의 합은? [4점]
① ② ③ ④ ⑤
분류를 통한 조합의 계산
문항 29핵심노트
58
582017(가) 3월/교육청 29그림과 같은 개의 사물함 중 개의 사물함을 남학생 명과 여학생 명에게 각각 개씩 배정하려고 한다. 같은 층에서는 남학생의 사물함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않는다. 사물함을 배정하는 모든 경우 의 수를 구하시오. [4점]
3층 →
2층 →
1층 →
59
592012(가) 10월/교육청 29크기가 같은 정육면체 모양의 블록 개를 모두 사용하여 쌓은 입체도 형을 만들려고 한다. 이 도형을 위에서 내려다 본 모양이 <그림 >, 정 면을 기준으로 오른쪽 옆에서 본 모양이 <그림 >와 같이 되도록 만들 수 있는 방법의 수를 구하시오. (단, 블록은 서로 구별하지 않는다.) [4 점]
<그림 > <그림 >
60
602009학년 경찰대 21보다 큰 자연수 에 대하여 집합 ⋯ 의 두 부분집합
와 를 택할 때, ∩ 인 경우의 수는? (단, 는 집합
의 원소의 개수)
①
C
②
C
③
․C
④
․C
⑤
․C
61
612017(나) 7월/교육청 30좌표평면에서 이상의 자연수 에 대하여 영역
≤ ≤ ≤ ≤
에 속하는 점 중에서 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점을 동시 에 선택하는 경우의 수를 이라 하자.
(가) 두 점의 좌표와 좌표가 모두 정수이다.
(나) 두 점의 중점의 좌표와 좌표가 모두 정수이다.
예를 들어 이다. ≤ 을 만족시키는 자연수 의 최댓
값을 구하시오. [4점]
빠른 정답 정답과 해설
1
[정답] ③ [풀이][출제의도] 꼴의 삼각함수의 값을 계산한다.
sin
sin
sin
2
[정답] ③ [풀이] 이므로 점 의 좌표를 로 놓으면 cos sin
이때, cos cos이므로 cos 그런데 점 와 점 는 원점에 대해 대칭이므로 점 의 좌표는
따라서 cos 는 점 의 좌표와 같다.
3
[정답] ② [풀이][출제의도] 삼각함수에서 일반각의 성질을 묻는 문제이다.
cos sin
tan cos cos tan
tan
의 기울기는
이므로
tan
따라서 구하는 값은
이다.
4
[정답] ④ [풀이][출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
삼각형 OBC에서 BC tan tan
삼각형 OAD에서 ∠OAD °이므로 cos OD
∴ OD cos
cos
(삼각형 OCD의 넓이)-(부채꼴OAB의 넓이)
tan ×
cos
× ×
cos sin
[다른 풀이]
BC tan tan
원 위의 점 Acos sin 에서 그은 접선의 방정식은
cos sin 이므로 점 D의 좌표는
cos
이다.∴ OD cos
(삼각형 OCD의 넓이)-(부채꼴OAB의 넓이)
1 ③ 2 ③ 3 ② 4 ④ 5 ②
6 ④ 7 8 ① 9 2 10 ④
11 ④ 12 ③ 13 ① 14 ② 15 ①
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 ②
26 27 28 ① 29 ③ 30 ④
31 ② 32 ③ 33 ④ 34 ② 35
36 ① 37 ① 38 ④ 39 40 ③
41 ⑤ 42 ① 43 ④ 44 ① 45 ①
46 47 ① 48 ③ 49 ④ 50
51 ② 52 ⑤ 53 54 ② 55
56 ④ 57 ② 58 59 60 ⑤
61
6
[정답] ④ [풀이][출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가 함수 가 실수전체의 집합에서 미분가능하고
이므로 양변을 에 대하여 미분하면
′ ×
× 을 대입하면 ′ × × 따라서 ′
7
[정답] [출제의도] 합성함수의 미분계수를 구할 수 있는가
ln
이므로′
′
이다.
따라서 ′
이다.
8
[정답] ① [풀이][출제의도] 합성함수의 미분법 이해하기
cos sin tan의 양변을 미분하면,
sin⋅′cos cos sec
일 때, cos
이므로
′
∴ ′
9
[정답] 2′
에서 ′ ⋅
10
[정답] ④ ln를 미분하면 ′
′
→
lim
′
lim
→
′
에서 이다.
라 하면 ′ ′이므로
→
lim
′
≠ 이다.
≥ 인 자연수라 하면
′ ′이므로
lim
→
′
lim
′
lim
→
⋅
sin⋅g′sin gcos g
에서 g 이다.
g 라 하면 g′ ′이므로
lim
→ ′
′
lim
→
⋅
sin⋅ ′sin cos
에서 이다.
따라서 g ≥ 인 자연수라 하면 g′ ′이므로
lim
→ ′′
lim
→
⋅
sin⋅
′
sin cos
lim
→
⋅
sin⋅
′
sin cos
⋅⋅
이므로 조건으로부터 이다.
따라서 g 이다.
그러므로 g ⋅ 이다.
11
[정답] ④ [풀이][출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 역함수를 이용하여 지수함수의 밑을 구한다.
곡선 을 직선 에 대하여 대칭이동한 곡선은 log이고 이 곡선이 점 을 지나므로 , 을 대입하면 log 따라서
[다른 풀이]
직선 에 대하여 대칭이동한 곡선은 의 역함수의 그래프이므로 지수함수 에 , 를 대입하면 등식이 성립한다.
따라서 에서
12
[정답] ③ [풀이]① 의 축 대칭은 ∴ 또,
즉, 옳지 않다.
② → (축 방향으로 만큼 평행이동) 즉, 그 그래프는 아래와 같으므로 옳다.
∴
∴
∵ 14
[정답] ② [풀이]지수함수 의 그래프에서 점근선의 방정식이 이므로
이다.
의 그래프는 지수함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 함수 의 그래프이다.
함수 의 그래프가 점 을 지나므로 이다.
따라서
15
[정답] ① [풀이][출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하여 두 로그함수의 그래프가 만나 는 점을 구한다.
두 곡선 log, log 의 만나는 점의 좌표는 log log 에서
즉, 이므로 따라서
16
[정답] [풀이]
라 하자.
이므로, ≥ 이면 ≥ 에서 는 증가함수ⅰ) ≥ 일 때,
≥ 에서 의 최솟값은 이고
≥ 이므로
∴ ≤
가능한 경우는 일 때
일 때
≥ 이면 ≥ ≥
가능한 경우는 , , 의 가지
ⅱ) 일 때
의 근을 라 하자.
이면 [그림]에서 의 최솟값은
≥ 이면 [그림]에서 의 최솟값은
∴ 이면 ≤ 이어야 하고, ≥ 이면 항상 성립한다.
∴ ≥ 이면 항상 성립한다.
≤ ≤ 에서 의 순서쌍은 C (개)
래프 생략)
⋯
⋯ 그러므로
≤ ≤ ≥
∴
× ×
18
[정답] [풀이]
두 자연수 , 에 대하여 아래 그림과 같이 네 꼭짓점 A , A , A , A 으로 하는 정사각형이 두 함수
log , log 와 모두 만나기 위해서는 log ≤ 이고 log ≥ 이어야 한다.
즉, ≤
이고 ≥
∴
≤ ≤
log
log
A
A
A A(ⅰ) 일 때,
≤ ≤
그러므로 자연수 은 ⋯ 로 개다.
(ⅱ) 일 때,
≤ ≤
그리고 꼭짓점의 좌표는 모두 100 이하이므로 ≤ 이다.
그러므로 이하의 자연수 은 ⋯ 로 개다.
따라서 모든 정사각형의 개수는
19
[정답] [풀이]
[출제의도] 지수와 로그
A B O 에서 BO
직선 BO의 방정식은 즉 이므로 점 A와 직선 BO 사이의 거리 는
∣ ∣
따라서 삼각형 OAB의 넓이 는
× BO×
×
×
일 때,
⋯
일 때,
일 때,
⋯
일 때,
⋯ 이므로 순서쌍 의 가짓수는
∴
(ⅱ) 일 때, ≤ ≤
≥ 일 때,
이므로 ≤
일 때,
⋯
일 때,
⋯
일 때,
⋯ 이므로 순서쌍 의 가짓수는
∴
(ⅲ) 일 때, ≤ ≤
≥ 일 때,
이므로
⋯
이므로 순서쌍 의 가짓수는 개다.
∴ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해
20
[정답] [풀이]
…… ㉠
…… ㉡ 곡선 이 원과 만나지 않는다.
(다) 곡선 이 원 ㉠과는 만나지 않고 원 ㉡과 적어도 한 점에서 만나 므로
일 때, ≤
일 때, ≤ 또는 ≤
일 때, ≤ 또는 ≤
일 때, ≤ 또는 ≤
일 때, ≤ 또는 ≤
일 때, ≤
일 때, ≤
일 때, ≤
이어야 한다.
따라서 구하는 순서쌍 의 개수는
⋯
영역 내 좌표가 , , , , 인 점의 개수의 합은
이므로 ≤ ≤ …… ㉡
㉠, ㉡을 모두 만족하는 자연수 는 없다.
ⅱ) ≤ 일 때
≤ log
log
을 풀면 ≤ …… ㉢
영역 내 좌표가 , , , , 인 점의 개수의 합은
이므로 ≤ ≤ …… ㉣
㉢, ㉣을 모두 만족하는 의 범위는 ≤ ≤ 이므로 자연수 의 개수는 개이다.
ⅲ) ≤ 일 때
영역 내 좌표가 , , , 인 점의 개수의 합이
이므로 조건을 만족하지 않는다.
ⅰ), ⅱ), ⅲ)으로부터 의 개수는 개이다.
22
[정답] [풀이]
과 log 은 서로 역함수 관계에 있으므로 직선
에 대하여 대칭이다.
