1. 지수

⑴ 27의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=27, xÜ`-27=0 (x-3)(xÛ`+3x+9)=0 ∴ x=3 또는 x=-3Ñ3'3 i` 

2

따라서 27의 세제곱근 중 실수인 것은 3

⑵ 16의 네제곱근을 x라 하면

xÝ`=16, xÝ`-16=0, (xÛ`-4)(xÛ`+4)=0 (x+2)(x-2)(x+2i)(x-2i)=0 ∴ x=Ñ2 또는 x= Ñ2i

따라서 16의 네제곱근 중 실수인 것은 -2, 2

1-1

⑴ 0의 제곱근은 '0=0뿐이다.

따라서 0의 제곱근 중 실수인 것은 0

⑵ -1의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-1, xÜ`+1=0 (x+1)(xÛ -x+1)=0 ∴ x=-1 또는 x=1Ñ'3 i` 

2

따라서 -1의 세제곱근 중 실수인 것은 -1

⑶ 125의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=125, xÜ`-125=0 (x-5)(xÛ +5x+25)=0 ∴ x=5 또는 x=-5Ñ5'3 i` 

2

따라서 125의 세제곱근 중 실수인 것은 5

⑷ 81의 네제곱근을 x라 하면

xÝ`=81, xÝ`-81=0, (xÛ`-9)(xÛ`+9)=0 (x+3)(x-3)(x+3i)(x-3i)=0 ∴ x=Ñ3 또는 x=Ñ3i

따라서 81의 네제곱근 중 실수인 것은 -3, 3

1-2

⑴ Ü '¶¶-Œ1=Ü "Ã(Ã-1)Ü`=-1

⑵ Ý '¶2¶56=Ý "4½Ý`= 4

⑶ Ü '¶0.¶0¶01=Ü ¿(¹ 0.1 )Ü`=0.1

⑷ Þ '¶-¶2¶43=Þ ¿(¹ -3 )Þ`=-3

2-1

⑴ Ü '¶27=Ü "3½Ü`=3

⑵ Þ 'Ä-32=Þ "Ã(-2Å)Þ =-2

⑶ ܾ¨-;1¨0Á00;=ܾ¨{-;¨1Á0;}Ü`=-;1Á0;

⑷ Ý 'Ä0.00¶81=Ý "Ã(0.3Å)Ý`=0.3

2-2

본문 | 11, 13 ^쪽 개념 익히기

1. ^지수

⑴ Ü '¶25_Ü '5=Ü "Ã25_Å5=Ü "Ã ^{5 Ü`=5}

⑵ Ý '¶64` 

Ý '4 =Ý®Â:¤4¢:=Ý '¶16=Ý "Å2ݽ`=2

⑶ ('3)ß =Û "Å3½ß`=Û "3<sup>2_3</sup>= 3 Ü`=27

⑷ ¿¹'§81=Û ¿ ¹^Û'§81=Ý "8½1=Ý "3ݽ`=3

3-1

⑴ Ý '3_Ý '¶27=Ý 'Ä3_2Œ7=Ý "3½Ý`=3

⑵ Ü '3` 

Ü '¶24`=ܾ;Ð2£4;=ܾ;8!;=ܾæ{Ð;2!Ð;}Ü`=;2!;

⑶ (Ü '5)ß =Ü "5ß½ =Ü "5^2_3=5Û`=25

⑷ ¿¹^Ü"8Û½`=Û ¿¹<sup>Ü </sup>"Ã(2Ü`)Û`=ß "2ß½ =2

3-2

⑴ 5Ü`_5Û`Ö5Ý`=5^3+2-4=5

⑵ (2^;5$;)^;2%;=2^;5$;_;2%;=2Û`= 4

4-1

⑴ 2^'2_2^-2'2=2^'2-2'2=2^-'2

⑵ (4ÑÛ`)<sup>;2!;</sup>=4<sup>-2_;2!;</sup>=4ÑÚ`=;4!;

⑶ (7^;3@;_7^;2#;)ß =7^;3@;_6_7^;2#;_6=7Ý`_7á`=7⁴⁺⁹=7Ú`Ü`

⑷ 5^;2#;Ö5^;4#;=5^;2#;-;4#;=5^;4#;

4-2

본문 | 14~21 ^쪽 확인 문제

① "Ã(-1Å)½Û` ='1=1 (거짓)

② 세제곱근 8은 Ü '8=Ü "Å2Ü`=2이다. (참)

③ (-1)Ü =-1이므로 -1은 -1의 세제곱근이다. (참)

④ 2Ý`=16, (-2)Ý`=16이므로 2와 -2는 16의 네제곱근이다.

(참)

⑤ Ü '¶27=Ü "3ܽ =3, Ý '§¶81=Ý "3ݽ =3 (참) 따라서 옳지 않은 것은 ①

01-1

9의 네제곱근 중 실수인 것은 ÑÝ '9=ÑÝ "3Û½`=Ñ'3, Ü '8=Ü "2ܽ`=2이므로 Ü '8의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü '2이다.

∴ a=Ñ'3, b=Ü '2

∴ aÛ`+bÜ`=3+2=5

01-2

⑴ '2` 

Ü '2_ ß '2` 

¡ '2=Ý ¿¹'2` 

Ý ¿¹`Ü '2_ ¿¹ß '2` 

¿¹¡ '2=¡ '2` 

Ú`Û '2_Ú`Û '2` 

Ú`ß '2 =Ú`ß "2½Û`` 

Ú`ß '2 =Ú`ß¾\Ð 2Û`2æ=Ú`ß '2

⑵ Þ '¶27ÖÜ '3_Ú`Þ '3=<sup>5_3</sup>"3<sup>3_3</sup>Ö<sup>3_5</sup>"3Þ½`_Ú`Þ '3 =Ú`Þ "Ã3½á`_3` 

Ú`Þ "3½Þ` =Ú`Þ¾ÐÐ 3Ú`â`3Þ`=Ú`Þ "3Þ½`

=^3_5"3½Þ`=Ü '3 ݾР`¾ Ð

02-1

Ç 'b`=Ǿ;bA; , Ç`¹ "aµ``¹½`=Ç "aµ`` (단, p는 양의 정수)

⑴ -8의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-8 xÜ`+8=0, (x+2)(xÛ`-2x+4)=0 ∴ x=-2 또는 x=1Ñ'3i

따라서 -8의 세제곱근은 -2, 1Ñ'3i

⑵ 1의 네제곱근을 x라 하면 xÝ`=1 xÝ`-1=0, (xÛ`-1)(xÛ`+1)=0   ∴ x=Ñ1 또는 x=Ñi 따라서 1의 네제곱근은 Ñ1, Ñi

확인 체크 01

셀파 특강

➊ 4의 제곱근과 '4는 어떻게 다른가?

제곱해서 4가 되는 수를 x라 하면 xÛ`=4에서 x=Ñ2이므 로 4의 제곱근은 2와 -2이다.

이 중에서 양수 2를 '4, 음수 -2를 -'4로 나타내고 '4를 제곱근 4로 읽는다.

따라서 4의 제곱근은 Ñ2, 제곱근 4는 '4=2임을 알 수 있 다.

➋ 8의 세제곱근과 Ü '8은 어떻게 다른가?

세제곱해서 8이 되는 수를 x라 하면 xÜ`=8 xÜ`-8=0, (x-2)(xÛ`+2x+4)=0

즉, x=2 또는 x=-1Ñ'3i이므로 8의 세제곱근은 2, -1Ñ'3i이다.

이 중에서 실수 2를 Ü '8로 나타내고, Ü '8을 세제곱근 8로 읽 는다.

따라서 8의 세제곱근은 2, -1Ñ'3i이고 세제곱근 8은 Ü '8=2임을 알 수 있다.

세미나 거듭제곱근

¿¹^Ý"a½Ü``_'a 

Ý 'a =¿¹^Ý"a½Ü``_Ý "aÛ½` 

Ý 'a =¿¹^Ý"a½Þ`` 

Ý 'a =¡ "a½Þ` 

¡ "a½Û``

=¡¾Ð aÞ` 

aÛ`=¡ "a½Ü`

¡ "a½Ü`=µ` "Åa½Ç``이므로 m=8, n=3

∴ m+n=8+3=11

02-2

⑶ (2^;5!;_2^;2#;)Ú`â`=2^;5!;_10_2^{;2#;_ 10}

⑶ =2Û`_2Ú`Þ`=2<sup>2+15</sup>=2Ú`à

⑷ 3^3'2Ö3^-'2Ö3^2'2=33'2-(-'2 )-2'2=3^2'2

⑴ ß '¶16, Þ '8, Ý '4에서

  ß '¶16=ß "2½Ý`=<sup>3_2</sup>"2<sup>2_2</sup>=Ü "2Û½ , Þ '8=Þ "2ܽ , Ý '4=<sup>2_2</sup>"2Û½`='2 3, 5, 2의 최소공배수는 30이므로 Ü "2Û½`=<sup>3_10</sup>"2<sup>2_10</sup>=Ü`â "2Û`â`,

Þ "2½Ü`=<sup>5_6</sup>"2<sup>3_6</sup>=Ü`â "2Ú`¡`, '2=^2_15"2Ú`Þ`=Ü`â "2Ú`Þ`

이때 2Û`â`>2Ú`¡`>2Ú`Þ`이므로 Ü`â "2Û`â`>Ü`â "2Ú`¡`>Ü`â "2Ú`Þ`

∴ ß '¶16>Þ '8>Ý '4

⑵ '2, Ü '3, Ý '5, ß '7에서 2, 3, 4, 6의 최소공배수는 12이므로 '2=^2_6"\2½ß`=Ú`Û "2ß½ =Ú`Û "64,

Ü '3=^3_4"3ݽ`=Ú`Û "3½Ý`=Ú`Û "81, Ý '5=^4_3"5ܽ`=Ú`Û "5½Ü`=Ú`Û "12½5, ß '7=^6_2"7Û½`=Ú`Û "7½Û`=Ú`Û "49

이때 125>81>64>49이므로 Ú`Û "12½5>Ú`Û "81>Ú`Û "64>Ú`Û "49 ∴ Ý '5>Ü '3>'2>ß '7

03-1

⑴ {;5@;}â`+[{:Á;8@;°:}^;2!;]^;3$;=1+[{;2%;}^;2#;]^;3$;

=1+{;2%;}^;2#;_;3$;

=1+{;2%;}Û`=1+:ª4°:

=:ª4»:

⑵ 32^-;5!;+25^-;2!;=(2Þ`)<sup>-;5!;</sup>+(5Û`)^-;2!;

=2ÑÚ`+5ÑÚ =;2!;+;5!;=;1¦0;

⑶ (4^'3)^'¶12=(2^2'3)^2'3=2^2'3_2'3=2Ú`Û`

⑷ 9^-;2#;_8^;3!;Ö81^-;2#;=(3Û`)<sup>-;2#;</sup>_(2Ü`)^;3!;Ö(3Ý`)^-;2#;

=3^2_{-;2#;}_2^3_;3!;Ö3^4_{-;2#;}

=3^-3_2Ö3^-6

=3^-3-(-6)_2

=3Ü`_2=54

04-1

⑴ a^;3@;_a^;6!;Öa^;3!;=a;3@;+;6!;-;3!;=a^;6#;=a^;2!;

⑵ (abÞ`)<sup>;6!;</sup>Ö(ab)<sup>;2!;</sup>_(abÛ`)^;3!;

=(a^;6!;b^;6%;)Ö(a^;2!;b^;2!;)_(a^;3!;b^;3@;) =a;6!;-;2!;+;3!;b;6%;-;2!;+;3@;

=aâ`bÚ`=b

04-2

⑴ ¿¹^Ý"a½Ü`=(a^;4#;)^;2!;=a^;8#;, Ü ¿¹^Ý"aû½``=(a^;4K;)^;3!;=a^;1ð2;

a^;8#;=a^;1ð2;이므로 ;8#;=;1ð2; ∴ k=;2(;

⑵

¿¹ "

Å

Ý ¿¹^Ý"Ý'Å^{a ={(a;4!;);4!;};4!;=a;6Á4;이므로}

a^;1Á6;_a^;6Á4;=a;1Á6;+;6Á4;=a^;6°4;=aû`    ∴ k=;6°4;

05-1

⑴

¿¹

={a_(a¡`)<sup>;2!;</sup>}<sup>;2!;</sup>=(a_aÝ`)^;2!;

=(aÞ`)^;2!;=a^;2%;

⑵ Ý ¿¹<sup>a`Ü </sup>"a<sup>Û _</sup>¹'a={a_(aÛ`_a^;2!;)^;3!;}^;4!;

={a_(a^;2%;)^;3!;}^;4!;=(a_a^;6%;)^;4!;

=(a^:Á6Á:)^;4!;=a^;2!4!;

05-2

⑴ a+aÑÚ`=5의 양변을 제곱하면 aÛ`+2+aÑÛ`=25 ∴ aÛ`+aÑÛ`=23

⑵ a+aÑÚ`=5의 양변을 세제곱하면 aÜ`+aÑÜ`+3aaÑÚ`(a+aÑÚ`)=125 ∴ aÜ`+aÑÜ`=125-3_1_5=110

06-1

⑴ { 1aÜ` }Ý`Å`= 1 aÚ`Û`Å`= 1

(aÛ`Å`)ß``

= 1

('2)ß`= 1 2Ü`=;8!;

⑵ 주어진 식의 분모, 분자에 각각 aÅ`을 곱하면 aÅ`-aÑÅ`

aÅ`+aÑÅ`=aÅ`(aÅ`-aÑÅ`) aÅ`(aÅ`+aÑÅ`) =aÛ`Å`-1

aÛ`Å`+1= '2-1 '2+1 =('2-1)Û`

=3-2'2

07-1

a^;3@;+a^-;3@;=(a^;3!;+a^-;3!;)Û`-2a^;3!;a^-;3!;=2에서

(a^;3!;+a^-;3!;)Û`=2+2=4

a>0이므로 a^;3!;+a^-;3!;=2

a^;3!;+a^-;3!;=2의 양변을 세제곱하면

a+aÑÚ`+3a^;3!;a^-;3!;(a^;3!;+a^-;3!;)=8

∴ a+aÑÚ`=8-3_1_2=2

06-2

주어진 식의 분모, 분자에 각각 2Å`을 곱하면 2Ü`Å`-2ÑÅ`

2Å`-2ÑÜ`Å`=2Å`(2Ü`Å`-2ÑÅ`)

2Å`(2Å`-2ÑÜ`Å`)= 2Ý`Å`-1 2Û`Å`-2ÑÛ`Å`

=(2Û`Å`)Û`-1    233332Û`Å`- 1

2Û`Å`

=(4Å`)Û`-1 4Å`- 1

4Å`

=2Û`-1 2-;2!;= 3

;2#;=2

07-2

본문 | 22 ^쪽 집중 연습

⑴ (a^;2!;+a^-;2!;)Û`-(a<sup>;2!;</sup>-a<sup>-;2!;</sup>)Û`

=(a+2+aÑÚ`)-(a-2+aÑÚ`) =2+2=4

⑵ (a^;4!;-b^;4!;)(a^;4!;+b^;4!;)(a^;2!;+b^;2!;) =(a^;2!;-b^;2!;)(a^;2!;+b^;2!;) =a-b

⑶ (a^;3!;+a^-;3@;)Ü`+(a^;3!;-a^-;3@;)Ü

=a+aÑÛ`+3a^;3!;a^-;3@;(a^;3!;+a^-;3@;)

+a-aÑÛ`-3a^;3!;a^-;3@;(a^;3!;-a^-;3@;) =2a+3a^-;3!;(a^;3!;+a^-;3@;-a^;3!;+a^-;3@;)

=2a+3a^-;3!;_2a^-;3@;

=2a+6aÑÚ`=2a+;a^;

01

⑴ x^;2!;+x^-;2!;=4의 양변을 제곱하면

x+2+xÑÚ`=16 ∴ x+xÑÚ`=14

⑵ x^;2!;+x^-;2!;=4의 양변을 세제곱하면

x^;2#;+x^-;2#;+3(x^;2!;+x^-;2!;)=64

∴ x^;2#;+x^-;2#;=64-3_4=52

⑶ ⑴에서 구한 x+xÑÚ`=14의 양변을 제곱하면 xÛ`+2+xÑÛ`=196

∴ xÛ`+xÑÛ`=194

02

주어진 식의 분모, 분자에 각각 aÅ`을 곱하면

⑴ aÅ`+aÑÅ`

aÅ`-aÑÅ`=aÅ`(aÅ`+aÑÅ`)

aÅ`(aÅ`-aÑÅ`)=aÛ`Å`+1 aÛ`Å`-1

=2+1

2-1=3

⑵ aÜ`Å`+aÑÜ`Å`

aÅ`+aÑÅ` =aÅ`(aÜ`Å`+aÑÜ`Å`) aÅ`(aÅ`+aÑÅ`)

=aÝ`Å`+aÑÛ`Å`

aÛ`Å`+1 = aÛ`Å`+1

=4+;2!;

2+1 =

;2(;

3 =;2#;

(aÛ`Å`)Û`+ 1 aÛ`Å`

03

⑶ a^;2!;+a^-;2!;을 제곱하면

(a^;2!;+a^-;2!;)Û`=a+aÑÚ`+2=5+2=7

a>0이므로 a^;2!;+a^-;2!;='7

⑴ 100Å`=25의 양변을 ;[!;제곱하면 (100Å`)^;[!;=25^;[!;, 100=(5Û`)^;[!;

∴ 5^;[@;=100 yy㉠

4´`=5의 양변을 ;]!;제곱하면 (4´`)^;]!;=5^;]!; ∴ 5^;]!;=4 yy㉡

㉠Ö㉡에서 5^;[@;Ö5^;]!;=100Ö4 5^;[@;-;]!;=25=5Û`

∴ ;[@;-;]!;=2

확인 체크 02

셀파 특강

주어진 식의 분모, 분자에 각각 2Å`을 곱하면

⑴ 2Å`-2ÑÅ`

2Å`+2ÑÅ`=2Å`(2Å`-2ÑÅ`)

2Å`(2Å`+2ÑÅ`)=2Û`Å`-1 2Û`Å`+1 =4Å`-1

4Å`+1=3-1 3+1=;2!;

⑵ 8Å`+8ÑÅ`

2Å`+2ÑÅ`=2Å`(2Ü`Å`+2ÑÜ`Å`)

2Å`(2Å`+2ÑÅ`) =2Ý`Å`+2ÑÛ`Å`

2Û`Å`+1

=4Û`Å`+4ÑÅ`

4Å`+1 = 4Å`+1

=9+;3!;

3+1 = :ª3¥:

4 =;3&;

| 다른 풀이 | 8Å`+8ÑÅ`

2Å`+2ÑÅ`=(2Å`+2ÑÅ`)(2Û`Å`-1+2ÑÛ`Å`) 2Å`+2ÑÅ`

=4Å`-1+1

4Å`=3-1+;3!;=;3&;

(4Å`)Û`+1 4Å`

04

"3ß½ =Û "3^2_3=3Ü`이므로 "3ß½ 의 세제곱근 중 실수인 것은 Ü "3ܽ =3 ∴ a=3

Ü '¶25Œ6=Ü "2¡½ 이므로 Ü '¶25Œ6의 네제곱근 중 실수인 것은 ÑÝ¿¹^Ü"2¡½`=ÑÚ`Û "2¡½`=Ñ<sup>3_4</sup>"2<sup>2_4</sup>=ÑÜ "2Û½`=ÑÜ '4

∴ b=Ü '4, c=-Ü '4 또는 b=-Ü '4, c=Ü '4

∴ a+b+c=3

02

n이 양의 정수이고 a가 양수일 때 ㄱ, ㄴ. n이 짝수이면

a의 n제곱근 중 실수인 것은 Ç 'a와 -Ç 'a이다.

그런데 -a의 n제곱근 중 실수인 것은 존재하지 않는다.

ㄷ, ㄹ. n이 홀수이면

a의 n제곱근 중 실수인 것은 `Ç 'a뿐이다.

또 -a의 n제곱근 중 실수인 것 은 Ç '¶-Œa뿐이다.

이때 Ç '¶-Œa=-Ç 'a이다.

따라서 보기 중 실수인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

01

본문 | 24~25 ^쪽 연습 문제

0

Z ZYŠ

ZB

ZB

ŠB ŠB Y

0

Z ZYŠ

ZB

ZB Y

ŠB

ŠB

⑶ aÜ`Å`+aÑÅ`

aÅ`+aÑÜ`Å`=aÅ`(aÜ`Å`+aÑÅ`) aÅ`(aÅ`+aÑÜ`Å`) = aÝ`Å`+1

aÛ`Å`+aÑÛ`Å`=(aÛ`Å`)Û`+1 1 122235aÛ`Å`+ 1 aÛ`Å`

= 4+1

2+;2!;= 5

;2%;=2

⑵ 4Å`=k에서 4=k^;[!; yy㉠

3´`=k에서 3=k^;]!; yy㉡

6½`=k에서 6=k^;z!; yy㉢

㉠_㉡Ö㉢에서 4_3

6 =k^;[!;_k^;]!;Ök^;z!;

k;[!;+;]!;-;z!;=2 ∴ k=2

Ü 'a` 

Þ 'a_ Þ 'a` 

'a _ 'a` 

Ü 'a

= ¿¹Ü 'a` 

¿¹Þ 'a_Ü ¿¹Þ 'a` 

Ü ¿¹'a _Þ ¿¹'a` 

Þ ¿¹Ü 'a

= ß "a  Ú`â 'a_Ú`Þ "a 

ß 'a_Ú`â "a  Ú`Þ 'a=1

`¾ÐÐ Ð Ð <sup>`Ü</sup>¾ Ð ^`Þ¾ Ð

03

직사각형의 대각선의 길이를 l이라 하면 피타고라스 정리에서 lÛ`=(Ý '9)Û`+(Ü '8)Û`=Ý "9Û½ +Ü "8Û½

`=Ý "Ã(3Û`)Û`+Ü "Ã(2Ü`)Û`=Ý "3ݽ`+Ü "Ã(2Û`)Ü`=3+4=7 따라서 구하는 대각선의 길이는 '7

04

(단, a>0)

Ú 3Œ`=5에서 (3Œ`)Û`=5Û`    ∴ 9Œ`=25 9Œ`=25, 8`=27에서 25<27이므로 9Œ`<8`

한편 9Œ`<8`에서 9Œ`<8`<9`이므로 9Œ`<9` ∴ a<c

Û 7º`=29, 8`=27에서 27<29이므로 8`<7º`

한편 8`<7º`에서 8`<7º`<8º`이므로 8`<8º` ∴ c<b

Ú, Û에서 a<c<b

따라서 대소 관계를 바르게 나타낸 것은 ①

| 참고 | 25<29이므로 9Œ`<7º`

한편 9Œ`<7º`에서 9Œ`<7º`<9º`이므로 9Œ`<9º` ∴ a<b

05

세 수 비교하기

두 수를 비교할 때는 두 수의 지수를 통일시키기가 비교적 쉽 지만 세 수 이상일 때는 지수를 통일시키기가 다소 어렵다.

예를 들어 05번 문제에서 세 수의 지수를 모두 통일시키면 밑 이 너무 커져서 비교하기가 쉽지 않다.

이런 경우에는 풀이에서와 같이 두 수씩 짝을 지어 대소를 비 교해야 하는데 a>b, b>c이면 a>b>c이지만 a>b, c>b이 면 다시 a와 c를 비교하여 a>c>b인지 c>a>b인지 정해야 한다.

LEC TURE

클릭 전 지도의 크기를 A라 하면

㈎에서 aÜ`A=2A이므로 aÜ`=2 양변을 ;3!;제곱하면 a=2^;3!;

㈏에서 bÜ`A=;2!;A이므로 bÜ`=;2!;=2ÑÚ`

양변을 ;3!;제곱하면 b=2^-;3!;

확대 버튼을 4번, 축소 버튼을 2번 클릭하면 지도의 크기는 aÝ`bÛ`A=(2^;3!;)Ý`(2<sup>-;3!;</sup>)Û`A=2^;3$;-;3@;A=2^;3@;A

∴ k=2^;3@;

따라서 구하는 답은 ②

07

¿¹

¹

={a_(a^:Á4£:)^;3!;}^;2!;=(a_a^;1!2#;)^;2!;

=(a^;1@2%;)^;2!;=a^;2@4%;

이때 Ú`Û "aÞ`û`=a^;1°2;k=a^;2@4%;이므로

;1°2;k=;2@4%; ∴ k=;2%;

따라서 구하는 답은 ②

06

aÝ`=5에서 양변을 ;4!;제곱하면

(aÝ`)^;4!;=5^;4!; ∴ a=5^;4!; yy㉠

bÞ =6에서 양변을 ;5!;제곱하면

(bÞ )^;5!;=6^;5!; ∴ b=6^;5!; yy㉡

cß =7에서 양변을 ;6!;제곱하면

(cß )^;6!;=7^;6!; ∴ c=7^;6!; yy㉢

㉠, ㉡, ㉢을 변끼리 곱하면 abc=5^;4!;_6^;5!;_7^;6!;

이 식의 양변을 n제곱하면

(abc)Ç`=(5<sup>;4!;</sup>_6<sup>;5!;</sup>_7<sup>;6!;</sup>)Ç`=5^;4N;_6^;5N;_7^;6N;

이때 5^;4N;_6^;5N;_7^;6N;이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 최솟값은 4, 5, 6의 최소공배수이므로 60

08

2Å`+2ÑÅ` 

2Å`-2ÑÅ`=3에서 좌변의 분모, 분자에 각각 2Å`을 곱하면 2Å`(2Å`+2ÑÅ`) 

2Å`(2Å`-2ÑÅ`)=3, (2Å`)Û`+1 (2Å`)Û`-1=3 (2Å`)Û`=(2Û`)Å`=4Å`이므로

4Å`+1 

4Å`-1=3, 4Å`+1=3(4Å`-1), 2_4Å`=4 ∴ 4Å`=2 따라서 4ÑÅ`=1 

4Å`=;2!;이므로 4Å`+4ÑÅ`=2+;2!;=;2%;

11

2Å`=9에서 2Å`=3Û` ∴ 2=3^;[@;

18´`=;3!;에서 18={;3!;}^;]!; ∴ ;1Á8;=3^;]!;

3^;[@;+;]!;=3^;[@;_3^;]!;=2_;1Á8;=;9!;=3ÑÛ`

∴ ;[@;+;]!;=-2 따라서 구하는 답은 ①

12

➊ a>0, m이 정수이고 n이 2 이상의 정수일 때 a^;n!;=Ç 'a, a^;;nM;;=Ç "aµ`

➋ a>0, r가 유리수일 때 aѨ`=1  a¨`

유리수 지수에서 (-2)^;4#;의 값은 없다.

또 0^;4#;은 정의하지 않는다.

일반적으로 유리수 지수는 밑이 양수이어야 정의된다.

(aµ``)Ç`=aµ``Ç` yy㉠

에서 m, n이 정수이면 a>0, a<0에 관계없이 ㉠이 성립한다.

그러나 m 또는 n이 유리수이면 a>0일 때만 ㉠이 성립한다.

예 a=-3, m=2, n=;2!;일 때     {(-3)Û`}<sup>;2!;</sup>=9<sup>;2!;</sup>=(3Û`)^;2!;=3 (◯)

{(-3)Û`}<sup>;2!;</sup>=(-3)Û`^_;2!;=(-3)Ú`=-3 (_)

세미나 유리수 지수의 정의

찻잔에 뜨거운 물을 부었을 때, 3분 후의 물의 온도가 50 ¾æ이므로 y=a_bÑ^`에 y=50, t=3을 대입하면

a_bÑÜ`=50 yy㉠

또 6분 후의 물의 온도가 40 æ¾이므로 y=a_bÑ^`에 y=40, t=6을 대입하면

a_bÑß`=40 yy㉡

㉡Ö㉠에서 bÑÜ`=;5$;

이때 9분 후의 물의 온도는 a_bÑá`이므로 a_bÑá`=a_bÑß`_bÑÜ`=40_;5$;=32`(¾æ)

13

x=3^;4!;-3^-;4!;의 양변을 제곱하면

xÛ =(3^;4!;-3^-;4!;)Û =3^;2!;+3^-;2!;-2 ∴ xÛ +2=3^;2!;+3^-;2!;

다시 이 식의 양변을 제곱하면 (xÛ`+2)Û`=(3^;2!;+3^-;2!;)Û xÝ`+4xÛ`+4=3+3ÑÚ`+2

∴ xÝ`+4xÛ`=5+;3!;-4=;3$;

10

 aº`=bŒ`에서 양변을 ;a!;제곱하면

(aº`)<sup>;a!;</sup>=(bŒ`)^;a!; ∴ a^;aB;=b yy㉠

이때 b=25a를 ㉠에 대입하면

a;;ª;a%;;Å;;=25a, aÛ`Þ`=25a ∴ aÛ`Ý`=25 (∵ a>0)

aÛ`Ý`=5Û 의 양변을 ;2Á4;제곱하면 (aÛ`Ý`)^;2Á4;=(5Û`)^;2Á4; ∴ a=5^;1Á2;

 b=25a=25_5^;1Á2;=5Û`_5^;1Á2;=5^;1@2%;

 ∴ Ü "Ã(aÛ`b)Ý`=Ü "a¡`bÝ`=Ü ¿¹^(5;1Á2;)¹^{¡`_</sup>¹<sup>(5;1@2%;)Ý`}

=Ü ¿¹^{5;3@;_5:ª3°:=Ü}"5½á`=Ü "5<sup>3_3</sup>=5Ü`=125

09

채점 기준 배점

a의 값을 구한다. 40%

b의 값을 구한다. 20%

Ü "Ã(aÛ`b)Ý`의 값을 구한다. 40%

⑴ 8Û`=64에서 2=log¥`64

⑵ 6ÑÛ`=;3Á6;에서 -2=log¤`;3Á6;

⑶ log¥`4=;3@;에서 8^;3@;=4

⑷ log_;2!;`2=-1에서 {;2!;}ÑÚ`=2

1-2

⑴ logª ;3$;+logª ;8#;=logª`{;3$;_;8#;}

=logª ;2!;=logª`2ÑÚ`

=-logª`2= -1

⑵ log£`36-log£`4=log£`:£4¤:=log£`9

=log£`3Û`= 2 `log£`3= 2

⑶ log¦`9 

log¦`3 =log£ 9=log£ 3Û`=2`log£ 3=2

2-1

본문 | 29, 31 ^쪽 개념 익히기

2. ^로그

⑴ 5Ü`=125에서 3 =log°`125

⑵ 10ÑÛ`=0.01에서 -2=logÁ¼`0.01

⑶ log£`81=4에서 3Ý`= 81

⑷ log¦ ;4Á9;=-2에서 7ÑÛ`=;4Á9;

1-1

지수와 로그의 밑 LEC TURE

aÅ`=N HjK x=logŒ`N (지수의 밑)=(로그의 밑)

⑷ log° 100´logÁ¼ 25=logÁ¼`100  logÁ¼`5 ´logÁ¼ 25 =logÁ¼`10Û` 

logÁ¼`5 ´logÁ¼ 5Û =2`logÁ¼`10 

logÁ¼`5 ´2`logÁ¼ 5=4

⑴ logª`;3@;+logª 6=logª {;3@;_6}=logª 4     =logª 2Û`=2`logª`2=2

⑵ log° 4-log° 20=log° ;2¢0;=log° ;5!;=log° 5ÑÚ

    =-log° 5=-1

⑶ logª¦ 9=log3Ü``3Û`=;3@; log£ 3=;3@;

⑷ logª`3´log£ 8=log£`3` 

log£`2 ´log£`2Ü`

=log£`3` 

log£`2 ´3 log£`2=3

2-2

로그의 여러 가지 성질 LEC TURE

➊ logŒ`M_N=logŒ`M+logŒ`N

➋ logŒ`;nM;=logŒ`M-logŒ`N

➌ logŒ`b=log`b  log`a

진수의 나눗셈 ⇨ 로그의 뺄셈 로그의 진수

로그의 밑

진수의 곱셈 ⇨ 로그의 덧셈

⑴ log`0.001=log 10ÑÜ`= -3 log 10=-3

⑵ log Þ 'Ä1000=log 1000^;5!;=log (10Ü`)^;5!;

=log 10^;5#;=;5#; log 10=;5#;

⑶ log 100'¶10=log (10Û`_10^;2!;)=log 10^;2%;

=;2%; log 10=;2%;

⑷ log`¾;1Ð0!0;=log {;10!0;}<sup>;2!;</sup>=log (10ÑÛ`)^;2!;

=log 10 ^-1 =-log`10= -1

3-1

⑴ log`100=log 10Û`=2`log 10=2

⑵ log 0.01=log 10ÑÛ`=-2`log 10=-2

⑶ log`'¶10=log 10<sup>;2!;</sup>=;2!;`log 10=;2!;

⑷ log ܾ¨;10!0;=log {;10!0;}^;3!;=log (10ÑÛ`)^;3!;

=log 10^-;3@;=-;3@; log 10

=-;3@;

3-2

⑴ log 3540 =log (3.54_10Ü`)   

=log`3.54+log 10Ü   

= 3 +0.5490

따라서 정수 부분은 3, 소수 부분은 0.5490

⑵ log 0.0354 =log`(3.54_10ÑÛ`)   

=log`3.54+log`10ÑÛ   

=-2+0.5490

따라서 정수 부분은 -2 , 소수 부분은 0.5490

4-1

⑴ log 216 =log`(2.16_10Û`)   

=log`2.16+log`10Û   

=2+0.3345

따라서 정수 부분은 2, 소수 부분은 0.3345

⑵ log 0.00216 =log`(2.16_10ÑÜ`)   

=log`2.16+log`10ÑÜ`    

=-3+0.3345

따라서 정수 부분은 -3, 소수 부분은 0.3345

⑶ log 65.2 =log`(6.52_10)=log`6.52+log`10   

=1+0.8142

따라서 정수 부분은 1, 소수 부분은 0.8142

⑷ log 65200 =log`(6.52_10Ý`)   

=log`6.52+log`10Ý   

=4+0.8142

따라서 정수 부분은 4, 소수 부분은 0.8142

4-2

본문 | 32~45 ^쪽 확인 문제

⑴ log£`(xÛ`-3x-10)이 정의되려면 (진수)>0에서

xÛ`-3x-10>0, (x+2)(x-5)>0 ∴ x<-2 또는 x>5

⑵ logx-3 (-xÛ`+9x-18)이 정의되려면

밑 조건에서 x-3>0, x-3+1, 즉 x>3, x+4이므로 3<x<4 또는 x>4 ……㉠

(진수)>0에서 -xÛ`+9x-18>0 xÛ`-9x+18<0, (x-3)(x-6)<0 ∴ 3<x<6 ……㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<4 또는 4<x<6

01-1

밑은 1이 아닌 양수이어야 한다. 즉, a>0, a+1 밑이 1이 아닌 양수인 이유는 무엇인가?

➊ logÁ`3=x라 하면 1Å`=3이다.

이때 1Å`=3을 만족시키는 x는 없다.

따라서 밑이 1이어서는 안된다.

➋ log¼`8=x라 하면 0Å`=8이다.

이때 0Å`=8을 만족시키는 x는 없다.

따라서 밑이 0이어서는 안된다.

➌ log-2`;2!;=x라 하면 (-2)Å`=;2!;이다.

이때 (-2)Å`=;2!;을 만족시키는 x는 없다.

따라서 밑이 음수이어서는 안된다.

진수는 양수이어야 한다. 즉, N>0

진수가 꼭 양수이어야 하는 이유는 무엇인가?

➊ log_;1Á0;`0=x라 하면 {;1Á0;}Å`=0이다.

이때 {;1Á0;}Å`=0을 만족시키는 x는 없다.

따라서 진수가 0이어서는 안된다.

➋ logÁ¼ (-1)=x라 하면 10Å`=-1이다.

이때 10Å`=-1을 만족시키는 x는 없다.

따라서 진수가 음수이어서는 안된다.

세미나 logŒ`N이 정의되기 위한 조건

logª (xÛ`-2kx+5)가 정의되려면 (진수)>0에서 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-2kx+5>0이어야 한다.

이때 이차방정식 xÛ`-2kx+5=0의 판별식을 D라 하면 D 

4 =(-k)Û`-5<0, kÛ`-5<0

(k+'5)(k-'5)<0 ∴ -'5<k<'5

따라서 구하는 정수 k의 개수는 -2, -1, 0, 1, 2의 5

'5=2.23` ` ` `

01-2

xÛ`+ax+b=0의 판별식 D<0이어야 한다. 집중 연습 ^{본문 |} 36 ^쪽

⑴ log°`5+log°`1=1+0=1

⑵ logª`;3@;+logª`;1£6;=logª`{;3@;_;1£6;}=logª`;8!;

=logª`2ÑÜ`=-3

⑶ logÁ¼`'5+;2!;`logÁ¼`2=logÁ¼`'5+logÁ¼`'2 =logÁ¼`('5_'2)=logÁ¼`'¶10 =logÁ¼`10^;2!;=;2!;

⑷ logª`6-logª`;2#;=logª`{6Ö;2#;}=logª`{6_;3@;}

=logª`4=logª`2Û`=2

⑸ log£`30+log£`9-log£`10 =log£`(30_9Ö10) =log£`27=log£`3Ü`=3

⑹ logª`'6-logª`'3+;2!;`logª`8   =logª`'6-logª`'3+logª`'8   =logª`('6Ö'3_'8)=logª`4   =logª`2Û`=2

01

⑴ logª '3

2 -;2!;`logª`3=logª '32 -logª`3^;2!;

=logª { '32 Ö'3 } =logª { '32 _ 1

'3 } =logª ;2!;=logª`2ÑÚ`

=-logª`2=-1

⑵ log£ ;5(;+2`log£`'5-;2!;`log£ ;9!;

=log£ ;5(;+log£ ('5)Û`-log£`{;9!;}^;2!;

=log£`{;5(;_5Ö;3!;}

=log£`{;5(;_5_3}

=log£ 3Ü`=3`log£ 3=3

log£`{;9!;}<sup>;2!;</sup>=log£`[{;3!;}Û`]<sup>;2!;</sup>=log£`;3!;

02-1

(주어진 식)

=logÁ¼`;2!;+logÁ¼`;3@;+logÁ¼`;4#;+ y +logÁ¼`;1»0»0;

=logÁ¼`{;2!;_;3@;_;4#;_ y _;1»0»0;}

=logÁ¼`;10!0;=logÁ¼`10ÑÛ`

=-2`logÁ¼`10=-2

02-2

주의해야 할 로그의 성질

➊ logŒ`M+logŒ`N+logŒ`(M+N)

예 logª`3+logª`5+logª`8

➋ logŒ`M-logŒ`N+logŒ (M-N)

예 logª`5-logª`3+logª`2

➌ logŒ`M 

logŒ`N+logŒ`M-logŒ`N

예 logª`5 

logª`3+logª`5-logª`3

➍ (logŒ`M)û`+k`logŒ`M

예 (logª`3)Ü`+3`logª`3 LEC TURE

⑴ logÁª°`25= logÁ¼`25

logÁ¼`125 =2`logÁ¼`5 3`logÁ¼`5 =;3@;

⑵ log¥`;4!;=logÁ¼`;4!;

logÁ¼`8 =-2`logÁ¼`2 3`logÁ¼`2 =-;3@;

02

⑴ log'2 3´log»`5´log'5 8 = logÁ¼`3

logÁ¼`'2_logÁ¼`5

logÁ¼`9 _ logÁ¼`8 logÁ¼`'5 = logÁ¼`3

;2!;`logÁ¼`2_ logÁ¼`5

2`logÁ¼`3 _ 3`logÁ¼`2

;2!;`logÁ¼`5 =2_;2!;_6=6

⑵ (log¦`16´log£`7-log£`2)logª`3 ={logÁ¼`16

logÁ¼`7 _logÁ¼`7

logÁ¼`3 -logÁ¼`2

logÁ¼`3 }_logÁ¼`3 logÁ¼`2 ={4`logÁ¼`2

logÁ¼`3 -logÁ¼`2

logÁ¼`3 }logÁ¼`3 logÁ¼`2 =3`logÁ¼`2

logÁ¼`3 _logÁ¼`3 logÁ¼`2 =3

03-1

logŒ c：logº`c=3：1에서 3`logº`c=logŒ c 즉, 3

log`b = 1

log`a 이므로

3`log`a=log`b, log`aÜ`=log`b    ∴ b=aÜ`

∴ logŒ`b+logº`a=logŒ`aÜ`+log^aÜ` a =3+;3!;=:Á3¼º;;

| 다른 풀이 |

3`log`a=log`b에서 log`b

log`a =3, 즉 logŒ`b=3이므로 logŒ`b+logº`a=logŒ`b+ 1

logŒ`b =3+;3!;=:Á3¼º:

03-2

⑴ logª`5´log° 3=logÁ¼`5

logÁ¼`2 _logÁ¼`3

logÁ¼`5 =logÁ¼`3

logÁ¼`2 =logª`3 ∴ 2logª`5´log° 3=2^{logª 3}=3

⑵ 3`log°`2-2`log°`'5+log°`4=log°`2Ü`-log°`('5 )Û`+log°`4

=log°`8-log°`5+log°`4

=log°`{8_;5!;_4}=log°`:£5ª:

∴ 53`log°`2-2`log°`'5+log°`4=5<sup>log°`:£5ª:</sup>=:£5ª:

04-1

⑶ logª`3´log£`16 =logÁ¼`3

logÁ¼`2 _logÁ¼`16 logÁ¼`3 =logÁ¼`3

logÁ¼`2 _4`logÁ¼`2 logÁ¼`3 =4

⑷ log¢`27´log°`8´log»`25 =logÁ¼`27

logÁ¼`4 _logÁ¼`8

logÁ¼`5 _logÁ¼`25 logÁ¼`9 =3`logÁ¼`3

2`logÁ¼`2 _3`logÁ¼`2

logÁ¼`5 _2`logÁ¼`5 2`logÁ¼`3 =;2(;

⑸ (log¦`16´log£`7-log£`2)logª`3 ={4`logÁ¼`2

logÁ¼`7 _logÁ¼`7

logÁ¼`3 -logÁ¼`2

logÁ¼`3 }logÁ¼`3 logÁ¼`2 ={4`logÁ¼`2

logÁ¼`3 -logÁ¼`2

logÁ¼`3 }logÁ¼`3 logÁ¼`2 =3`logÁ¼`2

logÁ¼`3 ´logÁ¼`3 logÁ¼`2 =3

⑹ logª 9´log° 0.2´log»`4

=logÁ¼`9 logÁ¼`2 _

logÁ¼`;5!;

logÁ¼`5 _logÁ¼`4 logÁ¼`9 =2`logÁ¼`3

logÁ¼`2 _-logÁ¼`5

logÁ¼`5 _2`logÁ¼`2 2`logÁ¼`3 =-2

∴ 3logª 9´log° 0.2´log»`4=3ÑÛ`=;9!;

| 다른 풀이 |

⑴ logÁª°`25=log5Ü``5Û`=;3@;

⑵ log¥`;4!;=log<sup>2Ü`</sup>`2ÑÛ`=-;3@;

⑶ logª`3´log£`16= 1

log£`2 _4`log£`2=4

logª`4<logª`5<logª`8에서 2<logª`5<3이므로 logª`5=2.`   ` ∴ a=2

이때 b=logª`5-2=logª`5-logª`4=logª`;4%;

∴ a+2º`=2+2<sup>logª`;4%;</sup>=2+;4%;=:Á4£:

04-2

logª 3=a에서 log£ 2=;a!;이고, log£ 5=b

⑴ log£ 60=log£ (2Û`_3_5) =log£ 2Û`+log£ 3+log£`5

⑴ log£ 60=2`log£ 2+1+log£ 5 =;a@;+b+1

⑵ logÁª¼ 150=log£`150

log£`120 =log£`(2_3_5Û`) log£`(2Ü`_3_5) =log£`2+log£`3+log£`5Û`

log£`2Ü`+log£`3+log£`5 =log£`2+1+2`log£`5

3`log£`2+1+log£`5

=;a!;+1+2b

;a#;+1+b

=1+a+2ab

3+a+ab

05-1

2Œ`=3에서 a=logª 3, 2º`=5에서 b=logª 5

∴ logª¼¼ 270=logª`270

logª`200 =logª`(2_3Ü`_5) logª`(2Ü`_5Û`) =logª`2+logª`3Ü`+logª`5

logª`2Ü`+logª`5Û`

=1+3`logª`3+logª`5 3+2`logª`5

=1+3a+b

3+2b

05-2

⑴ 7Å`=9에서 x=log¦`9=log¦`3Û`=2`log¦`3 ∴ ;[@;= 1

log¦`3 =log£`7

21´`=27에서 y=logªÁ 27=logªÁ`3Ü`=3`logªÁ 3 ∴ ;]#;= 1

logªÁ`3 =log£ 21

∴ ;[@;-;]#;=log£ 7-log£ 21=log£ ;2¦1;

∴;[@;-;]#; =log£`;3!;=log£`3ÑÚ`=-1

| 다른 풀이 |

7Å`=9에서 7=9^;[!;=3^;[@; yy㉠

21´`=27에서 21=27^;]!;=3^;]#; yy㉡

㉠Ö㉡을 하면 7Ö21=3^;[@;Ö3^;]#;

;3!;=3^;[@;-;]#;, 3ÑÚ`=3^;[@;-;]#;

∴ ;[@;-;]#;=-1

⑵ 3Å`=15에서 x=log£ 15 ∴ ;[!;=logÁ° 3 5´`=15에서 y=log° 15 ∴ ;]!;=logÁ° 5 ∴ ;[!;+;]!;=logÁ° 3+logÁ° 5=logÁ° 15=1

| 다른 풀이 |

3Å`=15에서 3=15^;[!; yy㉠

5´`=15에서 5=15^;]!; yy㉡

㉠_㉡을 하면

3_5=15^;[!;_15^;]!;, 15=15^;[!;+;]!;

∴ ;[!;+;]!;=1

06-1

이차방정식 xÛ`-5x+2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관 계에서 ab=2

∴ logª`1

a +logª`1

b =logª` 1

ab =logª`;2!;

    =logª`2ÑÚ`=-1

07-1

log 0.004=log`(4_10ÑÜ`)=-3+log`4

이때 log 1<log 4<log 10, 즉 0<log 4<1이므로 n=-3, a=log`4

∴ n+10^a=-3+10^log`4=-3+4=1

09-2

⑴ log`x=3.8762와 log 7.52=0.8762에서 소수 부분이 0.8762 로 같으므로 진수 x의 숫자 배열은 진수 7.52의 숫자 배열, 즉 7, 5, 2와 같다.

이때 log`x의 정수 부분이 3이므로 x는 정수 부분이 네 자리인 수이다.

∴ x=7520

확인 체크 01

셀파 특강

⑴ log`AÜ` =3`log`A=3_(-2.4)=-7.2   

=-7-0.2   

=(-7-1)+(1-0.2)=-8+0.8 ∴`정수 부분 : -8, 소수 부분 : 0.8

⑵ log` 1

A =log`AÑÚ`=-log`A     =2.4

  ∴`정수 부분 : 2, 소수 부분 : 0.4

09-1

⑴ log`1130 =log`(1.13_10Ü`)   

=3+log`1.13     =3+0.053=3.053

⑵ log`0.124 =log`(1.24_10ÑÚ`)   

=-1+log`1.24     =-1+0.093=-0.907

08-1

⑵ log`0.124=log`(1.24_10ÑÚ`)

⑴ log`2.4=log ;1@0$;=log`24-log 10

=log`(2Ü`_3)-1=3`log 2+log`3-1 =3_0.3010+0.4771-1=0.3801

⑵ log`;8%;=log 5-log`8=log`:Á2¼:-log 2Ü`

=log`10-log`2-3`log`2=1-4`log`2 =1-4_0.3010=-0.2040

⑶ log`'2

3 =log`'2-log 3=;2!;`log`2-log 3 =;2!;_0.3010-0.4771=-0.3266

08-2

⑷ log`Ü '§18=log 18<sup>;3!;</sup>=;3!;`log`18 =;3!;`log (2_3Û`) =;3!;(log`2+2`log 3) =;3!;(0.3010+2_0.4771) =;3!;_1.2552=0.4184 이차방정식 xÛ`-7x+2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관

계에서

a+b=7, ab=2

∴ logab {a+1

b +1}+log^ab {b+1 a +1}

=logab{a+1

b +1}{b+1 a +1}

=logab{ab+1+a+1+ 1 ab +1

b +b+1 a +1}

=logab{ab+ 1

ab +a+b+a+b ab +3}

=logª`{2+;2!;+7+;2&;+3}

=logª`16=logª`2Ý`=4

a+b=7, ab=2를 대입

07-2

어떤 수 N을 N=a_10Ç` (1Éa<10, n은 정수)으로 나타 내는 것을 ‘과학적 표기법(Scientific Notation)’이라 한다.

상용로그에서 매우 중요하게 다루는 정수 부분과 소수 부분은 이 과학적 표기법과 관련이 있다.

이때 정수 부분은 10을 몇 제곱하였는지 나타내는 n과 같고, 소수 부분은 log`a의 값과 같다.

예를 통해 정수 부분과 소수 부분의 뜻을 알아보자.

상용로그표에서 log`7.65=0.8837이므로 위 표의 내용을 log`N=(정수 부분)+(소수 부분) 꼴로 나타내면 log`7650=3+0.8837

또 76.5와 76500을

log`N=(정수 부분)+(소수 부분) 꼴로 각각 나타내면 76.5=7.65_10Ú` ⇨ log`76.5=1+0.8837

76500=7.65_10Ý` ⇨ log`76500=4+0.8837 이때 상용로그의 정수 부분에 대하여 알아보자.

정수 부분 3 ⇨ N=a_10Ü` ⇨ 정수 부분이 4자리인 수 정수 부분 1 ⇨ N=b_10Ú` ⇨ 정수 부분이 2자리인 수 정수 부분 4 ⇨ N=c_10Ý` ⇨ 정수 부분이 5자리인 수

즉, (상용로그의 정수 부분의 값)+1=(정수 부분의 자릿수) 이다.

N a_10Ç`` 정수 부분 소수 부분

7650 7.65_10Ü` 3 log`7.65

세미나 상용로그의 정수 부분

log`3Û`Û`=22`log`3=22_0.4771=10.4962

따라서 log`3Û`Û`의 정수 부분이 10이므로 3Û`Û`은 11자리 정수

10-1

aÚ`â`이 25자리 정수이므로 log`aÚ`â`의 정수 부분은 24이다.

즉, log`aÚ`â`=24.` `이므로 24Élog`aÚ`â`<25, 24É10`log`a<25

∴ 2.4Élog`a<2.5 yy㉠

한편 log ;a!;=-log`a이므로 ㉠의 각 변에 -1을 곱하면 -2.5<-log`aÉ-2.4

따라서 log`;a!;의 정수 부분이 -3이므로 ;a!;은 ^{소수점 아래 셋째} 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

10-2

진수 조건에서 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-2ax+a+2>0이어야 한다.

이때 이차방정식 xÛ`-2ax+a+2=0의 판별식을 D라 하면 D 4 =aÛ`-(a+2)<0

aÛ`-a-2<0, (a+1)(a-2)<0

∴ -1<a<2

01

본문 | 46~47 ^쪽 연습 문제

Ú → ⇨ → ⇨ ☆에서 → 로 만든 수는 4이다.

→ ⇨ → 로 만든 수는 4에서 오른쪽으로 한 칸 움직인 곳에 있는 수 8이다.

→ ⇨ → ⇨ ☆로 만든 수는 8에서 오른쪽으로 한 칸 움 직인 곳에 있는 수 16을 밑이 2인 로그로 변환한 수이므로 logª`16=4이다.

∴ A=4

Û → ⇨ ↓ ⇨ ↓ ⇨ ♤에서

→ ⇨ ↓ 로 만든 수는 4에서 아래쪽으로 한 칸 움직인 곳에 있는 수 ;4!;이다.

→ ⇨ ↓ ⇨ ↓ 로 만든 수는 ;4!;에서 아래쪽으로 한 칸 움직인 곳에 있는 수 9이다.

02

⑵ -2.1238 =-2-0.1238  

=(-2-1)+(1-0.1238)   

=-3+0.8762

log y=-3+0.8762와 log 7.52=0.8762에서 소수 부분이 0.8762로 같으므로 진수 y의 숫자 배열은 진수 7.52의 숫자 배 열, 즉 7, 5, 2와 같다.

이때 log y의 정수 부분이 -3이므로 y는 소수점 아래 셋째 자 리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.

∴ y=0.00752

aÞ`=bÜ`의 양변에 a를 밑으로 하는 로그를 취하면 logŒ`aÞ`=logŒ`bÜ`에서 5=3`logŒ`b

따라서 logŒ`b=;3%;이므로

logŒ`"ab½Û`=logŒ`(abÛ`)^;2!;=;2!; (logŒ`a+logŒ`bÛ`)

=;2!;(1+2`logŒ`b)=;2!; {1+2_;3%;}

=;2!;_;;Á3£;;=;;Á6£;;

07

 logaÛ` 16=logº`64에서 양변을 2를 밑으로 하는 로그로 바꾸면   logaÛ` 16=logª`16 

logª`aÛ` = 4 

2`logª`a = 2 logª`a ,   logº`64=logª`64 

logª`b = 6 logª`b

 2

logª`a = 6 

logª`b , logª`b=3`logª`a 즉, logª`b=logª`aÜ`이므로 b=aÜ`

 ∴ logŒº bÛ`=loga_aÜ` (aÜ`)Û`=logaÝ` aß`

    =;4^; logŒ`a=;2#;

06

채점 기준 배점

logaÛ``16, logº`64를 2를 밑으로 하는 로그로 바꾼다. 40%

a, b 사이의 관계식을 구한다. 30%

logŒº`bÛ`의 값을 구한다. 30%

log£`x =log®`3, 1  1 

log¢`x =log®`4, y이므로 log£`x +1  1 

log¢`x + 1 

logÁª`x + 1  logª°`x

=log®`3+log®`4+log®`12+log®`25

=log®`(3_4_12_25)=log®`(3Û`_4Û`_5Û`)

=log®`60Û`=2`log®`60 한편 2

logû`x =2`log®`k이므로 2`log®`60=2`log®`k ∴ k=60

04

3^a+b=4에서 a+b=log£`4 2<sup>a-b</sup>=5에서 a-b=logª`5

aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)=log£`4_logª`5 =2`log£`2_log£`5 

log£`2 =2`log£`5

=log£`25

∴ 3^aÛ`-bÛ`=3^log£`25=25 따라서 구하는 답은 ⑤

05

abc=1이므로 bc=;a!;, ac=;b!;, ab=;c!;

∴ (주어진 식)

=(logŒ`b+logŒ`c)+(logº`a+logº`c)+(log`a+log`b) =logŒ`bc+logº`ac+log`ab

=logŒ`;a!;+logº`;b!;+log`;c!;

=logŒ`aÑÚ`+logº`bÑÚ`+log`cÑÚ`

=(-1)+(-1)+(-1)=-3

| 다른 풀이 |

abc=1에서 양변에 10을 밑으로 하는 로그를 취하면 logÁ¼`abc=logÁ¼`1 ∴ logÁ¼`a+logÁ¼`b+logÁ¼`c=0

∴ (주어진 식) =logÁ¼`b

logÁ¼`a +logÁ¼`a

logÁ¼`b +logÁ¼`c

logÁ¼`b +logÁ¼`b

logÁ¼`c +logÁ¼`a

logÁ¼`c+<sub>logÁ¼`a</sub>^logÁ¼`c

=logÁ¼`b+logÁ¼`c

logÁ¼`a +logÁ¼`a+logÁ¼`c

logÁ¼`b +logÁ¼`a+logÁ¼`b logÁ¼`c

=-logÁ¼`a

logÁ¼`a +-logÁ¼`b

logÁ¼`b +-logÁ¼`c logÁ¼`c =-1-1-1=-3

03

→ ⇨ ↓ ⇨ ↓ ⇨ ♤로 만든 수는 9에서 아래쪽으로 한 칸 움직인 곳에 있는 수 ;9!; 을 밑이 3인 로그로 변환한 수이 므로 log£`;9!;=-2이다.

∴ B=-2

∴ A-B=4-(-2)=6

NÜ`â`이 49자리 정수이므로 log`NÜ`â`의 정수 부분은 48이다.

48Élog`NÜ`â`<49, 48É30`log`N<49

∴ ;3$0*;Élog`N<;3$0(; yy㉠

이때 log`NÚ`Û`=12`log`N이므로

㉠의 각 변에 12를 곱하면

:»5¤:É12`log`N<:»5¥:, 19.2É12`log`N<19.6

따라서 log`NÚ`Û`의 정수 부분이 19이므로 NÚ`Û`은 20자리 정수

11

16Œ`=27º`=x`에서 각 변에 상용로그를 취하면 log`2^4a=log`3<sup>3b</sup>=log`x`

4a`log`2=3b`log`3=c`log`x=k로 놓으면 4a`log`2=k에서 1 

a =4`log`2 

k yy㉠

3b`log`3=k에서 1 

b =3`log`3 

k yy㉡

c`log`x=k에서 1 

c =log`x 

k yy㉢

㉠, ㉡, ㉢을 3  a +4 

b =12 

c 에 대입하면 12`log`2 

k +12`log`3 

k =12`log`x k 12`log`6=12`log`x ∴ x=6 따라서 구하는 답은 ①

08

xÛ`-4x+1=0의 다른 한 근을 b라 하면 근과 계수의 관계에서 b_logŒ`b=1 ∴ b= 1 logŒ`b =logº`a

이때 두 근의 합은 logŒ`b+logº`a=4

log`b 

log`a +log`a 

log`b =4, (log`b)Û`+(log`a)Û` 

log`a_log`b =4 (log`a)Û`+(log`b)Û`=4`log`a_log`b

∴ (log`ab)Û` =(log`a+log`b)Û

=(log`a)Û`+(log`b)Û`+2`log`a_log`b

=4`log`a_log`b+2`log`a_log`b

=6`log`a_log`b

∴ k=6

09

Ú 1ÉnÉ9일 때, f(n)=0 Û 10ÉnÉ99일 때, f(n)=1 Ü n=100일 때, f(n)=2

∴ f(1)+f(2)+f(3)+ y +f(100) =0_9+1_90+2_1=92

10

하루 동안 달리는 거리는 첫 번째 일요일 5`km

두 번째 일요일 5(1+0.1)=5(1.1)`km 세 번째 일요일 5(1.1)(1+0.1)=5(1.1)Û``km ⋮

n번째 일요일 5(1.1)^n-1`km

n번째 일요일 하루 동안 달리는 거리가 20`km 이상이 된다고 하 면

5(1.1)^n-1¾20, (1.1)^n-1¾4 양변에 상용로그를 취하면 (n-1)log`1.1¾2`log`2 n-1¾2`log`2 

log`1.1 =2_0.3010 

0.0414 =14.`     `

∴ n¾15.`     `

즉, 16번째 일요일 하루 동안 달리는 거리가 처음으로 20`km 이 상이 된다.

따라서 구하는 답은 ②

13

규모 4 이상인 지진이 1년에 평균 64번 발생하므로 M=4, N=64를 대입하면

log`64=a-0.9_4, 6`log`2=a-3.6 1.8=a-3.6에서 a=5.4

∴ log`N=5.4-0.9M

이때 규모 x 이상인 지진은 1년에 평균 한 번 발생하므로 M=x, N=1을 대입하면

log`1=5.4-0.9_x, 0.9x=5.4

∴ x=6

12