지수함수와 로그함수의 활용

⑴ (진수)>0에서 x-1>0이므로 x>1   로그의 정의에 따라

x-1= 8 이므로 x=9

이때 x=9는 진수 조건 x>1을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.

∴ x=9

⑵ (진수)>0에서 x>0, 3x-5>0이므로 x>;3%;

  1+logª`x=logª`2+logª`x=logª`2x에서   로그함수의 성질에 따라

3-1

⑶ {;3!;}Å`±Ú`<;8Á1;에서 {;3!;}Å`±Ú`<{;3!;}Ý`

이때 0<(밑)<1이므로 x+1>4 ∴ x>3

⑷ {;2#;}Û`Å`æ¾;8!1^;에서 {;2#;}Û`Å`æ¾{;2#;}ÑÝ`

이때 (밑)>1이므로 2x¾æ -4 ∴ xæ¾-2

⇨ 부등호 방향이 바뀐다.

⇨ 부등호 방향이 그대로이다.

⑴ (진수)>0에서 x-1>0 ∴ x>1 yy㉠

(밑)>1이므로 부등호 방향이 그대로이다.

즉, logª (x-1)<logª 3

HjK x-1<3, x< 4 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x<4

⑵ (진수)>0에서 x>0 yy㉠

0<(밑)<1이므로 부등호 방향이 바뀐다.

즉, log;3!; x¾ælog;3!; 2 HjK x É 2 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<xÉ2

4-1

⑴ (진수)>0에서 1-x>0 ∴ x<1 yy㉠

(밑)>1이므로 부등호 방향이 그대로이다.

즉, log£ (1-x)æ¾log£ 2

HjK 1-x¾æ2, xÉ-1 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 xÉ-1

4-2

⑴ (진수)>0에서 x+1>0이므로 x>-1 로그의 정의에 따라

x+1={;3!;}ÑÚ`이므로 x+1=3, x=2

이때 x=2는 진수 조건 x>-1을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.

∴ x=2

⑵ (진수)>0에서 xÛ`-4>0, -4x+1>0 Ú xÛ`-4>0일 때, (x+2)(x-2)>0 ∴ x<-2 또는 x>2

Û -4x+1>0일 때, x<;4!;

Ú, Û에서 x<-2 yy㉠

로그함수의 성질에 따라 xÛ`-4=-4x+1

xÛ`+4x-5=0, (x+5)(x-1)=0 ∴ x=-5 또는 x=1 yy㉡

㉠, ㉡에서 x=-5

3-2

^{확인 문제 본문 | 82~97 쪽}

⑴ 4Å`-2'2=0에서

4Å`=(2Û`)Å`=2Û`Å`, 2'2=2_2<sup>;2!;</sup>=2<sup>;2#;</sup>이므로 2Û`Å`=2^;2#;

이때 양변의 밑이 같으므로 2x=;2#; ∴ x=;4#;

⑵ {;3@;}^-3x+4={;4(;}^x에서 {;4(;}^x={;2#;}^2x={;3@;}^-2x이므로 {;3@;}^-3x+4={;3@;}^-2x

이때 양변의 밑이 같으므로 -3x+4=-2x ∴ x=4

⑶ 3^xÛ`+1

3^x-1=81에서 3^xÛ`+1

3^x-1=3xÛ`+1-(x-1)=3<sup>xÛ`-x+2</sup>, 81=3Ý

  이므로 3<sup>xÛ`-x+2</sup>=3Ý 이때 양변의 밑이 같으므로 xÛ`-x+2=4, xÛ`-x-2=0

(x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2

01-1

^셀파 양변의 밑을 같게 하여 a ^f(x)=a ^g(x)(a>0, a+1)꼴로 바꾼다.

Ú 밑이 1인 경우

x+2=1, 즉 x=-1일 때 1Þ`=1Ú`=1로 성립한다.

Û 지수가 같은 경우 3-2x=xÛ`에서

xÛ`+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 ∴ x=-3 또는 x=1

그런데 x>-2이므로 x=1 Ú, Û에서 x=-1 또는 x=1

01-2

^셀파 지수가 같은 경우에는 밑이 같을 때와 지수가 0일 때 로 나누고, 밑이 같은 경우에는 지수가 같을 때와 밑이 1일 때 로 나눈다.

2x=3x-5이므로 x= 5

이때 x=5는 진수 조건 x>;3%; 를 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.

∴ x=5

⑵ (진수)>0에서 x>0 yy㉠

0<(밑)<1이므로 부등호 방향이 바뀐다.

즉, log;2!; x<log;2!; 3 HjK x>3 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>3

⑴ 4Å`-5_2Å`ÑÚ`+1=0에서 (2Å`)Û`-;2%;_2Å`+1=0   2Å`=t (t>0)로 치환하면

  tÛ`-;2%;t+1=0, 2tÛ`-5t+2=0, (2t-1)(t-2)=0   ∴ t=;2!; 또는 t=2

t=;2!;일 때 2Å`=;2!;에서 x=-1, t=2일 때 2Å`=2에서 x=1   ∴ x=-1 또는 x=1

⑵ 2Å`+2Û`ÑÅ`-5=0에서 2Å`+ 4 2Å`-5=0   2Å`=t (t>0)로 치환하면

  t+;t$;-5=0, tÛ`-5t+4=0

(t-1)(t-4)=0 ∴ t=1 또는 t=4 t=1일 때 2Å`=1에서 x=0,

t=4일 때 2Å`=4에서 x=2   ∴ x=0 또는 x=2

02-1

^셀파 aÅ` 꼴이 반복될 때는 aÅ`=t (t>0)로 치환한다.

27Å`-3_9Å`-3Å`+3=0에서 (3Å`)Ü`-3_(3Å`)Û`-3Å`+3=0

3Å`=t (t>0)로 치환하면 tÜ`-3tÛ`-t+3=0

(t-1)(tÛ`-2t-3)=0, (t-1)(t-3)(t+1)=0

∴ t=1 또는 t=3 (∵ t>0) t=1일 때 3Å`=1에서 x=0, t=3일 때 3Å`=3에서 x=1 따라서 구하는 모든 실근의 합은 1 1  1  -3  -1  -3     -1  -2  -3   1  -2  -3  0

02-2

^셀파 aÅ` 꼴이 반복될 때는 aÅ`=t (t>0)로 치환한다.

4Å`-3_2Å`±Û`+8=0에서 (2Å`)Û`-12_2Å`+8=0 2Å`=t (t>0)로 치환하면 tÛ`-12t+8=0 yy㉠

주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 방정식 ㉠의 두 근은 2^a, 2^b 이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 2^a_2^b=8이므로 2^a+b=2Ü`

∴ a+b=3

03-1

^셀파 f(aÅ`)=0의 근이 a, b일 때, aÅ`=t로 치환한 f(t)=0 의 근은 a^a, a^b이다.

9Å`=4_3Å`+k에서 (3Å`)Û`=4_3Å`+k 3Å`=t (t>0)로 치환하면 tÛ`=4t+k

∴ tÛ`-4t-k=0 …… ㉠

주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 방정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.

방정식 ㉠의 두 실근을 a, b, 판별식을 D라 하면 Ú D4 =4+k>0    ∴ k>-4

Û a+b=4>0

Ü ab=-k>0    ∴ k<0 Ú, Û, Ü에서 -4<k<0

| 다른 풀이 |

9Å`=4_3Å`+k에서 3Å`=t (t>0)로 치환하면 tÛ`=4t+k    ∴ tÛ`-4t=k ……㉠

방정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 함수 y=tÛ`-4t (t>0)의 그래프와 직선 y=k 의 교점이 2개이어야 한다.

따라서 오른쪽 그림에서 -4<k<0

0



  Z

ZL ZU™AU

U

03-2

^셀파 3Å`=t (t>0)로 치환하여 얻은 t에 대한 이차방정식 은 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다.

이차방정식의 두 근

계수가 실수인 이차방정식의 서로 다른 두 양의 실근을 a, b, 판별식을 D라 할 때

➊ 서로 다른 두 양의 실근을 가질 경우 D>0, a+b>0, ab>0

➋ 서로 다른 두 음의 실근을 가질 경우 D>0, a+b<0, ab>0

➌ 양의 실근 한 개, 음의 실근 한 개를 가질 경우 ab<0

LEC TURE

⑴ {;4!;}^x(x-1)={;2!;}^{2xÛ`-2x</sup>, {;8!;}<sup>2-x</sup>={;2!;}<sup>6-3x</sup>이므로 {;2!;}<sup>2xÛ`-2x}>{;2!;}^6-3x

이때 0<(밑)<1이므로

2xÛ`-2x<6-3x, 2xÛ`+x-6<0 (x+2)(2x-3)<0

∴ -2<x<;2#;

04-1

^셀파 양변의 밑을 같게 한 다음 지수를 비교한다.

⑵ {;9!;}^{xÛ`</sup>=3<sup>-2xÛ`}, '3=3^;2!;이므로 3^-2xÛ`<3^2x<3^;2!;

이때 (밑)>1이므로 -2xÛ`<2x<;2!;

Ú -2xÛ`<2x일 때 xÛ`+x>0, x(x+1)>0

∴ x<-1 또는 x>0 yy㉠

Û 2x<;2!;일 때

x<;4!; yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x<-1 또는 0<x<;4!;

Ú 0<x<1일 때 0<(밑)<1이므로

2xÛ`¾7x-3에서 2xÛ`-7x+3¾0

  (2x-1)(x-3)¾0    ∴ xÉ;2!; 또는 x¾3 그런데 0<x<1이므로 0<xÉ;2!;

Û x=1일 때

1Û`É1Ý`=1이므로 부등식이 성립한다.

Ü  x>1일 때 (밑)>1이므로

2xÛ`É7x-3, 2xÛ`-7x+3É0 (2x-1)(x-3)É0 ∴ ;2!;ÉxÉ3 그런데 x>1이므로 1<xÉ3

Ú, Û, Ü에서 0<xÉ;2!; ^또는 1ÉxÉ3

04-2

^셀파 밑에 미지수가 포함될 때는 0<x<1, x=1, x>1로 나누어 푼다.

⑴ {;4!;}Å`+{;2!;}Å` ÑÚ`-3<0에서 [{;2!;}Å` ]Û`+2_{;2!;}Å` -3<0 {;2!;}Å` =t (t>0)로 치환하면 tÛ`+2t-3<0

(t+3)(t-1)<0 ∴ -3<t<1 그런데 t>0이므로 0<t<1 즉, 0<{;2!;}Å` <1에서 {;2!;}Å` <{;2!;}â  이때 0<(밑)<1이므로 x>0

05-1

^셀파 aÅ` 꼴이 반복되면 aÅ`=t (t>0)로 치환한다.

⑵ 2^x+2+2^3-x<18에서 4_2Å`+8_ 1

2Å` -18<0 2Å`=t (t>0)로 치환하면 4t+;t*;-18<0 4tÛ`-18t+8<0, 2tÛ`-9t+4<0 (2t-1)(t-4)<0 ∴ ;2!;<t<4 즉, ;2!;<t<4에서 2ÑÚ`<2Å`<2Û`

이때 (밑)>1이므로 -1<x<2

9Å`-30_3Å`+81<0에서 (3Å`)Û`-30_3Å`+81<0 3Å`=t (t>0)로 치환하면 tÛ`-30t+81<0 (t-3)(t-27)<0 ∴ 3<t<27 즉, 3<3Å`<27에서 3Ú`<3Å`<3Ü`

이때 (밑)>1이므로 1<x<3

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 2뿐이므로 구하는 x의 개수는 1

05-2

^셀파 3Å`=t (t>0)로 치환한다.

x시간이 경과한 후 세균 A의 수는 2Å` 마리, 세균 B의 수는 2_4Å`

마리이다.

두 상자의 세균 수의 합이 36마리 이상이므로 2Å`+2_4Å`¾æ36, 2Å`+2_(2Å`)Û`¾æ36

이때 2Å`=t (t>0)로 놓으면

t+2tÛ`¾æ36, 2tÛ`+t-36æ¾0, (t-4)(2t+9)æ¾0

∴ t¾æ4 (∵ t>0) 즉, 2Å`¾æ2Û`이므로 xæ¾2

따라서 경과한 시간은 최소 2시간 확인 체크 01

셀파 특강

⑴ (진수)>0에서 x+4>0, x-4>0이므로

x>4 yy㉠

log£`(x+4)+log£`(x-4)=2에서 log£`(x+4)(x-4)=2

로그의 정의에 따라 (x+4)(x-4)=9 xÛ`-16=9, xÛ`=25

∴ x=-5 또는 x=5

㉠에서 x>4이므로 구하는 해는 x=5

06-1

^셀파 logŒ b=m (a>0, a+1, b>0) HjK aµ``=b

⑵ (진수)>0에서 x+12>0, x>0, x+2>0이므로

x>0 yy㉠

log`(x+12)-log`x=log`(x+2)에서 log`(x+12)=log`x+log`(x+2) log`(x+12)=log`x(x+2) 로그의 밑이 같으므로

x+12=x(x+2), x+12=xÛ`+2x xÛ`+x-12=0, (x+4)(x-3)=0 ∴ x=-4 또는 x=3

㉠에서 x>0이므로 구하는 해는 x=3

⑴ (진수)>0에서 x-2>0, 2x-1>0이므로

x>2`  yy㉠

log_;4!;`(2x-1)=log<sub>{;2!;}Û`</sub>`(2x-1)=;2!;`log;2!;`(2x-1)이므로 log;2!;`(x-2)=log;4!;`(2x-1)에서

log_;2!;`(x-2)=;2!; log;2!;`(2x-1) 2`log<sub>;2!;</sub>`(x-2)=log_;2!;`(2x-1) log;2!;`(x-2)Û`=log;2!;`(2x-1) 로그의 밑이 같으므로

(x-2)Û`=2x-1, xÛ`-4x+4=2x-1 xÛ`-6x+5=0, (x-1)(x-5)=0 ∴ x=1 또는 x=5

㉠에서 x>2이므로 구하는 해는 x=5

⑵ (진수)>0에서 x-3>0, x+7>0이므로

x>3 yy㉠

log»`(x+7)=log3Û``(x+7)=;2!;`log£`(x+7)이므로 log£`(x-3)=log»`(x+7)+1에서

log£`(x-3)=;2!;`log£`(x+7)+1 2`log£`(x-3)=log£`(x+7)+2 2`log£`(x-3)=log£`(x+7)+log£`9 log£`(x-3)Û`=log£`9(x+7) 로그의 밑이 같으므로

(x-3)Û`=9(x+7), xÛ`-6x+9=9x+63 xÛ`-15x-54=0, (x+3)(x-18)=0 ∴ x=-3 또는 x=18

㉠에서 x>3이므로 구하는 해는 x=18

06-2

^셀파 밑이 다를 때는 먼저 밑을 같게 한다.

⑴ (진수)>0에서 2x>0, ;2{;>0이므로 x>0 yy㉠

logª 2x=logª 2+logª x=1+logª x logª ;2{;=logª x-logª 2=logª x-1 이므로 (logª 2x){logª`;2{;}=3에서 (logª`x+1)(logª`x-1)=3 logª x=t로 치환하면

(t+1)(t-1)=3, tÛ`-1=3, tÛ`=4 ∴ t=-2 또는 t=2

t=-2일 때, logª x=-2에서 x=2ÑÛ`=;4!;

t=2일 때, logª x=2에서 x=2Û`=4 ㉠에서 x>0이므로 구하는 해는 x=;4!; 또는 x=4

⑵ 진수와 밑 조건에서 x>0, x+1이므로

0<x<1 또는 x>1 yy㉠

log£ x=2`log®`3+1에서 log£ x= 2

log£`x` +1

log£ x=t로 치환하면 t=;t@;+1 tÛ`-t-2=0, (t+1)(t-2)=0 ∴ t=-1 또는 t=2

t=-1일 때, log£`x=-1에서 x=3ÑÚ`=;3!;

t=2일 때, log£`x=2에서 x=3Û`=9

㉠에서 0<x<1 또는 x>1이므로 구하는 해는 x=;3!; 또는 x=9

07-1

^셀파 logŒ x=t로 치환하여 t에 대한 방정식으로 바꾼다.

치환한 변수 t의 값의 범위

지수함수 y=aÅ` (a>0, a+1)의 치역은 {y|y>0인 실수}이 므로 지수방정식에서 aÅ`=t로 치환하면 t>0이다.

그러나 로그함수 y=logŒ`x (a>0, a+1)의 치역은 실수 전 체의 집합이므로 로그방정식에서 logŒ`x=t로 치환할 때는 t 의 값의 범위를 생각하지 않아도 된다.

예

➊ 방정식 4Å`+2Å`-2=0에서 2Å`=t (t>0)로 치환하면 tÛ`+t-2=0, (t+2)(t-1)=0

t>0이므로 t=1

➋ 방정식 (logª`x)Û`+logª`x-2=0에서 logª`x=t로 치환하면 tÛ`+t-2=0   (t+2)(t-1)=0 ∴ t=-2 또는 t=1

LEC TURE

log¢`x=log<sub>2Û`</sub>`x=;2!;`logª`x이므로 주어진 방정식은 logª`x-;2!;`logª`x=2`logª`x`{;2!;`logª x}

;2!;`logª x=(logª x)Û`\

logª`x=t로 치환하면 ;2!;t=tÛ`

∴ 2tÛ`-t=0 yy㉠

주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 방정식 ㉠의 두 근은 logª a, logª`b이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 logª a+logª`b=;2!;이므로 logª ab=;2!;

∴ ab=2^;2!;='2

08-1

^셀파 log¢`x를 밑이 2인 로그로 바꾼다.

(log;2!;`x)Û`+k`log;2!;`x-1=0에서 log;2!;`x=t로 치환하면

tÛ`+kt-1=0 yy㉠

주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 방정식 ㉠의 두 근은 log_;2!; a, log;2!; b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 log_;2!; a+log_;2!; b=-k ∴ log_;2!; ab=-k

로그의 정의에 따라 ab={;2!;}Ñû`=2û`

이때 ab=4이므로 2û`=4=2Û ∴ k=2

08-2

^{셀파 log;2!;}`x=t로 치환한다.

⑴ x^{1-log x}= xÛ`

100 의 양변에 상용로그를 취하면 log x^{1-log x}=log` xÛ`

100

(1-log x)log`x=log`xÛ`-log 100 (1-log x)log`x=2`log`x-2 ∴ (log`x)Û`+log`x-2=0 log`x=t로 치환하면

tÛ`+t-2=0, (t+2)(t-1)=0 ∴ t=-2 또는 t=1

t=-2일 때, log`x=-2에서 x=10ÑÛ`=;10!0;

t=1일 때, log`x=1에서 x=10Ú`=10 이때 진수 조건 x>0에서 구하는 해는 x=;10!0; ^또는 x=10

09-1

^셀파 지수에 로그가 있으면 양변에 로그를 취한다.

⑵ x^{log£ x}=9x의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면

log£ x^{log£ x}=log£ 9x

log£`x`log£`x=log£`9+log£ x (log£ x)Û`-log£`x-2=0 log£`x=t로 치환하면

tÛ`-t-2=0, (t+1)(t-2)=0 ∴ t=-1 또는 t=2

t=-1일 때, log£`x=-1에서 x=3ÑÚ`=;3!;

t=2일 때, log£`x=2에서 x=3Û`=9 이때 진수 조건 x>0에서 구하는 해는 x=;3!; 또는 x=9

| 참고 |

지수에 로그가 있는 방정식은 양변에 로그를 취하여 푼다. 이때 지수에 있 는 로그와 밑이 같은 로그를 취하면 계산이 편리하다.

⑴ (진수)>0에서 3-x>0, x>0이므로 0<x<3 yy㉠

부등식 logª`(3-x)<logª x+1에서 logª`(3-x)<logª 2x

(밑)>1이므로 3-x<2x, 3<3x ∴ x>1 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x<3

⑵ (진수)>0에서 x-1>0, 4x-2>0, x+2>0이므로

x>1 yy㉠

부등식 log;4!; (x-1)æ¾log;4!; (4x-2)-log;4!; (x+2)에서 log;4!; (x-1)+log;4!; (x+2)æ¾log;4!; (4x-2)

log;4!; (x-1)(x+2)æ¾log;4!; (4x-2) 0<(밑)<1이므로

(x-1)(x+2)É4x-2, xÛ`+x-2É4x-2 xÛ`-3xÉ0, x(x-3)É0

∴ 0ÉxÉ3 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<xÉ3

10-1

^셀파 (밑)>1이면 진수에 대한 부등호 방향은 그대로이고, 0<(밑)<1이면 진수에 대한 부등호 방향은 바뀐다.

⑴ (진수)>0에서 x>0, xÛ`>0이므로 x>0 yy㉠

(log£ x)Û`-8<log£ xÛ`에서 (log£ x)Û`-2`log£`x-8<0 log£ x=t로 치환하면

tÛ`-2t-8<0, (t+2)(t-4)<0    ∴ -2<t<4

즉, -2<log£`x<4에서 log£ 3ÑÛ`<log£ x<log£ 3Ý ∴ log£ ;9!;<log£ x<log£ 81

이때 (밑)>1이므로 ;9!;<x<81 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;9!;<x<81

⑵ (진수)>0에서 x>0 yy㉠

(log;3!;`x)Û`-log_;3!;`x-12>0에서 log<sub>;3!;</sub>`x=t로 치환하면

tÛ`-t-12>0, (t+3)(t-4)>0 ∴ t<-3 또는 t>4

즉, log_;3!;`x<-3 또는 log;3!;`x>4에서 log_;3!; x<log_;3!;{;3!;}ÑÜ` 또는 log;3!; x>log_;3!;{;3!;}Ý ∴ log;3!; x<log;3!; 27 또는 log;3!; x>log;3!; ;8Á1;

이때 0<(밑)<1이므로

x>27 또는 x<;8Á1; yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<x<;8Á1; ^또는 x>27

11-1

^셀파 logŒ x가 반복되면 logŒ x=t로 치환한다.

⑴ (진수)>0에서 a>0 yy㉠

이차방정식 xÛ`-(logª`a)x+logª`aæ=0의 판별식을 D라 하면 D=(logª a)Û`-4`logª aÉ0

logª a=t로 치환하면

tÛ`-4tÉ0, t(t-4)É0 ∴ 0ÉtÉ4

즉, 0Élogª aÉ4에서 logª 1Élogª aÉlogª 2Ý 이때 (밑)>1이므로 1ÉaÉ16 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1ÉaÉ16 확인 체크 02

셀파 특강

⑵ (진수)>0에서 k>0 yy㉠

이차방정식 xÛ`-2(1+logª`k)x+1-(logª k)Û`=0의 판별식 을 D라 하면

D4 =(1+logª k)Û`-{1-(logª k)Û`}<0 1+2`logª`k+(logª k)Û`-1+(logª k)Û`<0 2(logª k)Û`+2`logª`k<0

logª`k=t로 치환하면 2tÛ`+2t<0 t(t+1)<0 ∴ -1<t<0 즉, -1<logª`k<0에서 logª`2ÑÚ`<logª`k<logª`1

이때 (밑)>1이므로 ;2!;<k<1 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면

;2!;<k<1

이차부등식이 항상 성립할 조건 이차부등식 axÛ` +bx+c>0이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하려면 이차 함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프가 오 른쪽 그림과 같이 x축보다 위쪽에 있어 야 한다.

즉, 이차부등식 axÛ`+bx+c>0이 모든 실수 x에 대하여 항상 성립하려면

Ú 아래로 볼록한 포물선( ) 꼴이 되어야 하므로 a>0 Û y=axÛ`+bx+c의 그래프가 x축과 만나지 않아야 하므로

이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때 D<0

a+0일 때, 모든 실수 x에 대하여 이차부등식이 성립할 조건 은 다음과 같이 정리할 수 있다.

Y ZBY™ACYD

➊ axÛ`+bx+c>0 ➋ axÛ`+bx+c¾æ0

Y a>0, D<0

Y a>0, DÉ0

➌ axÛ`+bx+c<0 ➍ axÛ`+bx+cÉ0 Y

a<0, D<0

Y

a<0, DÉ0 LEC TURE

(진수)>0에서 x>0 yy㉠

x<sup>log£`x</sup><27xÛ`의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면

log£ x<sup>log£`x</sup><log£ 27xÛ`

(log£ x)Û`<log£ 27+log£ xÛ`, (log£ x)Û`<3+2`log£ x log£ x=t로 치환하면

tÛ`<2t+3, tÛ`-2t-3<0, (t+1)(t-3)<0

∴ -1<t<3

즉, -1<log£`x<3에서

(밑)>1이므로 ;3!;<x<27 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;3!;<x<27

12-1

^셀파 양변에 밑이 3인 로그를 취한다.

x^{3-logª`x</sup><(2x)û`의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 logª`x<sup>3-logª`x}<logª`(2x)û

(3-logª x)logª`x<k(logª`2+logª x) 3`logª`x-(logª x)Û`<k+k`logª x

∴ (logª x)Û`+(k-3)logª`x+k>0 yy㉠

logª`x=t로 치환하면

tÛ`+(k-3)t+k>0 yy㉡

모든 양수 x에 대하여 부등식 ㉠이 항상 성립하려면 모든 실수 t 에 대하여 부등식 ㉡이 항상 성립해야 한다.

방정식 tÛ`+(k-3)t+k=0의 판별식을 D라 하면 D=(k-3)Û`-4k<0

kÛ`-10k+9<0, (k-1)(k-9)<0

∴ 1<k<9

12-2

^셀파 양변에 밑이 2인 로그를 취한다.

수면 위의 빛의 밝기를 a라 하면 물이 n m 깊어짐에 따라 빛의 밝기는 a(0.8)Ç`

이때 수면 위의 빛의 밝기의 ;2!;이면 a(0.8)Ç`=;2!;a, {;1¥0;}Ç`=;2!;

이 식의 양변에 상용로그를 취하면

n`log ;1¥0;=log ;2!;, n(log`8-log`10)=-log 2 n(3`log`2-1)=-log 2

∴ n= -log`2

∴ n= -log`2

문서에서 1. 지수 (페이지 27-37)