• 영역 •
수리‘가’형 정답
1 ③ 2 ① 3 ⑤ 4 ④ 5 ①
6 ① 7 ② 8 ① 9 ④ 10 ⑤
11 ④ 12 ③ 13 ③ 14 ② 15 ②
16 ③ 17 ⑤ 18 19 20 21 22 23 24 25
해 설
1. [ ] 지수의 성질을 이용하여 식의 값을 계산 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
÷
÷
2. [출제의도] 역행렬을 계산할 수 있는가를 묻는 문제 이다.
모든 성분의 합은 3. [출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는
문제이다.
lim
→
lim
→
4. [출제의도] 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
5. [출제의도] 직선의 방정식을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
이고 방향벡터는 이므 로 수선의 발 H를 H 라 하면 OH⋅ 에서 ∴ 따라서 H 이므로 이다.
6. [출제의도] 함수가 증가하기 위한 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
(1) ≧ 일 때, ′ 이므로 함수 는 증가한다.
(2) ≦ 일 때, ′ 이므로 함수 가 증가하려면 ≦ , ≦ 따라서 실수 의 최댓값은
이다.
7. [출제의도] 함수가 미분가능할 조건을 이해하고 있 는가를 묻는 문제이다.
′ 이고 ,
∴ , ′
′
≦ ≦ 에서 ㄴ. ′ ≦ (참)
ㄷ. ′ ≧ 이므로 ′의 최솟값은 (거짓) 8. [출제의도] 이차곡선의 정의와 성질을 이해하고 있
는가를 묻는 문제이다.
F ′P FP 라 하면
∠F ′PF
이므로
따라서 이므로 cos ∠PFF′
9. [출제의도] 적분을 이용하여 주어진 함수의 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ.
(참)ㄴ. 함수 는 개구간 에서 증가한다. (거짓) ㄷ. 방정식 의 실근은 이므로 이다. (참)
10. [출제의도] 함수의 연속을 이해하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄴ. lim
→
lim
→
이고 lim
→
lim
→
이므로 lim
→
이므로 에서 연속이다. (참) ㄷ. ≠일 때, lim
→
lim
→
일 때, lim
→
lim
→
따라서 인 모든 실수 에 대하여 lim
→
의 값이 존재한다. (참)
11. [출제의도] 벡터의 내적을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
점 A를 원점, 직선 AD를 축, 직선 AB를 축으로 하면 점 C의 좌표는 C 이다.
원 위의 점 P 에 대하여 AC⋅ AP
라 하면 ≦ ≦ 일 때, 직선과 원이 만나므로 의 최댓값은 이다.
12. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 실생활 문 제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
log
log에서 log ∴
log
log 13. [출제의도] 수학적귀납법으로 부등식의 증명을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
(가) : , (나) : , (다) :
14. [출제의도] 상용로그의 가수를 이해하고 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
log log log log log (정수)이므로 ㄱ. 에서 log
∴ (참)
ㄴ. 에서 log
∴ (참) ㄷ. 에서 log
∴ (거짓)
15. [출제의도] 정규분포를 따르는 확률변수에 대한 확 률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
더덕 한 뿌리의 무게를 라 하면 확률변수 는 정 규분포 N 을 따른다.
P ≦ P ≦
16. [출제의도] 규칙성을 찾아 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
∴lim
→ ∞
17. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
의 면의 개수를 , 꼭짓점의 개수를 이라 하면,
, 에서 ⋅
, ⋅
∴
⋅ 18. [출제의도] 이항계수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.
의 전개식에서 일반항은 C 이 므로 의 계수는 C
이다.
19. [출제의도] 함수의 연속성을 이해하고 있는가를 묻 는 문제이다.
는 삼차항의 계수가 인 삼차함수이고
이므로
∴
20. [출제의도] 무리방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
라 하면 , ∵ ≧
∴ ,
이므로
따라서 이므로 모든 실근의 합은 이다.
21. [출제의도] 공간에서의 벡터의 연산을 할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
좌표공간에서 B , D , C 이라 하면 A , E 이다.
BA , DE
∴ BA DE
22. [출제의도] 행렬과 연립방정식의 관계와 부등식의 영역을 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.
에서
∴
따라서 이므로 두 조건을 만족시키는 순서쌍
의 개수는 이다.
23. [출제의도] 수열의 성질과 이산확률분포의 성질을 이용하여 기댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
수열 은 등차수열이므로
에서
에서
E
24. [출제의도] 좌표공간에서 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
A B 이므로 AC BD
, 에서 CE DF ∴EF
AE BF 이므로 AEFB
× ×
25. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
반지름의 길이가 가장 긴 원판을 라 할 때, 위에 원판이 개, 개, 개, 개 놓이는 경우는 각각
C× , C× , C× , C× 이 다. 따라서 구하는 방법의 수는
[미분과 적분]
26 ② 27 ③ 28 ④ 29 ⑤ 30
26. [출제의도] 배각의 공식을 이용하여 식의 값을 구 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
sin cos sin
∴sin cos
27. [출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
ln이므로 이다.
lim
→
lim
→
28. [출제의도] 치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
에서
29. [ ] 평균값의 정리를 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있는가를 묻는 문제이다.
sin
cos⋅
ㄱ. (∵ ) (참) ㄴ. sin
cos ⋅
sin
cos⋅ sin
cos⋅= (참)
ㄷ.
이므로 평균값의 정리에 의해
에서 ′ 인 가 적어도 하나 존재한다.마찬가지로
에서 ′ 인 가 적어도 하나 존재한다. (참)30. [출제의도] 도형의 넓이의 변화율을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
점 P가 초에 씩 움직이므로 점 H는 초에
씩 움직인다. 따라서 점 H가 초 동안 움직인 거리 는
이다. 좌표공간에서 선분 AB의 중점을 원점
O라 하고 점 A , 초 후의 점 H P를 H
cos sin
P
cos sin
HA
cos
sin
sin
HA⋅ PH sin
⋅
cos ⋅
⋅
sin
⋅
따라서 일 때
∴
[확률과 통계]
26 ② 27 ④ 28 ② 29 ③ 30
26. [출제의도] 가중평균을 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
× × ×
27. [출제의도] 신뢰구간의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
이므로 × ×
××
×
28. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해하고 자료를 해 석할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄷ. 자료의 범위는 (거짓)
29. [출제의도] 이산확률변수의 기댓값을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
확률변수 의 확률분포표는 다음과 같다.
P
∴E
× × × × ×
30. [출제의도] 순열과 조합을 이해하고 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
(1) 일 때 × ×
(2) 일 때 × ×
(3) 일 때 × ×
∴
[이산수학]
26 ⑤ 27 ④ 28 ② 29 ③ 30
26. [출제의도] 두 항 사이의 관계를 이해하고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.
칸의 계단을 오르는 방법의 수를 수열 이라 하 면 ⋯ ∴
27. [출제의도] 완전그래프의 뜻을 알고 있는가를 묻는 문제이다.
개의 꼭짓점이 있는 그래프가 완전그래프가 되려면
C개의 변이 필요하므로 C 에서 28. [출제의도] 생성수형도를 이해하고 만들 수 있는가
를 묻는 문제이다.
꼭짓점의 개수가 인 생성수형도의 변의 개수는 이 므로 지워야 할 변의 개수는 이다.
29. [출제의도] 수의 분할을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. 이므로 (참) ㄴ. 이므로 (참) ㄷ. [반례] (거짓) 30. [출제의도] 공평한 분배의 의미를 알고 실생활에
활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.
A B C 합
기대 금액
상속 (집)(땅)
차액
조정 후 차액
이므로
수리‘나’형 정답
1 ③ 2 ① 3 ④ 4 ④ 5 ④
6 ① 7 ② 8 ⑤ 9 ② 10 ⑤
11 ① 12 ③ 13 ③ 14 ② 15 ②
16 ③ 17 ⑤ 18 19 20
21 22 23 24 25
26 ① 27 ④ 28 ③ 29 ⑤ 30
해 설
1~2. ‘가’형과 동일
3. [출제의도] 무한등비급수의 합을 계산할 수 있는가 를 묻는 문제이다.
∞
4. [출제의도] 독립사건의 성질을 이해하여 확률의 곱 셈정리를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.
P C∩ P P P
P
P
∴P∩ P P
×
5. [출제의도] 극한값의 성질을 이해하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
lim
→∞
,
∴
6. [출제의도] 등비수열의 일반항을 이해하여 식의 값 을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
등비수열 의 첫째항을 , 공비를 라 하면
에서
×× ⋯ × ×
7. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하고 식의 값 을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
⋯㉠, ⋯㉡
㉠-㉡ :
에서
∴
8. [출제의도] 역행렬의 성질을 이해하여 역행렬의 존 재성을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. 이므로 (참) ㄴ. 이고
∴ 의 역행렬이 존재한다. (참) ㄷ. 에서
∴ 의 역행렬이 존재한다. (참)
9. [출제의도] 확률의 덧셈정리와 조건부 확률을 이해 하고 있는가를 묻는 문제이다.
P
, P
, P
P P ∩ P ∩ P ∩
P P P P P P
10. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 있는가 를 묻는 문제이다.
와
의 그래프는 그림과 같다.따라서 두 그래프의 교점의 개수는 이다.
11. [출제의도] 순열을 이해하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
(1) 이면 이므로
(2) 이면 , 이므로 (3) 이면 , 이므로 (4) 또는 또는 이면 주어진 조건을 만족하는 함수 는 존재하지 않는다.
따라서 구하는 함수 의 개수는 이다.
12~18. ‘가’형과 동일
19. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.
수열 의 첫째항을 , 공차를 라 하면
∴
∴
20. [출제의도] 지수함수의 평행이동을 이해하고 있는 가를 묻는 문제이다.
의 그래프는 의 그래프를 축의 방향 으로 만큼 평행이동한 것이므로 PQ
∴
× × ∴
21. [출제의도] 상용로그의 지표와 행렬의 정의를 이해
수 있는가를 묻는 문제이다.
구하는 값은
22~23. ‘가’형과 동일
24. [출제의도] 의 성질을 이해하고 수열의 극한값 을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
∴lim
→∞
25. ‘가’형과 동일
26. [출제의도] 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
≧ 이므로 lim
→∞
27. [출제의도] 역행렬과 수열의 극한값을 구할 수 있 는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. lim
→ ∞
lim
→ ∞
(참)
ㄴ. lim
→ ∞
lim
→ ∞
(거짓)
ㄷ.
(참)
28. [출제의도] 이항분포와 정규분포의 관계를 이해하 고 있는가를 묻는 문제이다.
확률변수 는 이항분포 B
를 따른다.ㄱ. V ×
×
(참)ㄴ. C
C
(거짓)ㄷ. 확률변수 는 정규분포 N 을 따르므로 P ≦ P ≦ , P ≧ P ≧
∴P ≦ P ≧ (참)
29. [출제의도] 조합의 수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
명을 배정하는 모든 경우의 수는
C×C×C×C
배정되지 않는 선수가 있는 경우의 수는
C×C×C×C
∴
30. [출제의도] 이항분포의 분산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
이하의 음이 아닌 정수를 확률변수 라 하면
C
P 이므로 확률변수 는 이항분포 B
을 따른다.E ×
, V ×
×
∴
E V E
