무게 중심 → 질량 중심

도심 및 1차 모멘트

(Centroid & 1st Moments of Inertia)

금오공대 기계시스템공학과 오충석 ([email protected])

„ (권장) 학습 과정: 반복 학습

„ Practice makes perfect!

Forces

Applications

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Contents

„ 도심의 뿌리를 찾아서

„ 무게 중심 → 질량 중심

„ 질량 중심 → 도심

„ 여러 가지 중심과 1차 모멘트 정리

„ 중심 및 1차 모멘트 계산 과정

„ 계산 예

圖心의 뿌리를 찾아서 : 무게 중심

„ 무게 中心 (Center of Weight)

= 重力 中心 (Center of Gravity; C.G. or G)

„ 한 물체의 전체 무게가 한 점에 집중되어 있다고 가상했을 때의 해당 점

„ http://www.doopedia.co.kr/

„ 예) 망치와 구슬을 공중에 던졌을 때 두 물체의 괘적

„ 포물선

„ 도끼

= 구슬 ?

5

„ 집중 질량 계 (lumped mass system)의 무게 중심

Q: 시소의 무게는 무시할 때 어디에 받침대를 놓으면 수평이 될까?

„ y 방향 힘 평형에 의하면

W₁= 100

W₂= 40

x y

x₂= 4 m x₃= 5 m x₁=1 m

W₁

W₃= 60 W₂W₃

W o

무게 단위[kgf]

„ z 방향 모멘트 평형에 의하면

Attention Please!

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„ 연속/분포 무게 계 (continuous/distributed weight system)의 무게 중심

„ 물체를 미소 무게 dW_i를 갖는 무한 개의 집중 무게 계로 가정하면

위의 결과로부터 무게 중심 좌표는

„ 무게 중심 좌표와 무게에 관한 1차 모멘트의 관계

„ M_ij: 1^st Moments of Weight

„ 무게 (weight)에 관한 1차 모멘트

„ 첨자 “ij”는 평면을 나타냄

„ 모멘트의 원조

„ 실제 단위가 역학에서의 모멘트와 같음 [m·N]

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„ 질량 중심 (Center of Mass)

„ 한 물체의 전체 질량이 한 점에 집중되어 있다고 가상했을 때의 해당 점

„ 중력이 일정한 곳일 경우 무게 중심과 같아짐

„ Attention Please!

무게 중심 → 질량 중심

질량에 관한 1차 모멘트

질량 중심 → 圖心 (Centroid)

„ 선 요소 (Line Elements)의 도심

„ 단면적이 일정한 한 물체의 전체 길이 (L)가 한 점에 집중되어 있다고 가상했을 때의 해당 점

„ 단면적 (A)과 밀도 (ρ) 가 균일할 경우 질량 중심과 같아짐

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„ 면적 요소 (Area Elements)의 도심

„ 두께가 일정한 한 물체의 전체 면적(A)이 한 점에 집중되어 있다고 가상했을 때의 해당 점

„ 두께 (t)와 밀도 (ρ) 가 균일할 경우 질량 중심과 같아짐

면적에 관한 1차 모멘트

„ 도심과 면적에 관한 1차 모멘트의 관계

„ Q_yz, Q_zx, Q_xy: 1^st Moments of Area wrt the yz, zx, and xy planes

„ 면적에 관한 1차 모멘트, 1차 관성 모멘트

„ 실제 차원은 L³, 단위는 [m³]

„ 실제 모멘트와는 다르나 조상이 같아

모멘트(거리에 따른 효과)라는 이름을 사용

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여러 가지 중심과 1차 모멘트 정리

물리적 의미 있음

중심 및 1차 모멘트 계산 과정

1) 기준 좌표 설정: 일반적으로 직교 좌표 (x, y, z) 2) 대상을 미분 (dW, dm, dL, dA, etc.)

3) 기준 좌표 축에 대한 1차 미분 모멘트 설정 (xdW, xdm, xdL, xdA, etc.)

4) 적분에 의한 전체 1차 모멘트 계산

5) 전체 양 (W, m, L, A, etc.)이 어느 한 점 (CG)에 작용한다고 가정하고 중심 계산

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무게 중심 계산 예

„ 좌우 대칭 삼각형 (두께 t, 밀도

ρ

x y

b h

x dy y

질량 중심 계산 예

„ 복합 형상 물체의 질량 중심 (두께 t, 밀도

ρ

„ 이미 알고 있는 형상의 중심으로 부터 복합 형상의 중심 계산

x y

(1) (2)

(3)

10 10

3 5

10+10/3 10

5

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면적 요소의 도심 계산 예

„ 두께 (t)가 일정한 반원형 면적의 y 축 방향 (또는 x-z 평면)에 관한 1차 면적 모멘트

x y

R θ r

dr

dθ

y = r sinθ

„ T형 단면의 도심의 위치 좌우 대칭이므로 x방향 도심은 x 축 원점에 위치 y 방향 도심은

y

20 225

25

25

100

75 137.5

A = 7500 mm²

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