11주
4.3 노름공간
: 실수체 ℝ 상의 벡터공간
( 특히 ℝ, ℝ∞)에 (거리를 정의하고 이를 통해) 위상을 정의하고 싶은데...[정의] [4.3.1정의]
실수체 ℝ 상의 벡터공간
가 주어져 있을 때,다음 세 조건을 만족시키는 함수 :
→ ℝ 를
상의 노름(norm) 이라 한다.(i) ≥ ( ⇔ ) (ii) ≤
(iii) ∀∈ℝ , ⋅
이때
를 노름(벡터)공간(normed space)이라 하고, (V, )로 나타낸다.[예] ℝ 위의 벡터공간
에서 [예4.3.1]
, max{ | ∈ }
이라 하면, 과 는 둘 다
상의 노름(norm)이다.[정리]
(1) 노름공간 (V, )에서 라 하면, 는
상의 거리함수이다.[4.3.2정리]
(2) ℝ 위의 벡터공간 ℝ에서 ⋯
⋯ 이라 하면, 는 ℝ상의노름(즉, ℝ은 노름공간)이다.1) [4.3.3정리]
(3) ℝ 위의 벡터공간 ℝ에서
⋯ 이라 하면, (ℝ, )는 거리공간이다. (단, ⋯ , ⋯ ) [4.3.6정리](4) ℝ 위의 벡터공간 ℝ∞
⋯⋯ ∈ℝ
∞
∞
에서
∞
이라 하면, (ℝ∞, )는 거리공간이다. (단,
⋯⋯ , ⋯⋯ )
이때 을 -노름(-norm), 를 ℝ∞ 상의 -거리함수(-metric), (ℝ∞, )를 힐베르트 공간(Hilbert space)이라 한다.
