12장. 정적 평형과 탄성
(Static Equilibrium and Elasticity)
12.1 분석 모형: 평형 상태의 강체 12.2 무게중심 알아보기
12.3 정적 평형 상태에 있는 강체의 예 12.4 고체의 탄성
1
입자의 경우에는 작용하는 알짜 힘이 0일 때 평형 상태를 유지한다.
강체의 경우에는 추가 조건이 필요하다.
오른쪽 그림과 같은 경우 알짜 힘은 0이지만 물체가 평형 상태에 있지는 않다. 즉, 회전운동을 하게 된다.
◎ 강체의 평형 조건:
1. 물체에 작용하는 알짜 외력이 반드시 영이어야 한다.
2. 어떤 축에 관해서든 물체에 작용하는 알짜 외부 토크가 반드시 영이어야 한다.
평형의 제1 조건 : 물체는 가속되지 않는다
평형의 제2조건 : 물체는 회전하지 않는다
F ext 0
τ ext 0
12.1 분석 모형: 평형 상태의 강체
(Analysis Model: Rigid Object in Equilibrium)
12.1 분석 모형: 평형 상태의 강체
(Analysis Model: Rigid Object in Equilibrium)
두 번째 조건을 적용할 때 회전축의 위치를 결정해야 한다.
O
축에 대한 토크를 계산하면 τ
o r
1 F
1 r
2 F
2 r
3 F
3
O’
축에 대한 토크를 계산하면
o o
τ
F r
F r
F r
F F
F r F
r F r
F r
F r
r F
r r F
r r τ
3 3
2 2
1 1
3 2
1 3
3 2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
'
) (
'
) ' (
) ' (
) ' (
만일 어떤 물체가 병진 평형 상태에 있고, 하나의 축에 관한 알짜 토크가 영이라면, 다른 어떠한 축에 관해서도 알짜 토크는 반드시 영이다.
o 정적 평형 (Static Equilibrium) - 물체가 움직이지 않을 때
ex
) Spring이 움직이지 않을 때의 초기 위치 :x
= 0 o 안정적 평형 (Stable Static Equilibrium)- 운동하는 물체의 위치가 Static Equilibrium의 위치에 왔을 때
ex
) 운동하는 Spring의 위치가 초기 위치x
= 0 에 왔을 때∴ 평형의 조건 (The Requirement of Equilibrium) -
F Net 0
0
Net
12.2 무게중심 알아보기
(More on the Center of Gravity)
12.2 무게중심 알아보기
(More on the Center of Gravity)
한 물체의 모든 서로 다른 질량 성분에 작용하는 서로 다른 중력의 모 두는 무게 중심점에 작용하는 단 하나의 중력과 같다.
중력가속도가 물체 전반에 균일하게 미친다면, 그 물 체의 무게 중심은 질량 중심과 일치한다.
i i i
i i
CM
m
x m m
m m
x m x
m x
x m
3 2
1
3 3 2
2 1
1
개별 입자에 작용하는 중력을 고려하는 또 다른 관점 에서 상황을 살펴보자. 각 중력에 의한 토크는
CG CG
x g m
m m
x g m x
g m x
g m
r g m r
g m r
g m
) (
sin sin
sin
3 2
1
3 3 3 2
2 2 1
1 1
3 3
3 3 2
2 2 2 1
1 1 1
물체 전반에 대하여
g
가 균일하다고 가정하면(대개는 성립)CM CG
x
m m
m
x m x
m x
x m
3 2
1
3 3 2
2 1
1
12.3 정적 평형 상태에 있는 강체의 예
(Examples of Rigid Objects in Static Equilibrium)
12.3 정적 평형 상태에 있는 강체의 예
(Examples of Rigid Objects in Static Equilibrium)
다시 보는 시소 문제 예제 12.1
질량이
M,
길이가ℓ
인 균일한 판자로 만들어진 시소에 각각의 질량이m
f 와m
d 인 아버지와 딸이 타고 있다. 지지점(시소의 받침대)이 판자의 무게 중심 아래에서 받치고 있으며, 아버지는 중심으로부터 거리d,
딸은 중심으로부터 거리ℓ
/2 되는 지점에 앉아 있다.(A) 지지점이 위쪽 방향으로 판자를 받치는 힘 n의 크기를 구하라.
(B) 계가 균형을 이루려면 아버지가 어디에 앉아야 하는지 구하라.
(C) 회전축을 다른 점에 두면 어떻게 될까? (회전축을 아버지 아래 두면)
☆
풀이
평형에 관한 1조건을 적용하면
0
f d NNet
m g m g Mg F
F
g M m
m Mg
g m g m
F
N
f
d (
f
d )
0 0
2 0
m
fg d m
dg
Net
2
1
f d
m d m
0 )
2 / (
0
'
Net Mgd m
dg d F
Nd
0 )
2 (
0
Mgd m
dg d
m
fm
dM gd
2 0
m g gd
m
f d 2
1
f d
m d m
N sisor
dauter father
Net
F F F F
F
(B) 계가 균형을 이루려면 ⇒ 평형에 관한 2조건
Net 0
N sisor
dauter father
Net
(C) 회전축을 아버지 아래 두면 → 아버지는 회전하지 않게 된다.
∴ 균형 상태에서는 축과 무관하게 회전하지 않는다
벽에 기대놓은 사다리 예제 12.2
풀이 최소 각도에서 정지해 있는 경우를 고려하면
☆
0
g N frNet
F P F F
F
- 힘을 성분분해 하면 :
0 0
0
NNet
mg F
F
y0 0
0
frNet
P F
F
xP F
frmg F
N
mg F
F
P
fr
s N
s
평형 제2 조건 :
O
점에 대하여τ
=00 0
) . . ( sin )
. ( 2 sin
0 2 0
0
w c c P
w c mg
P F
gfr N
P g
ONet
매끈한 수직 벽에 길이가
ℓ
인 균일한 사다리를 기대 세웠다. 사다리의 질량이m
이고, 사다리와 지면 사이의 정지 마찰 계수가μ
s = 0.40 라고 할 때, 사다리가 미끄러지지 않 을 최소 각도θ
min 을 구하라.
tan
1( 1 . 25 ) 51
min
90 sin sin( 90 ) cos
)
cf
0 sin
2 cos
Omg P
25 . 4 1 . 0 2
1 2
1 2
tan 2 cos
sin
s s
mg
mg P
mg
경계턱 넘기 예제 12.3
(A) 휠체어의 큰 바퀴가 보도 경계턱을 굴러서 올라갈 때, 환자가 수평 방향으로 작용해 야 되는 힘 F의 크기를 구하라. 큰 바퀴의 반지름은
r
이고 경계턱의 높이는h
이다.풀이 휠체어와 사람의 무게는
mg
=1400N,
바퀴의 반지름r
=30cm,
경계턱의 높 이h
=10cm라고 가정하자. 또한 휠체어와 사람은 대칭을 이루며 각각의 바 퀴가 700N씩 지탱한다고 가정한다. 그림을 참조하여 한쪽 바퀴에 대해 분석 하자. A점을 지나는 축에 대해 중력의 모멘트 팔은2 2
2
( ) 2
) 1
( d r r h rh h
0 ) 2
( )
2
(
A mgd F r h 0 ) 2
(
2 rh h
2 F r h mg
h N r
h rh
F mg
22
10 2 3
2
(B) R의 크기와 방향을 결정하라.
F
x F R cos 0
F
y R sin mg 0
33 . 300 2
tan 700 cos
sin
N N F
mg R
R
tan
1( 2 . 33 ) 70
N
N N
F mg
R
2
2 2
2 2
10 8
) 300 ( )
700 (
) (
o 고체의 길이 변형
- 장력에 의해 늘어난 길이
- by Exp. : Robert Hooke (1635~1783)
ΔL
∝F
→F
=kΔL
- 비례한계 : Hooke's Law가 성립하는 한계
- 탄성영역 (Elastic Region) : 막대는 복원된다 (탄성) 막대의 복원력 :
F
= -kΔx
: "Hooke's Law"- 탄성한계 (Elastic Limit) : 탄성이 유지되는 범위
cf
) 탄성한계 이상의 힘에 의하여 탄성이 파괴→ 영구변형
- 소성변형 (Plastic Deformation) : 원래의 형태로 회복 불가능 - 파괴점 (파손점) : 물체가 파괴
용수철에 관한 경우를 제외하면, 물체에 외력이 작용하더라도 물체의 모양은 유지된다고 가정해 왔다. 실제로는 외력이 작용하면 모든 물체는 어느 정도 모양이 변할 수 있다. 즉, 어떤 물체에 외력을 가함으로써 모양이나 크기 (또는 둘 다)에 변화를 주는 것이 가능하다.
그러나 변화가 일어남에 따라, 물체의 내부 힘은 모양의 변화에 저항한다.
12.4 고체의 탄성
(Elastic Properties of Solids)
12.4 고체의 탄성
(Elastic Properties of Solids)
Strain Stress )
Modulus
(
변형 탄성률 변형력
변형율
◎ 변형력, 변형 그리고 탄성률
- 변형을 일으키는 외력 :
A
F
면적 Stess 힘
cf
) 물체가 받는 압력 :A P
F
) (
) (Stain) (
단위 원래의
단위 변형 변형된
- 단위의 변화 → 길이, 체적, 층밀리기 등 - 변형의 단위 : unitless (단위 없음)
unit :
N
/㎡ = ㎩ (Pascal, 파스칼) 변형력(stress): 모습의 변화를 일으키는 힘에 비례하는 양,단면의 단위 면적당 물체에 작용하는 외력
변형(strain): 변형력의 결과로 나타나는 형태의 변화 정도
변형력이 아주 작을 때 변형력은 변형에 비례함이 알려져 있다.
비례 상수는 모양에 변화를 겪고 있는 물질과 그 변화의 성질에 따라 달라진다. 이 비례 상수를 탄성률(elastic modulus)이라고 한다.
▒ 영률: 길이 방향으로의 탄성(Young’s Modulus: Elasticity in Length)
인장 변형력(tensile stress): 단면적
A
에 대한 외력의 크기 F의 비율로 정의 인장 변형(tensile strain): 원래 길이L
i 에 대한길이의 변화
△L
의 비율1. 영률(Young’s modulus): 길이 방향의 변화에 대한 고체의 저항
2. 층밀리기 탄성률(shear modulus): 고체 내에서 서로 마주보는 면들 의 상대적인 움직임에 대한 저항의 척도
3. 부피 탄성률(bulk modulus): 고체나 액체의 부피 변화에 대한 저항의 척도
13
L
iL A E F
Y
/) /
(
인장변형
변형력 인장
h x
A S F
/ /
층밀리기 변형 변형력 층밀리기
▒ 층밀리기 탄성률: 형태에 대한 탄성 (Shear Modulus: Elasticity of Shape)
층밀리기 변형력(shear stress): 층밀리는 면의 넓이에 대한
A
접선 방향 힘의 비(F/A)
층밀리기 변형(shear strain):△x/h
로 정의△x
는 층밀리는 면이 움직인 수평 거리,h
는 물체의 높이▒ 부피 탄성률: 부피에 대한 탄성 (Bulk Modulus: Volume Elasticity)
부피 변형력(volume stress): 표면에 작용하는 전체 힘의
크기
F
와 표면의 넓이A
의 비율 부피 변형(volume strain): 부피의 변화△V
를원래의 부피
V
i로 나눈 것i
i
V V
P V
V A B F
/ /
/
부피변형 변형력 부피
▒ 여러 분야에 적용: 콘크리트, 철 구조물 등 (B를 양(+)으로 하기 위해서 –부호)
- "-" Sign : 압력, 압축력(
P
),-
F
n =F
⊥ : 수직력, Normal Force- 액체 or 기체내 에서의 압력은 단면에 수직!
무대 디자인 예제 12.4
예제 8.2에서 줄에 매달려 그네를 타는 연기자에 대한 문제를 풀었다. 연기자가 가장 낮은 지점을 지날 때 줄의 장력이 940
N
이라고 가정하자. 주어진 조건 하에서 10m 길이의 쇠줄이 0.50 cm 이상 늘어나지 않으려면 쇠줄의 지름이 얼마이어야 하는가?풀이
단면을 원형으로 가정하면
2 6 2
10 9.4 10
) 0050
. 0 )(
/ 10
20 (
) 10 )(
940
(
m
m m
N
m N
L Y A FL
i
mm
m m r A
7 . 1
10 7
. 10 1
4 .
9
6 2 3
mm mm
r
d 2 2 1 . 7 3 . 4
☆
L
iL A E F
Y
/) / (
