제11장
다변수함수의 극대와 극소
제11장
다변수함수의
극대와 극소
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 다변수함수의 극대와 극소 u 다변수함수의 극대와 극소
è
개요(introduction)- 지금까지 선택변수가 1개인 목적함수에 대한 최적화 문제를 다루었음.
- 본 장에서는 2개 이상의 선택변수를 가질 때 함수의 극값을 다룸.
- 경제학에서 다제품기업(multi-product firm)이 이윤을 극대화하기 위해서는 여러 제품의 최적산출량과
여러 생산요소의 최적결합을 선택해야 함.
- 다변수함수의 경우에도 주로 상대적 극값 문제를 다룸.
è
개요(introduction)- 지금까지 선택변수가 1개인 목적함수에 대한 최적화 문제를 다루었음.
- 본 장에서는 2개 이상의 선택변수를 가질 때 함수의 극값을 다룸.
- 경제학에서 다제품기업(multi-product firm)이 이윤을 극대화하기 위해서는 여러 제품의 최적산출량과
여러 생산요소의 최적결합을 선택해야 함.
- 다변수함수의 경우에도 주로 상대적 극값 문제를 다룸.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
1계조건(first-order condition)- 함수 z=f(x)가 주어졌을 때 미분은 다음과 같이 나타낼 수 있음.
dz=f¢(x)dx
- 여기서 dz는 x가 x0에서 x0+⊿x로 변화함으로써
유발된 z의 실제변화 ⊿z의 근사값으로 사용할 수 있음.
- 만약 f¢(x)>0이면 dz와 dx는 서로 같은 부호를 가져야 함. 즉, [그림 11.1]에서 A점.
è
1계조건(first-order condition)- 함수 z=f(x)가 주어졌을 때 미분은 다음과 같이 나타낼 수 있음.
dz=f¢(x)dx
- 여기서 dz는 x가 x0에서 x0+⊿x로 변화함으로써
유발된 z의 실제변화 ⊿z의 근사값으로 사용할 수 있음.
- 만약 f¢(x)>0이면 dz와 dx는 서로 같은 부호를 가져야 함. 즉, [그림 11.1]에서 A점.
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u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
1계조건(first-order condition)- 그리고 만약 f¢(x)<0이면 dz와 dx는 서로 다른 부호를 가져야 함. 즉, [그림 11.1]에서 A¢점.
- [그림 11.1]에서 A와 A¢점은 정지점이 될 수 없으므로 z가 극값(정지값)이기 위한 필요조건은 dz=0이어야 함.
- 더 정확히 이 조건은 “임의의 0이 아닌 dx값에 관해서 dz=0”임.
- 왜냐하면 dx=0은 x가 전혀 변화하지 않는 경우를
의미하기 때문에 이는 미분의 개념과 전혀 관계없음.
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1계조건(first-order condition)- 그리고 만약 f¢(x)<0이면 dz와 dx는 서로 다른 부호를 가져야 함. 즉, [그림 11.1]에서 A¢점.
- [그림 11.1]에서 A와 A¢점은 정지점이 될 수 없으므로 z가 극값(정지값)이기 위한 필요조건은 dz=0이어야 함.
- 더 정확히 이 조건은 “임의의 0이 아닌 dx값에 관해서 dz=0”임.
- 왜냐하면 dx=0은 x가 전혀 변화하지 않는 경우를
의미하기 때문에 이는 미분의 개념과 전혀 관계없음.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
1계조건(first-order condition)- [그림 11.1]에서 z의 극소값은 B점에서 z의 극대값은 B¢점에서 발생함.
- 두 경우 모두 B점과 B¢점에서 접선은 수평이 되고, 즉 f¢(x)=0이 됨.
- dz(접선의 빗변을 이루는 삼각형의 수직변)는 실제로 0이 됨(dz=0).
- 따라서 1계도함수조건 f¢(x)=0은 1계미분조건 “임의의 0이 아닌 dx값에 관해서 dz=0”으로 바꿀 수 있음.
è
1계조건(first-order condition)- [그림 11.1]에서 z의 극소값은 B점에서 z의 극대값은 B¢점에서 발생함.
- 두 경우 모두 B점과 B¢점에서 접선은 수평이 되고, 즉 f¢(x)=0이 됨.
- dz(접선의 빗변을 이루는 삼각형의 수직변)는 실제로 0이 됨(dz=0).
- 따라서 1계도함수조건 f¢(x)=0은 1계미분조건 “임의의 0이 아닌 dx값에 관해서 dz=0”으로 바꿀 수 있음.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
1계조건(first-order condition)- dz=f¢(x)dx ® =f¢(x), dx¹0이므로 dz=0 ® f¢(x)=0
è
1계조건(first-order condition)- dz=f¢(x)dx ® dz =f¢(x), dx¹0이므로 dz=0 ® f¢(x)=0 dx
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
2계조건(second-order condition)- z의 극값에 대한 2계충분조건은 도함수로 나타내면 정지점에서 f″(x)<0(극대값의 경우) 그리고 f″(x)>0 (극소값의 경우)이 됨.
- 이 조건들을 동치인 미분으로 바꾸기 위해서는 미분의 미분, 즉 d(dz)로 정의되고, d2z로 표시되는 2계미분의 개념이 필요함.
- 즉, 주어진 dz=f′(x)dx에서 dz를 한번 더 미분하면 d2z를 구할 수 있음.
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2계조건(second-order condition)- z의 극값에 대한 2계충분조건은 도함수로 나타내면 정지점에서 f″(x)<0(극대값의 경우) 그리고 f″(x)>0 (극소값의 경우)이 됨.
- 이 조건들을 동치인 미분으로 바꾸기 위해서는 미분의 미분, 즉 d(dz)로 정의되고, d2z로 표시되는 2계미분의 개념이 필요함.
- 즉, 주어진 dz=f′(x)dx에서 dz를 한번 더 미분하면 d2z를 구할 수 있음.
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u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
2계조건(second-order condition)- 유의해야 할 점은 여기서 dx는 상수로 취급함.
- 따라서 dz는 오직 f′(x)와 함께 변할 수 있는데 f′(x)가 x의 함수이므로 결국 dz는 x의 변화에 따라 변할 수 있을 뿐임.
- 이를 수식으로 나타내면 다음과 같음.
d2zºd(dz)=d[f′(x)dx]
=[df′(x)]dx [여기서 dx는 상수]
=[f″(x)dx]dx=f″(x)dx2
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2계조건(second-order condition)- 유의해야 할 점은 여기서 dx는 상수로 취급함.
- 따라서 dz는 오직 f′(x)와 함께 변할 수 있는데 f′(x)가 x의 함수이므로 결국 dz는 x의 변화에 따라 변할 수 있을 뿐임.
- 이를 수식으로 나타내면 다음과 같음.
d2zºd(dz)=d[f′(x)dx]
=[df′(x)]dx [여기서 dx는 상수]
=[f″(x)dx]dx=f″(x)dx2
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u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
2계조건(second-order condition)- 앞의 식에서 지수 2는 전혀 다른 두 가지 의미를 가짐.
- 우선 좌변의 d2z에서 지수 2는 z의 2계미분을
의미하는 반면, dx2º(dx)2에서 지수 2는 1계미분 dx의 제곱을 의미함.
d2z=f″(x)dx2=f″(x)dx×dx
- 따라서 위 식은 d2z와 f″(x)간에 직접적인 관계가 있음을 보여줌.
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2계조건(second-order condition)- 앞의 식에서 지수 2는 전혀 다른 두 가지 의미를 가짐.
- 우선 좌변의 d2z에서 지수 2는 z의 2계미분을
의미하는 반면, dx2º(dx)2에서 지수 2는 1계미분 dx의 제곱을 의미함.
d2z=f″(x)dx2=f″(x)dx×dx
- 따라서 위 식은 d2z와 f″(x)간에 직접적인 관계가 있음을 보여줌.
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u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
2계조건(second-order condition)- 여기서는 오직 0이 아닌 dx만 고려하기 때문에 항상 dx2항은 양(+)이 됨.
- 그러므로 d2z=f″(x)dx2(여기서 dx>0 ® dx2>0)에서 d2z와 f″(x)의 부호는 일치하게 됨.
- 따라서 다음의 관계가 성립함.
극대값의 경우 : d2z<0 « f″(x)<0 극소값의 경우 : d2z>0 « f″(x)>0
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2계조건(second-order condition)- 여기서는 오직 0이 아닌 dx만 고려하기 때문에 항상 dx2항은 양(+)이 됨.
- 그러므로 d2z=f″(x)dx2(여기서 dx>0 ® dx2>0)에서 d2z와 f″(x)의 부호는 일치하게 됨.
- 따라서 다음의 관계가 성립함.
극대값의 경우 : d2z<0 « f″(x)<0 극소값의 경우 : d2z>0 « f″(x)>0
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 미분을 이용한 최적화조건의 설명 u 미분을 이용한 최적화조건의 설명
è
미분조건 대 도함수조건- 미분조건은 1개 선택변수(단일변수)에서 다수의 선택변수(다변수)로 일반화 시킬 수 있음.
즉, 모든 선택변수가 0의 값을 갖지 않는다는 조건으로 1계조건과 2계조건이 다변수에서도 적용이 가능함.
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미분조건 대 도함수조건- 미분조건은 1개 선택변수(단일변수)에서 다수의 선택변수(다변수)로 일반화 시킬 수 있음.
즉, 모든 선택변수가 0의 값을 갖지 않는다는 조건으로 1계조건과 2계조건이 다변수에서도 적용이 가능함.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
서론(introduction)- 1변수함수 y=f(x)의 극값은 2차원 평면에서 봉우리의 꼭대기(peak of a hill) 또는 골짜기의 바닥(bottom of a valley)으로 표시됨.
- 그러나 2변수함수 z=f(x, y)는 3차원 공간에서 곡면 (surface)이 되고, 극값은 여전히 봉우리의 꼭대기 또는 골짜기의 바닥에 해당하는데, 이는 이제 각각 둥근 지붕(domes)의 꼭대기와 사발모양(bowls)의 바닥이 됨.
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서론(introduction)- 1변수함수 y=f(x)의 극값은 2차원 평면에서 봉우리의 꼭대기(peak of a hill) 또는 골짜기의 바닥(bottom of a valley)으로 표시됨.
- 그러나 2변수함수 z=f(x, y)는 3차원 공간에서 곡면 (surface)이 되고, 극값은 여전히 봉우리의 꼭대기 또는 골짜기의 바닥에 해당하는데, 이는 이제 각각 둥근 지붕(domes)의 꼭대기와 사발모양(bowls)의 바닥이 됨.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
서론(introduction)è
서론(introduction)l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
서론(introduction)- [그림 11.2] (a)의 A점은 둥근 지붕의 꼭대기로 극대를 나타냄. 왜냐하면 이 점에서의 함수값인 z의 값은 A점 근방에서 어떤 다른 점에서의 z값보다 더 크기 때문임.
- 반면 [그림 11] (b)에서의 B점은 사발모양의 바닥으로 극소를 나타냄. 왜냐하면 B점 근방의 모든 점에서
함수값인 z값이 B점에서의 값보다 더 크기 때문임.
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서론(introduction)- [그림 11.2] (a)의 A점은 둥근 지붕의 꼭대기로 극대를 나타냄. 왜냐하면 이 점에서의 함수값인 z의 값은 A점 근방에서 어떤 다른 점에서의 z값보다 더 크기 때문임.
- 반면 [그림 11] (b)에서의 B점은 사발모양의 바닥으로 극소를 나타냄. 왜냐하면 B점 근방의 모든 점에서
함수값인 z값이 B점에서의 값보다 더 크기 때문임.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
1계조건(first-order condition)- 함수 z=f(x, y)의 극값(극대값 또는 극소값)이 되기 위한 1계필요조건은 dz=0임.
- 그러나 위의 함수는 두 개의 독립변수를 갖고 있기 때문에 dz는 이제 전미분(total differential)을 해야 함.
dz=fxdx+fydy
- 따라서 1계필요조건은 다음과 같이 나타낼 수 있음.
dz=fxdx+fydy=0, 여기서 dx¹0, dy¹0임.
® fx=fy=0 [∂z/∂x=∂z/∂y=0]
è
1계조건(first-order condition)- 함수 z=f(x, y)의 극값(극대값 또는 극소값)이 되기 위한 1계필요조건은 dz=0임.
- 그러나 위의 함수는 두 개의 독립변수를 갖고 있기 때문에 dz는 이제 전미분(total differential)을 해야 함.
dz=fxdx+fydy
- 따라서 1계필요조건은 다음과 같이 나타낼 수 있음.
dz=fxdx+fydy=0, 여기서 dx¹0, dy¹0임.
® fx=fy=0 [∂z/∂x=∂z/∂y=0]
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
1계조건(first-order condition)- 그러나 이 1계조건은 함수의 극값이기 위한 필요조건 이지만 충분조건은 아님.
- [그림 11.3] (a)의 C점에서 보는 바와 같이 Tx와 Ty의 기울기는 모두 0이지만 이 C점은 극값이 아님.
왜냐하면 yz평면을 배경으로 보면 극소점이지만 xz평면을 배경으로 보면 극대점이 되기 때문임.
- 이와 같이 2중적인 특성을 갖는 점을 안정점(saddle point)이라 함.
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1계조건(first-order condition)- 그러나 이 1계조건은 함수의 극값이기 위한 필요조건 이지만 충분조건은 아님.
- [그림 11.3] (a)의 C점에서 보는 바와 같이 Tx와 Ty의 기울기는 모두 0이지만 이 C점은 극값이 아님.
왜냐하면 yz평면을 배경으로 보면 극소점이지만 xz평면을 배경으로 보면 극대점이 되기 때문임.
- 이와 같이 2중적인 특성을 갖는 점을 안정점(saddle point)이라 함.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
1계조건(first-order condition)- 마찬가지로 [그림 11.3] (b)의 D점에서 Tx와 Ty는 수평 이지만 극값은 아님. 왜냐하면 비틀린 곡면 위에
위치한 D점은 yz평면 또는 xz평면에서 보면 변곡점 (inflection point)이기 때문임.
- 따라서 1계조건은 필요조건이지 충분조건이 아님.
- 그러므로 충분조건을 전개하기 위해서 2계편도함수와 관계가 있는 2계전미분을 검토해야 함.
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1계조건(first-order condition)- 마찬가지로 [그림 11.3] (b)의 D점에서 Tx와 Ty는 수평 이지만 극값은 아님. 왜냐하면 비틀린 곡면 위에
위치한 D점은 yz평면 또는 xz평면에서 보면 변곡점 (inflection point)이기 때문임.
- 따라서 1계조건은 필요조건이지 충분조건이 아님.
- 그러므로 충분조건을 전개하기 위해서 2계편도함수와 관계가 있는 2계전미분을 검토해야 함.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
1계조건(first-order condition)è
1계조건(first-order condition)l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계편도함수(second-order partial derivatives)- 함수 z=f(x, y)에서 다음과 같이 2개의 1계편도함수를 구할 수 있음.
fxº 및 fyº
- 위 식에서 fx는 그 자체가 x와 y의 함수이므로 fx를 x에 대해 한번 더 미분한 값은 y값이 고정되어 있다는
전제로 한 x값의 변화에 따른 fx의 변화량이라 할 수 있음.
- 위 식에서 fy도 그 자체가 x와 y의 함수이므로 동일함.
è
2계편도함수(second-order partial derivatives)- 함수 z=f(x, y)에서 다음과 같이 2개의 1계편도함수를 구할 수 있음.
fxº 및 fyº
- 위 식에서 fx는 그 자체가 x와 y의 함수이므로 fx를 x에 대해 한번 더 미분한 값은 y값이 고정되어 있다는
전제로 한 x값의 변화에 따른 fx의 변화량이라 할 수 있음.
- 위 식에서 fy도 그 자체가 x와 y의 함수이므로 동일함.
∂z
∂x
∂z
∂y
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계편도함수(second-order partial derivatives)- 따라서 특정한 2계편도함수는 다음과 같이 나타낼 수 있음.
fxxº (fx)= ( )=
fyyº (fy)= ( )=
- 한편, fx는 y의 함수도 되고, 그리고 fy는 x의 함수도 되기 때문에 추가로 다음과 같은 2개의 2계편도함수도 고려할 수 있음.
è
2계편도함수(second-order partial derivatives)- 따라서 특정한 2계편도함수는 다음과 같이 나타낼 수 있음.
fxxº (fx)= ( )=
fyyº (fy)= ( )=
- 한편, fx는 y의 함수도 되고, 그리고 fy는 x의 함수도 되기 때문에 추가로 다음과 같은 2개의 2계편도함수도 고려할 수 있음.
∂
∂x
∂
∂x
∂z
∂x
∂2z
∂x2
∂
∂y
∂
∂y
∂z
∂y
∂2z
∂y2
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계편도함수(second-order partial derivatives)- 어떤 1계편도함수의 ‘타’변수에 관한 변화율은 교차 (또는 혼합)편도함수(cross or mixed partial derivatives) 라고 함.
- 이에 대한 2계편도함수는 다음과 같이 나타냄.
fxyº ( )=
fyxº ( )=
- 영의 정리(Young’s theorem)에 의해 fxy=fyx임.
è
2계편도함수(second-order partial derivatives)- 어떤 1계편도함수의 ‘타’변수에 관한 변화율은 교차 (또는 혼합)편도함수(cross or mixed partial derivatives) 라고 함.
- 이에 대한 2계편도함수는 다음과 같이 나타냄.
fxyº ( )=
fyxº ( )=
- 영의 정리(Young’s theorem)에 의해 fxy=fyx임.
∂
∂x
∂z
∂y
∂2z
∂x∂y
∂
∂y
∂z
∂x
∂2z
∂y∂x
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계편도함수(second-order partial derivatives)예 : 함수 z=x3+5xy-y2에 대한 4개의 2계편도함수는?
이 함수의 1계편도함수는 다음과 같음.
fx=3x2+5y 및 fy=5x-2y
- 위의 1계도함수로부터 다음과 같이 4개의 특정한 2계편도함수는 다음과 같이 구할 수 있음.
fxx=6x, fyy=-2, fxy=5, fyx=5
- 위에서 영의 정리에 의해 fxy=fyx는 일치함.
è
2계편도함수(second-order partial derivatives)예 : 함수 z=x3+5xy-y2에 대한 4개의 2계편도함수는?
이 함수의 1계편도함수는 다음과 같음.
fx=3x2+5y 및 fy=5x-2y
- 위의 1계도함수로부터 다음과 같이 4개의 특정한 2계편도함수는 다음과 같이 구할 수 있음.
fxx=6x, fyy=-2, fxy=5, fyx=5
- 위에서 영의 정리에 의해 fxy=fyx는 일치함.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계전미분(second-order total differential)- 이제 dz=fxdx+fydy에서 dz를 한번 더 미분함으로써 2계전미분 d2z를 구할 수 있음.
- 여기서 유의할 점은 dz=fxdx+fydy에 있는 기호 dx와 dy는 변수 x, y의 주어진 변화 또는 임의의 변화를 표시하기 때문에 미분과정에서 상수로 취급함.
- 결과적으로 dz는 오직 fx와 fy에만 의존하며, fx와 fy 그 자체는 x와 y의 함수이므로 dz도 x와 y의 함수임.
è
2계전미분(second-order total differential)- 이제 dz=fxdx+fydy에서 dz를 한번 더 미분함으로써 2계전미분 d2z를 구할 수 있음.
- 여기서 유의할 점은 dz=fxdx+fydy에 있는 기호 dx와 dy는 변수 x, y의 주어진 변화 또는 임의의 변화를 표시하기 때문에 미분과정에서 상수로 취급함.
- 결과적으로 dz는 오직 fx와 fy에만 의존하며, fx와 fy 그 자체는 x와 y의 함수이므로 dz도 x와 y의 함수임.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계전미분(second-order total differential)- 이제 dz=fxdx+fydy에서 d2z를 구하면 다음과 같음.
d2zºd(dz)= dx+ dy
= (fxdx+fydy)dx+ (fxdx+fydy)dy
=(fxxdx+fxydy)dx+(fyxdx+fyydy)dy
=fxxdx2+fxydydx+fyxdxdy+fyydy2
=fxxdx2+2fxydydx+fyydy2 [영의 정리 : fxy=fyx]
è
2계전미분(second-order total differential)- 이제 dz=fxdx+fydy에서 d2z를 구하면 다음과 같음.
d2zºd(dz)= dx+ dy
= (fxdx+fydy)dx+ (fxdx+fydy)dy
=(fxxdx+fxydy)dx+(fyxdx+fyydy)dy
=fxxdx2+fxydydx+fyxdxdy+fyydy2
=fxxdx2+2fxydydx+fyydy2 [영의 정리 : fxy=fyx]
∂(dz)
∂x
∂(dz)
∂ ∂y
∂x
∂
∂x
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계전미분(second-order total differential)예 : 주어진 함수 z=x3+5xy-y2에서 dz와 d2z를 구하라.
dz=(3x2+5y)dx+(5x-2y)dy d2z=6xdx2+10dxdy-2dy2
- 여기서 dz와 d2z는 모두 x와 y의 함수이므로 예를 들어 x=1과 y=2이면 다음과 같음.
dz=(3x2+5y)dx+(5x-2y)dy=13dx+dy
d2z=6xdx2+10dxdy-2dy2=6dx2+10dxdy-2dy2
è
2계전미분(second-order total differential)예 : 주어진 함수 z=x3+5xy-y2에서 dz와 d2z를 구하라.
dz=(3x2+5y)dx+(5x-2y)dy d2z=6xdx2+10dxdy-2dy2
- 여기서 dz와 d2z는 모두 x와 y의 함수이므로 예를 들어 x=1과 y=2이면 다음과 같음.
dz=(3x2+5y)dx+(5x-2y)dy=13dx+dy
d2z=6xdx2+10dxdy-2dy2=6dx2+10dxdy-2dy2
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계조건(second-order condition)- 1변수의 경우에 정지점에서 d2z<0이면 그 점은 2차원 공간에서 봉우리의 꼭대기가 됨.
- 2변수의 경우도 마찬가지로 d2z<0이면 그 점이 3차원 공간에서 둥근 지붕의 꼭대기가 됨.
- 한편, 1변수의 경우에 정지점에서 d2z>0이면 그 점은 2차원 공간에서 골짜기의 바닥이 됨.
- 2변수의 경우도 마찬가지로 d2z>0이면 그 점이 3차원 공간에서 사발의 바닥이 됨.
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2계조건(second-order condition)- 1변수의 경우에 정지점에서 d2z<0이면 그 점은 2차원 공간에서 봉우리의 꼭대기가 됨.
- 2변수의 경우도 마찬가지로 d2z<0이면 그 점이 3차원 공간에서 둥근 지붕의 꼭대기가 됨.
- 한편, 1변수의 경우에 정지점에서 d2z>0이면 그 점은 2차원 공간에서 골짜기의 바닥이 됨.
- 2변수의 경우도 마찬가지로 d2z>0이면 그 점이 3차원 공간에서 사발의 바닥이 됨.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
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2계조건(second-order condition)- 편의를 위하여 2계미분조건을 2계도함수조건으로 전환함. 즉, 이는 2계편도함수 fxx, fxy 및 fyy의 부호에 제약을 가하는 것을 의미함.
- 이와 같은 전환은 2차형식(quadratic form)에 관한 지식을 필요로 하지만 여기서는 그 결과만 다루기로 함(이를 이해하기 위해서는 교재 11.3 이차형식 : 보론 을 참조하기 바람).
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2계조건(second-order condition)- 편의를 위하여 2계미분조건을 2계도함수조건으로 전환함. 즉, 이는 2계편도함수 fxx, fxy 및 fyy의 부호에 제약을 가하는 것을 의미함.
- 이와 같은 전환은 2차형식(quadratic form)에 관한 지식을 필요로 하지만 여기서는 그 결과만 다루기로 함(이를 이해하기 위해서는 교재 11.3 이차형식 : 보론 을 참조하기 바람).
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계조건(second-order condition)- 2계충분조건은 둘 다 0이 아닌 임의의 dx와 dy에 대해 다음이 성립함.
d2z<0 « fxx<0, fyy<0 및 fxxfyy>(fxy)2
즉, (x, y)=(x*, y*)에서 fxx<0, fyy<0 및 fxxfyy-(fxy)2>0이면 f(x*, y*)는 극대값임.
d2z>0 « fxx>0, fyy>0 및 fxxfyy>(fxy)2
즉, (x, y)=(x*, y*)에서 fxx>0, fyy>0 및 fxxfyy-(fxy)2>0이면 f(x*, y*)는 극소값임.
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2계조건(second-order condition)- 2계충분조건은 둘 다 0이 아닌 임의의 dx와 dy에 대해 다음이 성립함.
d2z<0 « fxx<0, fyy<0 및 fxxfyy>(fxy)2
즉, (x, y)=(x*, y*)에서 fxx<0, fyy<0 및 fxxfyy-(fxy)2>0이면 f(x*, y*)는 극대값임.
d2z>0 « fxx>0, fyy>0 및 fxxfyy>(fxy)2
즉, (x, y)=(x*, y*)에서 fxx>0, fyy>0 및 fxxfyy-(fxy)2>0이면 f(x*, y*)는 극소값임.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계조건(second-order condition)- 앞의 2계충분조건에서 다음과 같은 경우를 고려해 볼 수 있음.
첫째, fxxfyy<(fxy)2 즉, fxxfyy-(fxy)2<0이라면 f(x*, y*)는 극값이 될 수 없음.
둘째, fxxfyy=(fxy)2 즉, fxxfyy-(fxy)2=0이면 극값 여부를 판정할 수 없음.
- 따라서 d2z의 부호는 fxx와 fyy에 의해서 결정될 뿐만 아니라 교차편도함수 fxy에 의해서도 결정됨.
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2계조건(second-order condition)- 앞의 2계충분조건에서 다음과 같은 경우를 고려해 볼 수 있음.
첫째, fxxfyy<(fxy)2 즉, fxxfyy-(fxy)2<0이라면 f(x*, y*)는 극값이 될 수 없음.
둘째, fxxfyy=(fxy)2 즉, fxxfyy-(fxy)2=0이면 극값 여부를 판정할 수 없음.
- 따라서 d2z의 부호는 fxx와 fyy에 의해서 결정될 뿐만 아니라 교차편도함수 fxy에 의해서도 결정됨.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계조건(second-order condition) 상대적 극값의 조건 : z=f(x, y)* 1계필요조건이 만족된 후에만 적용할 수 있음.
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2계조건(second-order condition) 상대적 극값의 조건 : z=f(x, y)* 1계필요조건이 만족된 후에만 적용할 수 있음.
조건 극대 극소
1계필요조건 fx=fy=0 fx=fy=0
2계충분조건* fxx, fyy<0 및 fxxfyy>(fxy)2 fxx, fyy>0 및 fxxfyy>(fxy)2
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
è
2계조건(second-order condition)예 1 : 함수 z=f(x, y)=8x3+2xy-3x2+y2+1의 극값은?
- 우선, 1계편도함수와 2계편도함수는 다음과 같음.
fx=24x2+2y-6x, fy=2x+2y fxx=48x-6, fyy=2, fxy=2
- 1계조건은 fx=fy=0이므로 다음과 같음.
24x2+2y-6x=0
2y+2x=0 (® y=-x)
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2계조건(second-order condition)예 1 : 함수 z=f(x, y)=8x3+2xy-3x2+y2+1의 극값은?
- 우선, 1계편도함수와 2계편도함수는 다음과 같음.
fx=24x2+2y-6x, fy=2x+2y fxx=48x-6, fyy=2, fxy=2
- 1계조건은 fx=fy=0이므로 다음과 같음.
24x2+2y-6x=0
2y+2x=0 (® y=-x)
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
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2계조건(second-order condition)- y=-x를 첫 번째 방정식에 대입하면 24x2-8x=0이므로 8x(3x-1)=0임.
- 따라서 다음과 같은 한 쌍의 해를 구할 수 있음.
x1*=0 [따라서 y1*=-x1*=0]
x2*=1/3 [따라서 y2*=-1/3]
- 우선 x1*=y1*=0일 때 fxx=-6, fyy=2이므로 fxxfyy<0임.
여기서 fxxfyy-(fxy)2<0이므로 2계조건을 충족하지 않으므로 극값은 존재하지 않음(® 안장점).
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2계조건(second-order condition)- y=-x를 첫 번째 방정식에 대입하면 24x2-8x=0이므로 8x(3x-1)=0임.
- 따라서 다음과 같은 한 쌍의 해를 구할 수 있음.
x1*=0 [따라서 y1*=-x1*=0]
x2*=1/3 [따라서 y2*=-1/3]
- 우선 x1*=y1*=0일 때 fxx=-6, fyy=2이므로 fxxfyy<0임.
여기서 fxxfyy-(fxy)2<0이므로 2계조건을 충족하지 않으므로 극값은 존재하지 않음(® 안장점).
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
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2계조건(second-order condition)- 다음으로 x2*=1/3, y2*=-1/3일 때 fxx=10, fyy=2 그리고 fxy=2임.
- 여기서 fxx=10(>0), fyy=2(>0) 그리고 fxxfyy-(fxy)2이
(10×20)-(2)2>0이므로 극소값을 가질 2계조건이 충족됨.
- 그러므로 주어진 함수 z=8x3+2xy-3x2+y2+1에 x=1/3, y=-1/3을 대입하면 z의 극소값은 z*=23/27임.
- 이 예에서는 오직 하나의 상대적 극소값이 존재하고 이것은 3중 순서쌍인 (x*, y*, z*)=(1/3, -1/3, 23/27)임.
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2계조건(second-order condition)- 다음으로 x2*=1/3, y2*=-1/3일 때 fxx=10, fyy=2 그리고 fxy=2임.
- 여기서 fxx=10(>0), fyy=2(>0) 그리고 fxxfyy-(fxy)2이
(10×20)-(2)2>0이므로 극소값을 가질 2계조건이 충족됨.
- 그러므로 주어진 함수 z=8x3+2xy-3x2+y2+1에 x=1/3, y=-1/3을 대입하면 z의 극소값은 z*=23/27임.
- 이 예에서는 오직 하나의 상대적 극소값이 존재하고 이것은 3중 순서쌍인 (x*, y*, z*)=(1/3, -1/3, 23/27)임.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
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2계조건(second-order condition)예 2 : 함수 z=f(x, y)=x2+xy+y2-3x-3y의 극값은?
- 우선, 1계편도함수와 2계편도함수는 다음과 같음.
fx=2x+y-3, fy=x+2y-3 fxx=2, fyy=2, fxy(=fyx)=1
- 1계조건은 fx=fy=0이므로 다음과 같음.
2x+y-3=0 x+2y-3=0
- 위의 방정식을 풀면 x*=1, y*=1임.
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2계조건(second-order condition)예 2 : 함수 z=f(x, y)=x2+xy+y2-3x-3y의 극값은?
- 우선, 1계편도함수와 2계편도함수는 다음과 같음.
fx=2x+y-3, fy=x+2y-3 fxx=2, fyy=2, fxy(=fyx)=1
- 1계조건은 fx=fy=0이므로 다음과 같음.
2x+y-3=0 x+2y-3=0
- 위의 방정식을 풀면 x*=1, y*=1임.
l 다변수함수의 극대와 극소 l 다변수함수의 극대와 극소
u 2변수함수의 극값 u 2변수함수의 극값
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2계조건(second-order condition)- x1*=y1*=1일 때 fxx=2(>0), fyy=2(>0)이므로 fxxfyy>0임.
그리고 (fxy)2=12이고 fxxfyy-(fxy)2=(2×2)-(1) 2>0이므로 2계조건을 충족함.
- 따라서 (x*=1, y*=1)일 때 함수값 f(1, 1)=-3이 됨.
여기서 함수값 -3은 상대적 극소값이 됨.
(x*, y*, z*)=(1, 1, -3)
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2계조건(second-order condition)- x1*=y1*=1일 때 fxx=2(>0), fyy=2(>0)이므로 fxxfyy>0임.
그리고 (fxy)2=12이고 fxxfyy-(fxy)2=(2×2)-(1) 2>0이므로 2계조건을 충족함.
- 따라서 (x*=1, y*=1)일 때 함수값 f(1, 1)=-3이 됨.
여기서 함수값 -3은 상대적 극소값이 됨.
(x*, y*, z*)=(1, 1, -3)
