미분적분학

미분적분학 I

Contents

1장. 함수와 극한 2장. 도함수

3 장. 미분법의 응용 4 장. 적분

5장. 적분의 응용 6장. 역함수

7장. 적분법

8장. 적분법의 다양한 응용

4

제 1 장. 함수

1.1 함수

1.2 함수의 표현 1.3 함수의 형태 1.4 함수의 변환 1.5 함수의 극한

1.6 극한법칙을 이용한 극한계산 1.8 연속함수

함수 f 는 집합 D의 각 원소 x 에 대해 집합 E에 속하는 단 하나의 원소 f(x)를 대응시키는 규칙.

함수 f 에 대한 화살표 도표

1. 1 함수 (function)

f 의 정의역 (domain) : 집합 D.

실수로 이루어진 집합 D와 E에 대한 함수 f 에 대하여

f 의 치역 (range) : 정의역 D의 각 x 에 대응하는 f(x)의 값 전체의 집합.

수 f(x)는 x에서 f 의 함숫값 이라 한다.

정의역 / 치역 함숫값

독립변수(independent variable):

함수 f 의 정의역에 속한 임의의 수(를 나타내는 기호)

종속변수(dependent variable):

f 의 치역에 속하는 수(를 나타내는 기호)

그래프(graph):

f 가 D를 정의역으로 갖는 함수이면, 다음과 같은 순서쌍의 집합 { (x, f(x)) | x D }

예제

다음 함수의 정의역과 치역을 구하라.

(a) f(x) = 2x – 1 (b) g(x)= x²

다음 함수의 정의역을 구하라.

f x( ) x2 g x

x² x ( )  1

(a) (b) 

예제

수직선 판정법

xy 평면에서 곡선이 함수의 그래프이기 위한 필요충분조건은 곡선과 두 번 이상 만나는 수직선이 존재하지 않는 것이다.

함수이다 함수가 아니다

1. 2 함수의 표현

조각마다 정의된 함수

x x

f x x² x

1 1

( ) , 1

  

   

(1) 조각마다 정의된 함수(piecewise defined function) : 정의역의 부분 영역에 따라 다른 식으로 정의된 함수

(2) 절댓값함수 (absolute value function)

x x  0



대칭성

우(^짝)함수(even function)

정의역의 모든 x 에 대해 f(-x) = f(x)를 만족하는 함수 f

기(^홀)함수(odd function)

정의역의 모든 x 에 대해 f(-x) = - f(x)를 만족하는 함수 f

우(짝)함수 기(홀)함수

다음 함수의 우함수, 기함수를 판정하라.

f x( ) x⁵x g x( ) 1 x⁴ h x( ) 2 x x ²

(a) (b) (c)

예제

증가함수와 감소함수

증가함수(increasing function)

구간 I 에 있는 x₁ < x₂ 인 임의의 x₁ , x₂ 에서 f(x₁) < f(x₂) 인 함수 감소함수(decreasing function)

구간 I 에 있는 x₁ < x₂ 인 임의의 x₁ , x₂ 에서 f(x₁) > f(x₂) 인 함수

1. 3 함수의 형태

1. 선형함수( linear function): 그래프가 직선인 함수 y = f(x) = mx + b

2. 다항함수(polynomial function)

n n

n n

p x ( )  a x  a x

  a x

 a x a



n은 음이 아닌 정수로 차수(degree)

a₀, a₁, a₂, …, a_n : 계수 (coefficient) 라 한다.

이차함수(quadratic function) : p x( )  ax² bx c 형태의 함수

3. 거듭제곱함수(power function):

f(x) = x ^a ( a는 상수) 형태의 함수

a = n ( n: 양의 정수일 때)

4. 거듭제곱근함수 (root function):

f(x) = x ^a ( a는 상수) 에서 a = 1/n (n은 양의 정수) 형태의 함수, 즉

n n

f x( )  x^1/  x

5. 반비례함수 (reciprocal function

f(x) = x ^a ( a는 상수) 에서 a = - 1 일 때 , 즉 f(x) = x ^-1 = 1/x

좌표축을 점근선으로 하는 쌍곡선

두 다항함수 P, Q에 대하여 형태의 함수 ^{f x( )} _{Q x}^{P x( )}_{( )}

x x

f x x

4 2

2

2 1

( ) 4

 

  정의역은 { x|x ≠ ± 2}

예)

함수 f 를 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 근호 취하기와 같은 대수적 연산을 이용하여 만든 함수

 

x x

g x x x

x x

4 2

16 3

( )   2 1

예) 

6. 유리 함수(rational function)

7. 대수함수(algebraic function)

라디안을 단위로 측정된 x 에 대한 삼각비의 값

f x( ) sin , x f x( ) cos x 정의역 : (-∞, ∞)

1 sin 1, 1 cos 1

  x   x

f x( ) sin x _{f x( ) cos x}

(1)

8. 삼각함수(trigonometric function)

치역 : [ -1, 1 ]

f x x x

x ( ) tan sin

  cos

정의역 : 인 모든 실수 n x (2 1)

2



  





tan  tan

(2)

치역 : (-∞, ∞)

의 정의역을 구하라. ^{f x( ) } _{1 2 cos} ¹ _x

예제

f(x) = a^x (a>0, a ≠ 1) 형태의 함수 정의역 : (-∞, ∞)

지수함수의 역함수로

f(x) = log _a x (a>0, a ≠ 1) 형태의 함수

정의역 : (0, ∞)

8. 지수함수(exponential function)

치 역 : (0, ∞)

9. 로그함수(logarithmic function)

치 역 : (-∞, ∞)