Chapter 3. ȸÚ

Chapter 3. 함수

3.1 두 집합의 데카르트곱

a가 하나의 원소라고 할 때, 다음 집합

{a} = {x | x = a}

은 한 개의 원소로 이루어진 집합이다. 이러한 집합을 singletone라고 부르 기도 한다.

임의의 두 원소 a와 b에 대하여, 다음과 같은 집합을 생각해보자.

{a, b} = {x | x = a 또는 x = b}

이 집합은 두 개의 원소를 포함하고 있음을 알 수 있다. 이러한 집합을 dou- bleton 이라고 부르기도 한다. 위의 집합에서 원소의 순서는 중요하지 않다.

이유는

{a, b} = {b, a}

이다.

Theorem 1

{x, y} = {u, v} =⇒ [x = u ∧ y = v] 또는 [x = v ∧ y = u]

1

집합론 및 수학에서 중요한 개념 중의 하나가 바로 “순서쌍” 이라는 것이 다. 임의의 두 원소 a, b에 대하여, 이 들의 순서쌍 (a, b)를 구성 할 수 있 다. 여기서 순서라 함은 두 원소 a, b의 순서를 의미한다.주의 할 점은 순서쌍 (a, b)는 집합 {a, b}와는 다르다는 것이다. 형식적으로 순서쌍은 다음과 같이 정의 할 수 있다.

(a, b) = {{a}, {a, b}}

이 정의를 사용하면, 다음과 같은 성질을 얻는다.

Theorem 2

(a, b) = (c, d) =⇒ a = c ∧ b = d

Definition 3 임의의 두 집합 A, B에 대하여, 두 집합의 데카르트곱은 A×

B로 표시하고

A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

Example A = {a, b, c}, B = {1, 2}에 대하여 A × B와 B × A를 각각 구 하여라.

Example A ×∅ ^과 ∅^{× A를 구하여라.}

참고로 A = B = R^{인 경우}

A × B = R^×R

이 데카르트곱은 실수의 모든 순서쌍의 집합으로서 좌표평면을 나타낸다.

Theorem 4 임의의 집합 A, B, C에 대하여 다음이 성립한다.

(1) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (2) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

(3) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)

Theorem 5 임의의 집합 A, B, C에 대하여 다음이 성립한다.

A × (B − C) = (A × B) − (A × C)

3

Exercises 3.1

1. 좌표평면에 다음 점의 집합의 그래프를 그려라.

(1) {(x, y) ∈ R^×R ^{| x = y}}

(2) {(x, y) ∈ R^×R | x > y}

(3) {(x, y) ∈ R^×R | |x + y| ≤ 1}

2. 집합 A, B에 대하여, A × B = B × A가 성립하려면 어떤 조건이 필요 한가?

3. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 임을 증명하여라.

4. Prove that (A × B) ∩ (C × D) = (A × D) ∩ (C × B).

5. 임의의 집합 A, B, C에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

(a) (A × A) ∩ (B × C) = (A ∩ B) × (A ∩ C).

(b) (A × B) − (C × C) = [(A − C) × B] ∪ [A × (B − C)].

(c) (A × A) − (B × C) = [(A − B) × A] ∪ [A × (A − C)].

6. 임의의 집합 C 6= ∅^{에 대하여}

A ∩ B =∅ ⇐⇒ (A × C) ∩ (B × C) = ∅

7. If A and C are nonempty sets, prove that A ⊆ B and C ⊆ D if and only if A × C ⊆ B × D.

8. Let A, B, C, D be nonempty sets. Prove that A × B = C × D if and only if A = C and B = D.

9. If A, B and C are any sets, prove (a) A × B and A^c× C are disjoint.

(b) B × A and C × A^c are disjoint.

3.2 함수(function)의 정의

수학의 모든 분야는 함수로부터 출발한다고 해도 과언은 아니다. 함수의 개 념에 대하여 다음과 같이 배워왔다. “함수란 집합(정의역)의 각 원소 하나 에 공역의 원소 단 하나가 대응하는 규칙을 말한다.” 이러한 정의가 틀린것 은 아니지만 몇가지 용어에 대한 명확한 정의가 필요로 한다. 이러한 점을 피 하기 위하여 집합의 용어를 사용하여 함수의 정의를 정확히 내리려고 노력해 왔다.

Definition 3.2.1 공집합이 아닌 두 집합 X, Y 에 대하여 X에서 Y 로의 함수란 다음 조건을 만족하는 세 짝(triple) (f, X, Y )를 말한다.

F0 f 는 X × Y 의 부분집합이다: f ⊆ X × Y .

F1 모든 원소 x ∈ X에 대하여, (x, y) ∈ f 를 만족하는 y ∈ Y 가 유일하게 존재한다.

F2 (x, y1) ∈ f 이고 (x, y2) ∈ f 이면 y1 = y2이다.

일반적으로 세 짝 (f, X, Y )대신에 f : X −→ Y 로 나타내거나 (x, y) ∈ f 대 신으로는 y = f (x)와 같이 쓰도록한다.

함수 f : X −→ Y 에 대하여 (x, y) ∈ f 또는 y = f (x)일 때, y를 f 에 따 른 x의 상(image) 또는 함숫값이라고 한다. 이 때, x는 f 에 따른 y의 원 상(pre-image)이라고 한다. 또한 f 에 의하여 원소 x가 y와 대응이 될 때, 다음과 같이 나타내기도 한다.

f : x 7−→ y, 또는 x 7−→ y,^f 또는 y = f (x)

f : X −→ Y 가 함수일 때, 집합 X를 정의역(domain), 집합 Y 를 공 역(range)이라 한다.

Example 각 x ∈ R에 대한 [x]는 x보다 크지 않은 실수 중 가장 큰 정수를 나타낸다. 즉,

[√

2] = 1, [−1

2] = −1, [−5] = −5, [0] = 0, [7.1] = 7

여기서 가우스함수 f (x) = [x]로 정의되고 이 함수의 정의역은 실수전체이고 공역은 실수 집합이다. 참고로 위의 함수에서 공역을 바꾸면 새로운 함수가 만들어진다. 즉, g : R ^−→ Z^{와 h :} R ^−→ Q는 위의 함수 f : R ^−→ R^{과 서} 로 다른 함수이다.(Why?)

Theorem 6 함수 f : X −→ Y 와 Y ⊆ W 인 집합 W 에 대하여 f : X −→

W 는 함수이다.

Theorem 7 두 함수 f : X −→ Y 와 g : X −→ Y 에 대하여, f = g ⇐⇒ f (x) = g(x) for all x ∈ X

6

Remark: 순서쌍을 원소로 갖는 집합을 일반적으로 그래프(graph)라 부른다. 따라서 f : X −→ Y 가 함수면 f ⊆ X × Y 이므로 f 는 하나의 그래 프이다.

Example: 함수의 예

1. 항등함수(Identity function): 집합 X에서의 항등함수는 I_X : X −→ X로 나타내고

I_X(x) = x, for all x ∈ X 정의 되는 함수이다. 또는, 그래프로 나타내면

I_X = {(x, x) | x ∈ X}

2. 상수함수(Constant function): 두 집합 X, Y 가 각각 공집합이 아닌 집합일 때, b는 Y 의 일정한 원소이다. X의 모든 원소 x에 대하 여 C_b(x) = b로 정의되는 함수 C_b : X −→ Y 를 상수함수라 한다. 그 래프로 나타내면

C_b = {(x, b) | x ∈ X}

3. 포함함수(Inclusion function): 두 집합 X, Y 에 대하여 X ⊆ Y 일 때, Y 의 모든 원소 y에 대하여, i_Y(y) = y로 정의 되는 함수 i_Y : Y −→ X를 포함함수라 부르고 그래프로 나타내면

i_Y = {(y, y) | y ∈ Y }

4. 특성함수(Characteristic function) 집합 X의 부분집합 A에 대하 여, 함수 χ_A : X −→ {0, 1} 은 다음과 같이 정의된다.

χ_A(x) =

n

5. 함수의 제한(Restriction of a function): 함수 f : X −→ Y 와 X의 부분집합 C에 대하여, 함수 f 의 C에 대한 제한은 f |_C : C −→

Y 로 표시하고

f |_C(x) = f (x) for all x ∈ C

Theorem 8 두 함수 f : A −→ C, g : B −→ D에서 정의역의 교집합 A ∩ B 의 임의의 원소 x에 대하여 f (x) = g(x)일 때 f 와 g의 합 f ∪ g는 다 음과 같이 정의된 함수 h = f ∪ g : A ∪ B −→ C ∪ D와 같다. 여기서

h(x) =

n

Exercise 정의역과 공역이 같은 두 함수 f : X −→ Y , g : X −→ Y 에 대하 여, f ⊆ g 이면 f = g임을 증명하여라.

8

3.3 단사, 전사, 전단사함수

Definition 3.3.1 함수 f : X −→ Y 에서의 x1, x2에 대하여 f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2

일 때, 함수 f : X −→ Y 를 일대일 또는 단사함수라 한다. 위 조건은 다음과 같이 나타낼 수 도 있다.

(x1, y) ∈ f 이고 (x2, y) ∈ f =⇒ x1 = x2.

Definition 3.3.2 함수 f : X −→ Y 에서의 모든 y ∈ Y 에 대하여 y = f (x)를 만족하는 적어도 하나의 x ∈ X가 존재할 때, 함수 f : X −→ Y 를 위 로 또는 전사함수라 한다. 다시 말하면 함수 f : X −→ Y 에 대하여 공역이 치역과 같으면 전사함수이다.

Definition 3.3.3 함수 f : X −→ Y 단사함수이고 전사함수일 때, 이 함수 를 전단사함수 또는 일대일 대응이라고 한다.

Definition 3.3.4 일대일 대응 f : X −→ Y 이 존재할 때, 두 집합 X 와 Y 는 일대일 대응 관계라고 한다.

Example 다음 함수가 어떠한 함수(단사, 전사, 전단사) 인지 말하여라.

1. f : R^−→ R

f (x) =

n

f (x) =

n

f (n) =

n

f (x) = [x]

5. f : R^−→ R

f (x) =

n

x³ x ∈ R⁻Q 6. f : R^−→ R

f (x) =

n

10

Exercises

1. f : A −→ B가 단사함수이고 C ⊆ A 일 때, 제한함수 f |_C : C −→ B 가 단사함수임을 보여라.

2. 집합 A에 대하여

f = {(x, (x, x)) | x ∈ A}

라 하면, f : A −→ I_A는 전단사함수임을 보여라.

3. 두 함수 f : A −→ B, g : C −→ D에 대하여, 두 함수의 곱f × g : A × C −→ B × D을 다음과 같이 정의한다.

f × g(x, y) = (f (x), g(y)) for every (x, y) ∈ A × C (1) f × g : A × C −→ B × D가 함수임을 증명하여라.

(2) f 와 g가 단사(전사)함수면, f × g도 단사(전사)함수임을 보여라.

4. 자연수 집합 N과 짝수의 집합 사이에 일대일 대응이 존재함을 보여라.

5. 자연수 집합 N과 홀수의 집합 사이에 일대일 대응이 존재함을 보여라.

6. 집합 A와 B는 각각 a, b개의 원소를 지닌 집합일 때, a > b이면, 두 집 합 A, B 사이에 단사함수는 존재하지 않음을 보여라.

7. 위 문제에서 a ≤ b이면, 두 집합 A, B 사이에 단사함수의 갯수는 _(b−a)!^a!

임을 설명하여라.

3.4 집합의 상과 역상

Definition 3.4.1 함수 f : X −→ Y 에 대하여 A, B가 각각 X, Y 의 부분 집합 일 때,

(1) f 에 따른 집합 A의 상(image) 은 f (A)로 나타내고 f (A) = {f (a) ∈ Y | x ∈ A}

(2) f 에 따른 집합 B의 역상(inverse image) 은 f⁻¹(B)로 나타내고 f⁻¹(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}

Theorem 9 함수 f : X −→ Y 에 대하여, A, B가 X의 부분집합일 때, A ⊆ B =⇒ f (A) ⊆ f (B)

C, D 가 Y 의 부분집합일 때,

C ⊆ D =⇒ f⁻¹(C) ⊆ f⁻¹(D)

12

Theorem 10 함수 f : X −→ Y 에 대하여, {Ci}_i∈I은 X 의 부분집합족이 고 {Di}_i∈I은 Y 의 부분집합족이라 할 때, 다음의 관계가 성립한다.

(1) f ( ∪

i∈I

Ci) = ∪

i∈I

f (Ci) (2) f ( ∩

i∈I

C_i) ⊆ ∩

i∈I

f (C_i) (3) f⁻¹(∪

i∈I

D_i) = ∪

i∈I

f⁻¹(D_i)

(4) f⁻¹(∩

i∈I

D_i) = ∩

i∈I

f⁻¹(D_i)

Exercise 함수 f : X −→ Y 가 단사함수이면 f ( ∩

i∈I

C_i) = ∩

i∈I

f (C_i)

Exercise 함수 f : X −→ Y 에 대하여, B와 C가 Y 의 부분집합일 때, f⁻¹(B − C) = f⁻¹(B) − f⁻¹(C)

3.5 함수의 합성과 역함수

일반적으로 임의의 순서쌍들의 집합을 그래프(graph)라 부른다. 예를들면, f : X → Y 가 함수이면 f ⊆ X × Y 이므로 f 는 하나의 그래프이다. 이러한 그래프에 대하여 역그래프, 그래프의 합성등을 정의 할 수 있다.

f ⊆ X × Y 가 그래프 이면, f 의 역그래프는

f⁻¹ = {(y, x) | (x, y) ∈ f } ⊆ Y × X

로 정의한다. 만일, f ⊆ X × Y 와 g ⊆ Y × Z가 그래프이면 두 그래프의 합 성은 다음과 같이 정의한다.

f ◦ g = {(x, z) | for some y ∈ Y, (x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g} ⊆ X × Z Theorem 11 f : X → Y 와 g : Y → Z가 함수면, 합성 g ◦ f : X → Z 도 함수이다.

Remark:

(x, z) ∈ g ◦ f ⇐⇒ for some y ∈ Y, (x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g

⇐⇒ y = f (x) ∧ z = g(y)

⇐⇒ z = g(f (x)) 따라서

z = (g ◦ f )(x) = g(f (x))

14

Definition 3.5.1 두 함수 f : X → Y 와 g : Y → Z가 주어졌을 때, 각 x ∈ X에 대하여

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) 로 정의된 함수 g ◦ f : X → Z 를 f 와 g의 합성함수(composition function)이라고 한다.

Theorem 12 합성함수에 대한 결합법칙이 성립한다. 즉, 함수 f : X → Y , g : Y → Z와 h : Z → W 에 대하여

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (f ◦ g).

그래프의 합성으로부터 합성함수를 정의한것과 같은 방법으로 역그래프를 이 용하여 함수의 역함수를 정의할 수 있다.

Definition 3.5.2 함수 f : X → Y 에 대하여, 역그래프 f⁻¹ ⊆ Y × X가 함수면, 즉 f⁻¹ : Y → X가 함수일 때, 원 함수 f : X → Y 를 가역함 수(invertible)라고 한다.

Remark: 함수 f : X → Y 가 가역함수이면

y = f (x) ⇐⇒ (x, y) ∈ f ⇐⇒ (y, x) ∈ f⁻¹ ⇐⇒ x = f⁻¹(y)

Theorem 13 함수 f : X → Y 가 전단사함수이면, f⁻¹ : Y → X도 전단 사함수이다.

Theorem 14 함수 f : X → Y 가 가역함수이면, f : X → Y 는 전단사함 수이다.

Theorem 15 함수 f : X → Y 가 가역함수이면,

f⁻¹ ◦ f = I_X and f ◦ f⁻¹ = I_Y

Theorem 16 두 함수 f : X → Y 와 g : Y → X에 대하여 g ◦ f = IX이 고 f ◦ g = I_Y가 성립하면, f : X → Y 는 전단사함수이고, g = f⁻¹이다.

Theorem 17 f : X → Y 가 단사함수이면, g ◦ f = I_X를 만족하는 함수 g : Y → X가 존재한다. 역으로, g ◦ f = I_X를 만족하는 함수 g : Y → X가 존재하면, f : X → Y 가 단사함수이다.

Theorem 18 두 함수 f : X → Y , g : Y → X에 대하여 (1) f 와 g가 단사함수이면, g ◦ f 도 단사함수이다.

(2) f 와 g가 전사함수이면, g ◦ f 도 전사함수이다.

(3) f 와 g가 전단사함수이면, g ◦ f 도 전단사함수이다.

16

Exercise

1. 함수 f : X → Y 에 대하여, I_Y ◦ f = f 이고 f ◦ I_X = f 임을 증명하여 라.

2. 두 함수 f : X → Y , g : Y → X에 대하여, g ◦ f 가 단사함수이면 f 가 단사함수임을 보여라.

3. 두 함수 f : X → Y , g : Y → X에 대하여, g ◦ f 가 전사함수이면 g가 전사함수임을 보여라.

4. 두 함수 f : X → Y , g : Y → X에 대하여, g ◦ f 가 전단사함수이면 f 가 단사함수, g는 전사함수임을 보여라.

5. f 가 단사함수, g는 전사함수 이지만 g ◦ f 가 전단사함수가 아닌 예를 하 나 들어보아라.