수학익힘책 문제풀기
중2-2: 02. 삼각형의 성질
(기본부터 심화까지)
두산동아1.
1)다음 명제의 역이 참인지 거짓인지를 말하여라. ⑴ 이면 이다. ⑵ 이면 이다. ⑶ 12의 배수는 6의 배수이다. ⑷ 정삼각형은 정다각형이다. 교학사2.
2)다음 명제의 역이 참인지 거짓인지를 말하여라. (1) 이면 이다. (2) 두 삼각형이 합동이면 그 넓이는 같다. (3) 정삼각형의 한 내각의 크기는 °이다. 교학사3.
3)주어진 명제와 그 역이 모두 참인 것은? ① 이면 이다. ② 이면 이다. ③ 12의 약수는 6의 약수이다. ④ 자연수 이 홀수이면 은 홀수이다. ⑤ , 가 짝수이면 도 짝수이다. 교학사4.
다음 중 명제의 역이 참인 것은? 두산동아5.
5), 는 자연수이고, 문장 , , 가 각각 다음 과 같을 때, 다음 기호를 명제로 나타낼 때, 참 인지 거짓인지를 말하여라. : 는 짝수이고 는 홀수이다. : 는 홀수이다. : 는 홀수이다. ⑴ → ⑵ → ⑶ → 두산동아6.
6)다음 보기에서 명제와 그 역이 참인 것을 모두 골라라. ㄱ. , 가 자연수이면 도 자연수이다. ㄴ. 이면 이다. ㄷ. 합동인 두 삼각형의 넓이는 같다. ㄹ. 정삼각형의 세 내각의 크기는 모두 같다. 보 기 두산동아7.
7)다음 중 용어의 정의인 것은? ① 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형 이다. ② 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다. ③ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. ④ 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 서로교학사
8.
8)다음 중 용어의 정의로 옳은 것은? ① 정사각형 : 네 변의 길이가 같은 사각형 ② 정삼각형 : 세 내각의 크기가 같은 삼각형 ③ 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형 ④ 평행사변형 : 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사 각형 ⑤ 예각삼각형 : 한 내각의 크기가 90°보다 크고 180°보다 작은 삼각형 교학사9.
9)다음 중 정리인 것은? ① 모든 정삼각형은 서로 합동이다. ② 90°보다 작은 각을 예각이라고 한다. ③ 넓이가 같은 두 삼각형은 서로 합동이다. ④ 네 변의 길이가 같은 사각형은 마름모이다. ⑤ 한 쌍의 동위각의 크기가 같은 두 직선은 평행하 다. 교학사10.
10)오른쪽 그림의 이등 변삼각형 ABC에서 AB AC 이고 꼭지각 ∠A 의 이등분선과 밑 변 BC의 교점을 D라 고 하자. ∠BAD °, BC cm 일 때, ∠B 의 크기와 BD 의 길이를 각각 구하여라. 두산동아11.
11)오른쪽 그림과 같이 AB AC 인 이등변삼각형 ABC에서 ∠B 의 이등분선과 AC 의 교점을 D 라 하고, ∠A＝36°, BC cm일 때, AD 의 길이를 구하여 라. 천재이12.
12)오른쪽 그림에서 ∠ACE ∠ECB 이고∠ABE ∠EBD 일 때, ∠E ∠A 임을 증명 하여라. 두산동아
13.
13)오른쪽 그림에서 BC CD , BD D E , ∠ABE＝90°일 때, ∠ BCD의 크기를 구하여 라.교학사
14.
14)오른쪽 그림에서 AB AC CD 이 고 , ∠BAC °일 때, ∠의 크기를 구하여 라. 천재박15.
15)오른쪽 그림에서 BD D C CA 이 고 , ∠ABC °일 때, ∠ACE 의 크기를 구하여 라. 천재이16.
16)오른쪽 그림에서 AB BC CD D E 이고 ∠D EF °일 때, ∠A 의 크기를 구하여라. 천재이17.
17)오른쪽 그림의 △ABC 는 AB AC 인 이등변삼각형이 다. 꼭짓점 B에서 변 AC에 내린 수선의 발을 D, 꼭짓 점 C에서 변 AB에 내린 수 선의 발을 E라 하고 BD 와 CE 의 교점을 O라고 할 때, 다음 물음에 답하여 라. ⑴ △ABD ≡ △ACE임을 증명하여라. ⑵ ∠A °일 때, ∠CO D의 크기를 구하여라. 두산동아18.
18)오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 종 이를 접었다. ∠BGD ＝70°일 때, ∠EFH 의 크기를 구하여라. 교학사19.
19)직사각형 모양의 종이를 오른쪽 그림과 같이 접 었다. AB cm 일 때, AC 의 길이를 구하여라.천재이
20.
20)오른쪽 그림과 같이 ∠B ∠C 이 고 AB cm 인 △ABC 에 서 BC 위의 점 P에서 AB , AC 에 내린 수선 의 발을 각각 D, E라고 한다. △ABC 의 넓이가 cm일 때, P D P E 의 값을 구하여라. 천재이21.
21)오른쪽 그림의 직각 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓점 A를 지나는 직 선 을 긋고 점 B, C 에서 직선 에 내린 수 선의 발을 각각 D, E라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. ⑴ △ABD와 △CAE가 합동임을 증명하여라. ⑵ BD cm, EC cm일 때, D E의 길이를 구 하여라. 두산동아22.
22)오른쪽 그림에서 △ ABC는 ∠A＝90°이 고, AB AC 이다. 꼭 짓점 B, C에서 꼭짓점 A를 지나는 직선 에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하고, BD cm, D E cm일 때, △ ABC의 넓이를 구하여라. 두산동아23.
23)오른쪽 그림과 같이 ∠B ＝90°인 직각삼각형 ABC 에서 ∠A의 이등분선과 BC 의 교점을 D라 하고, AC cm, BD cm 일 때, △ADC의 넓이를 구하여라. 천재박/교학사24.
24)오른쪽 그림과 같은 직각 삼각형 ABC 에서 AD 는 ∠A 의 이등분선이고 AB cm , D C cm 일 때, ∆ABD 의 넓이를 구하여라. 성지25.
25)오른쪽 그림과 같이 ∠B 인 직각삼각형 ABC 의 점 B 에서 AC 에 내린 수선의 발을 D ∠A 의 이등분선이 BC 와 만나 는 점을 E 라고 하자. AB cm BF cm 일 때, BE 의 길이를 구하여라.교학사
26.
26)오른쪽 그림과 같이 ∠C＝°인 삼각형 ABC에 서 AB 의 수직이등분선과 BC 와의 교점을 D라 고 하자. AD 가 ∠A 의 이등분선일 때, ∠의 크기를 구하여라. 천재박27.
27)오른쪽 그림에서 ∆ABC 는 AB BC 인 직각이등변삼각 형이고 AB AE , AC ⊥EF 일 때, 다음 중 옳 지 않은 것은? ① ∠BAF ° ② EC CF ③ ∠BAF ∠EAF ④ EC BF ⑤ BF EF 천재최28.
28)오른쪽 그림과 같이 AB AC 인 직각 이등변 삼각형 ABC 의 꼭짓점 A를 지나는 직선 을 긋 고, 꼭짓점 B, C에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 D, E라고 하자. BD cm , CE cm 일 때, D E 의 길이를 구하여라. 교학사29.
29)오른쪽 그림에서 점 O가 △ABC 의 외심이고, ∠O CA °일 때, ∠＋∠의 크기를 구하여 라. 천재이30.
30)오른쪽 그림에서 점 O가 △ABC 의 외심이고∠AO B：∠BO C：∠CO A ：：일 때, ∠BAC 의 크기를 구하여라.
천재박
31.
31)오른쪽 그림에서 점 O 가∆ABC 의 외심일 때, ∠의 크기를 구하여라.
두산동아
32.
32)오른쪽 그림에서 점 I 는 △ABC의 내심이고, AB cm, BC cm, CA cm, ID cm일 때, △ ABC의 넓이를 구하여라. 두산동아33.
33)오른쪽 그림에서 △ ABC의 내심 I를 지나 고 BC 에 평행한 직선 과 AB , AC 의 교점 을 각각 D, E라고 할 때, D E D B EC 임을 증명하여라. 두산동아/교학사34.
34)오른쪽 그림에서 점 I 는 △ABC의 내심이고 MN BC 이 다 . AB cm, AC cm일 때, △AMN의 둘레의 길이를 구하여라. 천재이35.
35)오른쪽 그림과 같 이 △ABC 의 내심 I를 지나고 변 BC에 평행한 직선과 변 AB, AC의 교점을 각각 D, E라고 한 다. D B cm , EC cm 일 때, D E 의 길이를 구 하여라.36.
36)오른쪽 그림과 같은 정삼각형 ABC 에서 점 I 는 삼각형 ABC 의 내심이다. AB // ID AC // IE AB cm 일 때, D E 의 길이를 구하여라. 교학사37.
37)오른쪽 그림에서 점 I는 △ABC 의 내심이다. ∠AEB °, ∠AD B °일 때, ∠C 의 크기 를 구하여라.천재박
38.
38)오른쪽 그림에서 점 I는 ∆ABC 의 내심이고, ∠A °이다. 꼭짓점 B , C 와 점 I를 연결한 직선이 변 AC , AB 와 만 나는 점을 각각 D , E 라 할 때, ∠ ∠의 크 기를 구하여라. 성지/두산동아/비상39.
39)오른쪽 그림에서 점 I는 ∆ABC 의 내심이고, ∠C 일 때, ∠ ∠의 크기를 구하여 라. 천재박40.
40)오른쪽 그림에서 직각삼 각형의 내접원의 반지름 의 길이가 cm 이고, 빗 변의 길이가 cm 일 때, 직각삼각형 ABC 의 넓이를 구하여라. 교학사/두산동아41.
41)세 변의 길이가 각각 10 cm, 8 cm, 6 cm인 직각 삼각형 ABC에서 외접원 과 내접원의 반지름의 길 이의 합을 구하여라. 천재최42.
42)오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 ABC 에서 AB cm , BC cm , CA cm 일 때, 외접원과 내접원의 둘레의 길이의 차를 구하여 라. 천재이43.
43)세 변의 길이가 오른쪽 그림과 같 은 직각삼각형에 대하여 다음을 구 하여라. ⑴ 외접원의 반지름의 길이44.
44)점 I는 △ABC 의 내심이고, △AIB cm 일 때, △ABC 의 넓이를 구하여라. 천재박45.
45)오른쪽 그림에서 점 I는 ∆ABC 의 내심이고, 점 J 는 ∆IBC 의 내심일 때, ∠의 크기를 구하여라. 교학사46.
46)오른쪽 그림에서 점 O와 I 는 각각 △ABC 의 외심과 내심이다. ∠BO C °일 때, 다음을 구하여라. (1) ∠A 의 크기 (2) ∠BIC 의 크기 천재박47.
47)오른쪽 그림에서 ∆ABC 는 AB AC 인 이등변삼각 형이다. 점 O 는 ∆ABC 의 외심이고, 점 I는 ∆O BC 의 내심일 때, ∠의 크기를 구하여라. 두산동아48.
48)오른쪽 그림에서 점 O는 △ABC의 외심이고, 점 I는 △OBC의 내심이다. ∠BIC ＝140°일 때, ∠A의 크기 를 구하여라. 두산동아49.
49)오른쪽 그림에서 점 O, I는 각각 ∠ C＝90°인 직각삼 각형 ABC의 외심, 내심이다. ∠A＝68°일 때, ∠BPC의 크기를 구 하여라.교학사
50.
50)오른쪽 그림과 같이 ∠B 가 직각인 직각삼각형ABC 의 내심을 I, 외심을 O라 하고, BO 와 CI 의 교점을 P라고 하자. ∠A °일 때, ∠BP C 의 크기를 구하 여라. 성지51.
51)오른쪽 그림에서 점 O 와 I는 각각 ∠B 인직 각삼각형 ABC 의 외심과 내심이다. ∠A 일 때, ∠BP C 의 크기를 구 하여라. 성지52.
52)오른쪽 그림에서 점 O 와 I는 각각 ∆ABC 의 외심과 내심일 때, ∠AD E 의 크기를 구하 여라. 미래앤53.
53)다음 그림에서 △ABC는 ∠B 90 , AB BC 인 삼각형이고, □DEFG는 정사각형이다. D B BE 8 cm, BC 13 cm일 때, △ADG의 넓이를 구하여라.정답 : 중2-2: 02. 삼각형의 성질
1) 참, 참, 거짓, 거짓 2) 참, 거짓, 거짓 3) ④ 4) ⑤ 5) 참, 거짓, 거짓 6) ㄴ, ㄹ 7) ① 8) ③ 9) ⑤ 10) 11) 7cm 12) ∠ABD 는 △ABC 의 외각이므로 ∠ABD ∠A ∠C ∠EBD 는 △EBC 의 외각이므로 ∠EBD ∠E ∠C 이때, ∠EBD ∠ABD 이므로 ∠E ∠C ∠A ∠C ∠E ∠C ∠A ∠C ∴ ∠E ∠A 15) ∠AD C ° ° °이 고 , ∠D AC ∠AD C °이 므 로 ∠ACE ° ° ° 16) ∠A ∠라고 하면 △ABC 는 이등변삼각형이므로 ∠BCA ∠A ∠ 이때, ∠D BC 는 △ABC 의 외각이므로 ∠D BC ∠A ∠BCA ∠ △BCD 는 이등변삼각형이므로 ∠CD B ∠D BC ∠ 이때, ∠D CE 는 △D AC 의 외각이므로 ∠D CE ∠ ∠ ∠ △D CE 는 이등변삼각형이므로 ∠D EC ∠D CE ∠ 위의 그림에서 ∠CEF는 평각이므로 ∠ ° °, ∠ ° ∴ ∠ ∠A ° 17) ⑴ △ABD 와 △ACE 에서 ∠AD B ∠AEC ° …… ① AB AC (이등변삼각형) …… ② ∠A 는 공통 …… ③ ①, ②, ③에서 △ABD ≡ △ACE ⑵ △ACE 는 직각삼각형이므로 ∠ACE ° ° ° 또, △CD O 는 직각삼각형이므로 ∠CO D ° ∠ACE ° ° ° 18) 125° 19)∴ AC AB cm 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, P를 연결하면 △ABP 에서 밑변은 AB 이고 높이는 P D 이므 로 △ABP × AB × P D × × P D P D 마찬가지로 △ACP 에서 밑변은 AC 이고 높이는 P E 이므로 △ACP × AC × P E × × P E P E
이때, △ABC △ABP △ACP 이므로 P D P E , P D P E ∴ P D P E cm 21) ⑴ △ABD 와 △CAE 에서 ∠D ∠E ° …… ① AB CA …… ② ∠D AB ∠CAE °이고 ∠D AB ∠ABD °이므로 ∠D AB ∠ABD ∠D AB ∠CAE ∴ ∠ABD ∠CAE …… ③ ①, ②, ③에서 빗변의 길이와 한 예각의 크기 가 각각 같으므로 △ABD ≡ △CAE ⑵ 다음 그림과 같이 △ABD ≡ △CAE 이므로 D A EC cm , AE BD cm ∴ D E D A AE EC BD cm 24) 오른쪽 그림과 같이 점 D 에서 AB 에 내린 수선 의 발을 H 라 하면 ∆AD C ≡ ∆AD H (RHA 합동)이므로 D H D C cm ∴ ∆ABD × × cm 25) 26) 27) ∆ABF ≡ ∆AEF (RHS 합동)이므로 ∠BAF ∠EAF × ° ° BF EF ⋯⋯ ㉠ ∆EFC 에서 ∠EFC ° ° °이므로 EF EC ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 BF EC 28) △ABC에서 ∠BAC °이므로 ∠BAD ∠CAD ° …… ① 또, △ABD에서 ∠AD B °이므로 ∠BAD ∠ABD ° …… ② ①, ②에서 ∠CAD ∠ABD 따라서 △ABD와 △CAE는 빗변의 길이와 한 예각의 크기 가 각각 같으므로 합동이다. 즉, AE BD cm
cm 29) 55° 30) ∠AO B ° × ° × ° ∠CO A ° × ° × ° 이때, △O AB 는 이등변삼각형이므로 ∠O AB × ° ° ° 또, △O AC 는 이등변삼각형이므로 ∠O AC × ° ° ° ∴ ∠BAC ∠O AB ∠O AC
° ° ° 31) ∆O AC 는 O A O C 인 이등변삼각형이므로 ∠O AC ∠O CA ° ∆O AB 는 O A O B 인 이등변삼각형이므로 ∠O BA ∠O AB ° ° ° ∆O BC 는 O B O C 인 이등변삼각형이므로 ∠O BC ∠O CB ° ∠ 따라서 ∆ABC 에서 ° ° ° ∠ ∠ ° ∴ ∠ ° 32) 72㎠ 33) 34) 27cm 35) 오른쪽 그림에서 점 I가 △ABC 의 내심이므로 BI 와 CI 는 각각 ∠B , ∠C 의 이 등분선이다. ∴ ∠D BI ∠IBC …… ① ∴ D E D I EI D B EC cm 36) ∆ABC 는 정삼각형이 고, 점 I는 ∆ABC 의 내심이므로 ∠ABI ∠CBI ° 또 AB // ID 이므로 ∠BID ∠ABI °
∴∠IBD ∠BID ∠ID E 마찬가지로 ∠CIE ∠ICE 이므로 ∠IED 따라서 ∆ID E 는 정삼각형이므로 ID IE D E ∴ D E BC × cm 37) 50° 38) ∠BIC ° × ° ° ∆BIC 에서
∠IBE ∠IBC ∠, ∠ICD ∠ICB ∠라 하면 ∠ ∠ ° °이므로 ∠ ∠ ° ∆ACE 에서 ∠ ° ∠ ∆ABD 에서 ∠ ° ∠ 이므로 ∠ ∠ ° ∠ ° ∠ ° ∠ ∠ 이때, ∠ ∠ °이므로 ∠ ∠ ° 39)
40) 위의 그림에서 cm 이므로 ∆ABC × × × × cm 41) 7cm 42) 직각삼각형 ABC의 외접원의 중심은 빗변의 중점이므로 외접 원의 반지름의 길이는 AB cm 이다. 따라서 외접원의 둘레의 길이는 × × cm 이다. 한편, 위의 그림에서 △ABC의 내접원의 반지름 의 길이를 cm, 내심을 점 I라고 하면 △ABC의 넓이는
△ABC △IAB △IBC △ICA
∴ × × × × × × × × ∴ 따라서 내접원의 둘레의 길이는 × × cm 이다. 그러므로 외접원과 내접원의 둘레의 길이의 차는 cm 43) ⑴ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 외접원의 반지름의 길이는 빗변의 길이의 이다. cm라고 하면 △ABC × × cm
이때, △ABC △IAB △IBC △IAC
이므로 × × × × × × ∴ cm 다음 그림과 같이 내접원의 반지름의 길이를 cm라고 하면 사각형 IECF는 정사각형이므로 CF CE AF AC CF BE BC CE 이때, 접선의 성질에 의하여
AD AF , BD BE 이므로
AB AD BD 즉, 이므로 ∴ cm 44) 36㎠ 45) ∠BIC ° × ° ° ∴ ∠ ° × ° ° 46) (1) 46° (2) 113° 47) ∠BO C ∠A × ° ° O B O C 이므로 ∠O CB ∠O BC × ° ° ° ∴ ∠ ∠O CB × ° ° 48) 50°
51)
52)
