EBS 올림포스 고난도 확률과통계 답지 정답

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(1)올 림 포 스 고 난 도. 확률과 통계. 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 1. 2019-02-15 오후 1:46:16.

(2) 정답과 풀이 01. 04 한국인 2명과 외국인 4명 총 6명이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우. 중복순열과 중복조합. 의 수는 서로 다른 6개를 원형으로 나열하는 원순열의 수와 같으므로 (6-1)!=5!=120. 내신. 기출. 우수 문항. 본문 8~11쪽. 01 ④ 02 ② 03 ③ 04 ① 05 ③ 06 ③ 07 ⑤ 08 ⑤ 09 ① 10 ④ 11 ④ 12 ① 13 ⑤ 14 ④ 15 ① 16 ⑤ 17 ⑤ 18 ① 19 ④ 20 ③ 21 ④ 22 90 23 54. 한편 한국인 2명을 한 사람으로 생각하여 나머지 4명의 외국인과 함께 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 서로 다른 5개를 원형으로 나열하 는 원순열의 수와 같으므로 (5-1)!=4!=24 이 각각에 대하여 한국인 2명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2 그러므로 6명이 원형의 탁자에 둘러앉을 때 한국인 2명이 이웃하도록 앉 는 경우의 수는. 01 5명의 학생이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 서로 다른 5개. 24_2=48. 를 원형으로 나열하는 원순열의 수와 같으므로. 따라서 한국인 2명이 서로 이웃하지 않게 앉는 경우의 수는. m=(5-1)!=4!=24. 120-48=72. a, b를 한 명으로 생각하여 나머지 3명의 학생과 함께 원형의 탁자에 둘. . ①. 러앉는 경우의 수는 서로 다른 4개를 원형으로 나열하는 원순열의 수와. 05 원판의 중심에 대하여 서로 마주보는 영역에 적힌 두 수의 합이 모. 같으므로 (4-1)!=3!=6. 두 홀수이려면 두 수가 각각 홀수, 짝수이어야 한다.. 이 각각에 대하여 a, b가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는. 4개의 영역 중 숫자 1을 적을 영역을 택하는 경우의 수는 1. 2!=2. 이에 대하여 숫자 1을 적은 영역과 마주보는 영역에는 2 또는 4를 적어. 그러므로 5명이 원형의 탁자에 둘러앉을 때 a, b가 이웃하여 앉는 경우. 야 하므로 이 경우의 수는 2. 의 수는. 이 각각에 대하여 나머지 두 영역에 숫자 3과 2, 4 중 남은 한 숫자를 적. n=6_2=12. 는 경우의 수는. 따라서. 2!=2. m+n=24+12=36 . 따라서 구하는 경우의 수는 ④. 02 여학생 3명이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 서로 다른 3개 를 원형으로 나열하는 원순열의 수와 같으므로. 1_2_2=4 . ③ 참고. 원판의 중심에 대하여 서로 마주보는 영역에 적힌 두 수의 합이. 모두 홀수가 되도록 적는 경우는 다음과 같이 4가지가 있다.. (3-1)!=2!=2 이 각각에 대하여 남학생이 여학생 사이에 앉는 경우의 수는 서로 다른. 1. 3. 1. 4. 1. 2. 1. 3. 3개를 일렬로 나열하는 순열의 수이므로. 4. 2. 3. 2. 3. 4. 2. 4. 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 2_6=12 . ②. 06 1300보다 큰 자연수이려면 천의 자리의 숫자가 2 또는 3인 경우와 천의 자리의 숫자가 1이고 백의 자리의 숫자가 3인 경우가 존재한다.. 03 A, B, C를 하나의 색으로 생각하여 나머지 3가지의 색과 함께 원. Ú ‌천의 자리의 숫자가 2인 경우. 판에 칠하는 경우의 수는 서로 다른 4개를 원형으로 나열하는 원순열의. 백, 십, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 모두 0, 1, 2, 3이고 이것은. 수와 같으므로. 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 3개를 택하여 일렬로 나열하는 중복순열의 수와 같으므로 그 경우의 수는 ¢P£=4Ü`=64. (4-1)!=3!=6. Û ‌천의 자리의 숫자가 3인 경우. 이 각각에 대하여 A, B, C를 칠하는 자리를 바꾸는 경우의 수는. Ú과 마찬가지로 그 경우의 수는 ¢P£=4Ü`=64. 3!=6 따라서 원판에 A, B, C가 모두 서로 이웃하도록 칠하는 경우의 수는. 십의 자리의 숫자가 0이면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3 중. 6_6=36 . ③. 2. Ü ‌천의 자리의 숫자가 1이고 백의 자리의 숫자가 3인 경우 하나이므로 그 경우의 수는 3. 올림포스 고난도•확률과 통계. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 2. 2019-02-15 오후 1:46:18.

(3) 십의 자리의 숫자가 1 또는 2 또는 3이면 모두 일의 자리에 올 수 있는. 5_2Ú`Û`+10_2á`‌=(5_2Û`)_2Ú`â`+5_2Ú`â`. 숫자는 0, 1, 2, 3 중 하나이므로 그 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. =(20+5)_2Ú`â`=25_2Ú`â`=n_2Ú`â`. 3_4=12. 따라서 자연수 n의 값은 25이다.. 그러므로 경우의 수는 3+12=15. . Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는. 09 치역의 모든 원소의 곱이 짝수이려면 치역의 원소 중 적어도 한 원. 64+64+15=143 . ③. 07. ⑤. 소는 짝수이어야 한다. 집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 X로의 함수의 개수는 서로 다른 5개에서. 집합 X에서 집합 Y로의 함수의 개수는 서로 다른 3개에서 중복을. 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 °P°=5Þ`=3125. 허락하여 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로. 이때 치역의 모든 원소의 곱이 홀수이려면 치역의 원소는 모두 홀수로만. £P°=3Þ`=243. 이루어져야 한다.. 공역 Y={a, b, c}에서 n(Y)=3이므로 집합 X에서 집합 Y로의 함. 홀수로만 이루어진 치역은 {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5},. 수는 치역의 원소의 개수가 1 또는 2 또는 3인 경우만 존재한다.. {1, 3, 5}이고 이러한 집합을 치역으로 하는 X에서 X로의 함수의 개수. 치역의 원소의 개수가 1인 함수의 개수는 집합 X의 모든 원소가 집합. 는 집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 집합 {1, 3, 5}로의 함수의 개수와 같. Y의 한 원소에 대응하는 경우이므로 £CÁ=3. 다.. 또한 치역의 원소의 개수가 2인 함수의 개수는 다음과 같다.. 그러므로 치역의 모든 원소의 곱이 홀수인 함수의 개수는 서로 다른 3개. 집합 Y의 세 원소 중 치역에 속하는 두 원소를 택하는 경우의 수는. 에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로. £Cª=£CÁ=3. £P°=3Þ`=243. 이 각각에 대하여 집합 X의 원소가 집합 Y의 두 원소에 대응하는 함수. 따라서 치역의 모든 원소의 곱이 짝수인 함수의 개수는. 의 개수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복순열의. 3125-243=2882. 수에서 집합 X의 원소가 집합 Y의 한 원소에만 대응하는 함수의 개수. . 를 뺀 것과 같으므로 ªP°-2=2Þ`-2=30. ①. 그러므로 치역의 원소의 개수가 2인 함수의 개수는 곱의 법칙에 의하여. 10 두 개의 숫자 1, 2를 중복 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 n자리. 3_30=90. 자연수의 개수 f(n)은 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 n개를 택하. 따라서 공역과 치역이 같은 함수, 즉 치역의 원소의 개수가 3인 함수의. 는 중복순열의 수와 같으므로. 개수는. f(n)=ªPÇ=2Ç` . 243-(3+90)=150 . ⑤. 08 Ú 숫자 9를 한 번 이용하여 만든 자연수의 개수 ‌다섯 자리 중 숫자 9가 들어갈 한 자리를 택하는 경우의 수는 °CÁ=5 이 각각에 대하여 나머지 네 자리에 숫자 1부터 8까지의 자연수 중 중복을 허락하여 네 숫자를 정하는 경우의 수는 서로 다른 8개에서 4 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¥P¢=8Ý`=(2Ü`)Ý`=2Ú`Û` 그러므로 자연수의 개수는 5_2Ú`Û` Û ‌숫자 9를 두 번 이용하여 만든 자연수의 개수 다섯 자리 중 숫자 9가 들어갈 두 자리를 택하는 경우의 수는 °Cª=10 이 각각에 대하여 나머지 세 자리에 숫자 1부터 8까지의 자연수 중 중복을 허락하여 세 숫자를 정하는 경우의 수는 서로 다른 8개에서 3 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¥P£=8Ü`=(2Ü`)Ü`=2á` 그러므로 자연수의 개수는 10_2á` Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는. 주어진 방정식. f(n) f(n+1) =2Ú`â`에서 f(1) f(2). 2n_2n+1 =2Ú`â`, 22n+1=2Ú`Ü` 2_2Û` 2n+1=13 n=6 . ④. 11 일곱 개의 숫자 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4를 모두 한 번씩 사용하여 만들 수 있는 일곱 자리의 자연수 중 홀수의 개수는 일의 자리의 수에 따라 다 음과 같다. Ú ‌일의 자리의 수가 1인 경우 홀수의 개수는 일의 자리를 제외한 자리에 2, 2, 3, 3, 3, 4를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로 6! =60 2!3! Û ‌일의 자리의 수가 3인 경우 홀수의 개수는 일의 자리를 제외한 자리에 1, 2, 2, 3, 3, 4를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로 6! =180 2!2!. 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 3. 3. 2019-02-15 오후 1:46:18.

(4) 정답과 풀이 6! =90 2!2!2!. Ú, Û에서 구하는 홀수의 개수는 합의 법칙에 의하여 60+180=240 . ④. 12 C와 c를 양 끝에 나열하는 경우의 수는 2!=2 이 각각에 대하여 A는 a보다 왼쪽에 나열하고 B는 b보다 오른쪽에 나 열하는 경우의 수는 두 문자 A, a를 같은 문자 x, x로 생각하고, 두 문 자 B, b를 같은 문자 y, y로 생각하여 여섯 개의 문자 x, x, y, y, D, d. . 15 여섯 개의 숫자 1, 2, 2, 3, 3, 3 중 다섯 개의 숫자를 택하는 경우 는 2, 2, 3, 3, 3 또는 1, 2, 3, 3, 3 또는 1, 2, 2, 3, 3이다. ‌ 2, 3, 3, 3인 경우 Ú 2, 2, 2, 3, 3, 3으로 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는. 를 일렬로 나열한 경우의 수와 같으므로. 5! =10 2!3!. 6! =180 2!2!. ‌ 2, 3, 3, 3인 경우 Û 1,. 따라서 구하는 경우의 수는. 1, 2, 3, 3, 3으로 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는. 2_180=360 . ①. 13. ④. P. 5! =20 3! ‌ 2, 2, 3, 3인 경우 Ü 1, 1, 2, 2, 3, 3으로 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는. B. 5! =30 2!2!. Q. Ú ~ Ü에서 만들 수 있는 서로 다른 다섯 자리 자연수의 개수는 10+20+30=60 A. ①. R. 그림과 같이 세 지점을 각각 P, Q, R라 하면 A지점에서 B지점까지 최 단거리로 갈 때 세 지점 P, Q, R 중 한 곳을 반드시 지나야 한다.. 16 같은 종류의 사탕 4개를 세 그릇 A, B, C에 남김없이 나누어 담는. 이때 세 경로 A 2Ú P 2Ú B, A 2Ú Q 2Ú B, A 2Ú R 2Ú B는 서로. 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. Ú ‌경로 A 2Ú P 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수. 이 각각에 대하여 같은 종류의 과자 3개를 세 그릇 A, B, C에 남김없이. 중복되는 것이 없다. 1_1=1. £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15 나누어 담는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 3개를 택하는 중복조합의. Û ‌경로 A 2Ú Q 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수. 수와 같으므로. 4! 4! _ =4_4=16 3! 3!. £H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=10 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. Ü 경로 A 2Ú R 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수. 15_10=150. 5! 1_ =1_5=5 4!. . ⑤. Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 1+16+5=22 . ⑤. 17 구하는 경우의 수는 사과를 택하는 개수에 따라 다음과 같다. Ú ‌사과를 택하지 않는 경우. 배 5개, 귤 5개, 망고 5개 중에서 5개의 과일을 택하는 경우의 수는. 14. B. 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H°=£*°ÐÁC°=¦C°=¦Cª=21 Û ‌사과를 1개 택하는 경우 배 5개, 귤 5개, 망고 5개 중에서 4개의 과일을 택하는 경우의 수는. c b A a. 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 오른쪽으로 1만큼 가는 방법을 a, 뒤쪽으로 1만큼 가는 방법을 b, 위쪽으. £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15. 로 1만큼 가는 방법을 c라 하면 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는. Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. 경우의 수는 a, a, b, b, c, c를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같다.. 21+15=36. 따라서 최단거리로 가는 경우의 수는. . 4. ⑤. 올림포스 고난도•확률과 통계. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 4. 2019-02-15 오후 1:46:19.

(5) 18 a=b=0인 경우, a=b=1인 경우, a=b=2인 경우로 나누어 경. £H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=10. 우의 수를 구하면 다음과 같다.. 이 각각에 대하여 (d+e)Ý`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 서로. ‌ 경우 Ú a=b=0인. 다른 2개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 세 개의 숫자 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 경우의. ªH¢=ª*¢ÐÁC¢=°C¢=°CÁ=5. 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는 곱의 법칙에 의하여 10_5=50 . £H°=£*°ÐÁC°=¦C°=¦Cª=21. ④. ‌ 경우 Û a=b=1인 세 개의 숫자 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=10. 22 좌표평면 위에서 x축의 방향으로 1만큼 평행이동, x축의 방향으로 -1만큼 평행이동, y축의 방향으로 1만큼 평행이동, y축의 방향으로 -1 만큼 평행이동하는 것을 각각 A, a, B, b라 하자.. ‌ 경우 Ü a=b=2인 세 개의 숫자 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 1개를 택하는 경우의. 원점 O에서 출발한 점 P가 네 번 이동하여 점 (3, 1)에 도달하기 위해. 수는 서로 다른 3개에서 1개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 서는 A가 3번, B가 1번이어야 한다.. £HÁ=£*ÁÐÁCÁ=£CÁ=3. . Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. 여섯 번 이동하여 점 (3, 1)에 도달하는 방법은 다음과 같다.. 21+10+3=34 . (가). ‌ Ú A가 4번, B가 1번, a가 1번인 경우 ①. 이 경우의 수는 A, A, A, A, B, a를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로 6! =30 4!. 19 빨간색, 주황색, 노란색, 초록색, 파란색의 5가지 색 중에서 서로 다른 2가지의 색을 택하는 경우의 수는 서로 다른 5개에서 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로. ‌ 3번, B가 2번, b가 1번인 경우 Û A가 이 경우의 수는 A, A, A, B, B, b를 일렬로 나열하는 순열의 수와. °Cª=10. 같으므로. 이 각각에 대하여 택한 2가지 색의 볼펜은 적어도 하나씩 있어야 하므로. 6! =60 3!2!. 나머지 4개를 택한 2가지 색의 볼펜 중에서 택하면 된다. 나머지 4개를 택하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 4개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로. (나). . Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 30+60=90. ªH¢=ª*¢ÐÁC¢=°C¢=°CÁ=5 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. . (다). 10_5=50. .  90. . 20 방정식 x+y+z=7 (x, y, z는 자연수) . ④. 단계. (가). yy ㉠. 에서 x=x '+1, y=y '+1, z=z '+1이라 하면. (나). (x '+1)+(y '+1)+(z '+1)=7 x '+y '+z '=4 (x ', y ', z '은 음이 아닌 정수) . 채점 기준. 비율. 네 번 이동하여 점 (3, 1)에 도달하기 위한 이동 방법 을 구한 경우 여섯 번 이동하여 점 (3, 1)에 도달하기 위한 경우의 수를 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 구한 경우. (다) 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한 경우. yy ㉡. 20`% 60`% 20`%. 이므로 방정식 ㉠을 만족시키는 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 ㉡을 만족시키는 모든 순서쌍 (x ', y ', z ')의 개수와 같다. 이때 방정식 ㉡을 만족시키는 모든 순서쌍 (x ', y ', z ')의 개수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 다음과 같다.. £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15. ‌ 때 Ú w=0일. 따라서 구하는 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 15이다. . 23 가능한 w의 값은 0, 1, 2이므로 w의 값에 따라 각 경우로 나누면 주어진 방정식은 x+y+z=7이고, 구하는 모든 순서쌍 . ③. (x, y, z, 0)의 개수는 서로 다른 3개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 21 (a+b+c)Ü`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 서로 다른 3개 에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. £H¦=£*¦ÐÁC¦=»C¦=»Cª=36 (가). . 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 5. 5. 2019-02-15 오후 1:46:20.

(6) 정답과 풀이 25 A, B가 정삼각형의 한 변에 이웃하여 앉는 경우는 그림과 같이 4가. ‌ 때 Û w=1일 주어진 방정식은 x+y+z=4이고, 구하는 모든 순서쌍 . 지 경우가 있다.. (x, y, z, 1)의 개수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의. A. 수와 같으므로 £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15. B. B. A. A. B. (나). . ‌ 때 Ü w=2일 주어진 방정식은 x+y+z=1이고, 구하는 모든 순서쌍 (x, y, z, 2)의 개수는 서로 다른 3개에서 1개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £HÁ=£*ÁÐÁCÁ=£CÁ=3. B. A. (다). . Ú ~ Ü에서 구하는 모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 합의 법칙에 의 하여. 이 각각에 대하여 나머지 7명의 학생이 남은 자리에 앉는 경우의 수는. 36+15+3=54. 7!. . (라). .  54 단계. 채점 기준. 비율. (가) w=0일 때의 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우. 30`%. (나) w=1일 때의 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우. 30`%. (다) w=2일 때의 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우. 30`%. (라) 합의 법칙을 이용하여 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우. 10`%. 따라서 n=4_7! 이므로 n 4_7! = =4_7=28 6! 6! . ④. 26 남자 3명을 각각 A, B, C라 하자.. 회전하여 일치하는 것은 같은 것이므로 남자 A가 앉을 의자를 정하는 경우의 수는 1. 이에 대하여 A가 앉은 자리의 맞은 편에 앉을 여자를 정하는 경우의 수 는3. 내신. 상위. 7%. 고득점 문항. 본문 12~15쪽. 24 ② 25 ④ 26 ③ 27 ① 28 ③ 29 ③ 30 ⑤ 31 ② 32 ② 33 ① 34 ③ 35 ③ 36 ① 37 ④ 38 ④ 39 ① 40 ① 41 ③ 42 ⑤ 43 ③ 44 ④ 45 9 46 96. 이 각각에 대하여 남은 의자 4개 중 B가 앉을 의자를 정하는 경우의 수 는4 이 각각에 대하여 B가 앉은 자리의 맞은 편에 앉을 여자를 정하는 경우 의 수는 2 이 각각에 대하여 남은 의자 2개 중 C가 앉을 의자를 정하는 경우의 수 는2 이 각각에 대하여 C가 앉은 자리의 맞은 편에 앉을 여자를 정하는 경우 의 수는 1. 24 1부터 9까지의 자연수 중 홀수는 5개, 짝수는 4개이다.. 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. 이때 색칠된 4개의 정사각형에 모두 홀수를 적어야 하므로 색칠되지 않. 1_3_4_2_2_1=48. 은 5개의 정사각형에는 홀수 1개와 짝수 4개를 적어야 한다.. . 홀수 5개 중 4개를 택하는 경우의 수는 °C¢=°CÁ=5 이 각각에 대하여 이 홀수 4개를 색칠된 4개의 정사각형에 적는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6. 27 1학년 학생 2명을 한 사람으로 생각하여 나머지 5명과 함께 원탁 에 둘러앉는 경우의 수는. 이 각각에 대하여 남은 홀수 1개와 짝수 4개를 색칠되지 않은 5개의 정. (6-1)!=5!=120. 사각형에 적는 경우의 수는 5!=120. 이 각각에 대하여 1학년 학생 2명이 자리를 바꿔 앉는 경우의 수는. 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. 2!=2. 5_6_120=3600. 그러므로 1학년 학생 2명이 이웃하여 앉는 경우의 수는. . ②. 6. ③. 120_2=240. 올림포스 고난도•확률과 통계. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 6. 2019-02-15 오후 1:46:20.

(7) 한편 1학년 학생 2명을 한 사람으로 생각하고, 2학년 학생 2명을 한 사 람으로 생각하여 나머지 3명과 함께 원탁에 둘러앉는 경우의 수는. 29 서로 다른 n개의 물건을 서로 다른 2개의 주머니에 담는 경우의 수 a는. (5-1)!=4!=24. a=ªPÇ=2Ç` . 이 각각에 대하여 1학년 학생 2명과 2학년 학생 2명이 자리를 바꿔 앉는. 서로 다른 n개의 물건을 서로 다른 4개의 주머니에 담는 경우의 수 b는. 경우의 수는. b=¢PÇ=4Ç` . 2!_2!=4. 이때. 그러므로 1학년 학생 2명이 서로 이웃하여 앉고, 2학년 학생 2명도 서로. ab=2n_4n=2n_(22)n=2n_22n=23n. 이웃하여 앉는 경우의 수는. 이고. 24_4=96. 512=2á`. 따라서 1학년 학생 2명은 서로 이웃하여 앉고, 2학년 학생 2명은 서로. 이므로 ab=512에서. 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는. 23n=29, 3n=9, n=3. 240-96=144. 따라서 서로 다른 3개의 물건을 서로 다른 3개의 주머니에 담는 경우의. . 수는. ① 다른풀이. 1학년 학생 2명과 3학년 학생 3명이 원탁에 둘러앉을 때, 1학. 년 학생끼리 서로 이웃하게 원탁에 앉는 경우의 수는 (4-1)!_2!=12. £P£=3Ü`=27 . ③. 이 각각에 대하여 1학년 학생 2명의 사이를 제외한 네 곳 중 두 곳을 택. 30 X의 모든 원소 x에 대하여 f(-x)+f(x)=0이므로. 하여 2학년 학생 2명이 앉는 경우의 수는. x=0을 대입하면 f(0)+f(0)=0, f(0)=0. ¢Pª=12. 이때 f(-x)=-f(x)에서. 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. f(-1)=-f(1). 12_12=144. f(-2)=-f(2) f(-3)=-f(3) 즉, f(1), f(2), f(3)의 값을 정하면 f(-1), f(-2), f(-3)의 값 이 정해진다.. 28. 따라서 구하는 함수 f는 f(1), f(2), f(3)의 값이 각각 될 수 있는 값. e b f. a c. 의 개수만큼 존재하고 이것은 서로 다른 7개에서 3개를 택하는 중복순열 d. 의 수와 같으므로 g. ¦P£=7Ü`=343. 주어진 도형의 7개의 영역을 그림과 같이 a, b, c, d, e, f, g 라 하자. 서로 다른 8개의 색 중 7개의 색을 택하는 경우의 수는 ¥C¦=¥CÁ=8 이 각각에 대하여 영역 a에 칠할 색을 택하는 경우의 수는 7 이 각각에 대하여 세 영역 b, c, d에 칠할 3개의 색을 택하는 경우의 수 는 ¤C£=. . ⑤. 31 여섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 하락하여 네 개를 택해 일렬로 나열하여 만든 네 자리의 자연수 중에 4의 배수이면서 동시 에 5의 배수인 자연수는 존재하지 않는다. 여섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 허락하여 네 개를 택해. 6_5_4 =20 3_2_1. 일렬로 나열하여 만든 네 자리의 자연수가 4의 배수이려면 십의 자리와. 이 각각에 대하여 택한 3개의 색을 세 영역 b, c, d에 색칠하는 경우의. 일의 자리의 수가 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64 중 하나이어야 한. 수는. 다.. (3-1)!=2!=2. 이때 천의 자리와 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 여. 이 각각에 대하여 세 영역 e, f, g에 남은 3개의 색을 칠하는 경우의 수는. 섯 개의 숫자에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으. 3!=6. 므로 4의 배수인 네 자리 자연수의 개수는. 따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. 9_¤Pª=9_6Û`=324 또한 네 자리의 자연수가 5의 배수이려면 일의 자리의 수가 5이어야 한. n=8_7_20_2_6=8_7_6_5_4_2 이므로. 다.. 8! 8! = =3 n 8_7_6_5_4_2. 5, 6의 여섯 개의 숫자에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복순열의. . 이때 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4,. ③. 수와 같으므로 5의 배수인 네 자리 자연수의 개수는. 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 7. 7. 2019-02-15 오후 1:46:21.

(8) 정답과 풀이 ¤P£=6Ü`=216 따라서 4의 배수 또는 5의 배수인 네 자리 자연수의 개수는 합의 법칙에 의하여. 34 흰 공의 개수와 검은 공의 개수가 모두 5로 같고, 모든 공의 개수가 10이고 주어진 상자의 개수가 10이다. 이때 세로로 같은 줄에 있는 상자에는 같은 색의 공이 있지 않도록 넣어. 324+216=540. 야 하므로 윗 줄에 있는 상자에 흰 공을 넣으면 같은 줄의 아랫 줄에 있. . ②. 는 상자에는 검은 공을 넣고, 윗 줄에 있는 상자에 검은 공을 넣으면 같 은 줄의 아랫 줄에 있는 상자에는 흰 공을 넣으면 된다. . 32 전체집합 U와 두 부분집합 A, B를 벤다이어그램으로 나타내면. 즉, 구하는 경우의 수는 윗 줄에 있는 5개의 상자에 흰 공 n(n=0, 1,. 그림과 같다.. 2, 3, 4, 5)개와 검은 공 (5-n)개를 넣는 경우의 수과 같다.. A-B, A;B, B-A, A` ;B` 이 나타내는 영역을 각각 ⓐ, ⓑ, ⓒ,. Ú ‌검은 공 5개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수 1. ⓓ라 하자.. Û 흰 공 1개, 검은 공 4개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수. U A ⓐ. B ⓑ. 5! =5 4!. ⓒ. Ü 흰 공 2개, 검은 공 3개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수. ⓓ. 5! =10 2!3!. 조건 (가)에서 n(A-B)=1이므로 영역 ⓐ에 들어갈 원소 한 개를 정 하는 경우의 수는 ¤CÁ=6. Ý 흰 공 3개, 검은 공 2개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수. 이 각각에 조건 (나)에서 n(A;B)=2이므로 영역 ⓑ에 들어갈 원소. 5! =10 3!2!. 두 개를 정하는 경우의 수는 영역 ⓐ에 들어간 하나의 원소를 제외한 다. Þ 흰 공 4개, 검은 공 1개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수. 섯 개의 원소 중 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로 °Cª=10 이 각각에 대하여 나머지 세 개의 원소는 영역 ⓒ 또는 ⓓ에 들어가야 한다. 세 개의 원소가 들어갈 영역을 정하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 . 5! =5 4! ß ‌흰 공 5개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수 1. ªP£=2Ü`=8 따라서 두 집합 A, B를 정하는 경우의 수는. Ú ~ ß에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. 6_10_8=480. 1+5+10+10+5+1=32. . ②. . ③ 다른풀이. 세로로 같은 줄에 있는 상자에는 같은 색의 공이 있지 않도록. 넣어야 하므로 흰 공은 각 세로줄마다 한 개씩만 넣을 수 있다.. 33 정의역 X={1, 2, 3, 4, 5}의 모든 원소 x에 대하여 xÛ`+x f(x)=x{x+f(x)}의 값이 짝수이려면 x가 홀수일 때 f(x)가 홀수이어야 하므로 1, 3, 5는 모두 1, 3, 5 중 하나에 대응되어야 하고 그 경우의 수는 £P£=3Ü` 이 각각에 대하여 2, 4는 모두 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응되어야 하므 로 그 경우의 수는 °Pª=5Û`. 즉, 5개의 흰 공을 각 세로줄마다 위 또는 아래의 상자 중 한 상자에 넣 으면 되므로 구하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 5 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ªP°=2Þ`=32. 35. 그러므로 xÛ`+x f(x)의 값이 짝수인 함수 f의 개수 m은 m=3Ü`_5Û`. S. 한편 x f(x)의 값이 짝수이려면 x와 f(x)의 값 중 적어도 하나의 값이. B. R. 짝수이어야 하므로 1, 3, 5는 모두 2, 4 중 하나에 대응되어야 하고 그 경우의 수는 ªP£=2Ü` 이 각각에 대하여 2, 4는 모두 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응되어야 하고 그 경우의 수는 °Pª=5Û`. Q. 점을 각각 P, Q, R, S라 하자.. n=2Ü`_5Û`. 구하는 경우의 수는 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수. 따라서. 에서 두 경로 A 2Ú P 2Ú Q 2Ú B, A 2Ú R 2Ú S 2Ú B로 최단거리로. n 2Ü`_5Û` 8 = = m 27 3Ü`_5Û`. 가는 경우의 수의 합을 뺀 것과 같다. ①. 8. P. 그림과 같이 점선으로 된 두 도로를 연결하여 도로가 서로 만나는 네 지. 그러므로 x f(x)의 값이 짝수인 함수 f의 개수 n은. . A. Ú A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수. 올림포스 고난도•확률과 통계. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 8. 2019-02-15 오후 1:46:22.

(9) 7! =35 3!4!. 그러므로 이 경우의 수는 b=6_3=18. Û 경로 A 2Ú P 2Ú Q 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 1_1_. ‌ 학생이 받은 3개의 색연필이 모두 다른 색인 경우 Ü 3명의. 5! =5 4!. 세 종류의 색연필을 선택하는 경우의 수는 ROY로 1 이에 대하여 3명의 학생에게 각각 1개씩 나누어 주는 경우의 수는 . Ü 경로 A 2Ú R 2Ú S 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수. 3!=6. 4! _1_1=4 3!. 그러므로 이 경우의 수는 c=1_6=6. Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는. Ú ~ Ü에서 abc=3_18_6=324. 35-(5+4)=26 . ③. 36 조건 (나)에서 각 자리에 있는 네 개의 숫자 중 숫자 0이 적어도 하. . ④. 38. P. B Q. 나 존재하므로 숫자 0의 개수가 1인 경우와 2인 경우에 따라 네 자리 자 연수의 개수를 구하면 다음과 같다.. R. Ú ‌숫자 0의 개수가 1인 경우. S. 나머지 숫자의 합이 5인 세 개의 숫자는 1, 1, 3 또는 1, 2, 2의 두 가지 경우가 있다.. A. T. 0이 들어갈 자리를 정하는 경우의 수는 £CÁ=3. 그림과 같이 다섯 지점을 각각 P, Q, R, S, T라 하면 구하는 경우의 수. 이 각각에 대하여 1, 1, 3 또는 1, 2, 2를 남은 세 자리에 나열하는 경. 는 A지점을 출발하여 다섯 지점 P, Q, R, S, T 중 한 지점을 지나 B. 우의 수는. 지점으로 가는 다섯 경로로 나누어 최단거리를 구할 수 있다.. 2_. 3! =6 2!. Ú ‌경로 A 2Ú P 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수. 그러므로 숫자 0의 개수가 1인 네 자리 자연수의 개수는 3_6=18 Û ‌숫자 0의 개수가 2인 경우. 1 Û ‌경로 A 2Ú Q 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 2_. 나머지 숫자의 합이 5인 두 개의 숫자는 1, 4 또는 2, 3의 두 가지 경 우가 있다.. Ü 경로 A 2Ú R 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수. 0이 들어갈 두 자리를 정하는 경우의 수는 £Cª=£CÁ=3. {. ‌이 각각에 대하여 1, 4 또는 2, 3을 남은 두 자리에 나열하는 경우의. 3! _2=6 2!. 그러므로 숫자 0의 개수가 2인 네 자리 자연수의 개수는 3_4=12 Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는 18+12=30 ① 참고. 4! 4! -1}_{ -1}=5_5=25 2!2! 2!2!. Ý 경로 A 2Ú S 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수. 수는 2_2!=4. . 3! =6 2!. 숫자 0의 개수가 3인 경우는 조건 (가)를 만족시키지 않는다.. 37 빨간색, 주황색, 노란색의 색연필을 각각 R, O, Y라 하자. ‌ 학생이 받은 3개의 색연필이 모두 같은 색인 경우 Ú 3명의. 한 종류의 색연필을 선택하는 경우의 수는 RRR, OOO, YYY로 3 이 각각에 대하여 3명의 학생에게 각각 1개씩 나누어 주는 경우의 수 는 1 그러므로 이 경우의 수는 a=3_1=3 ‌ 학생이 받은 3개의 색연필 중 2개의 색연필만 같은 경우 Û 3명의 두 종류의 색연필을 선택하는 경우의 수는 RRO, RRY, OOR, OOY, YYR, YYO로 6 이 각각에 대하여 3명의 학생에게 각각 1개씩 나누어 주는 경우의 수 3! =3 는 2!. Þ ‌경로 A 2Ú T 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 1 Ú ~ Þ에서 구하는 경우의 수는 1+6+25+6+1=39 . ④. 39 한 필통에 볼펜 2자루가 들어가는 경우와 두 필통에 각각 볼펜 한 자루씩 들어가는 경우로 나누면 다음과 같다. Ú ‌한 필통에 볼펜 2자루가 들어가는 경우 볼펜 2자루를 넣을 필통을 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 1 개를 택하는 조합의 수와 같으므로 £CÁ=3 이 각각에 대하여 빈 필통이 없어야 하므로 볼펜 2자루를 넣은 필통 이 아닌 두 필통에는 연필 1자루씩 넣어야 한다. 남은 연필 2자루를 세 필통에 나누어 넣는 경우의 수는 서로 다른 3 개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 9. 9. 2019-02-15 오후 1:46:23.

(10) 정답과 풀이 £Hª=£*ªÐÁCª=¢Cª=6. ªCÁ=2. 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. 3_6=18. 10_2=20. Û ‌두 필통에 각각 볼펜 1자루씩 들어가는 경우. Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. 볼펜 1자루씩 넣을 두 필통을 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서. 20+32+20=72. 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로. . £Cª=£CÁ=3. ①. 이 각각에 대하여 빈 필통이 없어야 하므로 볼펜 1자루를 넣은 필통. 41 다섯 개의 상자 A, B, C, D, E에 넣는 공의 개수를 각각 a, b, c,. 이 아닌 한 필통에는 연필 1자루를 넣어야 한다. . d, e라 하면 yy ㉠. 남은 연필 3자루를 세 필통에 나누어 넣는 경우의 수는 서로 다른 3. a+b+c+d+e=10 . 개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 이고 구하는 경우의 수는 방정식 ㉠과 두 조건 (가), (나)를 만족시키는. £H£=£*£ÐÁCª=°Cª=10. 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수와 같다.. 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. 이때 조건 (가)에서 a는 홀수이고, 조건 (나)에서 a<b이다.. 3_10=30. a의 값에 따라 경우의 수는 다음과 같다.. Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. ‌ 때 Ú a=1일 a<b이므로 b>1이고, 방정식 ㉠에서. 18+30=48 . b+c+d+e=9 (b>1이고, c, d, e는 음이 아닌 정수). ①. b=b '+2라 하면. 40 9의 약수는 1, 3, 9이므로 구입한 사과와 귤의 개수의 합에 따라. (b '+2)+c+d+e=9. 구하는 경우의 수는 다음과 같다.. b '+c+d+e=7 (b ', c, d, e는 음이 아닌 정수). Ú ‌구입한 사과와 귤의 개수의 합이 1인 경우. 구하는 모든 순서쌍 (1, b, c, d, e)의 개수는 방정식 ㉡을 만족시키. 사과와 귤 중 1개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 1개를. 는 음이 아닌 정수 b ', c, d, e의 모든 순서쌍 (b ', c, d, e)의 개수. 택하는 조합의 수와 같으므로. 와 같고 이 개수는 서로 다른 4개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와. ªCÁ=2. 같으므로. 이 각각에 대하여 구입한 배와 포도의 개수의 합이 9이고, 배와 포도. ¢H¦=¢*¦ÐÁC¦=Á¼C¦=Á¼C£=. 중 9개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 9개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로. yy ㉡. 10_9_8 =120 3_2_1. ‌ 때 Û a=3일. ªH»=ª*»ÐÁC»=Á¼C»=Á¼CÁ=10. a<b이므로 b>3이고, 방정식 ㉠에서. 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. b+c+d+e=7 (b>3이고, c, d, e는 음이 아닌 정수). 2_10=20. b=b "+4라 하면. Û ‌구입한 사과와 귤의 개수의 합이 3인 경우. (b "+4)+c+d+e=7 yy ㉢. 사과와 귤 중 3개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 3개를. b "+c+d+e=3 (b ", c, d, e는 음이 아닌 정수). 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 구하는 모든 순서쌍 (3, b, c, d, e)의 개수는 방정식 ㉢을 만족시키. ªH£=ª*£ÐÁC£=¢C£=¢CÁ=4. 는 음이 아닌 정수 b ", c, d, e의 모든 순서쌍 (b ", c, d, e)의 개수. 이 각각에 대하여 구입한 배와 포도의 개수의 합이 7이고, 배와 포도. 와 같고 이 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와. 중 7개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 7개를 택하는 중. 같으므로. 복조합의 수와 같으므로 ªH¦=ª*¦ÐÁC¦=¥C¦=¥CÁ=8 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여. ¢H£=¢*£ÐÁC£=¤C£=. ‌ 5 이상의 홀수일 때 Ü a가 a<b이므로 b의 최솟값은 6이다.. 4_8=32 Ü ‌구입한 사과와 귤의 개수의 합이 9인 경우. 6_5_4 =20 3_2_1. 이때 a+b¾11이므로 가능한 경우가 없다.. 사과와 귤 중 9개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 9개를. Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 120+20=140. ªH»=ª*»ÐÁC»=Á¼C»=Á¼CÁ=10. . 이 각각에 대하여 구입한 배와 포도의 개수의 합이 1이고, 배와 포도. ③. 중 1개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 1개를 택하는 조. 42 한 학생에게 2개 이상 6개 이하로 과자를 나누어 주므로 a의 최솟. 합의 수와 같으므로. 값은 2이고 b의 최솟값은 3이고 c의 최솟값은 4이다.. 10. 올림포스 고난도•확률과 통계. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 10. 2019-02-15 오후 1:46:23.

(11) 44 음이 아닌 정수 a, b, c, d, e에 대하여 조건 (가)에서 a+b>1이. 또한 c의 최댓값은 6이므로 c의 값에 따라 나누면 다음과 같다. ‌ 경우 Ú c=4인. 고 21=3_7=7_3=21_1이므로 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍. a<b<c=4이고 a¾2이므로 a=2, b=3, 즉 a, b를 정하는 경우. (a, b, c, d, e)의 개수를 세 가지 경우로 나누면 다음과 같다.. 의 수는 1. ‌ Ú a+b=3, c_d_e=7인 경우. 이에 대하여 4=cÉdÉeÉ6이므로 d, e가 가능한 값은 세 수 4, 5,. 방정식 a+b=3을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 서로. 6 중 중복을 허락하여 택한 두 수이다. 즉, d, e를 정하는 경우의 수. 다른 2개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 . 는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. ªH£=ª*£ÐÁC£=¢C£=¢CÁ=4. £Hª=£*ªÐÁCª=¢Cª=6. 이 각각에 대하여 c_d_e=7=1_1_7을 만족시키는 모든 순서. 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 1_6=6. 쌍 (c, d, e)의 개수는 세 수 1, 1, 7을 나열하는 경우의 수와 같으므. ‌ 경우 Û c=5인. 로. a<b<c=5이고 a¾2이므로 a, b가 가능한 값은 세 수 2, 3, 4 중 택한 두 수이다. 즉, a, b를 정하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 2. 3! =3 2!. 개를 택하는 조합의 수와 같으므로. ‌그러므로 이 경우의 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법칙. £Cª=£CÁ=3. 에 의하여. 이 각각에 대하여 5=cÉdÉeÉ6이므로 d, e가 가능한 값은 두 수 5, 6 중 중복을 허락하여 택한 두 수이다. 즉, d, e를 정하는 경우의. 4_3=12 ‌ Û a+b=7, c_d_e=3인 경우. 수는 서로 다른 2개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 방정식 a+b=7을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 서로. ªHª=ª*ªÐÁCª=£Cª=£CÁ=3. 다른 2개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ªH¦=ª*¦ÐÁC¦=¥C¦=¥CÁ=8. 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_3=9. 이 각각에 대하여 c_d_e=3=1_1_3을 만족시키는 모든 순서. ‌ 경우 Ü c=6인 a<b<c=6이고 a¾2이므로 a, b가 가능한 값은 네 수 2, 3, 4, 5. 쌍 (c, d, e)의 개수는 세 수 1, 1, 3을 나열하는 경우의 수와 같으므. 중 택한 두 수이다. 즉, a, b를 정하는 경우의 수는 서로 다른 4개에. 로 3! =3 2!. 서 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로 ¢Cª=6. ‌그러므로 이 경우의 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법칙. 이 각각에 대하여 6=cÉdÉeÉ6이므로 d=e=6, 즉 d, e를 정하. 에 의하여. 는 경우의 수는 1. 8_3=24. 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 6_1=6. ‌ Ü a+b=21, c_d_e=1인 경우. Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. 방정식 a+b=21을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 서로. 6+9+6=21 . 다른 2개에서 21개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. ⑤. ªHªÁ=ª*ªÁÐÁCªÁ=ªªCªÁ=ªªCÁ=22 이 각각에 대하여 c_d_e=1을 만족시키는 모든 순서쌍 (c, d, e) 의 개수는 c=d=e=1로 1. 43 조건 (가)에서 a_b_c_d_e가 홀수이므로 a, b, c, d, e는 모. 그러므로 이 경우의 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법. 두 홀수이다.. 칙에 의하여 . 이때 조건 (나)의 aÉbÉ10에서 1부터 10까지의 자연수 중 홀수는 1, 3, 5, 7, 9로 5개가 있다. 두 홀수 a, b의 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 서로 다른 5개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로. 22_1=22 Ú ~ Ü에서 구하는 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 합의 법칙에 의하여 12+24+22=58. °Hª=°*ªÐÁCª=¤Cª=15 이 각각에 대하여 조건 (나)의 10Éc<d<e<20에서 10부터 19까지의. . ④. 자연수 중에서 홀수는 11, 13, 15, 17, 19로 5개가 있다. 세 홀수 c, d, e의 모든 순서쌍 (c, d, e)의 개수는 서로 다른 5개에서 3 개를 택하는 조합의 수와 같으므로. 45 빨간 공을 a, 파란 공을 b, 노란 공을 c라 하면 구하는 경우의 수는 a, a, b, b, c, c, c를 나열할 때, 같은 문자끼리는 이웃하지 않고 마지막. °C£=°Cª=10. 에 a가 나열되는 경우의 수이다.. 따라서 구하는 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법칙에 의하여. c, c, c가 이웃하지 않게 나열되는 경우는 다음과 같다. Ú c c c a 인 경우. 15_10=150 . ③. ‌비어 있는 세 자리에 a, b, b를 나열할 때, a, a가 이웃하지 않게 나. 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 11. 11. 2019-02-15 오후 1:46:23.

(12) 정답과 풀이 열되어야 하므로 세 번째 빈 자리에는 b가 나열되어야 한다. c c c b a. 이므로 ㉠을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 ㉡을 만족시키 는 모든 순서쌍 (a ', b ')의 개수와 같다.. ‌그러므로 비어 있는 두 자리에 a, b를 나열하는 경우의 수는 . 이 순서쌍의 개수는 서로 다른 2개에서 3개를 택하는 중복조합의 수. 2!=2. 와 같으므로 ªH£=ª*£ÐÁC£=¢C£=¢CÁ=4. (가). . Û. c. c. c. a. 이 각각에 대하여 방정식 c+d+e=7 (c, d, e는 자연수) yy ㉢. 인 경우. ‌비어 있는 세 자리에 a, b, b를 나열할 때, b, b가 이웃하지 않게 나열. 에서 c=c '+1, d=d '+1, e=e '+1이라 하면. 되어야 하므로 첫 번째 빈 자리에 b가 나열되어야 한다. c b c c a. (c '+1)+(d '+1)+(e '+1)=7 c '+d '+e '=4 (c ', d ', e '은 음이 아닌 정수). ‌그러므로 비어 있는 두 자리에 a, b를 나열하는 경우의 수는 . 이므로 ㉢을 만족시키는 모든 순서쌍 (c, d, e)의 개수는 ㉣을 만족. 2!=2. 시키는 모든 순서쌍 (c ', d ', e ')의 개수와 같다. 이 순서쌍의 개수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수. (나). . Ü. c. c. c. a. 와 같으므로. 인 경우. £H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15. ‌비어 있는 세 자리에 a, b, b를 나열할 때, b, b가 이웃하지 않게 나열. 그러므로 이 경우의 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법칙. 되어야 하므로 세 번째 빈 자리에 b가 나열되어야 한다. c c b c a. 에 의하여 4_15=60. ‌그러므로 비어 있는 두 자리에 a, b를 나열하는 경우의 수는 (다). . c. c. c. a. Û a+b=7, c+d+e=5인 경우 방정식 a+b=7 (a, b는 자연수). 인 경우. ‌비어 있는 세 자리에 a, b, b를 나열하는 경우의 수는. (a '+1)+(b '+1)=7 a '+b '=5 (a ', b '은 음이 아닌 정수). (라). 는 모든 순서쌍 (a ', b ')의 개수와 같다.. 2+2+2+3=9 . (마). . 9 채점 기준. (가). c. c. (나). c. c. (다). c c. 이 순서쌍의 개수는 서로 다른 2개에서 5개를 택하는 중복조합의 수 와 같으므로 ªH°=ª*°ÐÁC°=¤C°=¤CÁ=6 이 각각에 대하여 방정식 c+d+e=5 (c, d, e는 자연수) yy ㉦. 비율. a 일 때의 경우의 수를 구한 경우. 20`%. 에서 c=c '+1, d=d '+1, e=e '+1이라 하면. c a 일 때의 경우의 수를 구한 경우. 20`%. (c '+1)+(d '+1)+(e '+1)=5. c. c a 일 때의 경우의 수를 구한 경우. 20`%. c. c a 일 때의 경우의 수를 구한 경우. 20`%. c. (마) 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한 경우. yy ㉥. 이므로 ㉤을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 ㉥을 만족시키. Ú ~ Ý에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 . 단계. yy ㉤. 에서 a=a '+1, b=b '+1이라 하면. 3! =3 2!. . (라). (나). . 2!=2 Ý. yy ㉣. c '+d '+e '=2 (c ', d ', e '은 음이 아닌 정수). yy ㉧. 이므로 ㉦을 만족시키는 모든 순서쌍 (c, d, e)의 개수는 ㉧을 만족 시키는 모든 순서쌍 (c ', d ', e ')의 개수와 같다.. 20`%. 이 순서쌍의 개수는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복조합의 수 와 같으므로. 46. £Hª=£*ªÐÁCª=¢Cª=6 a, b, c, d, e가 자연수이므로 a+b¾2, c+d+e¾3. 그러므로 이 경우의 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법칙. 이때 1이 아닌 두 자연수의 곱이 35인 경우는 5_7 또는 7_5이므로 두. 에 의하여. 가지 경우로 나누면 다음과 같다.. 6_6=36 (가). . Ú a+b=5, c+d+e=7인 경우 방정식 a+b=5 (a, b는 자연수). 의하여 60+36=96. (a '+1)+(b '+1)=5. 12. (다). Ú, Û에서 구하는 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 합의 법칙에 yy ㉠. 에서 a=a '+1, b=b '+1이라 하면 a '+b '=3 (a ', b '은 음이 아닌 정수). . yy ㉡. . (라). .  96. 올림포스 고난도•확률과 통계. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 12. 2019-02-15 오후 1:46:24.

(13) 단계. 채점 기준. 비율. (가) 두 가지 경우로 나누는 과정을 이해한 경우 (나) (다). a+b=5, c+d+e=7일 때의 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우 a+b=7, c+d+e=5일 때의 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우. (라) 합의 법칙을 이용한 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우. 10`%. 48. 40`%. 10까지의 자연수 10개 중 7개를 택해 7개. 그림과 같이 7등분한 원판이 있다. 1부터 의 영역에 각각 하나씩 적을 때, 짝수끼리. 40`% 10`%. 는 이웃한 영역에 있지 않도록 적는 경우의 수는 n_5!이다. 자연수 n의 값은? (단, 적힌 숫자와 모양, 크기, 위치 등은 고려하 지 않으며, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.). 내신. 상위. 4%. 변별력 문항. 본문 16~18쪽. 47 6 48 ⑤ 49 ② 50 240 51 ③ 52 ⑤ 53 186 54 ⑤ 55 ④ 56 69 57 57 58 ②. ① 60. ② 70. ④ 90. ⑤ 100. ③ 80. 풀이전략. ‌‌짝수끼리는 이웃한 영역에 있지 않도록 홀수의 개수와 짝수의 개수의 경우를 나누어 각각의 경우의 수를 구한다. 문제풀이. 47. 가능한 짝수의 개수를 구한다.. 자연수 n에 대하여 n쌍의 부부 2n명이 원형의 탁자에 둘러앉을 때, 부부끼리 이웃하여 앉는 경우의 수를 f(n)이라 하자. 방정식 3 f(n+2) =nÛ` 을 만족시키는 n의 값을 구하시오. 2 f(n)+f(n+1) (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 6. 풀이전략. 1부터 10까지의 자연수에는 홀수 5개와 짝수 5개가 있다. 이 10개의 숫자 중 7개를 택할 때 짝수의 개수가 3보다 크면 7개의 영 역 중 이웃한 영역에 짝수가 적힐 수 밖에 없으므로 택한 7개 중 짝수 의 개수는 3 이하이다. 이때 홀수의 개수가 5이므로 택한 7개 중 가능한 짝수의 개수는 2 또는 3이다. 홀수 5개, 짝수 2개를 택한 경우의 수를 구한다.. ‌순열과 원순열을 이용하여 f(n)을 구한 후, 방정식의 해를 구한다.. Ú ‌홀수 5개, 짝수 2개를 택한 후, 7개의 영역에 각각 하나씩 적는 경우 짝수 5개 중 짝수 2개를 택하는 경우의 수는 °Cª=10. 문제풀이. 순열과 원순열을 이용하여 f(n)을 구한다.. 이 각각에 대하여 택한 두 짝수를 a, b라 할 때 짝수 2개를 이웃하. 한 쌍의 부부를 각각 한 명으로 생각하여 n명이 원형의 탁자에 둘러앉. 지 않게 적는 경우의 수는 그림과 같이 4. 는 경우의 수는 (n-1)!. a. 이 각각에 대하여 n쌍의 부부가 각각의 부부끼리 자리를 서로 바꿔 앉 는 경우의 수는 2!_2!_2!_y_2!=2Ç` ` n개. ( \ | { | \ 9 우의 수 f(n)은. 방정식의 해를 구한다.. 않게 적는다.. a b. b. b. b. 에 적는 경우의 수는 °C°_5!=5! 그러므로 이 경우의 수는. n+2. 3_2 2n+1. _. (n+1)_n_(n-1)! (n+1)_(n-1)!. 10_4_5!=40_5! 홀수 4개, 짝수 3개를 택한 경우의 수를 구한다.. =3_2_n=6n. Û ‌홀수 4개, 짝수 3개를 택한 후, 7개의 영역에 각각 하나씩 적는 경우. 3 f(n+2) 3_(n+1)!_2n+2 = 2 f(n)+f(n+1) 2_(n-1)!_2n+n!_2n+1. 짝수 5개 중 짝수 3개를 택하는 경우의 수는 °C£=°Cª=10. n+2. =. a. ‌이 각각에 대하여 홀수 5개 중 홀수 5개를 택하여 남은 5개의 영역. 따라서 n쌍의 부부 2n명이 부부끼리 이웃하여 원형의 탁자에 앉는 경 f(n)=(n-1)!_2Ç` . a. a를 고정하고‌b를 이웃하지. 3_(n+1)!_2 =6n이므로 2n+1_(n-1)!_(n+1). 이 각각에 대하여 택한 세 짝수를 c, d, e라 할 때 짝수 3개를 이웃. 3 f(n+2) 주어진 방정식 =nÛ`에서 2 f(n)+f(n+1). 하지 않게 적는 경우의 수는 그림과 같이 6. c를 고정하고 d, e를 c, d, e가 이웃하지 않. 6n=nÛ`, n(n-6)=0. 게 적는다.. 이때 n은 자연수이므로 n=6 . 6. 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 13. 13. 2019-02-15 오후 1:46:26.

(14) 정답과 풀이 c. c. d. e. d. c. (6-1)!=5!. c. e. e. c d. 2!=2 이 각각에 대하여 5와 7을 바꿔 적는 경우의 수는. c d. e. 이 각각에 대하여 4와 8을 바꿔 적는 경우의 수는. d. 2!=2. d. e. 그러므로 두 수 4, 8이 이웃하고 동시에 5, 7이 이웃하도록 적는 경우. e. 의 수는. ‌이 각각에 대하여 홀수 5개 중 홀수 4개를 택하여 남은 4개의 영역. 5!_2_2=4_5!. 에 적는 경우의 수는 . 경우의 수를 구한다.. °C¢_4!=°CÁ_4!=5_4!=5! 그러므로 이 경우의 수는. 따라서 구하는 경우의 수는. 10_6_5!=60_5!. 2_6!+2_6!-4_5! =4_6!-4_5!. 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한다.. =4_(6_5!)-4_5!. Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. =(4_6-4)_5!. 40_5!+60_5!=100_5!=n_5!. =20_5!=n_5!. 따라서 n=100 . ⑤. 49. 이므로 n의 값은 20이다. . ②. 50. 그림과 같이 8등분한 원판의 각 영역에 1. 두 집합 X={1, 2, 3, 4}, Y={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}에 대하여. 부터 8까지의 자연수를 모두 사용하여 하. 함수 f`:`X 2Ú Y 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 f의 개수. 나씩 적으려고 한다. 이웃한 두 영역에 적. 를 구하시오.. 힌 두 수의 합이 12인 경우가 있도록 적는. 240 f(1)은 1, 3, 5, 7 중 하나. 경우의 수는 n_5!이다. 자연수 n의 값. (가) f(1)< f(2). 은? (단, 적힌 숫자와 모양, 크기, 위치 등. (나) f(1)은 홀수이고, f(2)는 6의 약수이다. f(2)는 1, 2, 3, 6 중 하나 (다) f(3) f(4)는 짝수이다.. 은 고려하지 않으며, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 두 수의 합이 12인 경우는 4+8=12와 5+7=12인 ‌. ② 20. ① 19 ④ 22. ③ 21. ⑤ 23. 경우가 있다. 풀이전략. 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수를 중복순열을 이용하여 구한다. 풀이전략. 문제풀이. 두 수의 합이 12인 경우를 구한 후 순열과 원순열의 수를 이용한다.. f(1)과 f(2)의 값을 정하는 경우의 수를 구한다.. 조건 (나)에서 f(1)은 홀수이므로 f(1)이 될 수 있는 값은 1, 3, 5, 7. 문제풀이. 두 수의 합이 12인 두 가지 경우를 구한다.. 이고, f(2)는 6의 약수이므로 f(2)가 될 수 있는 값은 1, 2, 3, 6이다.. 1부터 8까지의 자연수 중 서로 다른 두 수의 합이 12인 경우는. 조건 (가)에서 f(1)<f(2)이므로 f(1)과 f(2)의 값을 정하는 경우의. 4+8=12와 5+7=12인 두 가지 경우가 존재한다.. 수는 다음과 같다.. 순열과 원순열의 수를 이용하여 각각의 경우의 수를 구한다.. 한편 4와 8을 하나의 수로 생각하여 나머지 6개의 수와 함께 총 7개의 수를 원판에 적는 경우의 수는 (7-1)!=6! 이 각각에 대하여 4와 8을 바꿔 적는 경우는 수는 2!=2. f(1)=1일 때 f(2)의 값은 2, 3, 6 중의 하나이므로 경우의 수는 3 f(1)=3일 때 f(2)의 값은 6이므로 경우의 수는 1 f(1)=5일 때 f(2)의 값은 6이므로 경우의 수는 1 f(1)=7일 때 f(2)가 될 수 있는 값은 없다. 그러므로 f(1)과 f(2)의 값을 정하는 경우의 수는 3+1+1+0=5 f(3)과 f(4)의 값을 정하는 경우의 수를 구한다.. 그러므로 두 수 4, 8이 이웃하도록 적는 경우의 수는 2_6!. 한편 조건 (다)에서 f(3) f(4)의 값이 짝수이므로 f(3)과 f(4)의 값. 마찬가지로 두 수 5, 7이 이웃하도록 적는 경우의 수는 2_6!. 은 모두 짝수이거나 두 값 중 하나의 값이 짝수이어야 한다.. 또한 두 수 4, 8과 두 수 5, 7을 각각 하나의 수로 생각하여 나머지 4개. 즉, f(3)과 f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 Y의 원소 8개에서 2개를. 의 수와 함께 총 6개의 수를 원판에 적는 경우의 수는. 택하는 중복순열의 수에서 Y의 원소 중 홀수인 원소 4개에서 2개를 택. 14. 올림포스 고난도•확률과 통계. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 14. 2019-02-15 오후 1:46:28.

(15) 하는 중복순열의 수를 뺀 것과 같으므로 그 경우의 수는. n‌=9000_3Ü`+900_3Ü`+90_3Ü`+9_3Ü`. ¥Pª-¢Pª=8Û`-4Û`=64-16=48. =9999_3Ü` 이므로. 곱의 법칙을 이용하여 함수 f의 개수를 구한다.. n 9999_3Ü` = =3333 m 3Ý`. 따라서 구하는 함수 f의 개수는 곱의 법칙에 의하여 5_48=240 .  240. 51 세 개의 숫자 1, 3, 5를 중복 사용하여 네 자리의 자연수를 만들. . ③. 52 다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 숫자 1과 숫자 2는 중복을 허. 때, 만들 수 있는 모든 자연수의 개수는 m이고, 이 m개의 모든 자. 락하지 않고 숫자 3과 숫자 4와 숫자 5는 중복을 허락하여 택한 네. n 연수의 총합은 n이다. 의 값은? m. 개의 숫자로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는?. ① 3113. ② 3223. ④ 3443. ⑤ 3553. ③ 3333. ① 401. ② 402. ④ 404. ⑤ 405. ③ 403. 풀이전략 풀이전략. 중복순열을 이용하여 만들 수 있는 모든 자연수의 개수와 총합을 구한다. 문제풀이. ‌두 숫자 1, 2의 포함여부에 따라 중복순열을 이용하여 네 자리 자연수의 개수 를 구한다. 문제풀이. 만들 수 있는 모든 자연수의 개수를 구한다.. 세 개의 숫자 1, 3, 5를 중복을 허락하여 나열해서 만들 수 있는 네 자 리의 자연수의 개수는. 두 숫자 1, 2의 포함여부에 따라 각각의 경우의 자연수의 개수를 구한다.. 네 자리 자연수 중 두 숫자 1, 2를 모두 포함하는 경우, 숫자 1은 포함 하고 숫자 2는 포함하지 않는 경우, 숫자 1은 포함하지 않고 숫자 2는. m=£P¢=3Ý`. 포함하는 경우, 두 숫자 1, 2를 모두 포함하지 않는 경우로 나누면 다. 천, 백, 십, 일의 자리로 나누어 각각의 총합을 구한다.. 81개의 자연수의 총합은 다음과 같이 나누어 구할 수 있다. Ú ‌천의 자리의 수의 총합 . 음과 같다. Ú ‌두 숫자 1, 2를 모두 포함하는 네 자리 자연수 천, 백, 십, 일의 자리 중 두 숫자 1, 2가 들어갈 두 자리를 택하는. 1 꼴의 네 자리의 자연수의 개수 : £P£=3Ü`. 경우의 수는 ¢Pª=12. 3 꼴의 네 자리의 자연수의 개수 : £P£=3Ü`. 이 각각에 대하여 두 숫자 1, 2가 들어간 자리를 제외한 나머지 두. 5 꼴의 네 자리의 자연수의 개수 : £P£=3Ü`. 자리에 세 숫자 3, 4, 5가 중복을 허락하여 들어갈 자리를 택하는. 그러므로 3Ý`개의 자연수의 천의 자리의 수의 총합은. 경우의 수는 £Pª=3Û`=9. 1000_3Ü`+3000_3Ü`+5000_3Ü` 백, 십, 일의 자리에 올 수 있는. 그러므로 이 경우의 자연수의 개수는. =9000_3Ü` Û ‌백의 자리의 수의 총합. 숫자는 모두 1, 3, 5 중 하나로 세 가지씩 존재한다.. 12_9=108 Û ‌숫자 1은 포함하고 숫자 2는 포함하지 않는 네 자리 자연수. Ú과 마찬가지 방법으로 3Ý`개의 자연수의 백의 자리의 수의 총합은. 천, 백, 십, 일의 자리 중 숫자 1이 들어갈 자리를 택하는 경우의 수. 100_3Ü`+300_3Ü`+500_3Ü`. 는 ¢CÁ=4. =900_3Ü`. 이 각각에 대하여 숫자 1이 들어간 자리를 제외한 나머지 세 자리에. Ü ‌십의 자리의 수의 총합. 세 숫자 3, 4, 5가 중복을 허락하여 들어갈 자리를 택하는 경우의. Ú과 마찬가지 방법으로 3Ý`개의 자연수의 십의 자리의 수의 총합은. 수는 £P£=3Ü`=27. 10_3Ü`+30_3Ü`+50_3Ü`. 그러므로 이 경우의 자연수의 개수는. =90_3Ü`. 4_27=108. Ý ‌일의 자리의 수의 총합 Ú과 마찬가지 방법으로 3Ý`개의 자연수의 일의 자리의 수의 총합은 1_3Ü`+3_3Ü`+5_3Ü` =9_3Ü` 모든 자연수의 총합을 구한다.. Ú ~ Ý에서 3Ý`개의 자연수의 총합은. Ü ‌숫자 1은 포함하지 않고 숫자 2는 포함하는 네 자리 자연수 Û와 마찬가지 방법으로 이 경우의 자연수의 개수는 108 Ý ‌두 숫자 1, 2를 모두 포함하지 않는 네 자리 자연수 천, 백, 십, 일의 자리에 세 숫자 3, 4, 5가 중복을 허락하여 들어갈 자리를 택하는 경우의 수는 £P¢=3Ý`=81. 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 15. 15. 2019-02-15 오후 1:46:29.

(16) 정답과 풀이 로의 함수 중 치역의 원소의 개수가 2인 함수의 개수와 같다.. 합의 법칙을 이용하여 자연수의 개수를 구한다.. Ú ~ Ý에서 구하는 자연수의 개수는 합의 법칙에 의하여. 1, 2, 3, 5 중 치역의 원소인 두 수를 택하는 경우의 수는 ¢Cª=6. 108+108+108+81=405. 이 각각에 대하여 치역인 두 원소로의 함수의 개수는 . . ⑤. ªP£-2=2Ü`-2=6. 정의역의 모든 원소가 공역의 한 원소와 대응되는 경우를 제외시켜야 한다.. 그러므로 함수의 개수는 6_6=36. ㉠, ㉡에서 f(1)=f(2)=4일 때, 함수 f의 개수는 36+36=72. 53 집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 X로의 함수 f 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 f의 개수를 구하시오.. 186. f(1)=5, f(2)=3일 때 함수 f의 개수를 구한다.. Ü ‌ f(1)=5, f(2)=3일 때 Ú과 마찬가지 방법으로 함수 f의 개수는 57이다. 합의 법칙을 이용하여 함수 f의 개수 구하기. (가) 함수 f의 치역의 원소의 개수는 3이다. (나) f(1)+f(2)=8. Ú ~ Ü에서 구하는 함수 f의 개수는 합의 법칙에 의하여 57+72+57=186. 두 수의 합이 8인 경우는 3+5와 4+4인 경우가 존재한다.. .  186. 풀이전략. ‌두 조건을 만족시키는 함수 f의 개수를 곱의 법칙과 중복순열을 이용하여 구. 54. 한다.. 그림과 같은 도로망이 있다. 다음 조건을 만족시키면서 A지점에서. 문제풀이. 가능한 f(1)과 f(2)의 값을 구한다.. B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는?. 조건 (나)에서 f(1)+f(2)=8이므로. B. f(1)=3, f(2)=5 또는 f(1)=f(2)=4 또는 f(1)=5, f(2)=3. Q. 인 경우가 있다. f(1)=3, f(2)=5일 때 함수 f의 개수를 구한다.. P. Ú ‌ f(1)=3, f(2)=5일 때 조건 (가)에서 치역의 원소의 개수가 3이어야 하므로 치역은 {1, 3, 5} 또는 {2, 3, 5} 또는 {3, 4, 5} 중의 하나이다.. A. 치역이 {1, 3, 5}인 경우 f(a)=1인 원소 a (a+1, 2)가 적어도 하나 존재해야 한다.. (가) P지점과 Q지점을 모두 지난다.. 그러므로 치역이 {1, 3, 5}인 함수 f의 개수는 집합 {3, 4, 5}에서. (나) P지점 또는 Q지점에서 이동하는 방향을 바꾼다.. 집합 {1, 3, 5}로의 모든 함수의 개수에서 집합 {3, 4, 5}에서 집 합 {3, 5}로의 모든 함수의 개수를 뺀 것과 같다. 즉, £P£-ªP£=3Ü`-2Ü`=27-8=19. P지점 또는 Q지점에서 ‘↱’, ‘’와 같이 이동하는 경우를 찾는다.. ① 15. ② 18. ④ 24. ⑤ 27. ③ 21. 마찬가지로 치역이 {2, 3, 5} 또는 {3, 4, 5}인 함수 f의 개수는 모두 19이다.. 풀이전략. 그러므로 f(1)=3, f(2)=5일 때 함수 f의 개수는 . ‌주어진 조건을 만족시키는 세 경로를 찾은 후, 각각의 경로의 최단거리로 가는. 19_3=57 f(1)=f(2)=4일 때 함수 f의 개수를 구한다.. Û ‌ f(1)=f(2)=4일 때. 경우의 수를 같은 것이 있는 순열을 이용하여 구한다. 문제풀이. 주어진 조건을 만족시키는 세 경로를 찾는다. B. 치역의 원소의 개수가 3이려면 f(3), f(4), f(5)의 값 중 적어도. G. 두 개의 값은 4가 아닌 값을 가져야 한다.. E. Q. 3, 4, 5 중 4에 대응하는 한 원소를 택하는 경우의 수는 £CÁ=3. P. F. 이 각각에 대하여 남은 두 수가 1, 2, 3, 5 중 서로 다른 두 수에. D. ㉠ ‌ f(3), f(4), f(5)의 값 중 한 개의 값이 4인 경우. 대응시키는 경우의 수는 ¢Pª=4_3=12 그러므로 이 함수 f의 개수는 3_12=36 ㉡ ‌ f(3), f(4), f(5)의 값이 모두 4가 아닌 경우 이 경우 함수 f의 개수는 집합 {3, 4, 5}에서 집합 {1, 2, 3, 5}. 16. C. H. A. 그림과 같이 여섯 지점을 각각 C, D, E, F, G, H라 하자. P지점에서만 이동하는 방향을 바꾸는 경우의 수와 Q지점에서만 이동 하는 방향을 바꾸는 경우의 수와 P지점과 Q지점에서 모두 이동하는. 올림포스 고난도•확률과 통계. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 16. 2019-02-15 오후 1:46:30.

(17) 방향을 바꾸는 경우의 수는 다음과 같다.. 풀이전략. ‌홀수 2개를 세 학생 A, B, C가 나누어 택하는 경우를 찾고, 각각의 경우의 수. 세 경로의 최단거리로 가는 경우의 수를 구한다.. Ú ‌P지점에서 이동하는 방향을 바꾸고 Q지점에서 이동하는 방향을 바 꾸지 않는 경우. 를 중복조합을 이용하여 구한다. 문제풀이. 경로 A 2Ú C 2Ú P 2Ú E 2Ú Q 2Ú H 2Ú B인 경우와 . 홀수 2개를 세 학생 A, B, C가 나누어 택하는 경우를 구분한다.. 경로 A 2Ú D 2Ú P 2Ú F 2Ú Q 2Ú G 2Ú B인 경우가 있으므로. 세 학생 A, B, C가 택한 9개의 수 중 홀수의 개수가 2이므로 한 학생. 이 경우의 수는. 이 2개의 홀수를 택한 경우와 두 학생이 각각 1개의 홀수를 택한 경우. 3! 3! _1_1_1_1_2!+ _1_1_1_1_1=6+3=9 2! 2!. 로 나누어 경우의 수를 구하면 다음과 같다.. ‌ 이동하는 방향을 바꾸지 않고 Q지점에서 이동하는 방향 Û P지점에서 을 바꾸는 경우. 한 학생이 홀수 2개를 택한 경우의 수를 구한다.. Ú ‌한 학생이 홀수 2개를 택한 경우 홀수 2개를 택한 한 학생을 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서. 경로 A 2Ú C 2Ú P 2Ú F 2Ú Q 2Ú H 2Ú B인 경우와 경로 A 2Ú D 2Ú P 2Ú E 2Ú Q 2Ú G 2Ú B인 경우가 있으므로 이 경우의 수는 3! 3! _1_1_1_1_2!+ _1_1_1_1_1=6+3=9 2! 2!. 1개를 택하는 조합의 수와 같으므로 £CÁ=3 이 각각에 대하여 이 학생이 홀수 1, 3, 5 중에서 2개를 택하는 경 우의 수는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 £Hª=£*ªÐÁCª=¢Cª=6 이 각각에 대하여 이 학생이 짝수 2, 4 중에서 1개를 택하는 경우의. ‌ Q지점에서 모두 이동하는 방향을 바꾸는 경우 Ü P지점과 경로 A 2Ú C 2Ú P 2Ú E 2Ú Q 2Ú G 2Ú B인 경우와 . 수는 서로 다른 2개에서 1개를 택하는 조합의 수와 같으므로 . 경로 A 2Ú D 2Ú P 2Ú F 2Ú Q 2Ú H 2Ú B인 경우가 있으므로. ªCÁ=2. 이 경우의 수는. 이 각각에 대하여 아직 택하지 않은 두 학생 중 한 학생이 짝수 2, 4. 3! 3! _1_1_1_1_1+ _1_1_1_1_2!=3+6=9 2! 2!. 중에서 3개를 택하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ªH£=ª*£ÐÁC£=¢C£=¢CÁ=4. 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한다.. Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여. 이 각각에 대하여 아직 택하지 않은 한 학생이 짝수 2, 4 중에서 3. 9+9+9=27. 개를 택하는 경우의 수는 마찬가지 방법으로 . . ⑤ 다른풀이. 구하는 경우의 수는 A지점을 출발하여 P지점과 Q지점을 모. 두 지나 B지점으로 최단거리로 가는 모든 경우의 수에서 P지점과 Q지 점에서 모두 이동하는 방향을 바꾸지 않는 경우의 수를 뺀 것과 같다. Ú 경로 A 2Ú P 2Ú Q 2Ú B인 경우의 수는. ªH£=4 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_6_2_4_4=576 두 학생이 각각 1개의 홀수를 택한 경우의 수를 구한다.. Û ‌두 학생이 각각 1개의 홀수를 택한 경우 홀수 1개를 택한 두 학생을 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서. 4! 3! _2!_ =6_2_3=36 2!2! 2! Û ‌경로 A 2Ú C 2Ú P 2Ú F 2ÚQ 2ÚG 2ÚB인 경우와 경로 A 2Ú D 2Ú P 2Ú E 2ÚQ 2ÚH 2ÚB인 경우의 수는 3! 3! _1_1_1_1_1+ _1_1_1_1_2!=3+6=9 2! 2! Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 36-9=27. 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로 £Cª=£CÁ=3 이 각각에 대하여 홀수 1개를 택한 두 학생 중 한 학생이 홀수 1, 3, 5 중에서 1개, 짝수 2, 4 중에서 2개를 택하는 경우의 수는 서로 다 른 3개에서 1개를 택하는 조합의 수와 서로 다른 2개에서 2개를 택 하는 중복조합의 수의 곱과 같으므로 £CÁ_ªHª=£CÁ_ª*ªÐÁCª=£CÁ_£Cª=£CÁ_£CÁ=3_3=9 이 각각에 대하여 홀수 1개를 택한 남은 한 학생이 홀수 1개, 짝수 2개를 택하는 경우의 수는 마찬가지 방법으로 9 이 각각에 대하여 아직 택하지 않은 한 학생이 짝수 2, 4 중에서 3. 55. 개를 택하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 3개를 택하는 중복조. 세 명의 학생 A, B, C가 각각 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하. 합의 수와 같으므로. 여 3개의 수를 동시에 택할 때, 세 명의 학생 A, B, C가 택한 9개. ªH£=4. 의 수 중 홀수의 개수가 2인 경우의 수는?. 그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 . ① 1518. ② 1528. ④ 1548. ⑤ 1558. ③ 1538. 3_9_9_4=972 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한다.. 정답과 풀이. 해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 17. 17. 2019-02-15 오후 1:46:31.