05
내신 우수 문항
기출01
④02
⑤03
③04
③05
⑤06
④07
④08
④09
③10
911
:ª3¥:본문 60~61쪽
01
확률의 총합이 1이므로k_1Û`+k_2Û`+k_3Û`+k_4Û`+k_5Û`=55k=1 즉, k=;5Á5;
XÛ`-5X+4É0에서 (X-1)(X-4)É0 1ÉXÉ4
P(XÛ`-5X+4É0)=P(1ÉXÉ4)=1-P(X=5) =1-;5Á5;_5Û`=1-;1°1;=;1¤1;
④
02
E(X)=k, E(XÛ`)=2k+5이므로 V(X) =E(XÛ`)-{E(X)}Û`=2k+5-kÛ`
=-(k-1)Û`+6
따라서 k=1일 때 V(X)의 최댓값은 6이다.
⑤
03
E(X)=E(2Y+2)=2E(Y)+2=2_4+2=10 V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`에서V(Y)=18-4Û`=2
V(X)=V(2Y+2)=4V(Y)=4_2=8 따라서 E(X)+V(X)=10+8=18
③
다른풀이 Y=;2!;X-1이므로
E(Y)=4에서 E {;2!;X-1}=;2!; E(X)-1=4 즉, E(X)=10
또, V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`에서 V(Y)=18-4Û`=2
즉, V {;2!;X-1}=;4!; V(X)=2이므로 V(X)=8 따라서 E(X)+V(X)=10+8=18
04
확률의 총합은 1이므로;5@;+b+;5@;=1, b=;5!;
확률변수 X에 대하여
E(X)=0_;5@;+1_;5!;+a_;5@;= 2a5 +;5!;=3이므로 a=7
E(XÛ`)=0Û`_;5@;+1Û`_;5!;+7Û`_;5@;=:»5»:
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=:»5»:-3Û`=:°5¢:
따라서 V(5X-4)=5Û` V(X)=25_:°5¢:=270
③
05
확률의 총합이 1이므로;2!; b+;2!; b+b=1, b=;2!;
E(4X+1)=5에서
E(4X+1)=4E(X)+1=5, E(X)=1 즉, -a_;4!;+0_;4!;+a_;2!;=1
;4A;=1, a=4 따라서
E(XÛ`)=(-4)Û`_;4!;+0Û`_;4!;+4Û`_;2!;=12 이므로
V(X) =E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=12-1Û`=11 V(-2X-3) =4V(X)
=4_11=44
⑤
06
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은 각각 P(X=0)=°Cª¥Cª =;1°4;
P(X=1)=°CÁ_£CÁ
¥Cª =;2!8%;
P(X=2)=£Cª
¥Cª =;2£8;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 합계
P(X=x) ;1°4; ;2!8%; ;2£8; 1
E(X)=0_;1°4;+1_;2!8%;+2_;2£8;=;2@8!;=;4#;
따라서 E(8X+2)=8E(X)+2=8_;4#;+2=8
④
07
확률변수 X가 이항분포 B {n, ;2!;}을 따르므로 P(X=2)=ÇCª {;2!;}2{;2!;}n-2=n(n-1)2 _{;2!;}n
올림포스 고난도•확률과 통계
74
11
E(X)=np=3 yy ㉠V(X)=np(1-p)=2 yy ㉡
(가)
㉠, ㉡에서 3(1-p)=2 p=;3!;, n=9
따라서 n+p=9+;3!;=:ª3¥:
(나)
:ª3¥:
단계 채점 기준 비율
(가) E(X), V(X)를 n과 p에 대한 식으로 나타낸 경우 60`%
(나) n+p의 값을 구한 경우 40`%
P(X=n-1)=nCn-1{;2!;} {;2!;}=nC1{;2!;}=n_{;2!;}
이때 P(X=2)=5P(X=n-1)에서 n(n-1)
2 _{;2!;}n=5n_{;2!;}n n(n-1)
2 =5n, n(n-1)=10n 따라서 n>0이므로 n-1=10에서 n=11
④
08
확률변수 X는 이항분포 B {40, ;5@;}를 따르므로 E(X)=40_;5@;=16, V(X)=40_;5@;_;5#;=:¢5¥:따라서 E(X)+V(X)=16+:¢5¥:= 1285
④
09
V(X)=:¦4°:에서 100p(1-p)=:¦4°:4p(1-p)=;4#;, 16pÛ`-16p+3=0
(4p-1)(4p-3)=0이므로 p=;4!; 또는 p=;4#;
0<p<;2!;이므로 p=;4!;
따라서 E(X)=100_;4!;=25
③
10
당첨제비를 뽑을 확률은 ;1¢2;=;3!;이므로 확률변수 X는 이항분포 B {n, ;3!;}을 따른다.즉, E(X)=n_;3!;=;3N;, V(X)=n_;3!;_;3@;= 2n9
(가) V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서
E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`= 2n9 +{;3N;}Û`=11
(나) nÛ`+2n=99에서 nÛ`+2n-99=0, (n+11)(n-9)=0
따라서 n=9
(다)
9
단계 채점 기준 비율
(가) E(X), V(X)를 n에 대한 식으로 나타낸 경우 40`%
(나) E(XÛ`)을 n에 대한 식으로 나타낸 경우 40`%
(다) n의 값을 구한 경우 20`%
내신 고득점 문항
12
③13
④14
①15
④16
③17
④18
②19
③20
②21
②22
③23
③24
③25
④26
⑤27
②28
②29
①30
③31
①32
②33
-434
7본문 62~65쪽 7%상위
12
P(X=x)=x(x+1)k =k {;[!;- 1x+1 }이고 확률의 총합이 1이 므로k[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{ 1n - 1 n+1 }]
=k{1- 1n+1 }=k_ n n+1 =1 따라서 k= n+1n 이므로 f(5)_f(12)=;5^;_;1!2#;=;1!0#;
③
13
1ÉaÉ6, 1ÉbÉ6이므로 -5Éa-bÉ5즉, 확률변수 X가 갖는 값은 0, 1, 2, 3, 4, 5이다.
P(XÛ`-5X+4É0) =P(1ÉXÉ4)
=1-P(X=0)-P(X=5)
두 수의 차가 0인 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 이고 두 수의 차가 5인 경우는 (1, 6), (6, 1)이므로
P(X=0)=;3¤6;=;6!;, P(X=5)=;3ª6;=;1Á8;
해 73-83 올림포스(고난도)_확통_05강-삼2.indd 74 2019-02-15 오후 1:42:04
정답과 풀이
75
=0+;5Á5;-;5!5);
=-;5»5; (참)
ㄷ. G(1)-G(9) =P(X>1)-P(X>9)
=P(2ÉXÉ9)
=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=10)
=1-0-;5Á5;-;5!5);=;5$; (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
③
17
확률의 총합이 1이므로 ;4!;+a+b=1 b=;4#;-a {0ÉaÉ;4#;}확률변수 X에 대하여
E(X)=0_;4!;+1_a+3_b=a+3 {;4#;-a}=;4(;-2a E(XÛ`)=0Û`_;4!;+1Û`_a+3Û`_b=a+9 {;4#;-a}=:ª4¦:-8a V(X)={:ª4¦:-8a}-{;4(;-2a}Û`=-4aÛ`+a+;1@6&;
=-4 {a-;8!;}Û`+;4&;
r(X)="ÃV(X) 에서 V(X)가 최대일 때 r(X)가 최대이므로 a=;8!;
일 때, 최대이다.
즉, E(X)=;4(;-2a=;4(;-2_;8!;=2
④
18
E(X)=0_2ab+1_a+2_b=a+2b E(XÛ`)=0Û`_2ab+1Û`_a+2Û`_b=a+4b V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`에서V(X)+{E(X)}Û`=E(XÛ`)이고 V(X)+{E(X)}Û`=2E(X)-;4!;
이므로
a+4b=2(a+2b)-;4!;, a=;4!;
확률의 총합이 1이므로
2ab+a+b=1에서 2_;4!;_b+;4!;+b=1 즉, ;2#; b=;4#;이므로 b=;2!;
따라서 E(X)=a+2b=;4!;+2_;2!;=;4%;
②
19
확률의 총합은 1이므로P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+y+P(X=10)=5a+5b=1 P(XÛ`-5X+4É0)=1-{P(X=0)+P(X=5)}
=1-{;6!;+;1Á8;}=;9&;
④
14
10개의 제비 중 3개의 제비를 택하는 경우의 수는 Á¼C£이때 확률변수 X가 갖는 값은 0, 1, 2, 3이다.
택한 3개의 제비 중에 포함된 당첨제비의 개수를 x라 하면 당첨제비가 x개 들어 있는 경우의 수는 ¢C®_10-4C3-x (x=0, 1, 2, 3)
따라서 X의 확률질량함수는
¢C®_10-4C3-x
Á¼C£ (x=0, 1, 2, 3) 따라서 구하는 확률은
P(|X-4|É2) =P(2ÉXÉ6)=P(2ÉXÉ3)
=P(X=2)+P(X=3)
=¢Cª_¤CÁ Á¼C£ +¢C£
Á¼C£ =;3!;
①
15
확률의 총합이 1이므로a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)=4a+6d=1
2a+3d=;2!; yy ㉠
2P(X=1)=P(X=3)에서
2a=a+2d, a=2d yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 d=;1Á4;, a=;7!;
즉, P(X=k)=;7!;+(k-1)_;1Á4;= k+114 (k=1, 2, 3, 4) 따라서 구하는 확률은
P(XÛ`-6X+8=0)=P((X-2)(X-4)=0)
=P(X=2)+P(X=4)
=;1£4;+;1°4;
=;1¥4;=;7$;
④
16
ㄱ. P(X=0)+P(X=1)+y+P(X=10)=k_0+k_1+y+k_10
=k(1+2+3+y+10)
=55k
확률의 총합이 1이므로 55k=1 즉, k=;5Á5; (참)
ㄴ. F(9)-G(1) =P(0ÉXÉ9)-P(X>1)
=P(0ÉXÉ1)-P(X=10)
=P(X=0)+P(X=1)-P(X=10)
올림포스 고난도•확률과 통계
76
V(X)=4, V(Y)=;9!; 에서 V(aX+b)=aÛ` V(X)이므로 ;9!;=4aÛ`
a>0이므로 a=;6!;
a=;6!;을 ㉠에 대입하면 ;3!;+b=3, b=;3*;
따라서 a+b=;6!;+;3*;=:Á6¦:
③
23
E(Y)=7, E(YÛ`)=54이므로 V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`=54-49=5 Y=;3!;X+2에서 X=3Y-6이므로E(X)=E(3Y-6)=3E(Y)-6=3_7-6=15 V(X)=V(3Y-6)=3Û` V(Y)=9_5=45 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`이므로
E(XÛ`)=V(X)+{E(X)}Û`=45+15Û`=270
③
24
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3이고, 그 확률은 각각 P(X=1)=¢CÁ_ªCª¤C£ =;5!;, P(X=2)=¢Cª_ªCÁ
¤C£ =;5#;, P(X=3)=¢C£
¤C£ =;5!;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 1 2 3 합계
P(X=x) ;5!; ;5#; ;5!; 1
확률변수 X에 대하여
E(X)=1_;5!;+2_;5#;+3_;5!;=2, E(XÛ`)=1Û`_;5!;+2Û`_;5#;+3Û`_;5!;=:ª5ª:
이므로 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=:ª5ª:-2Û`=;5@;
E(Y)=E(5X-3)=5E(X)-3=5_2-3=7 V(Y)=V(5X-3)=25V(X)=25_;5@;=10 따라서 E(YÛ`)=V(Y)+{E(Y)}Û`=10+7Û`=59
③
25
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b=3 yy ㉠ V(Y)=V(aX+b)=aÛ`V(X)=aÛ`=4a>0이므로 a=2
a=2를 ㉠에 대입하면 2+b=3, b=1 따라서 ab=2_1=2
④
즉, a+b=;5!; yy ㉠
E(X)=:ª5¥:이므로
a(1+3+5+7+9)+b(2+4+6+8+10)
=25a+30b=:ª5¥: yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2ª5;, b=;2£5;
따라서 ab=;2ª5;_;2£5;=;62^5;
③
20
공의 총 개수는 1+3+n=n+4이므로 확률변수 X의 확률분포 를 표로 나타내면 다음과 같다.X 1 2 3 합계
P(X=x) 1
n+4 3
n+4 n
n+4 1
E(X)=1_ 1n+4 +2_ 3
n+4 +3_ n n+4 = 3n+7n+4 =;2%;
즉, 6n+14=5n+20에서 n=6
X 1 2 3 합계
P(X=x) ;1Á0; ;1£0; ;1¤0; 1
E(XÛ`)=1Û`_;1Á0;+2Û`_;1£0;+3Û`_;1¤0;=;1^0&;
따라서 V(X)=;1^0&;-{;2%;}Û`=;2»0;
②
21
E(X)=1_;8!;+3_;8#;+5_;8#;+7_;8!;=:£8ª:=4 E(XÛ`)=1Û`_;8!;+3Û`_;8#;+5Û`_;8#;+7Û`_;8!;= 1528 =19 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=19-4Û`=3Y=aX+b이므로
E(Y) =E(aX+b)=aE(X)+b
=4a+b=20 yy ㉠
V(Y) =V(aX+b)=aÛ` V(X)
=3aÛ`=27 yy ㉡
㉡에서 a=3 (a>0)
a=3을 ㉠에 대입하면 12+b=20, b=8 따라서 a+b=3+8=11
②
22
E(X)=2, E(Y)=3에서 E(aX+b)=aE(X)+b이므로2a+b=3 yy ㉠
해 73-83 올림포스(고난도)_확통_05강-삼2.indd 76 2019-02-15 오후 1:42:04
정답과 풀이
77
따라서1-P(Y¾1)
1-P(XÉ59)= P(Y=0) P(X=60)
=»¼C¼ {;5$;}90
¤¼C¤¼ {;5@;}60
={;5$;}90 {;5@;}60= 2Ú`Û`â`
5Ü`â`
③
31
확률변수 X가 가질 수 있는 값은 4, 5, 6이고 P(X=4)=;6$;_;5#;_;4@;_;3!;=;1Á5;P(X=5)=;6@;_;5$;_;4#;_;3@;_;2!;+;6$;_;5@;_;4#;_;3@;_;2!;
+;6$;_;5#;_;4@;_;3@;_;2!;+;6$;_;5#;_;4@;_;3@;_;2!;
=4_;1Á5;=;1¢5;
즉, P(X=6)=1-{P(X=4)+P(X=5)}=;1!5);=;3@; 이므로 E(X)=4_;1Á5;+5_;1¢5;+6_;3@;=;1*5$;
따라서 E(15X+a)=15E(X)+a=15_;1*5$;+a=84+a=85이므로 a=1
①
32
162회 시행에서 k의 약수가 적힌 카드를 꺼내는 횟수를 확률변수 Y라 하고 k의 약수가 나올 확률을 p라 하면 확률변수 Y는 이항분포 B(162, p)를 따른다.즉, E(Y)=162p, V(Y)=162p(1-p) 받은 점수의 총점을 확률변수 X라 하면 X=2Y+(162-Y)=Y+162
E(X)=E(Y+162)=E(Y)+162=162p+162 V(X)=V(Y+162)=V(Y)=162p(1-p)
즉, 99V(X)=E(14X)에서 99V(X)=14E(X)이므로 99_162p(1-p)=14_(162p+162)
99p(1-p)=14p+14
99pÛ`-85p+14=0, (11p-7)(9p-2)=0 p=;1¦1; 또는 p=;9@;
한편 9장의 카드 중 임의로 한 장의 카드를 꺼낼 때, 카드에 적힌 숫자가 k의 약수일 확률은 10 이하인 자연수 k의 약수의 개수를 aû라 하면 aû
9 꼴이므로 ;1¦1; 이 될 수 없다.
즉, p=;9@;
따라서 10 이하인 자연수 k의 약수 중 9 이하인 것의 개수가 2인 것은
26
확률변수 X는 이항분포 B {120, ;3!;}을 따르므로 E(X)=120_;3!;=40V(X)=120_;3!;_;3@;=:¥3¼:
E(2X+2)+V(3X)=2E(X)+2+9V(X) =2_40+2+9_:¥3¼:=322
⑤
27
확률변수 X는 이항분포 B {n, kk+2 }를 따르므로E(X)=n_ kk+2 =480 yy ㉠
V(X)=n_ kk+2 _ 2
k+2 =96 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
480_ 2k+2 =96이므로 k=8 k=8을 ㉠에 대입하면 n_;1¥0;=480에서 n=600 따라서 n+k=600+8=608
②
28
동전을 40번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 Y라 하면 뒷면이 나오는 횟수는 40-Y이므로X=3Y-(40-Y)=4Y-40
이때 확률변수 Y는 이항분포 B {40, ;2!;}을 따르므로 E(Y)=40_;2!;=20
따라서 E(X)=E(4Y-40)=4E(Y)-40=4_20-40=40
②
29
충전기가 불량품이 아닐 확률은 1-;10%0;=;1»0°0;=;2!0(;케이블이 불량품이 아닐 확률은 1-;10@0;=;1»0¥0;=;5$0(;
충전기와 케이블이 모두 불량이 아닌 세트일 확률은
;2!0(;_;5$0(;=;1»0£0Á0;
따라서 확률변수 X는 이항분포 B {2000, ;1»0£0Á0;}을 따르므로 E(X)=2000_;1»0£0Á0;=1862
①
30
V(X)=60p(1-p), V(Y)=90(1-2p)_2p V(X)=V(Y-3)=V(Y)에서 60p(1-p)=180p(1-2p) 즉, 1-p=3(1-2p)이므로 p=;5@;올림포스 고난도•확률과 통계
78
a+b+c=(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=7
즉, a'+b'+c'=4를 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는
£H¢=¤C¢=¤Cª Ü a+b+c=8인 경우
a'+1=a, b'+1=b, c'+1=c (a', b', c'은 음이 아닌 5 이하의 정 수)라 놓으면
a+b+c=(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=8
즉, a'+b'+c'=5를 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는
£H°=¦C°=¦Cª Ý a+b+c=9인 경우
a'+1=a, b'+1=b, c'+1=c (a', b', c'은 음이 아닌 5 이하의 정 수)라 놓으면
a+b+c=(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=9
즉, a'+b'+c'=6을 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는
£H¤=¥C¤=¥Cª
이 중에서 6 이상의 정수를 포함한 순서쌍은 (6, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 6)의 3개이므로 a'+b'+c'=6을 만족시키는 음이 아닌 5 이 하의 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는
¥Cª-3
Þ a+b+c=10인 경우
a'+1=a, b'+1=b, c'+1=c (a', b', c'은 음이 아닌 5 이하의 정 수)라 놓으면
a+b+c=(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=10
즉, a'+b'+c'=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는
£H¦=»C¦=»Cª
그 중 6 이상의 정수를 포함한 순서쌍은 (6, 1, 0), (6, 0, 1), (1, 6, 0), (1, 0, 6), (0, 1, 6), (0, 6, 1), (7, 0, 0), (0, 7, 0), (0, 0, 7)의 9개이므로 a'+b'+c'=7을 만족시키는 음이 아닌 5 이하의 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는 »Cª-9
(가) Ú~Þ에 의하여 6Éa+b+cÉ10을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는
°Cª+¤Cª+¦Cª+(¥Cª-3)＋(»Cª-9)
=10+15+21+(28-3)+(36-9)
=98
이므로 사건 A가 일어날 확률은 ;2»1¥6;=;1¢0»8;
즉, 확률변수 X는 이항분포 B {108, ;1¢0»8;}를 따른다.
(나) 따라서
E(X)=108_;1¢0»8;=49 2, 3, 5, 7뿐이므로 그 합은 2+3+5+7=17
②
33
확률변수 Y가 가지는 값을 -2, -1, 0, 1, 2라 하면Y -2 -1 0 1 2 합계
P(Y=x) ;4!; ;6!; ;6!; ;6!; ;4!; 1
E(Y)=-2_;4!;+(-1)_;6!;+0_;6!;+1_;6!;+2_;4!;
=0
E(YÛ`)=(-2)Û`_;4!;+(-1)Û`_;6!;+0Û`_;6!;+1Û`_;6!;+2Û`_;4!;
=;3&;
즉, V(Y)=E(YÛ`)-{E(Y)}Û`=;3&;-0=;3&;
E(X+4)=E(aY+b+4)=aE(Y)+b+4=b+4 E(8Y+2)=8E(Y)+2=8_0+2=2
E(X+4)=E(8Y+2)이므로 b+4=2에서 b=-2
(가) V(X)=V(aY+b)=aÛ` V(Y)=aÛ`_;3&;=;3&; aÛ`,
V(2Y)=4V(Y)=4_;3&;=:ª3¥:이고 V(X)=V(2Y)이므로
;3&; aÛ`=:ª3¥:
a>0이므로 a=2
(나) 따라서 ab=2_(-2)=-4
(다)
-4
단계 채점 기준 비율
(가) b의 값을 구한 경우 50`%
(나) a의 값을 구한 경우 40`%
(다) ab의 값을 구한 경우 10`%
34
6Éa+b+cÉ10을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 Ú a+b+c=6인 경우a'+1=a, b'+1=b, c'+1=c (a', b', c'은 음이 아닌 5 이하의 정 수)라 놓으면
a+b+c=(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)=6
즉, a'+b'+c'=3을 만족시키는 음이 아닌 정수 a', b', c'의 모든 순서쌍 (a', b', c')의 개수는
£H£=°C£=°Cª Û a+b+c=7인 경우
a'+1=a, b'+1=b, c'+1=c (a', b', c'은 음이 아닌 5 이하의 정 수)라 놓으면
해 73-83 올림포스(고난도)_확통_05강-삼2.indd 78 2019-02-15 오후 1:42:05
정답과 풀이
79
내신 변별력 문항
35
④36
③37
④38
⑤39
③40
⑤41
①42
②43
2본문 66~68쪽 4%상위
35
확률변수 X가 가지는 값이 1, 2, 3, 4, 5이고 X의 값이 홀수인 사 건을 A, X의 값이 2 이하인 사건을 B라 하자. 확률변수 X의 확 률질량함수와 두 사건 A, B가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) P(X=1)=;6!;, P(X=2)=;3!;
(나) 두 사건 A와 B는 서로 독립이다.
P(A;B)=P(A)P(B) 이때 P(X=4)
P(X=3)+P(X=5)의 값은?
① ;4!; ② ;2!; ③ 1
④ 2 ⑤ 4
A={1, 3, 5}
B={1, 2}
두 사건이 서로 독립일 조건을 이용한다.
두 사건이 서로 독립일 조건을 이용하여 P(A)의 값을 구한다.
A;B={1}이므로
조건 (가)에서 P(X=1)=P(A;B)=;6!;이고 P(B)=P(XÉ2)=P(X=1)+P(X=2)
=;6!;+;3!;=;2!;
조건 (나)에서 P(A;B)=P(A)P(B)이므로
풀이전략
문제풀이
;6!;=P(A)_;2!;
P(A)=;3!;
P(X=3)+P(X=5)의 값을 구한다.
P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5) =;6!;+P(X=3)+P(X=5) =;3!;
P(X=3)+P(X=5)=;6!;
P(X=4)의 값을 구한 후 답을 구한다.
P(X=4)=1-P(X=2)-P(A) =1-;3!;-;3!;=;3!;
따라서 P(X=4)
P(X=3)+P(X=5) =
;3!;
;6!;=2
④
36
이산확률변수 X가 가지는 값이 0, 1, 2, 3이고 확률변수 X의 확 률질량함수가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) P(X=k)=pk+1 (k=0, 1, 2, 3) (나) 2pk+1=pk+pk+2 (k=1, 2) (다) pÁ+p£=;5#;
이때 V(X)의 값은?
① ;4!; ② ;2!; ③ 1
④ 2 ⑤ 4
P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1
확률질량함수의 성질을 이용한다.
조건 (다)를 이용하여 pª의 값을 구한다.
조건 (가)에 의하여 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 3 합계
P(X=x) pÁ pª p£ p¢ 1
조건 (다)에 의하여 2pª=pÁ+p£=;5#; 이므로 pª=;1£0;
확률질량함수의 성질을 이용하여 확률분포표를 완성한다.
확률의 총합이 1이므로 pª+p¢=1-;5#;=;5@;
즉, 2p£=pª+p¢=;5@;에서 p£=;5!;
=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)-P(X=5)
풀이전략
문제풀이
pª+p¢=1-pÁ-p£
이므로
E {;7!;X}=;7!;E(X)=;7!;_49=7
(다)
7
단계 채점 기준 비율
(가) 6Éa+b+cÉ10을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의
개수를 구한 경우 40`%
(나) 확률변수 X의 확률분포를 구한 경우 30`%
(다) E {;7!;X}의 값을 구한 경우 30`%
올림포스 고난도•확률과 통계
80
P(X=5)+P(X=4)=;1Á2;+;1°2;=;2!;
aÉ4이면 P(X¾a)¾;3!;
모든 자연수 a의 값의 합을 구한다.
따라서 조건을 만족시키는 모든 자연수 a의 값은 1, 2, 3, 4이므로 구 하는 합은 1+2+3+4=10
④
38
확률변수 X가 가지는 값은 10 이하의 자연수이고 확률변수 X의 확률질량함수가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) P(X=x+1)=2P(X=x) (x=1, 2, 3, 4) (나) P(X=x)=P(X=11-x) (x=1, 2, 3, 4, 5)
이때 확률 P(3ÉXÉ6)의 값은?
① ;3@1); ② ;6$2!; ③ ;3@1!;
④ ;6$2#; ⑤ ;3@1@;
확률의 총합이 1임을 이용한다.
P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)
확률질량함수의 성질을 이용한다.
확률질량함수의 성질을 이용하여 a의 값을 구한다.
P(X=1)=a라 하면 조건 (가)에 의하여
P(X=2)=2a, P(X=3)=4a, P(X=4)=8a, P(X=5)=16a 이고 조건 (나)에 의하여
P(X=1)=P(X=10)=a P(X=2)=P(X=9)=2a P(X=3)=P(X=8)=4a P(X=4)=P(X=7)=8a P(X=5)=P(X=6)=16a 확률의 총합이 1이므로
2(a+2a+4a+8a+16a)=62a=1 즉, a=;6Á2;
확률 P(3ÉXÉ6)의 값을 구한다.
따라서
P(3ÉXÉ6)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) =4a+8a+16a+16a=44a
=44_;6Á2;
=;3@1@;
⑤
풀이전략
문제풀이
pÁ+;5!;=;5#;이므로 pÁ=;5@;
;1£0;+p¢=;5@;에서 p¢=;1Á0;
식을 정리하여 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 3 합계
P(X=x) ;5@; ;1£0; ;5!; ;1Á0; 1
E(X), E(XÛ`)의 값을 구한 후 V(X)의 값을 구한다.
E(X)=0_;5@;+1_;1£0;+2_;5!;+3_;1Á0;=1 E(XÛ`)=0Û`_;5@;+1Û`_;1£0;+2Û`_;5!;+3Û`_;1Á0;=2 따라서 V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`=2-1Û`=1
③
37
흰 공 3개와 검은 공 7개가 들어 있는 주머니에서 임의로 5개의 공 을 동시에 꺼낼 때, 나오는 검은 공의 개수를 확률변수 X라 하자.
3P(X¾a)¾1을 만족시키는 모든 자연수 a의 값의 합은?
① 7 ② 8 ③ 9
④ 10 ⑤ 11
확률질량함수의 값을 모두 구한 후 조건을 만족시키는 모든 자연수 a의 값을 구 한다.
확률질량함수의 값을 모두 구한다.
확률변수 X가 갖는 값은 2, 3, 4, 5이고, 그 확률은 각각 P(X=2)=¦Cª_£C£
Á¼C° =;1Á2;
P(X=3)=¦C£_£Cª Á¼C° =;1°2;
P(X=4)=¦C¢_£CÁ Á¼C° =;1°2;
P(X=5)= ¦C°
Á¼C° =;1Á2;
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 2 3 4 5 합계
P(X=x) ;1Á2; ;1°2; ;1°2; ;1Á2; 1
조건을 만족시키는 a의 값의 범위를 구한다.
3P(X¾a)¾1에서 P(X¾a)¾;3!;
위의 표에서
P(X=5)=;1Á2;<;3!;
풀이전략
문제풀이
해 73-83 올림포스(고난도)_확통_05강-삼2.indd 80 2019-02-15 오후 1:42:08
정답과 풀이
81
40
두 확률변수 X, Y가 각각 이항분포 B(n, p), B(200-n, q)를 따를 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, p+0이고, p+q=1이다.) 보기
ㄱ. E(X)=E(Y), V(X)=V(Y)이면 n=100, p=;2!;
ㄴ. n=50, E(X)>E(Y)이면 p>;4#;
ㄷ. V(X)>2V(Y)를 만족시키는 n의 최솟값은 134이다.