03
내신 우수 문항
기출01
①02
①03
②04
②05
②06
③07
②08
③09
⑤10
④11
④12
①13
②14
③15
④16
④17
①18
⑤19
④20
⑤21
①22
1223
17본문 32~35쪽
01
1부터 10까지의 자연수가 하나씩 적힌 10장의 카드 중에서 한 장 의 카드를 뽑는 시행에서 표본공간을 S라 하면S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
사건 A는 뽑힌 카드에 적힌 수가 짝수인 사건이므로 A={2, 4, 6, 8, 10}
AC={1, 3, 5, 7, 9}
사건 B는 뽑힌 카드에 적힌 수가 12의 약수인 사건이므로 B={1, 2, 3, 4, 6}
따라서
AC;B={1, 3, 5, 7, 9};{1, 2, 3, 4, 6}={1, 3}
이므로 사건 AC;B의 모든 원소의 곱은 1_3=3
①
02
두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 P(A;B)=0이고 P(A'B)=P(A)+P(B)그러므로
P(A)+P(B)=;4#; yy ㉠
P(A)+2P(B)=1 yy ㉡
㉡-㉠에서 P(B)=;4!;
이 값을 ㉠에 대입하면
P(A)=;4#;-P(B)=;4#;-;4!;=;2!;
따라서
P(A)P(B)=;2!;_;4!;=;8!;
①
다른풀이 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 P(A;B)=0이고 P(A'B)=P(A)+P(B)={P(A)+2P(B)}-P(B) 에서
;4#;=1-P(B) P(B)=1-;4#;=;4!;
이 값을 P(A)+2P(B)=1에 대입하면 P(A)=1-2P(B)=1-2_;4!;=;2!;
따라서
P(A)P(B)=;2!;_;4!;=;8!;
03
한 개의 주사위를 던지는 시행에서 표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}6의 약수의 눈의 수가 나오는 사건인 A는 A={1, 2, 3, 6}
이므로 AC={4, 5}
한편 n 이하인 눈의 수가 나오는 사건인 BÇ은 BÇ={1, 2, 3, y, n} (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)
이때 두 사건 AC, BÇ이 서로 배반사건이려면 AC;BÇ=∅이어야 하므 로 가능한 6 이하의 자연수 n의 값은 1, 2, 3이다.
따라서 모든 n의 값의 곱은 1_2_3=6
②
04
두 개의 주사위 A, B를 동시에 던지는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여6_6=36
a+b+ab의 값이 짝수인 사건을 E라 하자.
a+b+ab의 값은 a, b의 값에 따라 다음과 같이 짝수인지 홀수인지 판단 할 수 있다.
a b ab a+b+ab
홀수 홀수 홀수 홀수
홀수 짝수 짝수 홀수
짝수 홀수 짝수 홀수
짝수 짝수 짝수 짝수
그러므로 a, b의 값이 모두 짝수일 때만 a+b+ab의 값도 짝수이다.
한 개의 주사위를 던질 때 나올 수 있는 짝수인 눈의 수는 2, 4, 6으로 3 가지이므로 사건 E가 일어나는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_3=9
따라서 구하는 확률은 P(E)=;3Å»6;=;4!;
②
05
집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 X로의 일대일대응인 함수 중 하나 를 택하는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는5!=120
이때 택한 한 함수 f(x)가 주어진 조건을 만족시키는 사건을 A라 하자.
해 34-57 올림포스(고난도)_확통_03강-삼2.indd 34 2019-02-15 오후 1:39:36
정답과 풀이
35
함수 f(x)는 일대일대응이고 두 조건 (가), (나)에서 f(1), f(2), f(3),f(4), f(5)의 값 중 f(3)이 가장 큰 수이므로 f(3)=5
f(1)< f(2)와 f(5)< f(4)를 만족시키는 f(1), f(2), f(4), f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 집합 X의 네 원소 1, 2, 3, 4 중에서 서로 다 른 두 원소를 뽑아 두 원소 중 작은 수를 f(1), 큰 수를 f(2)로 정하고, 남은 두 원소 중 작은 수를 f(5), 큰 수를 f(4)로 정하면 되므로
¢Cª=4_3 2_1 =6 따라서 구하는 확률은 P(A)=;12^0;=;2Á0;
②
06
A, B, C 세 명이 각각 주사위를 1개씩 동시에 던지는 시행에서 일 어날 수 있는 모든 경우의 수는6_6_6=216
세 주사위의 눈의 수 중 같은 눈의 수가 나온 주사위의 개수가 2인 사건 을 E라 하자.
A, B, C 세 명 중 같은 눈의 수가 나오는 2명을 택하는 경우의 수는
£Cª=£CÁ=3
이 각각에 대하여 같은 눈의 수와 나머지 하나의 다른 눈의 수를 정하는 경우의 수는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 여섯 개의 숫자에 서로 다른 두 개의 숫 자를 택하는 순열의 수와 같으므로
¤Pª=6_5=30
그러므로 사건 E가 일어나는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_30=90
따라서 구하는 확률은 P(E)=;2»1¼6;=;1°2;
③
07
6명의 학생이 일렬로 놓인 6개의 의자에 앉는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는6!
첫 번째 자리와 여섯 번째 자리를 제외한 의자에 P, Q가 앉는 사건을 A 라 하자.
P, Q가 첫 번째 의자와 여섯 번째 의자를 제외한 네 의자 중 두 의자에 앉는 경우의 수는
¢Pª=4_3=12
이 각각에 대하여 P, Q가 앉고 남은 네 의자에 P, Q를 제외한 4명의 학 생이 앉는 경우의 수는 4!
그러므로 사건 A가 일어나는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 12_4!
따라서 구하는 확률은
P(A)= 12_4!6! = 25
②
08
다섯 장의 카드에서 차례로 두 장의 카드를 꺼내는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는
°Pª=5_4=20
꺼낸 두 장의 카드에 적힌 수의 곱이 실수인 사건을 A라 하자.
꺼낸 두 장의 카드에 적힌 수의 곱을 표로 나타내면 다음과 같고, 실수인 경우는 12가지이다.
_ 0 1 -1 i -i
0 0 0 0 0
1 0 -1 i -i
-1 0 -1 -i i
i 0 i -i 1
-i 0 -i i 1
따라서 구하는 확률은 P(A)=;2!0@;=;5#;
③
09
한 개의 주사위를 세 번 던지는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경 우의 수는¤P£=6Ü`=216
나온 세 눈의 수 중 최솟값이 4인 사건을 A라 하면 사건 A가 일어나는 경우의 수는 나온 세 눈의 수가 각각 4 또는 5 또는 6 중 하나의 값을 갖 는 경우의 수에서 나온 세 눈의 수가 각각 5 또는 6 중 하나의 값을 갖는 경우의 수를 뺀 것과 같으므로
£P£-ªP£=3Ü`-2Ü`=27-8=19 따라서 사건 A가 일어날 확률은 P(A)= 19216
⑤
다른풀이 사건 A가 일어나는 경우의 수를 다음과 같이 구할 수도 있다.
Ú 세 눈의 수 중 4가 한 번 나오는 경우
4는 첫 번째, 두 번째, 세 번째 중 한 번 나오므로 그 경우의 수는
£CÁ=3
이 각각에 대하여 나머지 두 번의 눈의 수는 각각 5 또는 6 중 하나이 므로 그 경우의 수는 2Û`=4
그러므로 이 경우의 수는 3_4=12 Û 세 눈의 수 중 4가 두 번 나오는 경우
4는 첫 번째, 두 번째, 세 번째 중 두 번 나오므로 그 경우의 수는
£Cª=£CÁ=3
이 각각에 대하여 나머지 한 번의 눈의 수는 5 또는 6 중 하나이므로
올림포스 고난도•확률과 통계
정답과 풀이
37
세 눈의 수가 1, 1, 6인 경우의 수는 3!2! =3세 눈의 수가 1, 2, 3인 경우의 수는 3!=6
그러므로 세 눈의 수의 곱이 6인 경우의 수는 3+6=9이고 사건 B 가 일어날 확률은
P(B)=;21(6;
이때 세 눈의 수의 합과 곱이 모두 6인 사건, 즉 A;B는 세 눈의 수가 1, 2, 3인 경우이므로 사건 A;B가 일어날 확률은 P(A;B)=;21^6;
따라서 구하는 확률은
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=;2Á1¼6;+;21(6;-;21^6;=;2Á1£6;
②
14
집합X ={x|x는 100 이하의 짝수인 자연수}
={2, 4, 6, y, 100}
에서 n(X)=50이므로 집합 X의 한 원소를 택하는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 °¼CÁ=50
택한 원소 a에 대하여 x에 대한 이차방정식 (3x-a)(5x-2a)=0이 정수인 해를 갖는 사건을 A라 하자.
(3x-a)(5x-2a)=0에서 x=;3A; 또는 x=:ª5:
이므로 정수인 해를 가지려면 a가 3의 배수 또는 5의 배수이어야 한다.
집합 X의 원소 중 한 원소를 택할 때, 택한 원소가 3의 배수인 사건을 B라 하고, 택한 원소가 5의 배수인 사건을 C라 하면 사건 B;C는 택 한 원소가 15의 배수인 사건이다.
100 이하의 짝수 중 3의 배수, 즉 100 이하의 자연수 중 6의 배수의 개 수는 16이므로 사건 B가 일어날 확률은
P(B)=;5!0^;
또 100 이하의 짝수 중 5의 배수, 즉 100 이하의 자연수 중 10의 배수의 개수는 10이므로 사건 C가 일어날 확률은
P(C)=;5!0);
이때 100 이하의 짝수 중 15의 배수, 즉 100 이하의 자연수 중 30의 배수 의 개수는 3이므로 사건 B;C가 일어날 확률은
P(B;C)=;5£0;
따라서 구하는 확률은 P(A)
=P(B'C)
=P(B)+P(C)-P(B;C)
=;5!0^;+;5!0);-;5£0;=;5@0#;
③
15
1부터 15까지의 자연수 중 서로 다른 세 수를 동시에 택하는 시행 에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는Á°C£= 15_14_133_2_1 =455
택한 세 수의 합이 짝수인 사건을 A라 하자.
택한 세 수가 각각 홀수인지 짝수인지에 따라 합은 다음 표와 같다.
세 수 합
홀수 홀수 홀수 홀수
홀수 홀수 짝수 짝수
홀수 짝수 짝수 홀수
짝수 짝수 짝수 짝수
이때 세 수가 홀수, 홀수, 짝수인 사건을 B, 세 수가 짝수, 짝수, 짝수인 사건을 C라 하면
P(A)=P(B'C)
1부터 15까지의 자연수 중 홀수의 개수는 8, 짝수의 개수는 7이고, 사건 B가 일어날 확률은 홀수 중 2개, 짝수 중 1개를 택할 확률이므로
P(B)= ¥Cª_¦CÁ 455 =
8_72_1 _7 455 =28
65
사건 C가 일어날 확률은 짝수 중 3개를 택할 확률이므로
P(C)= ¦C£
455 =
7_6_5 3_2_1
455 = 5 65
이때 두 사건 B, C는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 P(A)=P(B'C)
=P(B)+P(C)
=;6@5*;+;6°5;=;6#5#;
④
16
흰 공 4개와 검은 공 6개, 즉 10개의 공이 들어 있는 상자에서 3개 의 공을 동시에 꺼내는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는 Á¼C£= 10_9_83_2_1 =120흰 공이 적어도 1개 이상 포함되는 사건을 A라 하면 사건 A의 여사건 AC은 검은 공만 3개 꺼내는 사건이다.
검은 공 6개 중에서 3개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는
¤C£= 6_5_43_2_1 =20 이므로
P(AC)=;1ª2¼0;=;6!;
따라서 구하는 확률은 P(A)=1-P(AC)
=1-;6!;=;6%;
④
올림포스 고난도•확률과 통계
38
17
20장의 카드가 들어 있는 주머니에서 두 장의 카드를 동시에 꺼내 는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는ª¼Cª= 20_192_1 =190
주머니에서 동시에 꺼낸 두 장의 카드에 적혀 있는 두 수의 곱이 짝수인 사건을 A라 하면 사건 A의 여사건 AC은 두 수의 곱이 홀수인 사건이 다.
이때 두 수의 곱이 홀수가 되려면 두 수 모두 홀수이어야 하고 홀수가 적혀 있는 카드는 1, 3, 5, y, 19의 10장이 있으므로 이 경우의 수는 Á¼Cª= 10_92_1 =45
이고
P(AC)=;1¢9°0;=;3»8;
따라서 구하는 확률은
P(A)=1-P(AC)=1-;3»8;=;3@8(;
①
18
n(X)=10이므로 10개의 원소 중 서로 다른 네 원소를 택하는 시행에 서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는
Á¼C¢= 10_9_8_74_3_2_1 =210
소수인 원소가 적어도 1개 이상 포함되는 사건을 A라 하면 사건 A의 여사건 AC은 네 원소 모두 소수가 아닌 사건이다.
사건 AC이 일어나는 경우의 수는 집합 X의 원소 중 소수인 2, 3, 5, 7 을 제외한 여섯 개의 원소 중에서 네 원소를 택하는 경우의 수이므로
¤C¢=¤Cª= 6_52_1 =15 이고
P(AC)=;2Á1°0;=;1Á4;
따라서 구하는 확률은
P(A)=1-P(AC)=1-;1Á4;=;1!4#;
⑤
19
10개의 제비 중에서 2개의 제비를 동시에 뽑는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는Á¼Cª
2개의 제비 중 적어도 한 개가 당첨제비인 사건을 A라 하면 사건 A의 여사건 AC은 두 개 모두 당첨제비가 아닌 사건이다.
사건 AC이 일어나는 경우의 수는 (10-n)개의 당첨제비가 아닌 제비 중에서 2개의 제비를 뽑는 경우의 수이므로
Á¼ÐÇCª 이고
P(AC)=10-nCª
Á¼Cª = 2_1 10_92_1
=(10-n)(9-n) 90
이때 P(A)=;9&;이므로
P(AC)=1-P(A)=1-;9&;=;9@;
따라서
(10-n)(9-n) 90 =;9@;
nÛ`-19n+70=0 (n-5)(n-14)=0
이고 n은 10 이하의 자연수이므로 n=5이다.
④
20
다섯 개의 문자 a, b, c, d, e를 일렬로 나열한 것 중에서 하나를 택하는 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는5!=120
문자를 나열한 것 중 택한 하나가 a가 b보다 왼쪽에 오거나 c가 d보다 오른쪽에 오는 사건을 A라 하면 사건 A의 여사건 AC은 a가 b보다 오 른쪽에 오고 c가 d보다 왼쪽에 오는 사건이다.
즉, 사건 AC은 a, b의 순서와 c, d의 순서가 각각 정해져 있으므로 a, b 를 모두 a로 생각하고, c, d를 모두 c로 생각하여 다섯 개의 문자 a, a, c, c, e를 일렬로 나열한 후, 첫 번째 a를 b로 바꾸고 두 번째 c를 d로 바꾸면 된다.
즉, 사건 AC이 일어나는 경우의 수는 2!2! =305!
이므로
P(AC)=;1£2¼0;=;4!;
따라서 구하는 확률은
P(A)=1-P(AC)=1-;4!;=;4#;
⑤
21
두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 P(A'B)=;1!2!;에서P(A)+P(B)=;1!2!; yy ㉠
P(BC)=1-P(B)이므로 P(A)+P(BC)=;1!2(;에서 P(A)+{1-P(B)}=;1!2(;
P(A)-P(B)=;1¦2; yy ㉡
㉠+㉡을 하면
해 34-57 올림포스(고난도)_확통_03강-삼2.indd 38 2019-02-15 오후 1:39:39
정답과 풀이
39
2P(A)=;2#;, P(A)=;4#;이 값을 ㉠에 대입하면
P(B)=;1!2!;-P(A)=;1!2!;-;4#;=;6!;
따라서 P(A)P(B)=;4#;_;6!;=;8!;
①
22
a, b는 주사위를 던져서 나오는 눈의 수이므로 1ÉaÉ6, 1ÉbÉ6 등식 (a+b)Û`-10(a+b)+24=0에서
(a+b-4)(a+b-6)=0 a+b=4 또는 a+b=6
(가) a+b=4를 만족시키는 a, b의 모든 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)
a+b=6을 만족시키는 a, b의 모든 순서쌍 (a, b)는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
그러므로 등식 (a+b)Û`-10(a+b)+24=0이 성립하도록 하는 사건 A는
A={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
(나) 이때 사건 A의 원소 (a, b)에 대하여 |a-b|+1의 값은 다음과 같다.
(a, b)가 (2, 2), (3, 3)일 때 |a-b|+1=1
(a, b)가 (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2)일 때 |a-b|+1=3 (a, b)가 (1, 5), (5, 1)일 때 |a-b|+1=5
(다) 이때 사건 A와 등식 |a-b|+1=n이 성립하도록 하는 사건 BÇ이 서 로 배반사건이 되려면 A;BÇ=∅이어야 하므로 가능한 6 이하의 자연수 n의 값은 2, 4, 6이다.
따라서 구하는 모든 자연수 n의 값의 합은 2+4+6=12
(라)
12
단계 채점 기준 비율
(가) 방정식 (a+b)Û`-10(a+b)+24=0을 통해
a+b=4 또는 a+b=6임을 구한 경우 10`%
(나) 사건 A를 구한 경우 30`%
(나) 사건 A를 구한 경우 30`%