04
내신 우수 문항
기출01
②02
④03
③04
②05
①06
④07
②08
②09
③10
③11
⑤12
①13
③14
⑤15
①16
③17
④18
③19
③20
⑤21
⑤22
;3!0#;23
0ÉpÉ;2!;본문 46~49쪽
01
P(A|B)=;4!;이고, P(A|B)= P(A;B)P(B) 이므로 P(B)= P(A;B)P(A|B) =4P(A;B) yy ㉠
P(B|A)=;5!;이고, P(B|A)= P(A;B) P(A) 이므로 P(A)= P(A;B)
P(B|A) =5P(A;B) yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
=5P(A;B)+4P(A;B)-P(A;B)
=8P(A;B) 이때 P(A'B)=;1»0;이므로 8P(A;B)= 910
따라서 P(A;B)= 980
②
02
두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로 A;B=∅, B,A``즉, B;A``=B
3P(A)=P(A``)에서 3{1-P(A``)}=P(A``) 4P(A``)=3, P(A``)=;4#;
따라서 P(B|A``)=P(B;A``)
P(A``) = P(B) P(A``)=;3!;
;4#;=;9$;
④
03
이 여행 동호회 회원 200명 중 임의로 택한 한 명이 여자인 사건을 A, 산을 선호하는 회원인 사건을 B라 하면200명 중 여자의 수는 50+36=86이므로 P(A)=;2¥0¤0;
여자이고 산을 선호하는 회원의 수는 36이므로 P(A;B)= 36200
따라서 구하는 확률
P(B|A)= P(A;B) P(A) =
;2£0¤0;
;2¥0¤0;=;8#6^;=;4!3*;
③
04
`이 학급의 전체 학생 수를 a, 임의로 뽑은 한 명이 영화 A를 선호 하는 사건을 A, 여학생인 사건을 F라 하면뽑은 한 명이 영화 A를 선호하고 여학생일 확률은 P(A;F)= xa 뽑은 한 명이 여학생일 확률은 P(F)= x+8a
즉, 뽑은 한 명이 여학생이었을 때, 이 학생이 영화 A를 선호할 확률은
P(A|F)= P(A;F) P(F) =
xa x+8a
= xx+8
x+8 =;3!; 에서 3x=x+8, 2x=8x 따라서 x=4
②
05
꺼낸 공에 적혀 있는 수가 2의 배수인 사건을 A, 24의 약수인 사 건을 B라 하면 24의 약수가 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이므로P(A)=;5@0%;, P(A;B)= 650 따라서 구하는 확률은
P(B|A)= P(A;B) P(A) =
;5¤0;
;5@0%;=;2¤5;
①
06
한 개의 주사위를 3번 던져서 나온 눈의 수의 최댓값이 4인 사건을 A, 최솟값이 2인 사건을 B라 하면한 개의 주사위를 3번 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6Ü`=216
최댓값이 4인 경우의 수는 4Ü`-3Ü`=37 즉, P(A)=;2£1¦6;
최댓값이 4이고 최솟값이 2인 경우는 (2, 2, 4)의 3가지
(2, 3, 4)의 3!=3_2_1=6(가지) (2, 4, 4)의 3가지
이므로 그 경우의 수는 3+6+3=12 즉, P(A;B)= 12216
따라서 P(B|A)= P(A;B) P(A) =
;2Á1ª6;
;2£1¦6;=;3!7@;
④
해 58-72 올림포스(고난도)_확통_04강-삼2.indd 58 2019-02-15 오후 1:41:23
정답과 풀이
59
07
동전이 앞면이 나오는 사건을 A, 주사위의 눈의 수가 6의 약수가 나온 사건을 B라 하자.P(A)=;2!;
동전이 앞면이 나오고 주사위의 눈의 수가 6의 약수가 나오는 경우는 (앞, 1), (앞, 2), (앞, 3), (앞, 6)의 4가지이므로 그 확률
P(A;B)= 42_6 =1 3
동전이 앞면이 나왔을 때 주사위의 눈의 수가 6의 약수가 나올 확률은
p=P(B|A)=P(A;B) P(A) =
;3!;
;2!;=;3@;
동전이 뒷면이 나오고 주사위의 눈의 수가 4의 약수가 나오는 경우는 (뒤, 1), (뒤, 2), (뒤, 4)의 3가지이므로 그 확률은
q=P(A``;B)= 32_6 =1 4 따라서 p+q=;3@;+;4!;=;1!2!;
②
08
뽑은 손님이 어른인 사건을 A, 남자인 사건을 B라 하면 P(A)=;1¥0¼0;, P(B)=;1¢0¼0;P(A|B)=1-P(A``|B)=1-;1ª0¼0;=;1¥0¼0;
따라서 구하는 확률은
P(A;B) =P(B)P(A|B)
=;1¢0¼0;_;1¥0¼0;=;1£0ª0;=;2¥5;
②
다른풀이 전체 손님의 수를 100명이라 하면 어른의 수는 100_;1¥0¼0;=80
남자의 수는 100_;1¢0¼0;=40 남자 어른의 수는 40_;1¥0¼0;=32 따라서 구하는 확률은 ;1£0ª0;=;2¥5;
09
Ú 모두 흰 구슬이 나오는 경우첫 번째 흰 구슬이 나올 사건을 A, 두 번째 흰 구슬이 나올 사건을 B 라 하면
P(A)=;1¤0;, P(B|A)= 6-110-1 =;9%;
따라서 확률의 곱셈정리에 의하여 P(A;B)=P(A)P(B|A)= 610 _5
9 =1 3 Û 모두 노란 구슬이 나오는 경우
첫 번째 노란 구슬이 나올 사건을 C, 두 번째 노란 구슬이 나올 사건 을 D라 하면
P(C)=;1ª0;, P(D|C)= 2-110-1 =;9!;
따라서 확률의 곱셈정리에 의하여 P(C;D)=P(C)P(D|C)= 210 _1
9 = 1 45 Ü 모두 파란 구슬이 나오는 경우
Û와 마찬가지로 모두 파란 구슬이 나올 확률은 ;4Á5;
Ú, Û, Ü에 의하여 서로 다른 색의 구슬이 나올 확률은 1-{;3!;+;4Á5;+;4Á5;}= 45-1745 =;4@5*;
③
10
이 지역 시민 중 임의로 한 명을 뽑을 때, 택한 사람이 성인인 사건 을 A, 스마트폰을 소지한 사람인 사건을 B라 하면P(A)=0.7=;1¦0;
P(B)=0.6=;5#;, P(A|B)=0.8=;5$;
따라서
P(A;B)=P(B)P(A|B)= 35 _4 5 =12
25 , P(A'B) =P(A)+P(B)-P(A;B)
=;1¦0;+;5#;-;2!5@;= 35+30-2450 =;5$0!;
이므로 구하는 확률은
P(A``;B``)=P((A'B)``)=1-P(A'B)=1- 4150 = 9 50
③
11
이번 주 월요일에 비가 오는 사건을 A, 이번 주 월요일에 이 항공 사의 항공기 좌석이 만석인 사건을 B라 하자.Ú 이번 주 월요일에 비가 오고 이 항공사의 항공기 좌석이 만석인 경우 이번 주 월요일에 비가 올 확률은 P(A)=0.4
이번 주 월요일에 비가 올 때, 항공사의 항공기 좌석이 만석일 확률은 P(B|A)=0.7
즉, 이번 주 월요일에 비가 오고 이 항공사의 항공기 좌석이 만석일 확률
P(A;B)=P(A)P(B|A)=0.4_0.7=0.28
Û 이번 주 월요일에 비가 오지 않고 이 항공사의 항공기 좌석이 만석인 경우
이번 주 월요일에 비가 오지 않은 확률은 P(A``)=1-P(A)=1-0.4=0.6
이번 주 월요일에 비가 오지 않을 때, 항공사의 항공기 좌석이 만석 일 확률은 P(B|A``)=0.9
즉, 이번 주 월요일에 비가 오지 않고 이 항공사의 항공기 좌석이 만 석일 확률은
P(A``;B)=P(A``)P(B|A``)=0.6_0.9=0.54
Ú, Û는 서로 배반사건이므로 확률의 덧셈정리에 의하여 이번 주 월요 일에 이 항공사의 항공기 좌석이 만석일 확률 P(B)는
올림포스 고난도•확률과 통계
60
P(B)=P(A;B)+P(A``;B)=0.28+0.54=0.82
⑤
12
6의 약수가 적힌 카드를 뽑는 사건을 A, 이 기계가 6의 약수라고 판별하는 사건을 B라 하자.Ú 6의 약수가 적힌 카드를 뽑아 6의 약수라고 판별하는 경우 A={1, 2, 3, 6}이므로
6의 약수가 적힌 카드를 뽑을 확률은 P(A)=;1¢2;=;3!;
6의 약수가 적힌 카드를 뽑았을 때, 이 기계가 6의 약수라고 판별할 확률은 P(B|A)=0.9
즉, 6의 약수가 적힌 카드를 뽑아 6의 약수라고 판별할 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A)= 13 _0.9=1
3 _ 9 10 = 3
10 Û 6의 약수가 아닌 수가 적힌 카드를 뽑아 6의 약수라고 판별하는 경우
6의 약수가 아닌 수가 적힌 카드를 뽑을 확률은 P(A``)=1-P(A)=1-;3!;=;3@;
6의 약수가 아닌 수가 적힌 카드를 뽑았을 때, 이 기계가 6의 약수라 고 판별할 확률은 P(B|A``)=0.1
즉, 6의 약수가 아닌 수가 적힌 카드를 뽑아 6의 약수라고 판별할 확률은 P(A``;B)=P(A``)P(B|A``)= 23 _0.1=2
3 _ 1 10 = 1
15 Ú, Û는 서로 배반사건이므로 확률의 덧셈정리에 의하여 이 기계가 임 의로 뽑은 카드에 적힌 수가 6의 약수라고 판별할 확률 P(B)는 P(B)=P(A;B)+P(A``;B)= 310 + 1
15 =9+2 30 =11
30
①
13
두 대의 기계 A, B에서 생산한 USB를 구입하는 사건을 각각 A, B라 하고 불량품을 구입하는 사건을 E라 하면P(A;E)=P(A)P(E|A)=0.2_0.05=0.01 P(B;E)=P(B)P(E|B)=0.8_0.02=0.016 P(E) =P(A;E)+P(B;E)
=0.01+0.016=0.026 따라서 구하는 확률은 P(A|E)=P(A;E)
P(E) = 0.01 0.026 =;1°3;
③
14
갑과 을이 ‘마피아’라고 적힌 카드를 꺼내는 사건을 각각 A, B라 하면P(A;B)=P(A)P(B|A)= 38 _2 7 = 3
28 P(A``;B)=P(A``)P(B|A``)= 58 _3
7 =15 56 P(B)=P(A;B)+P(A``;B)
=;2£8;+;5!6%;=;5@6!;=;8#;
따라서 구하는 확률은
P(A|B)= P(A;B) P(B) =
;2£8;
;8#; =;7@;
⑤
15
두 사건 A와 B가 서로 독립이므로 두 사건 A와 B``도 서로 독립 이다.따라서
P(A;B``)=P(A)P(B``)
=P(A){1-P(B)}
=;4!;_{1-;5!;}
=;4!;_;5$;
=;5!;
①
16
P(A``)=1-P(A)=;3!;이므로 P(A)=;3@;두 사건 A와 B가 서로 독립이므로 두 사건 A``과 B도 서로 독립이다.
따라서 P(B|A``)=P(B)=;4#;이므로 P(A;B)=P(A)P(B)= 23 _3
4 =1 2
③
17
갑과 을이 이 강의에 출석하는 사건을 각각 A, B라 하면 P(A)=1-P(A``)=1-0.2=0.8P(B)=1-P(B``)=1-0.1=0.9
이때 두 사건 A와 B는 서로 독립이므로 갑과 을이 모두 이 강의에 출석 할 확률은
P(A;B) =P(A)P(B)
=0.8_0.9=0.72
④
18
A팀이 B팀을 매 경기에서 이길 확률은 ;3!;이므로 B팀이 A팀을 매 경기에서 이길 확률은 1-;3!;=;3@;이다.B팀이 우승팀이 되려면 나머지 네 게임 중 세 게임을 이겨야 한다.
Ú B, B, B의 순서로 이길 확률
;3@;_;3@;_;3@;=;2¥7;
Û A, B, B, B의 순서로 이길 확률
;3!;_;3@;_;3@;_;3@;=;8¥1;
Ü B, A, B, B의 순서로 이길 확률
;3@;_;3!;_;3@;_;3@;=;8¥1;
Ý B, B, A, B의 순서로 이길 확률
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정답과 풀이
61
;3@;_;3@;_;3!;_;3@;=;8¥1;
Ú ~ Ý는 서로 배반사건이므로 B팀이 우승팀이 될 확률은 확률의 덧셈 정리에 의하여
;2¥7;+;8¥1;+;8¥1;+;8¥1;=;2!7^;
③
19
흰 공이 0번 나올 확률은 °C¼{;3@;}Þ`= 2Þ`3Þ`=;2£4ª3;흰 공이 5번 나올 확률은 °C°{;3!;}Þ`=1 3Þ`=;24!3;
따라서 흰 공이 1번 이상 4번 이하로 나올 확률은 1-{;2£4ª3;+;24!3;}= 243-32-1243 =;2@4!3);=;8&1);
③
20
0ÉaÉ4이고 0ÉbÉ3이므로 ab=8인 경우는 a=4, b=2인 경우뿐이고 ab=9인 경우는 a=3, b=3인 경우뿐이다.9의 약수인 눈은 1, 3이므로 9의 약수인 눈이 나올 확률은 ;6@;=;3!;
Ú a=4, b=2인 확률
¢C¢_{;3!;}Ý`_£Cª_{;3!;}Û`_;3@;= 6 3à`
Û a=3, b=3인 확률
¢C£_{;3!;}Ü`_;3@;_£C£_{;3!;}Ü`=8 3à`
Ú, Û는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 6
3à`+ 83à`= 143à`
⑤
21
각 면에 1부터 4까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양 의 상자를 던져 바닥에 닿은 면에 적힌 수가 2 이상이 나올 확률은 ;4#;이 고, 동전을 한 번 던져 앞면이 나올 확률은 ;2!;이다.Ú 2 이상이 나와서 동전을 3번 던졌을 때, 앞면이 2번 나올 확률은
;4#;_£Cª{;2!;}Û`{;2!;}Ú`=;3»2;
Û 1이 나와서 동전을 2번 던졌을 때, 앞면이 2번 나올 확률은
;4!;_ªCª{;2!;}Û`=;1Á6;
Ú, Û는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에 의하 여
;3»2;+;1Á6;=;3!2!;
⑤
22
주머니 A에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬인 사건을 A,주머니 B에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬인 사건을 B라 하면 주머니 A에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬일 확률은 P(A)=;5#;
주머니 A에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬일 때, 주머니 B에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬일 확률은 P(B|A)=;6#;=;2!;
즉, 주머니 A에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬이고 주머니 B에 서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬일 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A)= 35 _1 2 = 3
10
(가) 주머니 A에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 파란 구슬일 확률은 P(A``)=;5@;
주머니 A에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 파란 구슬일 때, 주머니 B에 서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬일 확률은
P(B|A``)=;6@;=;3!;
즉, 주머니 A에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 파란 구슬이고 주머니 B 에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬일 확률은
P(A``;B)=P(A``)P(B|A``)= 25 _1 3 = 2
15
(나) 따라서 주머니 B에서 임의로 꺼낸 한 개의 구슬이 흰 구슬일 확률은 P(B)=P(A;B)+P(A``;B)= 310 + 2
15 =13 30
(다)
;3!0#;
단계 채점 기준 비율
(가) P(A;B)의 값을 구한 경우 40`%
(나) P(A``;B)의 값을 구한 경우 40`%
(다) P(B)의 값을 구한 경우 20`%
23
비가 오는 경우를 , 비가 오지 않는 경우를 ×로 나타내면 목요 일에 비가 오는 경우와 그 확률은 다음과 같다.월 화 수 목 확률
× × ;2!;_(1-p)_p=;2!;p(1-p)
× ;2!;_p_;2!;=;4!;p
× ;2!;_;2!;_p=;4!;p
;2!;_;2!;_;2!;=;8!;
(가) 이 네 사건은 서로 배반사건이므로
;2!;p(1-p)+;4!;p+;4!;p+;8!;=-;2!;pÛ`+p+;8!;É;2!;
올림포스 고난도•확률과 통계
62
4pÛ`-8p+3¾0, (2p-3)(2p-1)¾0
(나) pÉ;2!; 또는 p¾;2#;
따라서 0ÉpÉ1이므로 0ÉpÉ;2!;
0ÉpÉ;2!;
(다)
단계 채점 기준 비율
(가) 목요일에 비가 오는 경우의 각 확률을 구한 경우 40`%
(나) p에 대한 부등식으로 나타낸 경우 40`%
(다) p의 값의 범위를 구한 경우 20`%
내신 고득점 문항
24
③25
①26
②27
③28
②29
③30
③31
①32
②33
④34
②35
③36
②37
⑤38
⑤39
②40
④41
①42
③43
23044
107본문 50~53쪽 7%상위
24
두 상자 A, B를 던졌더니 바닥에 닿은 면에 적힌 두 수의 합이 짝 수인 사건을 A, 상자 A가 바닥에 닿은 면에 적힌 수가 홀수인 사건을 B라 하자.두 상자 A, B를 던져 나오는 모든 경우의 수는 4_6=24
두 상자 A, B를 던졌더니 바닥에 닿은 면에 적힌 두 수의 합이 짝수인 경우는 두 상자 A, B를 던졌더니 바닥에 닿은 면에 적힌 두 수가 각각 홀수, 홀수 또는 짝수, 짝수가 나오는 경우이므로
그 경우의 수는 3_2+1_4=10 P(A)=;2!4);
두 상자 A, B를 던졌더니 바닥에 닿은 면에 적힌 두 수의 합이 짝수이 고 상자 A가 바닥에 닿은 면에 적힌 수가 홀수인 경우는 두 상자 A, B 를 던졌더니 바닥에 닿은 면에 적힌 두 수가 각각 홀수, 홀수인 경우이므 로
그 경우의 수는 3_2=6 즉, P(A;B)= 624 따라서 구하는 확률은
P(B|A)=P(A;B) P(A) =
;2¤4;
;2!4);=;5#;
③
25
선택한 학생이 점심을 신청한 학생인 사건을 A, 저녁을 신청한 학 생인 사건을 B라 하면P(A)=0.8, P(B)=0.6, P(A;B)=0.5이므로 P(A;B``)=P(A)-P(A;B)=0.8-0.5=0.3 P(A``;B)=P(B)-P(A;B)=0.6-0.5=0.1
이때 점심을 신청하였거나 저녁을 신청하지 않은 학생인 사건을 C라 하 면
C=A'B``
이고 점심과 저녁을 모두 신청하지 않은 학생인 사건을 D라 하면 D=A``;B``
이므로
P(C) =P(A'B``)=P(A)+P(B``)-P(A;B``)
=0.8+(1-0.6)-0.3=0.9
P(C;D) =P(D)=P(A``;B``)=P((A'B)``)
=1-P(A'B)=1-{P(A)+P(B)-P(A;B)}
=1-(0.8+0.6-0.5)=0.1 따라서 구하는 확률은
P(D|C)= P(C;D) P(C) =0.1
0.9 =;9!;
①
참고 C;D=(A'B``);(A``;B``)={A;(A``;B``)}
'{B``;(A``;B``)}
=∅'(A``;B``)=A``;B``=D
26
주사위 한 개를 세 번 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 6Ü`=216 a+b+cÉ5를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)는(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)의 10개이므로
P(A``)= 10216
즉, P(A)=1-P(A``)=1- 10216 =206 216 a+b=3c를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)는 Ú c=1일 때, a+b=3이므로
(1, 2, 1), (2, 1, 1)의 2개 Û c=2일 때, a+b=6이므로
(1, 5, 2), (2, 4, 2), (3, 3, 2), (4, 2, 2), (5, 1, 2)의 5개 Ü c=3일 때, a+b=9이므로 순서쌍 (a, b, c)는
(3, 6, 3), (4, 5, 3), (5, 4, 3), (6, 3, 3)의 4개 Ý c=4일 때, a+b=12이므로 순서쌍 (a, b, c)는
(6, 6, 4)의 1개
a+bÉ12이므로 c=5 또는 c=6일 때 조건을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)는 없다.
즉, Ú~Ý의 12개의 순서쌍 중 a+b+c¾6을 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)는 10개이므로
P(A;B)= 10216 따라서 구하는 확률은
해 58-72 올림포스(고난도)_확통_04강-삼2.indd 62 2019-02-15 오후 1:41:26
정답과 풀이
63
P(B|A)=P(A;B)P(A) =
;2Á1¼6;
;2@1)6^;= 10206 =;10%3;
②
27
4부터 10까지의 자연수 k에 대하여 a=k인 사건을 Aû라 하고, b¾k+1인 사건을 Bû라 하자.따라서 구하는 확률 p는
p=P(A¢)P(B¢|A¢)+P(A°)P(B°|A°)+P(A¤)P(B¤|A¤)+y +P(AÁ¼)P(BÁ¼|AÁ¼)
=;1Á0;_;9^;+;1Á0;_;9%;+;1Á0;_;9$;+y+;1Á0;_;9);
=;9Á0;(6+5+4+y+1+0)=;9Á0;_21=;3¦0;
③
28
2P(A|B)=P(A``|B)에서2P(A|B)=1-P(A|B)이므로 P(A|B)=;3!;
P(A|B)= P(A;B) P(B) 에서
P(A;B)=P(A|B)P(B)=;3!;_;4!;=;1Á2;
또, P(A``)=;3@;이므로
P(A)=1-P(A``)=1-;3@;=;3!;
한편, P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로 P(A'B)=;3!;+;4!;-;1Á2;=;2!;
따라서 P(A``;B``)=P((A'B)``)=1-P(A'B)=1- 12 =1 2
②
다른풀이 2P(A|B)=P(A``|B)에서 2P(A|B)=1-P(A|B)이므로 P(A|B)=;3!;
P(A``)=;3@;이므로 P(A)=1-P(A``)=1-;3@;=;3!;
즉, P(A)=P(A|B)=;3!;이므로 두 사건 A와 B는 서로 독립이고 두 사건 A``과 B``도 서로 독립이다.
즉, P(A)=P(A|B)=;3!;이므로 두 사건 A와 B는 서로 독립이고 두 사건 A``과 B``도 서로 독립이다.