내신 우수 문항
기출01
②02
②03
⑤04
②05
③06
①07
③08
①09
④10
19011
16본문 72~73쪽
01
확률밀도함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분, 즉 사 다리꼴의 넓이가 1이 되어야 하므로;2!;_(1+4)_k=1, 즉 k=;5@;
0ÉxÉ2일 때, f(x)=;5!;x이므로
P(1ÉXÉ2)=;2!;_{;5!;+;5@;}_(2-1)=;1£0;이고
2ÉxÉ3일 때, f(x)=;5@;이므로 P(2ÉXÉ3)=;5@;_(3-2)=;5@;
3ÉxÉ4일 때, f(x)=-;5@;(x-4)이므로
P{3ÉXÉ:Á3¼:}=;2!;_{;5@;+;1¢5;}_{:Á3¼:-3}=;9!;
따라서
P{1ÉXÉ:Á3¼:}=P(1ÉXÉ2)+P(2ÉXÉ3)+P{3ÉXÉ:Á3¼:}
=;1£0;+;5@;+;9!;=;9&0#;
②
다른풀이 0ÉxÉ2일 때, f(x)=;5!; x이므로 P(0ÉXÉ1)=;2!;_;5!;_1=;1Á0;이고 3ÉxÉ4일 때, f(x)=-;5@;(x-4)이므로 P{:Á3¼:ÉXÉ4}=;2!;_;1¢5;_{4-:Á3¼:}=;4¢5;
따라서
P{1ÉXÉ:Á3¼:}=1-[P(0ÉXÉ1)+P{:Á3¼:ÉXÉ4}]
=1-{;1Á0;+;4¢5;}=;9&0#;
02
확률밀도함수 y=f(x)의 그래프 y3a
y=f(x) -23 a
5 x O 3
와 x축 및 두 직선 x=0, x=5로 둘러 싸인 부분의 넓이가 1이므로
;2!;_3a_3+;2!;_;3@; a_2=1 즉, 31a6 =1에서 a=;3¤1;
따라서
P(2ÉxÉ4)=P(2ÉxÉ3)+P(3ÉxÉ4) =;2!;_;3¤1;_1+;2!;_;3ª1;_1 =;3¢1;
②
03
확률변수 X가 정규분포 N(6, rÛ`)을 따르므로Z= X-6r 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
P(2ÉXÉ8)=P{ 2-6r ÉZÉ8-6 r } =P{- 4r ÉZÉ2
r }
=P{- 4r ÉZÉ0}+P{0ÉZÉ2 r } =P{0ÉZÉ 4r }+P{0ÉZÉ2
r }
=0.8 yy ㉠ P(2ÉXÉ10)=P{ 2-6r ÉZÉ10-6
r } =P{- 4r ÉZÉ4
r }\
=2P{0ÉZÉ 4r } =0.9
즉, P{0ÉZÉ 4r }=0.45 yy ㉡
㉠에 ㉡을 대입하면 P{0ÉZÉ 2r }=0.35
P(6ÉXÉ8)=P{0ÉZÉ 8-6r }
=P{0ÉZÉ 2r } =0.35
⑤
04
P(14ÉXÉ20)=P(14ÉXÉ16)+P(16ÉXÉ20)
=P(16-2ÉXÉ16)+P(16ÉXÉ16+2_2)
=P(16ÉXÉ16+2)+P(16ÉXÉ16+2_2)
=0.3413+0.4772
=0.8185
②
해 84-94 올림포스(고난도)_확통_06강-삼2.indd 84 2019-02-15 오후 1:41:40
정답과 풀이
85
=P(1ÉZÉ2)=P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1) =0.4772-0.3413=0.1359 ①
07
몸무게를 측정하는 체중계의 오차를 X`kg이라 하면 확률변수 X 는 정규분포 N(0.1, 0.4Û`)을 따르므로 Z= X-0.10.4 로 표준화하면 확률 변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.P(|X|>0.3)=P(X<-0.3)+P(X>0.3)
=P{Z< -0.3-0.10.4 }+P{Z> 0.3-0.10.4 } =P(Z<-1)+P(Z>0.5)
={0.5-P(0ÉZÉ1)}+{0.5-P(0ÉZÉ0.5)}
=(0.5-0.3413)+(0.5-0.1915) =0.1587+0.3085=0.4672
③
08
주어진 확률분포는 162회의 독립시행에서 어느 사건이 일어날 확 률이 ;3@;임을 뜻하므로 확률변수 X는 이항분포 B {162, ;3@;}를 따른다.X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 E(X)=162_;3@;=108
V(X)=162_;3@;_;3!;=36=6Û`
이때 시행 횟수 n=162는 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정 규분포 N(108, 6Û`)을 따른다.
Z= X-1086 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서 구하는 확률은 P(99ÉXÉ114)
=P{ 99-1086 ÉZÉ 114-1086 }
=P(-1.5ÉZÉ1)
=P(-1.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1)
=P(0ÉZÉ1.5)+P(0ÉZÉ1)
=0.4332+0.3413=0.7745
①
09
확률변수 X는 이항분포 B {256, ;2!;}을 따르므로 E(X)=256_;2!;=128V(X)=256_;2!;_;2!;=64
따라서 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(128, 8Û`)을 따른다.
이때 Z= X-1288 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포
05
확률변수 X가 정규분포 N(8, 3Û`)을 따르므로Z= X-83 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 른다.
P(2ÉXÉ14)=P{ 2-83 ÉZÉ14-8 3 } =P(-2ÉZÉ2)
=2P(0ÉZÉ2) yy ㉠ 확률변수 Y가 정규분포 N(m, 2Û`)을 따르므로
Z= Y-m2 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
1-2P(Y¾9)
=1-2P{Z¾ 9-m2 }
=2[0.5-P{Z¾ 9-m2 }]
=2P{0ÉZÉ 9-m2 } yy ㉡
이때 주어진 조건에서 ㉠=㉡이므로 2= 9-m2
따라서 m=5
③
참고 m>9이면 P{Z¾ 9-m2 }>0.5이므로 1-2P{Z¾ 9-m2 }<0
06
이 지역 시민의 나이를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(35, rÛ`)을 따른다.이때 나이가 32 이상 38 이하인 시민이 6826명이므로 P(32ÉXÉ38)=;1¤0¥0ª0¤0;=0.6826
Z= X-35r 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 르므로
P(32ÉXÉ38)=P{ 32-35r ÉZÉ 38-35r } =P{- 3r ÉZÉ3
r } =2P{0ÉZÉ 3r } =0.6826
즉, P{0ÉZÉ 3r }=0.3413 r =1에서 r=33
따라서
P(38ÉXÉ41)=P{ 38-353 ÉZÉ 41-353 }
올림포스 고난도•확률과 통계
86
N(0, 1)을 따르므로
P(132ÉXÉ144)=P{ 132-1288 ÉZÉ 144-1288 } =P(0.5ÉZÉ2)
=P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ0.5) =0.4772-0.1915=0.2857
④
10
학생들의 수학 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(60, 12Û`)을 따르므로 Z= X-6012 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.(가) P(X¾63.6)=P{Z¾ 63.6-6012 }
=P(Z¾0.3) =0.5-P(0ÉZÉ0.3) =0.5-0.12=0.38
(나) 따라서 A등급을 받는 학생 수는
500_0.38=190(명)
(다)
190
단계 채점 기준 비율
(가) 표준화를 한 경우 30`%
(나) P(X¾63.6)의 값을 구한 경우 50`%
(다) A등급을 받는 학생 수를 구한 경우 20`%
11
채점하여 맞은 개수를 확률변수 X라 하자.각각의 문제를 맞출 확률은 ;5!;=0.2이고 독립시행을 100번하므로 확률 변수 X는 이항분포 B(100, 0.2)를 따른다.
확률변수 X의 평균 E(X), 분산 V(X)를 구하면 E(X)=100_0.2=20
V(X)=100_0.2_0.8=16
따라서 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(20, 4Û`)을 따른다.
(가) 채점하여 맞은 개수가 k개 이하일 확률은
P(XÉk)=0.16
Z= X-204 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
(나) P(XÉk)=P{ZÉ k-204 }=0.16
내신 고득점 문항
12
④13
④14
①15
③16
④17
②18
⑤19
④20
②21
2022
0.0668본문 74~75쪽 7%상위
12
확률밀도함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 가 1이므로;2!;_1_3k+;2!;_(4-1)_3k=6k=1 즉, k=;6!;
f(x)=
( { 9
;2!; x (0ÉxÉ1)
;6!; (4-x) (1ÉxÉ4)
P{;2!;ÉXÉ1}=;2!;_;2!;_{;4!;+;2!;}=;1£6;É;4$8!;
a>1일 때,
P{;2!;ÉXÉa}=P{;2!;ÉXÉ1}+P(1ÉXÉa)
=;1£6;+;2!;_(a-1)_[;2!;+;6!;(4-a)]É;4$8!;
즉, 9+(a-1){12+4(4-a)}É41에서 aÛ`-8a+15¾0, (a-3)(a-5)¾0 aÉ3 또는 a¾5
;2!;ÉaÉ4이므로 ;2!;ÉaÉ3 따라서 실수 a의 최댓값은 3이다.
④ 0.5-P{ k-204 ÉZÉ0}=0.16
P{ k-204 ÉZÉ0}=0.34
P{0ÉZÉ 20-k4 }=0.34 그런데 P(0ÉZÉ1)=0.34이므로
20-k4 =1, 20-k=4 따라서 k=16
(다)
16
단계 채점 기준 비율
(가) 확률변수 X의 분포를 구한 경우 30`%
(나) 표준화를 한 경우 20`%
(다) k의 값을 구한 경우 50`%
해 84-94 올림포스(고난도)_확통_06강-삼2.indd 86 2019-02-15 오후 1:41:41
정답과 풀이
87
즉, m= 14+182 =16f(14)-f(16) =P(14ÉXÉ18)-P(16ÉXÉ20)
=P(14ÉXÉ16)-P(18ÉXÉ20)
Z= X-162 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(14ÉXÉ16)=P{ 14-162 ÉZÉ 16-162 } =P(-1ÉXÉ0)
=P(0ÉZÉ1)=0.3413 P(18ÉXÉ20)=P{ 18-162 ÉZÉ 20-162 } =P(1ÉXÉ2)
=P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1) =0.4772-0.3413=0.1359 따라서
f(14)-f(16)=0.3413-0.1359=0.2054
③
16
조건 (가)에서 P(X¾2a+1)+P(XÉb+4)=1이므로 2a+1=b+4즉, 2a-b=3 yy ㉠
확률변수 X가 정규분포 N(5, rÛ`)을 따르므로 Z= X-5r 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
조건 (나)에서
P(5ÉXÉ3a-3)=P{0ÉZÉ 3a-3-5r }=P{0ÉZÉ 3a-8r },
P(6-bÉXÉ5)=P{ 6-b-5r ÉZÉ0}=P{ 1-br ÉZÉ0}이고 P(5ÉXÉ3a-3)=P(6-bÉXÉ5)이므로
3a-8r =-{1-b
r }, 3a-8=-(1-b)
3a-b=7 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=5 따라서 a+b=4+5=9
④
17
f(1)=P(X¾1)=0.8이므로 P(XÉ1)=1-0.8=0.2또, 평균이 5이므로
f(9)=P(X¾9)=P(X¾5+4)=P(XÉ5-4)=P(XÉ1)=0.2 P(aÉXÉb)=f(a)-f(b)이므로
따라서 P(1ÉXÉ9) =f(1)-f(9)
=0.8-0.2
=0.6
②
13
확률밀도함수 y=f(x)의 그래프y=f(x) y
2ab
ab
-b O 2b x
와 x축 및 두 직선 x=-b, x=2b로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이므로
;2!;_ab_b+;2!;_2ab_2b=1 즉, abÛ`=;5@;
P(0ÉXÉ1)=;2!;_1_a=;2A;이고 4P(0ÉXÉ1)=P(0ÉXÉ2b)이므로 4_;2A;=2abÛ`=;5$;
즉, a=;5@;
;5@;_bÛ`=;5@; 에서 bÛ`=1 b>;2!; 이므로 b=1 따라서 a+b=;5@;+1=;5&;
④
14
연속확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(8-x)를 만족시키므로 x 대신 x+4를 대입하면f(4+x)=f(4-x)를 만족시킨다.
즉, 확률밀도함수 f(x)는 직선 x=4에 대하여 대칭이다.
이때 P(4-aÉXÉ4)=s, P(4ÉXÉ4+b)=t라 하면 확률밀도함수 f(x)는 직선 x=4에 대하여 대칭이므로 P(4-aÉXÉ4)=P(4ÉXÉ4+a)=s
P(4ÉXÉ4+b)=P(4-bÉXÉ4)=t P(X¾4+a)=0.3에서
P(X¾4+a) =P(X¾4)-P(4ÉXÉ4+a)
=0.5-s=0.3 즉, s=0.2
P(4-aÉXÉ4+b)=0.5에서
P(4-aÉXÉ4+b) =P(4-aÉXÉ4)+P(4ÉXÉ4+b)
=s+t=0.5 즉, t=0.3
따라서
P(4+aÉXÉ4+b) =P(4ÉXÉ4+b)-P(4ÉXÉ4+a)
=t-s=0.3-0.2=0.1
①
15
함수 f(a)는 a=14에서 최댓값을 가지므로 f(14)=P(14ÉXÉ18)가 최대이다.정규분포의 확률밀도함수의 그래프가 직선 x=m에 대하여 대칭이고 종 모양이므로 확률 P(14ÉXÉ18)의 값이 최대가 되려면 14와 18의 평 균이 확률변수 X의 평균이어야 한다.
올림포스 고난도•확률과 통계
88
이때 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 P(|Z|É2)=P(-2ÉZÉ2) =2P(0ÉZÉ2) =2_0.4772=0.9544 즉, 24
'¶2n¾2이어야 하므로 '¶2n É12, nÉ72
따라서 n의 최댓값은 72이다.
②
참고 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, 시행횟수 n이 충분 히 크면 X는 근사적으로 정규분포 N(np, npq)를 따른다.
(단, q=1-p)
21
정규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이고, 주어진 조건에서 P(XÉ8-k)=P(X¾24+k)이므로m=(8-k)+(24+k)
2 =16
(가) Z= X-16r 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(10ÉXÉ22)=0.8664에서
P(10ÉXÉ22)=P{ 10-16r ÉZÉ 22-16r }
=P{- 6r ÉZÉ6 r }
=2P{0ÉZÉ 6r }
=0.8664 즉, P{0ÉZÉ 6r }=0.4332이므로
r =1.5에서 r=46
(나) 따라서 m+r=16+4=20
(다)
20
단계 채점 기준 비율
(가) m의 값을 구한 경우 40`%
(나) r의 값을 구한 경우 50`%
(다) m+r의 값을 구한 경우 10`%
22
홀수의 눈이 나온 횟수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B {400, ;2!;}을 따르므로E(X)=400_;2!;=200
18
확률변수 X는 정규분포 N(m, 3Û`)을 따르므로Z= X-m3 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
즉, P(X¾71)=0.0228에서 P{Z¾ 71-m3 }=0.0228 0.5-P{0ÉZÉ 71-m3 }=0.0228
P{0ÉZÉ 71-m3 }=0.4772 이때 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
71-m3 =2, 71-m=6 따라서 m=65
⑤
19
확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르고 P(XÉ23)=P(X¾17)이므로m= 23+172 =20
Z= X-20r 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(15ÉXÉ25)=P{ 15-20r ÉZÉ 25-20r } =P{- 5r ÉZÉ5
r } =2P{0ÉZÉ 5r } =2P(0ÉZÉ1) 즉, 5r =1에서 r=5
따라서 m+r=20+5=25
④
20
3의 약수가 1, 3이므로 3의 약수인 눈이 나올 확률은 ;3!; 이다.즉, 확률변수 X는 이항분포 B {n, ;3!;}을 따르므로 n이 충분히 크면 X는 근사적으로 정규분포 N{;3N;, 2n9 }을 따른다.
P{|X-;3N;|É8}¾0.9544
P »|X-;3N;|'¶2n 3
É 24'¶2n¼¾0.9544 P{|Z|É 24'¶2n }¾0.9544
해 84-94 올림포스(고난도)_확통_06강-삼2.indd 88 2019-02-15 오후 1:41:42
정답과 풀이
89
내신 변별력 문항
23
④24
⑤25
②26
④27
④28
③29
②30
④31
②본문 76~78쪽 4%상위
23
0<p<1이고 q>2인 실수 p, q에 대하여 pÉxÉq인 모든 실숫 값을 가지는 연속확률변수 X의 확률밀도함수 y=f(x)의 그래프 가 그림과 같다. 96P(pÉXÉ1)=P(pÉXÉq)일 때, p+q의 값은?
y
y=f(x) -14
2 x
p q
O
① :ª3°: ② :ª3¤: ③ 9
④ :ª3¥: ⑤ :ª3»:
확률밀도함수의 성질을 이용한다.
확률밀도함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1임을 이용하여 식을 세운다.
확률밀도함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이어야 하므로
;2!;_(q-p)_;4!;=1 즉, q-p=8이므로
q=p+8 yy ㉠
96P(pÉXÉ1)=P(pÉXÉq)임을 이용하여 식을 세운다.
P(pÉXÉq)=1이고 pÉxÉ2에서 f(x)= 1
4(2-p)(x-p)이므로 P(pÉXÉ1)=;2!;_(1-p)_ (1-p)
4(2-p)=(1-p)Û`
8(2-p) 96P(pÉXÉ1)=P(pÉXÉq)에서
96_(1-p)Û`
8(2-p)=1
방정식을 풀어 p, q의 값을 구한다.
12(1-p)Û`=2-p 12pÛ`-24p+12=2-p
12pÛ`-23p+10=0, (3p-2)(4p-5)=0
풀이전략
문제풀이
함수 y=f(x)의 그래프와
x축 및 직선 x=1로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.
P(pÉXÉq)=1 V(X)=400_;2!;_;2!;=100
이때 n=400은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(200, 10Û`)을 따른다.
(가) Z= X-20010 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르고 홀수인 눈이 나오는 횟수가 X이므로 짝수인 눈인 나오는 횟수는 400-X이고
5X-3(400-X)¾520 8X¾1720, X¾215
(나) 즉, 구하는 확률은
P(X¾215)=P{Z¾ 215-20010 } =P(Z¾1.5)
=0.5-P(0ÉZÉ1.5) =0.5-0.4332 =0.0668
(다)
0.0668
단계 채점 기준 비율
(가) 확률변수 X의 분포를 구한 경우 30`%
(나) X의 범위를 구한 경우 30`%
(다) 확률을 구한 경우 40`%
올림포스 고난도•확률과 통계
90
즉, p=;3@; 또는 p=;4%;
0<p<1이므로 p=;3@;
㉠에 p=;3@; 를 대입하면 q=:ª3¤:
따라서 p+q=;3@;+:ª3¤:=:ª3¥: