통계적 추정 - EBS 올림포스 고난도 확률과통계 답지 정답

07

내신 우수 문항

^기출

01

^③

02

^⑤

03

^④

04

^②

05

^③

06

^②

07

^②

08

²⁵

09

본문 82~83쪽

01

E(XÕ)=E(X)=60 V(XÕ)=V(X)

25 =15Û`

25 =9이므로 r(XÕ)='9 =3

따라서 E(XÕ)+r(XÕ)=60+3=63

 ③

02

확률의 총합이 1이므로 ;3!;+a+b=1에서 b=;3@;-a 주어진 표에서

E(X)=0_;3!;+1_a+2_{;3@;-a}=;3$;-a E(XÛ`)=0Û`_;3!;+1Û`_a+2Û`_{;3@;-a}=;3*;-3a

V(X)=;3*;-3a-{;3$;-a}Û`=-aÛ`-;3!;a+;9*;

이때 표본의 크기가 3이므로 V(XÕ)=V(X)

3 = -9aÛ`-3a+827 =;1Á0¦8;에서 -36aÛ`-12a+32=17, 12aÛ`+4a-5=0 (2a-1)(6a+5)=0, a=;2!; (a>0이므로) 따라서 E(XÕ)=E(X)=;3$;-;2!;=;6%;

 ⑤

03

확률변수 X가 정규분포 N(4, 8Û`)을 따르므로 표본의 크기가 16 인 표본평균 XÕ는 정규분포 N{4, 8Û`16 }, 즉 N(4, 2Û`)을 따른다.

Z= XÕ-42 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 른다.

P(aÉXÕÉ4)=P{ a-42 ÉZÉ4-4 2 } =P{ a-42 ÉZÉ0}

=P{0ÉZÉ- a-42 } P(aÉXÕÉ4)=P(0ÉZÉ1)이므로 - a-42 =1

a=2

 ④

04

확률변수 X가 정규분포 N(36, 10Û`)을 따르므로 표본의 크기가 25인 확률변수 XÕ는 정규분포 N{36, 10Û`25 }, 즉 N(36, 2Û`)을 따른다.

Z= XÕ-362 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서

P(34ÉXÕÉ40)=P{ 34-362 ÉZÉ 40-362 } =P(-1ÉZÉ2)

=P(0ÉZÉ1)+P(0ÉZÉ2) =0.3413+0.4772=0.8185

 ②

05

확률변수 X가 정규분포 N(450, 8Û`)을 따르므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N{420, { 8'¶16 }Û`}, 즉 N(420, 2Û`)을 따른다.

Z= XÕ-4202 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

P(XÕÉc)=P{ZÉ c-4202 }=0.02 즉, P{Z¾ 420-c2 }=0.02이므로 P{0ÉZÉ 420-c2 }=0.5-0.02=0.48

따라서 420-c2 =2.05이므로 c=415.9

 ③

06

모평균 m의 신뢰도 99`%의 신뢰구간은 XÕ-2.6 r

'§nÉmÉXÕ+2.6 r '§n

이때 모집단에서 임의로 추출한 표본의 평균이 18, 표본의 크기가 100, 모표준편차가 20이므로 XÕ=18, n=100, r=20을 위의 식에 각각 대 입하면

18-2.6_;1@0);ÉmÉ18+2.6_;1@0);에서 12.8ÉmÉ23.2이므로

q=23.2, p=12.8

따라서 q-p=23.2-12.8=10.4

 ②

07

표본의 크기 n (n>50)이 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표 준편차 5를 사용할 수 있다.

즉, 표본평균이 167, 모표준편차가 5이므로 모평균 m의 신뢰구간을 신

올림포스 고난도•확률과 통계

96

신뢰도 95`%인 신뢰구간은 50-2_ 10

'Ä100ÉmÉ50+2_ 10 'Ä100 즉, 48ÉmÉ52이므로 c=48, d=52 d-c=4

(나)

따라서 (b-a)-(d-c)=6-4=2

(다)

 2

단계 채점 기준 비율

(가) b-a의 값을 구한 경우 40`%

(나) d-c의 값을 구한 경우 40`%

(다) 답을 구한 경우 20`%

뢰도 95`%로 추정하면 167-2_ 5

'§nÉmÉ167+2_ 5 '§n 이때 166ÉmÉ168에서 167- 10

'§n=166, 167+ 10

'§n=168이므로 '§n10=1, '§n=10

따라서 n=100

 ②

08

인삼 1개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(200, 20Û`) 을 따르므로 크기가 n인 표본의 표본평균 XÕ는 정규분포 N{200, { 20'§n }Û` } 을 따른다.

(가)

Z= XÕ-200

'§n20 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

이때 P(190ÉXÕÉ210)=0.9876이므로 P _»190-200

'§n20 ÉZÉ 210-20020 '§n ^¼

=P{- '§n

2 ÉZÉ'§n 2 }

=2P{0ÉZÉ '§n 2 }

=0.9876 P{0ÉZÉ '§n

2 }=0.4938

(나)

즉, '§n

2 =2.5에서 '§n=5 따라서 n=25

(다)

 25

단계 채점 기준 비율

(가) 표본평균 XÕ의 분포를 구한 경우 30`%

(나) 표준화하여 확률을 정리한 경우 50`%

(다) n의 값을 구한 경우 20`%

09

신뢰도 99`%인 신뢰구간은 50-3_ 10

'Ä100ÉmÉ50+3_ 10 'Ä100 즉, 47ÉmÉ53이므로 a=47, b=53 b-a=6

(가)

내신 고득점 문항

10

^④

11

^③

12

^①

13

^②

14

^③

15

^④

16

^③

17

⁶⁴

18

³⁶

본문 84~85쪽 7%상위

10

공에 적힌 수를 확률변수 X라 하면 E(X)= 1+2+3+y+88 =:£8¤:=;2(;

E(XÛ`)= 1Û`+2Û`+3Û`+y+8Û`8

= 1+4+9+16+25+36+49+648

=;:@8):$;=:°2Á:

V(X)=:°2Á:-{;2(;}Û`=:ª4Á:

이때 표본의 크기가 3이므로 표본평균 XÕ의 분산은

V(XÕ)=V(X) 3 =:ª4Á:

3 =;4&;

따라서 V(4XÕ+2)=4Û` V(XÕ)=16_;4&;=28

 ④

11

확률변수 X의 확률질량함수가 P(X=r)=£¤¼C¨{;3!;}^r{;3@;}^360-r

{r=0, 1, 2, y, 360, {;3!;}â`={;3@;}â`=1}

이므로 확률변수 X는 이항분포 B {360, ;3!;}을 따른다.

E(X)=360_;3!;=120, V(X)=360_;3!;_;3@;=80

해 95-104 올림포스(고난도)_확통_07강-삼2.indd 96 2019-02-15 오후 1:41:52

정답과 풀이

97

이때 표본의 크기가 10이므로

E(XÕ)=E(X)=120, V(XÕ)=V(X)

10 =;1*0);=8 따라서 E(XÕ)+V(XÕ)=120+8=128

 ③

12

모집단의 확률변수 X가 정규분포 N(16, 4Û`)을 따르므로 크기가 n인 표본평균 XÕ는 정규분포 N{16, 4Û`n }, 즉 N{16, { 4

'§n }Û`}

을 따르고 Z= X-164 또는 Z= XÕ-16

'§n4 으로 각각 표준화하면 확률

변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

P(10ÉXÉ16)=P{ 10-164 ÉZÉ 16-164 }=P(-1.5ÉZÉ0) =P(0ÉZÉ1.5)

P(16ÉXÕÉ18)=P _»16-16

'§n4 ÉZÉ 18-164 '§n ^¼ =P{0ÉZÉ '§n

2 }

이고 P(10ÉXÉ16)=P(16ÉXÕÉ18)이므로 P(0ÉZÉ1.5)=P{0ÉZÉ '§n

2 }에서 1.5= '§n

2 따라서 n=9

 ①

13

호두과자 1개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(16, 2Û`)을 따른다.

이때 크기가 n인 표본의 표본평균 XÕ는 정규분포 N{16, 2Û`n }, 즉 N{16, { 2'§n }Û`}을 따르므로 Z= XÕ-162

'§n 으로 표준화하면 확률변수 Z 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

P(|XÕ-16|É1)=P _»

±

^XÕ-16²

'§n

±

^{É 1}²

'§n ^¼ =P{|Z|É '§n

2 } =2P{0ÉZÉ '§n

2 }¾0.9544 P{0ÉZÉ '§n

2 }¾0.4772

주어진 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 P{0ÉZÉ '§n

2 }¾P(0ÉZÉ2)

'§n2 ¾2에서 '§n ¾4

따라서 n¾16이므로 구하는 n의 최솟값은 16이다.

 ②

14

이 음원 사이트에서 제공하는 각 음원의 다운로드 수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(92, 8Û`)을 따르므로 Z= X-928 로 표준 화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

이때 임의추출한 1개의 음원의 다운로드 수가 96회 이상일 확률은 p=P(X¾96)=P{Z¾ 96-928 }

=P(Z¾0.5)=0.5-P(0ÉZÉ0.5)

=0.5-0.1915=0.3085

또한, 크기가 4인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 XÕ는 정규분포 N{92, 8Û`4 }, 즉 N(92, 4Û`)을 따르므로 Z=XÕ-92

4 로 표준화하면 확 률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

임의추출한 4개의 음원의 다운로드 수의 합이 384회 이상일 확률은 q=P(4XÕ¾384)=P(XÕ¾96)

=P{Z¾ 96-924 }

=P(Z¾1)=0.5-P(0ÉZÉ1)

=0.5-0.3413=0.1587

따라서 p+q=0.3085+0.1587=0.4672

 ③

15

표본의 크기가 100으로 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준 편차 5를 사용할 수 있다.

즉, 표본평균이 14, 모표준편차가 5이므로 모평균 m의 신뢰구간을 신뢰 도 95`%로 추정하면

14-2_ 5

'Ä100ÉmÉ14+2_ 5 'Ä100 즉, 13ÉmÉ15이므로 a=13, b=15

또한, 모평균 m의 신뢰구간을 신뢰도 99`%로 추정하면 14-2.6_ 5

'Ä100ÉmÉ14+2.6_ 5 'Ä100 즉, 12.7ÉmÉ15.3이므로 c=12.7, d=15.3 따라서 d-a=15.3-13=2.3

 ④

16

^{모표준편차를}r, 표본의 크기를 36으로 하여 얻은 표본평균을 xÁÕ 이라 할 때, 모평균을 신뢰도 95`%로 추정한 신뢰구간은

xÁÕ-2_ r

'¶36ÉmÉxÁÕ+2_ r

'¶36, 즉 xÁÕ-;3!;rÉmÉxÁÕ+;3!;r이므로 a=xÁÕ-;3!;r, b=xÁÕ+;3!;r

모표준편차를 r, 표본의 크기를 n으로 하여 얻은 표본평균을 xªÕ라 할 때,

올림포스 고난도•확률과 통계

98

4r ='§n 2r 즉, '§n=8 따라서 n=64

(다)

 64

단계 채점 기준 비율

(가) P(32ÉXÁÕÉ33)을 표준화한 경우 40`%

(나) P(31.5ÉXªÕÉ32)를 표준화한 경우 40`%

(다) n의 값을 구한 경우 20`%

18

이 참외 농장에서 생산되는 참외 한 개의 무게를 확률변수 X라 하 면 X는 정규분포 N(244, 12Û`)을 따르므로 크기가 n인 표본평균 XÕ는 정규분포 N{244, 12'§n }를 따른다.

(가)

Z= XÕ-244 '§n12

로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을

따르므로

P(|XÕ-244|É3)

=P(-3ÉXÕ-244É3)

=P _»- 3

'§n12 É XÕ-244 '§n12 É 3

'§n12 ^¼

=P{- '§n

4 ÉZÉ'§n 4 }

=2P{0ÉZÉ '§n

4 }¾0.8664

(나)

따라서 P{0ÉZÉ '§n

4 }¾0.4332이므로 '§n4 ¾1.5, '§n ¾6, n¾36

따라서 n의 최솟값은 36이다.

(다)

 36

단계 채점 기준 비율

(가) 표본평균 XÕ의 분포를 구한 경우 30`%

(나) 표준화하여 확률을 정리한 경우 50`%

(다) n의 최솟값을 구한 경우 20`%

모평균을 신뢰도 99`%로 추정한 신뢰구간은 xªÕ-2.6_ r

'§nÉmÉxªÕ+2.6_ r '§n이므로 c=xªÕ+2.6_ r

'§n, d=xªÕ+2.6_ r '§n 이때 b-aÉd-c에서

[{xÁÕ+;3!;r}-{xÁÕ-;3!;r}]É[{xªÕ+2.6_ r

'§n }-{xªÕ-2.6_ r '§n }]

즉, ;3@; rÉ5.2_ r'§n이므로

'§nÉ:£5»:에서 nÉ 152125 nÉ60.84

따라서 구하는 n의 최댓값은 60이다.

 ③

17

정규분포 N(32, rÛ`)을 따르는 확률변수 X에 대하여 표본의 크기 가 16인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XÁÕ은 정규분포

N{32, rÛ`16 }, 즉 N{32, {r

4 }Û`}을 따르므로 Z= XÁÕ-32r 4

로 표준화하

면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

P(32ÉXÁÕÉ33)

=P _»32-32 r4

ÉZÉ 33-32r 4 ^¼

=P{0ÉZÉ 4r }

(가)

정규분포 N(32, rÛ`)을 따르는 확률변수 X에 대하여 표본의 크기가 n 인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 XªÕ는 정규분포 N{32, rÛ`n }, 즉 N{32, { r'§n }Û`}을 따르므로 Z= XÁÕ-32r

'§n 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

P(31.5ÉXªÕÉ32)

=P _»31.5-32

'§nr ÉZÉ 32-32r '§n ^¼

=P{- '§n

2r ÉZÉ0}

=P{0ÉZÉ '§n 2r }

(나)

P(32ÉXÁÕÉ33)=P(31.5ÉXªÕÉ32)이므로 P{0ÉZÉ 4r }=P{0ÉZÉ'§n

2r }

해 95-104 올림포스(고난도)_확통_07강-삼2.indd 98 2019-02-15 오후 1:41:53

정답과 풀이

99

확률변수 X가 정규분포 N(100, 5Û`)을 따르므로 Z= X-1005 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

올림포스 고난도•확률과 통계

100

21

정규분포 N(25, 6Û`)을 따르는 모집단에서 크기가 4인 표본을 임 의추출할 때, 그 표본평균을 XÕ라 하고 크기가 9인 표본을 임의추 출할 때, 그 표본평균을 YÕ라 하자.

P(XÕ¾25+a)=0.25, P(XÕÉ25+b)=0.9

가 성립할 때, P{25-;3@; bÉYÕÉ25-;3@; a}의 값은?

(단, 0<a<b)

① 0.05 ② 0.1 ③ 0.15

④ 0.2 ⑤ 0.25

표준화한다.

표본평균의 분포를 구한 후 표준화하여 확률을 구한다.

크기가 4인 표본평균의 분포를 구한 후 표준화하여 a, b의 조건을 구 한다.

크기가 4인 표본의 표본평균 XÕ는 정규분포 N{25, 6Û`4 }, 즉 N(25, 3Û`) 을 따르므로 Z= XÕ-253 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

P(XÕ¾25+a)=0.25에서

P(XÕ¾25+a)=P{ XÕ-253 ¾ 25+a-253 } =P{Z¾;3A;}=0.5-P{0ÉZÉ;3A;}

=0.25 즉, P{0ÉZÉ;3A;}=0.25 P(XÕÉ25+b)=0.9에서

P(XÕÉ25+b)=P{ XÕ-253 É 25+b-253 } =P{ZÉ;3B;}

=0.5+P{0ÉZÉ;3B;}=0.9 즉, P{0ÉZÉ;3B;}=0.4

크기가 9인 표본에 대한 표본평균의 분포를 구한 후 표준화하여 확률 을 구한다.

한편, 크기가 9인 표본의 표본평균 YÕ는 정규분포 N{25, 6Û`9 }, 즉 N(25, 2Û`)을 따른다.

Z= YÕ-252 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로

P{25-;3@; bÉYÕÉ25-;3@; a}

풀이전략

문제풀이

즉 N{100, {;2!;}Û` }을 따른다.

Z= X-1001

2 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 을 따른다.

P(XÕ¾101)=P _»Z¾ 101-100 12 ^¼ =P(Z¾2)

=1-P(0ÉZÉ2) =1-0.48=0.02 8P(XÕ¾101)=0.16

이때 불량품의 개수인 확률변수 Y는 이항분포 B(100, 0.02)를 따르 고, 100은 충분히 큰 수이므로

E(Y)=100_0.02=2, V(Y)=100_0.02_0.98=1.96=;2$5(;

에서 확률변수 Y는 근사적으로 정규분포 N{2, {;5&;}Û` }을 따른다.

Z= Y-2 7

5 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 르고 P(YÉk)=0.16이므로 kÉ2

P(YÉk)=P _»ZÉ k-2 75 ^¼

=P _»Z¾- k-2 75 ^¼

=0.5-P _»0ÉZÉ- k-27 5 ^¼ P(YÉk)=0.16이므로

0.5-P _»0ÉZÉ- k-2 75 ^¼=0.16

P _»0ÉZÉ- k-2 75 ^¼=0.34

표준정규분포표를 이용하여 k의 값을 구한다.

표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.34이므로 - k-2

7 5 =1 따라서 k=;5#;

 ③

해 95-104 올림포스(고난도)_확통_07강-삼2.indd 100 2019-02-15 오후 1:41:57

정답과 풀이

101 ¦

^25-^;3@; b-25

2 É YÕ-252 É25-;3@; a-25

¥

=P{-;3B;ÉZÉ-;3A;}

=P{;3A;ÉZÉ;3B;} (∵ 0<a<b)

=P{0ÉZÉ;3B;}-P{0ÉZÉ;3A;}

=0.4-0.25=0.15

 ③

22

어느 과수원에서 생산되는 사과 한 개의 무게는 평균이 320`g, 표 준편차가 32`g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 생산 되는 사과 16개를 임의추출하여 한 상자에 담아 판매하려고 한다.

16개의 사과를 담은 한 상자의 무게가 _z _P(0ÉZÉz) 0.5 0.1915 1.0 0.3413 1.5 0.4332 2.0 0.4772

5.5`kg 이상이면 특상품으로 분류할

때, 임의의 한 상자가 특상품으로 분류 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이 용하여 구한 것은?

(단, 상자의 무게는 124`g이다.)

① 0.0228 ② 0.0668 ③ 0.1587

④ 0.3413 ⑤ 0.4332

확률변수 X로 놓고 분포를 파악한다.

크기가 16인 표본평균을 XÕ로 놓고 분포를 파악한다.

특상품의 조건을 구한 후 표본평균의 분포를 구하여 답을 구한다.

특상품으로 분류될 조건을 표본평균과 관련되도록 변형한다.

과수원에서 생산되는 사과 한 개의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(320, 32Û`)을 따른다.

상자의 무게가 124`g이므로 16개의 사과의 무게가 5500-124=5376(g), 즉 16개의 사과의 무게의 평균이

5376

16 =336(g) 이상일 때, 특상품으로 분류된다.

표본평균의 분포를 구한 후 표준화하고 표준정규분포표를 이용하여 확 률을 구한다.

이때 크기가 16인 표본의 표본평균을 XÕ라 하면 XÕ는 정규분포 N{320, 32Û`16 }, 즉 N(320, 8Û`)을 따르므로 Z= X-3208 으로 표준 화하면 확률변수 Z는 표준정규분표 N(0, 1)을 따른다.

P(XÕ¾336)=P{Z¾ 336-3208 } =P(Z¾2)

=0.5-P(0ÉZÉ2) =0.5-0.4772=0.0228

풀이전략

문제풀이

따라서 특상품으로 분류될 확률은 0.0228이다.

 ①

23

평균이 m, 표준편차가 1인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평 _z _P(0ÉZÉz)

0.5 0.1915 1.0 0.3413 1.5 0.4332 2.0 0.4772 균을 XÕ라 할 때, 함수 f(m)을

f(m)= P{XÕÉ 4'§n }라 하자.

f(4)É0.9772이고 f(1)¾0.8413을 만족시키는 자연수 n의 개수를 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

① 9 ② 12 ③ 15

④ 18 ⑤ 21

분포를 파악한다.

표준화한다.

표본평균의 분포를 구한 후 표준화하여 답을 구한다.

표본평균의 분포를 구한 후 표준화하여 f(m)을 정리한다.

모집단이 정규분포 N(m, 1)을 따르므로 크기가 n인 표본평균 XÕ는 정규분포 N{m, { 1'§n }Û`}을 따른다.

Z= XÕ-m

'§n1 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 을 따르므로

f(m)=P{XÕÉ 4'§n }

=P áZÉ

'§n4 -m '§n1 â

=P(ZÉ4-m'§n )

표준정규분포표를 이용하여 n의 값의 범위를 구한다.

f(4)=P(ZÉ4-4'§n )=0.5+P(0ÉZÉ4-4'§n )É0.9772 P(0ÉZÉ4-4'§n )É0.4772

표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 4-4'§n É2에서 ;2!;É'§n , 즉 n¾1

f(1)=P(ZÉ4-'§n )=0.5+P(0ÉZÉ4-'§n )É0.8413 P(0ÉZÉ4-'§n )¾0.3413

표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1)=0.3413이므로 4-'§n¾1에서 3¾'§n , 즉 nÉ9

조건을 만족시키는 자연수 n의 개수를 구한다.

따라서 조건을 만족시키는 자연수 n의 개수는 1, 2, y, 9의 9이다.

 ①

풀이전략

문제풀이

올림포스 고난도•확률과 통계

'¶25ÉmÉXÕ+1.65_ 5 '¶25

문서에서 EBS 올림포스 고난도 확률과통계 답지 정답 (페이지 95-102)