일반수학
강의 (1)
우석대학교 에너지전기공학과
이우금 교수
1. 공리와 정의 1-1. 공리와 정의 및 정리의 의미 공리: - 증명 없이 근본적인 가정으로 받아 들여지는 것을 공리라 함. - 무증명 명제 라고도 함. (공리의 예) 실수의 덧셈에 관한 공리(여기서 𝑥, 𝑦, 𝑧 는 실수 이다) 닫힘 법칙: 𝑥, 𝑦 에 이항연산 + 가 주어질 때, 𝑥 + 𝑦 도 실수이다. 교환 법칙: 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 가 성립한다. 명제: 옳고 그름을 판단할 수 있는 문장. 즉, 참과 거짓을 명확히 구별할 수 있는 문장. (명제의 예) 『사람은 동물이다.』 이 문장은 참이므로, 이것은 참인 명제. 『공부를 열심히 하는 것은 여러분의 자유이다.』 참, 거짓을 논할 수 있는 문장이 아님. 이 문장은 참 또는 거짓을 이야기 할 수 없음. 그러므로 이 문장은 명제가 아님. 1. 공리와 정리
3 1-1. 공리와 정의 및 정리의 의미 (계속) 정의 어떤 대상을 지칭하거나 용어의 뜻을 명백하게 밝혀 규정하는 것. 수학에서는 수학적인 용어의 뜻을 규정하는 문장 또는 식을 정의라 함. 정의는 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 짐 (1) 실제적 정의 (real definition): 어떤 사물 그 자체를 지칭하는 문구 예: 해, 달, 꽃 등과 같이 실재적인 대상을 일컫는 문구 (2) 유명적 정의 (nominal definition): 어떤 단어나 용어를 또 다른 단어들의 도움으로 정의 하는 것. 예:『두 변의 길이가 같은 삼각형을 2등변 삼각형이라 한다.』 『한 내각의 크기가 직각인 삼각형을 직각 삼각형이라 한다.』 정리: 수학적 논증의 결과 옳다는 것이 증명된 사항 중에서 중요한 것을 정리라 함. 즉, 근본적인 가정으로 받아들여진 공리와 정의를 토대로 옳다는 것이 증명된 것 중 비교적 중요한 것을 정리라 함. 수학은 공리와 정의 그리고 이들을 토대로 옳다고 증명된 수많은 정리들로 이루어져 있음. 1. 공리와 정리
베르누이 정리
비행기가 공중에 뜨는 이유
- 항공사 면접 질문: 비행가 어떻게 뜨는가 ? - 양력: 양력은 왜 발생하는가? (양력이 발생하는 과학적 원리)
- 베르누이 원리: 베르누이 원리가 어떻게 비행기에 적용 되는가?
- 비행기날개의 비밀 - 비행기 날개의 단면 - 양력 > 중력 비행기를 위로 뜰 수 있게 하는 힘 “유체의 속력이 증가하면 그 부분의 압력은 감소한다” - 간단한 실험을 통한 베르누이 원리 확인: 달리는 차에서 창문을 열면… 퀴즈: 야구공의 방향은?
위5 2. 집합 2-1. 집합의 정의 집합은 다음 두 가지 조건을 만족하는 것들의 모임을 말한다. (1) 어떤 것이 그 집합에 들어 있는지 아닌지 식별할 수 있다. (2) 그 집합에서 두 개를 뽑아냈을 때, 그것이 서로 같은 것인지 또는 다른 것인지를 식별할 수 있다. <예시> 바구니 속에 있는 탁구공: 집합인가 아닌가? 2-2. 집합을 나타내는 방법 원소나열 법 1, 2, 3 과 같이 대상이 되는 1, 2, 3을 괄호 안에 나열하여 나타내는 방법. 조건제시 법 𝑥|𝑥 는 자연수 와 같이 대상의 공통적인 성질을 설명하여 집합을 나타내는 방법. 𝑥 가 집합 A에 속한 대상일 때, 𝑥 ∈ 𝐴 라 쓰고, 𝑥 를 집합 𝐴 의 원소라 한다. 𝑥 가 𝐴 의 원소가 아닐 때, 𝑥 ∉ 𝐴 라고 쓴다. (예) 𝑁 이 자연수의 집합일 때, 1 ∈ 𝑁 이지만, −1 ∉ 𝑁 이다. 2. 집합
2-3. 집합의 연산 (1) 공집합: 어떤 원소도 갖지 않는 집합, ∅ 로 표기. (2) 두 집합 𝐴, 𝐵 의 원소가 모두 같을 때, 𝐴 와 𝐵 는 같다라고 하며, 𝐴 = 𝐵 로 쓴다. (3) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 합집합은 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑟 𝑥 ∈ 𝐵 이다. (4) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 교집합은 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝑥 ∈ 𝐵 이다. (5) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 차집합은 𝐴 − 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑛𝑑 𝑥 ∉ 𝐵 이다. (6) 집합 𝐴 의 모든 원소가 집합 𝐵 의 원소 일 때, 𝐴 는 𝐵 의 부분집합이고, 𝐴 ⊂ 𝐵 로 표기. (7) 𝑈 가 전체집합 이고, 𝐴 ⊂ 𝑈 일 때, 𝑈 − 𝐴 를 𝐴 의 여집합이라 하고, 𝐴𝑐 로 표기. (집합연산 예) 전체집합 𝑈 = 1, 2, 3, 4, 5 이고, 𝐴 = 1, 2, 3 , 𝐵 = 3, 4 라고 하면, 𝐴 ⊂ U 𝐵 ⊂ 𝑈 𝐴 ∪ 𝐵 = 1, 2, 3, 4 𝐴 ∩ 𝐵 = 3 𝐴 − 𝐵 = 1, 2 𝑐 2. 집합 4 1 2 3 5 A B U
7 3. 실수의 분류 정수 : 양수(자연수), 0 및 음수를 정수라 함. 유리수: 정수 𝑚, 𝑛(𝑛 ≠ 0) 에 대하여 𝑚𝑛 의 분수의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라 함. 무리수: 2 , π 등과 같이 순환하지 않는 무한 소수로써, 분수로 나타낼 수 없는 수를 무리수라 함. 실수: 유리수와 무리수를 통틀어 실수라 함. 3. 실수 정수 실수 양의 정수 (1, 2, 3, …) 유리수 영 (0) 음의 정수 (-1, -2, -3, …) 제곱근 ( ± 2, ± 3, …) 정수가 아닌 유리수 유한소수 ( ± 14 , ±0.75, …) 무한소수 ( ±13 , …) 비순환 무한소수 (π=3,141592… , sin 10𝑜 = 0.1736 …) 무리수
4. 함수 4-1. 함수의 정의 (그림1.1)과 같이 두 집합 𝑋, 𝑌 에서, 𝑋 의 각 원소에 𝑌 의 원소가 오직 하나씩 대응 할 때, 이 대응을 𝑋 에서 𝑌 로의 함수(function)라 하고,
