우석대학교 에너지전기공학과

공학수학 (13~14)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

※ 중간시험: 4월20일 (수) 2~3교시

 open note: A4 용지 1장.

<Review>

□ 행렬식의 전개

 사러스 (Sarrus) 방법: 2, 3차 행렬식  라플라스 전개법 (Laplace method) : 3차 이상 고차 행렬식  기본 행연산: 3차 이상 고차 행렬식

□ 기본 행연산

 행렬식의 성질을 이용하여 주어진 행렬식을 단순화 또는 축소시켜 간단히 구하는 방법.  행렬식의 성질 (1) 행렬A 와 전치행렬

𝑨

𝑻의 행렬식은 같다. det 𝐴 = 1 3_{2 4} = 4 − 6 = −2 det 𝐴𝑇 _{= 1 2} 3 4 = 4 − 6 = −2

(2) 행렬A 의 두 행(또는 열)이 일치하거나 비례하면, 그 행렬식의 값은 0. 1 1 2 3 23 3 0 1 = 0 det(A ) = 1 2 2 3 40 3 6 1 = 0 det(B ) = (3) 행렬A 의 한 행(또는 열)의 모든 원소가 0이면, 행렬식의 값은 0. (4) 대각행렬 및 삼각행렬의 행렬식의 값은 주대각 원소의 곱과 같다. 𝑎₁₁ 0 𝑎₂₁ 𝑎₃₁ 0₀ 𝑎₁₃ 𝑎23 𝑎₃₃ = 0 det(A ) = 2 0 0 0 10 0 0 3 = 6 det(A ) = (대각행렬의 행렬식) 2 5 0 0 10 7 4 2 = 4 det(A ) = (삼각행렬의 행렬식) 6. 행렬식

(5) 행렬식의 한 행(또는 열)에 k배 한 것은 행렬식의 값에 k 배 한 것과 같다. (6) 행렬식의 두 행(또는 열)을 서로 바꾸면, 바꾼 행렬식의 값은 -1을 곱한 것과 같다. (7) 행렬식의 한 행(또는 열)에 k배를 다른 행에 더해도 행렬식의 값은 변치 않는다. 1 2 2 1 40 0 1 1 = det(A ) = 2 1 1 2 1 20 0 1 1 = det(B ) = 1 2 2 1 10 0 1 1 = det(A ) = 2 1 1 0 21 0 1 1 = det(B ) = 1 1 2 1 10 0 1 1 = det(A ) = 1 1 (2− 2 × 1) 1 (1− 2 × 1)0 0 (1− 2 × 0) 1 = det(B ) =

 예제) 행렬식 A 의 값을 기본행 연산과 라플라스 전개를 이용하여 구하라. 1) 1행×(-2) + 2행 2) 1행×1 + 3행 3) 1행×2 + 4행 1 2 −1 −2 3 2 −1 −1 3 1 2 1 1 −5 2 3 = 1 2 − 2 −1 + 1 −2 + 2 3 2 −1 −1 − 6 3 − 4 1 + 2 2 + 3 1 + 2 1 − 1 −5 + 6 2 + 4 3 − 2 = 1 0 0 0 3 2 −1 −7 −1 3 5 3 0 1 6 1 𝑨 = 1 2 −1 −2 3 2 −1 −1 3 1 2 1 1 −5 2 3 𝑨 = = 𝑎₁₁𝐴₁₁+ 𝑎₂₁𝐴₂₁+ 𝑎₃₁𝐴₃₁ + 𝑎₄₁𝐴₄₁ = 𝑎₁₁ 𝑀₁₁− 𝑎₂₁𝑀₂₁+ 𝑎₃₁𝑀₃₁− 𝑎₄₁𝐴₄₁ = 1 −7 −1 35 3 0 − 0 × 𝑀₂₁ +0 × 𝑀₃₁ − 0 × 𝑀₄₁ = −21 + 0 + 90 − 9 − 5 + 0 = 65 4) 제 1열에 관한 전개 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗ㆍ𝑀𝑖𝑗 6. 행렬식

6-3 행렬과 행렬식의 응용

6-3-1 연립방정식

 m원 n차 방정식: 미지수 m, n차 인 방정식 예) 두 개의 미지수(𝑥₁, 𝑥₂) 와 1차인 방정식: 2원1차 방정식 𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ = 𝑏₁ 𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥₂ = 𝑏₂  위의 2원1차 방정식의 해를 구하면,  3원1차 방정식의 해는? 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑎₂₂𝑥₂ = 𝑎₂₂𝑏₁ 𝑎₁₂𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑎₂₂𝑥₂ = 𝑎₁₂𝑏₂ (𝑎11𝑎22−𝑎12𝑎21) 𝑥1= (𝑎22𝑏1 − 𝑎12𝑏2) 𝑎₁₁𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑎₂₁𝑥₂ = 𝑎₂₁𝑏₁ 𝑎₁₁𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑥₂ = 𝑎₁₁𝑏₂ (𝑎12𝑎21−𝑎11𝑎22) 𝑥2= (𝑎21𝑏1− 𝑎11𝑏2) 𝑥₁ = (𝑎22𝑏1 − 𝑎12𝑏2) (𝑎₁₁𝑎₂₂− 𝑎₁₂𝑎₂₁) 𝑥2 = (𝑎11𝑏2− 𝑎21𝑏1) (𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21)

6-3-2. 행렬과 행렬식으로의 변환

 2원1차 연립방정식: 두 개의 미지수(𝑥₁, 𝑥₂) 와 1차인 방정식 𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ = 𝑏₁ 𝑎21𝑥2 + 𝑎22𝑥2 = 𝑏2  위의 2원1차 방정식을 행렬로 나타내면,

 위의 식에서 계수 행렬 A 의 행렬식을 구하고, 이를 D 라 하면  계수행렬 A 의 제1열을 열 행렬 B 로 대치한 행렬의 행렬식을 구하고, 이를 D1 이라 하면,  계수행렬 A 의 제2열을 열 행렬 B 로 대치한 행렬의 행렬식을 구하고, 이를 D2 라 하면, 𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ 𝑎₂₁𝑥₂+ 𝑎₂₂𝑥₂ = 𝑏𝑏1₂ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑥𝑥1₂ = 𝑏_𝑏1₂ AX = B D1 = 𝑏1 𝑎12 𝑏₂ 𝑎₂₂ = 𝑏1𝑎22− 𝑎12𝑏2 D2 = 𝑎11 𝑏1 𝑎₂₁ 𝑏₂ = 𝑎11𝑏2− 𝑎21𝑏1 D = det(A ) = 𝑎_𝑎11 𝑎12 21 𝑎22 = 𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21 6. 행렬식

6-3-3. 크라머의 공식 (Cramers rule)

 2원1차 방정식

 행렬식 D, D1, D2  행렬식 𝑫𝟏 𝑫 를 구하면,  행렬식 𝑫𝟐 𝑫 를 구하면,  2원1차 연립방정식의 해? 𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ 𝑎₂₁𝑥₂+ 𝑎₂₂𝑥₂ = 𝑏𝑏12 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑥𝑥1₂ = 𝑏_𝑏1₂ AX = B 𝑫𝟏 𝑫

=

(𝑏₁𝑎₂₂− 𝑎₁₂𝑏₂) (𝑎₁₁𝑎₂₂− 𝑎₁₂𝑎₂₁) 𝑫𝟐 𝑫

=

(𝑎₁₁𝑏₂− 𝑎₂₁𝑏₁) (𝑎₁₁𝑎₂₂− 𝑎₁₂𝑎₂₁) 𝑥1 = (𝑎22𝑏1− 𝑎12𝑏2 ) (𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21) 𝑥2 = (𝑎11𝑏2− 𝑎21𝑏1) (𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21) 𝐷1 = 𝑏_𝑏1 𝑎12 2 𝑎22 = 𝑏1𝑎22− 𝑎12𝑏2, 𝐷3 = 𝑎 11 𝑏1 𝑎₂₁ 𝑏₂ = 𝑎11𝑏2− 𝑎21𝑏1 𝐷 = 𝑎_𝑎11 𝑎12 21 𝑎22 = 𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21,

6-3-4. 3원1차 연립방정식

 의 형태로 표시하면,  행렬식 D, D1, D2, D3 를 구하라.  연립방정식의 해

𝑥

₁

, 𝑥

₂

, 𝑥

₃를 구하라. 𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ 𝑎₁₃𝑥₃ 𝑎₂₁𝑥₂+ 𝑎₂₂𝑥₂+ 𝑎₂₃𝑥₃ 𝑎₃₁𝑥₁ + 𝑎₃₂𝑥₂+ 𝑎₃₃𝑥₃ = 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏3 AX = B 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2 𝑎₃₁𝑥₁ + 𝑎₃₂𝑥₂ + 𝑎₃₃𝑥₃ = 𝑏₃ AX = B 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 𝑥₁ 𝑥2 𝑥₃ = 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 6. 행렬식

예제) 다음의 연립방정식의 해를 크라머 공식을 이용하여 구하라

1-1) 1-2)

𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃ = 1 𝑥₁+ 2𝑥₂+ 3𝑥₃ = 0 𝑥₁+ 3𝑥₂+ 6𝑥₃ = 0 𝑥₁+ 2𝑥₂+ 𝑥₃ = 5 2𝑥₁+ 2𝑥₂ + 𝑥₃ = 6 𝑥1+ 2𝑥2+ 3𝑥3 = 9

 두 집합 X, Y에서, X의 각 원소에 Y의 원소가 1:1 매칭 할 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수(function)라 하고 _{𝑦 = 𝑓(𝑥) 로 표시함.}

𝑥 ㆍ ㆍ ㆍ ㆍ 공역 (codomain) 𝑦 ㆍ ㆍ ㆍ ㆍ X Y 정의역 (domain) 함수 𝑓 의 치역 (range)

중간시험 총정리

 함수

함수 𝑓  역함수  함수 𝒇 : X Y 가 일대일 대응일 때, Y의 각 원소 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 = 𝑦 인 X의 원소 𝑥 가 단 하나 존재하므로, Y를 정의역, X를 치역으로 하는 Y 에서 X 로의 함수를 얻을 수 있음.  이 함수를 𝑓 의 역함수(inverse function)라 하고, 𝑓−1 _{: Y X 로 표시하며, 𝑥 = 𝑓}−1 _{𝑦 로 표기함.} ※ 일대일 대응이 아니면, 역함수는 존재하지 않는다.

 정수의 지수법칙 (m, n 이 정수 일 때)

1) 𝑎𝑚 _{× 𝑎}𝑛 _{= 𝑎}𝑚+𝑛 2) (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 3) _(𝑎𝑏)𝑚_{= 𝑎}𝑚_𝑏𝑚 4) (𝑏_𝑎)𝑚 = 𝑏_𝑎𝑚_𝑚 5) 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 𝑜𝑟 1 (𝑚 = 𝑛 일 때) * 단, 4, 5 에서 a ≠ 0

 유리수의 지수법칙 ( a>0 이고 m, n 이 정수 일 때)

1) 𝑛 𝑎 _{= 𝑎𝑛}1 2) 𝑛 𝑎𝑚 _{= 𝑎}𝑚_𝑛 3) 𝑎−𝑚𝑛 = 1 𝑎𝑚𝑛

2. 지수함수(exponential function)

3. 로그함수(logarithmic function)

 로그의 정의

 임의의 양수 𝑏 에 대해, 𝑎

𝑥

_{= 𝑏 , (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 ) 를 만족시키는 실수 𝑥 는 오직 하나 존}

재함.

 이 임의의 양수 𝑏 에 대한 𝑥 값은, 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑏 로 표시됨.

- 여기서,

𝑥 는 𝑎 를 밑(base)으로 하는 𝑏 의 로그(logarithm)라고 하며,

𝑏 는 𝑎 를 밑(base)으로 하는 로그 𝑥 의 진수(anti-logarithm)라 함.

 로그의 기본 성질: 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 이고, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 일 때,

1)

𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑎 = 1, 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

1 = 0

2) 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥𝑦 = 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥 + 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑦

3) 𝑙𝑜𝑔

_𝑎 𝑥 𝑦

= 𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑥 − 𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑦, (즉, 𝑙𝑜𝑔

𝑎 1 𝑦

= −𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑦 )

4)

𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥

𝑛

= 𝑛𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥 (n 은 실수), (그러므로, 𝑙𝑜𝑔

_𝑎𝑛

𝑥

₌

1 𝑛

𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑥 )

5) 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑏 =

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

=

1 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 로그함수

4. 삼각함수(Trigonometrical function)

 60분법과 호도법

 60분법  직각을 90등분한 1등분을 1도 (1°), 1도의 1/60을 1분, 1분의 1/60을 1초라 함.  호도법  반지름 r인 원(그림 4-1.1) 에서 반지름과 같은

길이의 원호에 대한 중심각 ∠AOB의 크기를 ※ ∠AOB = 1 [rad]

1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계

 원의 둘레: 2π𝑟 (반지름의 2π 배) 2π𝑟: 𝑟 = 360°: 1  360°= 2π [rad] O B A

r

r

60분법 0° ₃₀° ₄₅° ₆₀° ₉₀° ₁₂₀° ₁₈₀° ₂₇₀° ₃₆₀° 호도법 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π₃ π 3π₂ 2π (그림 4-1.1)

 사인함수의 진폭과 주기



𝑦 = 𝐴sin ω𝑥, (𝐴 ≠ 0)

의 진폭과 주기  최대값:

𝐴

, 최소값:

− 𝐴

 주기:

𝑇 =

2π ω

(=

360° ω

)

 주파수:

𝑓 =

1 𝑇

=

ω 2π

(=

ω 360°

)

 각속도:

ω

 위상이동

 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅), (𝐴 ≠ 0) 는 𝑥 =_ω∅ 에서 시작하여, 𝑥 = 2π_ω +_ω∅ 에서 한 주기가 끝난다.  그러므로, 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥 − ∅) 의 그래프는 𝑦 = 𝐴sin(ω𝑥) 의 그래프를 _ω∅ 만큼 수평 으로 평행 이동한 것 같다. 삼각함수 ∅ ω 2π ω + ∅ ω 주기= 2π ω 0 𝑦 𝑥 위상이동= ∅ ω

5. 행렬 (matrix)

 행렬의 정의

 수 또는 문자(수를 나타내는)를 괄호 안에 사각형의 형태로 배열한 것.  괄호 안의 수 또는 문자를 행렬의 원소(element) or 성분(component) 이라 함.  행렬의 가로 줄을 행(row), 세로 줄을 열(column) 이라 함.  행렬은 일반적으로 A, B, C, … 등의 고딕체 문자로 표기.  한 행으로 구성된 행렬: 행 행렬 또는 행 벡터  한 열로 구성된 행렬: 열 행렬 또는 열 벡터

2 3

4 5

6 7

제1행 제2행 제3행 제 1 열 제 2 열 예) 3×2 행렬 A =

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

… 𝑎

_1𝑛

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

… 𝑎

_2𝑛

.

.

.

𝑎

_𝑚1

.

.

.

𝑎

_𝑚2

.

.

.

𝑎

𝑚𝑛 제1행 제2행 제m행 제 1 열 제 2 열 일반적 표기: m×n 행렬 A = 제 n 열

 특수행렬

 정방행렬 (square matrix): 행렬의 열과 행의 수가 같은 행렬

(1) 정방행렬의 차수: m×m 행렬을 m차 정방행렬 이라 하고, m을 행렬의 차수(order)라 함. (2) 주 대각선(점선): 정방행렬의 첫 원소부터 마지막 원소를 대각선으로 연결한 선.

(3) 주대각 원소(principal diagonal element): 주 대각선상에 위치한 원소.

(4) 대각행렬 (diagonal matrix): 주대각 원소를 제외한 모든 원소가 0인 정방행렬.

(5) 단위행렬 (identity or unit matrix): 대각행렬에서 주대각 원소가 1일 행렬, I 로 표기 함. (6) 삼각행렬 (triangular matrix); 주대각 원소의 위 또는 아래의 모든 원소가 0인 행렬. (7) 대칭행렬 (symmetric matrix): 주대각선에 대칭인 행렬. 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 주대각 원소 ( 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, 즉 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑖 ) 예) 3차 정방행렬 A = 𝑎11 0 0 0 𝑎22 0 0 0 𝑎33 <대각행렬> A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 <단위행렬> A = 𝑎₁₁ 0 0 𝑎21 𝑎22 0 𝑎31 𝑎32 𝑎33 or 𝑎11 𝑎12 𝑎13 0 𝑎22 𝑎23 0 0 𝑎33 <삼각행렬> A = 1 4 5 4 2 6 5 6 3 <대칭행렬> A = 행렬

 영행렬 (null matrix): 행렬의 모든 원소가 0인 행렬.  전치행렬 (transpose matrix): (1) 행렬 A 에서 행과 열을 바꾼 행렬. (2) 행렬 A 의 전치행렬의 표시: 𝐴𝑇, ( 𝑎_𝑖𝑗 = 𝑏_𝑗𝑖 ) ※ A와

𝑨

𝑻 가 같은 행렬: 대칭행렬 (즉, 𝑎_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑗𝑖 )

1 4 5

6 2 7

7 8 3

A =

1 6 7

4 2 8

5 7 3

𝑨

𝑻 ₌

 행렬의 연산

 행렬의 곱 (1) 두 행렬의 곱 AB 는 A 의 열과 B 의 행의 수가 경우에 만 정의 된다. (2) 즉, 행렬 A(m×n)와 B (n×p) 의 곱은 C(m×p) 행렬이 된다. (3) 그러므로, 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않음 (즉, AB ≠ BA )

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

,

A =

𝑏

11

𝑏

12

𝑏

13

𝑏

₂₁

𝑏

₂₂

𝑏

₃₃ 에서 AB 를 구하면

B =

(𝑎

₁₁

𝑏

₁₁

+ 𝑎

₁₂

𝑏

₂₁

) (𝑎

₁₁

𝑏

₁₂

+ 𝑎

₁₂

𝑏

₂₂

) (𝑎

₁₁

𝑏

₁₃

+ 𝑎

₁₂

𝑏

₃₃

)

(𝑎

₂₁

𝑏

₁₁

+ 𝑎

₂₂

𝑏

₂₁

) (𝑎

₂₁

𝑏

₁₂

+ 𝑎

₂₂

𝑏

₂₂

) (𝑎

₂₁

𝑏

₁₃

+ 𝑎

₂₂

𝑏

₃₃

)

AB = BA = 존재하지 않음 행렬

6. 행렬식 (determinant)

 행렬식의 정의

 행렬식은 반드시 행과 열의 수가 같은 정방행렬에서 만 정의됨.  n×n 인 정방행렬에 대한 행렬식을 n차 행렬식이라 함.  행렬식과 행렬을 구분하기 위하여 원소집합의 양쪽에 두 개의 수직선“ ”의 기호로 표시.  행렬 A의 행렬식은 det(A) 또는

𝑨

로 표시함. ※ 행렬식 det(A)은 행렬 A의 함수.

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂ 예) 2차 행렬식 det(A) =

 행렬식의 전개

 사러스 (Sarrus) 방법: 2, 3차 행렬식  라플라스 전개법 (Laplace method) : 3차 이상 고차 행렬식  기본 행연산: 3차 이상 고차 행렬식

 사러스(Sarrus) 방법

 시계 방향의 곱에는 (+), 반 시계 방향의 곱에는 (-)를 붙여 계산 함.  사러스 방법에 의한 2차 행렬식 전개  3차 행렬식의 전개

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₂

= 𝑎

11

𝑎

22

− 𝑎

12

𝑎

21 예) 2차 행렬식 det(A ) = (+) (-)

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₁

𝑎

𝑎

₃₂22

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃

= 𝑎

11

𝑎

22

𝑎

33

+ 𝑎

12

𝑎

23

𝑎

31

+ 𝑎

13

𝑎

32

𝑎

21

− 𝑎

13

𝑎

22

𝑎

31

−𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₃₃

− 𝑎

₁₁

𝑎

₃₂

𝑎

₂₃ det(A ) = (+) (+) (-) (-) 행렬식

 라플라스 전개법

 소 행렬식 (minor determinant) - 행렬식에서 𝑎_𝑖𝑗 가 속하는 행과 열을 제외한 나머지 원소로 이루어진 행렬식. - 이 행렬식을 𝑀_𝑖𝑗 로 표기함.  여인수 (𝐴_𝑖𝑗 ) - 소 행렬식 (𝑀_𝑖𝑗 )에 부호 (−1)𝑖+𝑗 _{를 곱한 것.} - 원소의 행 번호와 열 번호의 합인 (i+j) 가 짝수이면 (+), 홀수이면 (-) 부호를 붙인다.

𝑎

₁₁

𝑎

₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

31

𝑎

₂₂

𝑎

32

𝑎

₁₃

𝑎

₂₃

𝑎

₃₃ det(A ) = 예) 소 행렬식 𝑀₁₂

𝑎

₂₁

𝑎

₂₃

𝑎

₃₁

𝑎

₃₃

𝑀

₁₂

=

𝐴

_𝑖𝑗

=(−1)

𝑖+𝑗

ㆍ

𝑀

_𝑖𝑗 𝐴₁₂= (−1)1+2_ㆍ𝑀 12 = − 예) 여인수 𝐴12

𝑎

₂₁

𝑎

₂₃

𝑎

₃₁

𝑎

₃₃ 𝐴12 = −(𝑎21𝑎33− 𝑎23𝑎31)

(2) 행렬A 의 두 행(또는 열)이 일치하거나 비례하면, 그 행렬식의 값은 0. 1 1 2 3 23 3 0 1 = 0 det(A ) = 1 2 2 3 40 3 6 1 = 0 det(B ) = (3) 행렬A 의 한 행(또는 열)의 모든 원소가 0이면, 행렬식의 값은 0. (4) 대각행렬 및 삼각행렬의 행렬식의 값은 주대각 원소의 곱과 같다. 𝑎₁₁ 0 𝑎₂₁ 𝑎₃₁ 0₀ 𝑎₁₃ 𝑎₂₃ 𝑎33 = 0 det(A ) = 2 0 0 1 00 = 6 det(A ) = (대각행렬의 행렬식) 2 5 0 1 74 = 4 det(A ) = (삼각행렬의 행렬식) 행렬식

 기본 행연산

 행렬식의 성질을 이용하여 주어진 행렬식을 단순화 또는 축소시켜 간단히 구하는 방법.  행렬식의 성질 (1) 행렬A 와 전치행렬

𝑨

𝑻의 행렬식은 같다.

(5) 행렬식의 한 행(또는 열)에 k배 한 것은 행렬식의 값에 k 배 한 것과 같다. (6) 행렬식의 두 행(또는 열)을 서로 바꾸면, 바꾼 행렬식의 값은 -1을 곱한 것과 같다. (7) 행렬식의 한 행(또는 열)에 k배를 다른 행에 더해도 행렬식의 값은 변치 않는다. 1 2 2 1 40 0 1 1 = det(A ) = 2 1 1 2 1 20 0 1 1 = det(B ) = 1 2 2 1 10 0 1 1 = det(A ) = 2 1 1 0 21 0 1 1 = det(B ) = 1 1 2 1 10 0 1 1 = det(A ) = 1 1 (2− 2 × 1) 1 (1− 2 × 1)0 0 (1− 2 × 0) 1 = det(B ) =

 예제) 행렬식 A 의 값을 기본행 연산과 라플라스 전개를 이용하여 구하라. 1) 1행×(-2) + 2행 2) 1행×1 + 3행 3) 1행×2 + 4행 1 2 −1 −2 3 2 −1 −1 3 1 2 1 1 −5 2 3 = 1 2 − 2 −1 + 1 −2 + 2 3 2 −1 −1 − 6 3 − 4 1 + 2 2 + 3 1 + 2 1 − 1 −5 + 6 2 + 4 3 − 2 = 1 0 0 0 3 2 −1 −7 −1 3 5 3 0 1 6 1 𝑨 = 1 2 −1 −2 3 2 −1 −1 3 1 2 1 1 −5 2 3 𝑨 = = 𝑎₁₁𝐴₁₁+ 𝑎₂₁𝐴₂₁+ 𝑎₃₁𝐴₃₁ + 𝑎₄₁𝐴₄₁ = 𝑎₁₁ 𝑀₁₁− 𝑎₂₁𝑀₂₁+ 𝑎₃₁𝑀₃₁− 𝑎₄₁𝐴₄₁ = 1 −7 −1 35 3 0 − 0 × 𝑀₂₁ +0 × 𝑀₃₁ − 0 × 𝑀₄₁ = −21 + 0 + 90 − 9 − 5 + 0 = 65 4) 제 1열에 관한 전개 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗ㆍ𝑀𝑖𝑗 행렬식

 크라머의 공식 (Cramers rule)

 2원1차 방정식

 행렬식 D, D1, D2  행렬식 𝑫𝟏 𝑫 를 구하면,  행렬식 𝑫𝟐 𝑫 를 구하면,  2원1차 연립방정식의 해? 𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ 𝑎₂₁𝑥₂+ 𝑎₂₂𝑥₂ = 𝑏𝑏12 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑥𝑥1₂ = 𝑏_𝑏1₂ AX = B 𝑫𝟏 𝑫

=

(𝑏₁𝑎₂₂− 𝑎₁₂𝑏₂) (𝑎₁₁𝑎₂₂− 𝑎₁₂𝑎₂₁) 𝑫𝟐 𝑫

=

(𝑎₁₁𝑏₂− 𝑎₂₁𝑏₁) (𝑎₁₁𝑎₂₂− 𝑎₁₂𝑎₂₁) 𝑥1 = (𝑎22𝑏1− 𝑎12𝑏2 ) (𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21) 𝑥2 = (𝑎11𝑏2− 𝑎21𝑏1) (𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21) 𝐷1 = 𝑏_𝑏1 𝑎12 2 𝑎22 = 𝑏1𝑎22− 𝑎12𝑏2, 𝐷3 = 𝑎 11 𝑏1 𝑎₂₁ 𝑏₂ = 𝑎11𝑏2− 𝑎21𝑏1 𝐷 = 𝑎_𝑎11 𝑎12 21 𝑎22 = 𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21,

 3원1차 연립방정식

 의 형태로 표시하면, 𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ 𝑎₁₃𝑥₃ 𝑎₂₁𝑥₂+ 𝑎₂₂𝑥₂+ 𝑎₂₃𝑥₃ 𝑎₃₁𝑥₁ + 𝑎₃₂𝑥₂+ 𝑎₃₃𝑥₃ = 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏3 AX = B 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2 𝑎₃₁𝑥₁ + 𝑎₃₂𝑥₂ + 𝑎₃₃𝑥₃ = 𝑏₃ AX = B 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 𝑥₁ 𝑥2 𝑥₃ = 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝐷 = 𝑎𝑎1121 𝑎12 𝑎31 𝑎22 𝑎32 𝑎𝑎1323 𝑎33 𝐷1 = 𝑏𝑏12 𝑎12 𝑏3 𝑎22 𝑎32 𝑎𝑎1323 𝑎33 , 𝐷2 = 𝑎₁₁ 𝑏₁ 𝑎21 𝑎31 𝑏2 𝑏3 𝑎𝑎1323 𝑎33 , 𝐷3 = 𝑎𝑎1121 𝑎12 𝑎31 𝑎22 𝑎32 𝑏𝑏12 𝑏3 𝑥₁ = 𝐷1_𝐷 , 𝑥₂ = 𝐷2_𝐷 , 𝑥₃ = 𝐷3_𝐷 행렬식