2013학년도(2012년 실시) 수학Ⅰ 수능특강

이 책의

차례

EBS

i

홈페이지(www.ebs

i

.co.kr)에 들어 오셔서 회원으로 등록하세요.

본 방송 교재의 강의 프로그램은 EBS 인터넷 방송을 통해 다시 보실 수 있습니다. (VOD 무료 서비스 실시) 단원명 집필자 쪽수

01.

행렬과 그 연산

ㅣ

이병만

ㅣ

4

02.

역행렬과 연립일차방정식

ㅣ

이병만

ㅣ

16

03.

그래프와 행렬

ㅣ

이병만

ㅣ

30

04.

지수

ㅣ

임미선

ㅣ

40

05.

지수함수

ㅣ

김경돈

ㅣ

50

06.

로그

ㅣ

김경돈

ㅣ

62

07.

로그함수

ㅣ

김경돈

ㅣ

76

08.

등차수열과 등비수열

ㅣ

조정묵

ㅣ

88

09.

여러 가지 수열

ㅣ

조정묵

ㅣ

100

10.

수학적 귀납법과 순서도

ㅣ

조정묵

ㅣ

114

11.

무한수열의 극한

ㅣ

임미선

ㅣ

126

12.

무한급수

ㅣ

임미선

ㅣ

138

구성

및

활용법

이 책의 활용법

이 책의 구성

본 교재를 통해 기대한 바의 학습 효과를 거두기 위해서는 다음의 두 가지 사항을 유념하여야 합니다. 첫째, 본 교재는 수학교육과정과 교과서의 내용을 준수하여 집필되었기에 교과서와 연계하여 공부하여 야 수능 준비에 만전을 기할 수 있습니다. 둘째, 본 교재는 방송과 교재를 입체적으로 활용해야 학습효과 를 높일 수 있기에 학생 본인의 창의적이고도 실천적인 방송 학습 계획이 중요합니다. 예습 없이 TV 앞

1.

개념 정리 & 확인 문제

교과서의 핵심 내용을 체계적으로 정리하였으며 개념, 정리, 공식 에 대한 이해를 확인할 수 있는 문제들을 제시하였다.

2.

예제 & 유제

예제는 개념을 적용한 대표문항으로 문제를 해결하는데 필요한 주요 개념을 풀이전략으로 제시하여 풀이과정의 이해를 돕도록 하였고 유제는 예제와 유사한 내용의 문제나 일반화된 문제를 제 시하여 학습내용과 문제에 대한 연관성을 익히도록 구성하였다.

3.

출제 경향 & 대표 기출 문제

대학수학능력시험과 모의평가 기출문항과 변형문제로 구성하였 으며 기존 출제유형을 파악할 수 있도록 출제경향과 출제의도를 제시하였다.

4. Level 1 - Level 2 - Level 3

Level 1 기초연습문항은 기초개념의 인지정도를 확인할 수 있는 문항 을 제시하였으며, Level 2 기본연습은 기본응용문제를, 그리고 Level 3 실력완성은 수학적 사고력과 문제해결능력을 함양할 수 있는 문항 들과 신유형 문항을 제시하여 대학수학능력시험 실전에 대비할 수 있 도록 구성하였다.

|

행렬과그연산

01

1.

행렬의 뜻

⑴ 수 또는 문자를 직사각형 형태로 배열하여 괄호 (

)로 묶어 나타낸 것을 행렬이라고 한다. 이때, 행렬을 이

루는 각각의 수나 문자를 그 행렬의 성분이라고 한다.

⑵ 행렬의 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 세로로 배열한 줄을 열이라

고 한다. 일반적으로 m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬을 m_n행렬

또는 m행 n열의 행렬이라 하고, 특히 n_n행렬을 n차 정사각행렬이라고

한다.

⑶ 일반적으로 행렬은 알파벳의 대문자 A, B, C, y를 사용하여 나타내고, 성

분은 알파벳의 소문자 a, b, c, y를 사용하여 나타낸다. 또, 행렬 A의 제i행과 제j열이 만나는 위치에 있는

성분을 행렬 A의 (i, j)성분이라 하고 기호로

a‘Δ와 같이 나타낸다.

즉, 2_3행렬 A`의 (i, j)`성분이 a

‘Δ이면

⋯

⋯A=(a

‘Δ)={

} (단, i=1, 2, j=1,` 2, 3`)

2.

서로 같은 두 행렬

⑴ 두 행렬 A, B의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, 두 행렬은 서로 같은 꼴의 행렬이라고 한다.

⑵ 두 행렬 A, B가 같은 꼴의 행렬이고 대응하는 성분이 각각 같을 때, 두 행렬은 서로 같다고 하며 기호로

A=B와 같이 나타낸다.

즉, A={

}, B ={

}일 때

⋯

⋯A=B

HjK a¡¡= b¡¡, a¡™=b¡™, a™¡=b™¡, a™™=b™™

b¡¡ b¡™

b™¡ b™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

a¡¡ a¡™ a¡£

a™¡ a™™ a™£

제1행 제 1 열 제 2 열 제 3 열 제2행

{

}

1 2 3

2 3 4

0

1

2_3행렬 A`의 (i, j)성분 a‘Δ가 a‘Δ= ij-(i+j)일 때, 행렬 A의 모든 성분의 합은?

① -4

② -3

③ -2

④ -1

⑤ 0

0

2

다음 등식을 만족하는 실수 x, y에 대하여 x+y의 값을 구하시오.

⋯

⋯{

}={

}

5

1

7

3

5

x+2y

2x-y

3

확인문제 정답과 풀이 4쪽

0

3

세 행렬 A={

}, B={

}, C={

}가 등식 A-B=C를 만족시킬 때, 네 실수

x, y, z, w의 합 x+y+z+w의 값을 구하시오.

-y

w

z

-1

2x

w

0

3

x

z

4

y

0

4

A={

-1

2

2

0

확인문제 정답과 풀이 4쪽

3.

행렬의 덧셈과 뺄셈

⑴ 두 행렬 A, B가 같은 꼴의 행렬일 때, 두 행렬 A, B의 덧셈과 뺄셈은 각각 다음과 같이 정의한다.

A={

}, B={

}에 대하여

A=

_A+B={

}, A-B={

}

⑵ 행렬의 모든 성분이 0일 때, 이 행렬을 영행렬이라 하고 일반적으로 O로 나타낸다.

또, 행렬 A의 모든 성분의 부호를 바꾸어 놓은 것을 성분으로 하는 행렬을 -A로 나타낸다.

⑶ 같은 꼴의 행렬 A, B, C에 대하여 다음이 성립한다. (단, O는 A와 같은 꼴의 영행렬이다.)

① A+B=B+A

y

행렬의 덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다.

② (A+B)+C=A+(B+C)

y

행렬의 덧셈에 대한 결합법칙이 성립한다.

③ A+O=O+A=A

y

영행렬 O는 행렬의 덧셈에 대한 항등원이다.

④ A+(-A)=(-A)+A=O

y

-A는 행렬의 덧셈에 대한 행렬 A의 역원이다.

4.

행렬의 실수배

⑴ 행렬 A의 각 성분에 실수 k를 곱한 것을 각 성분으로 하는 행렬을 행렬 A의 k배라 하고, 기호로 kA와 같

이 나타낸다.

즉, A={

}에 대하여 kA={

} (단, k는 실수)

⑵ 두 행렬 A, B가 같은 꼴의 행렬이고, k, l이 실수일 때, 다음이 성립한다.

① (kl)A=k(lA)

② (k+l)A=kA+lA, k(A+B)=kA+kB

ka¡™

ka™™

ka¡¡

ka™¡

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

a¡™-b¡™

a™™-b™™

a¡¡-b¡¡

a™¡-b™¡

a¡™+b¡™

a™™+b™™

a¡¡+b¡¡

a™¡+b™¡

b¡¡ b¡™

b™¡ b™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

5.

행렬의 곱셈

⑴ 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때, 행렬 A의 제i행의 각 성분과 행렬 B의 제j열의 각

성분을 그 순서대로 곱하여 더한 것을 (i, j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A, B의 곱이라 하고, 기호로

AB와 같이 나타낸다.

즉, 2_2행렬 A, B에 대하여 곱 AB는 다음과 같이 정의된다.

A={

}, B={

}일 때

⋯

⋯AB={

}

⑵ 합과 곱이 정의되는 세 행렬 A, B, C에 대하여 다음이 성립한다.

① (AB)C=A(BC)

y

행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립한다.

② A(B+C)=AB+AC

]

②

(A+B)C=AC+BC

y

행렬의 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙이 성립한다.

③ k(AB)=(kA)B=A(kB) (단, k는 실수)

a¡¡b¡™+a¡™b™™

a™¡b¡™+a™™b™™

a¡¡b¡¡+a¡™b™¡

a™¡b¡¡+a™™b™¡

b¡¡ b¡™

b™¡ b™™

a¡¡ a¡™

a™¡ a™™

행렬과그연산

0

5

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 AB=O일 때, 행렬 BA의 모든 성분의 합은?

(단, O는 영행렬이다.)

① -15

② -14

③ -13

④ -12

⑤ -11

2

-4

1

-2

1

2

x

y

0

6

세 행렬 A={ }, B=(3 4), C={

}에 대하여 행렬 ABC의 모든 성분의 합이 0일 때,

실수 a의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

-2

4

1

-3

a

1

0

7

A+B={

}, C={

}인 세 행렬 A, B, C에 대하여 행렬 AC+BC의 모든 성분의 합을 구하시오.

2

3

1

-1

2

3

확인문제 정답과 풀이 4쪽

01

A m×n행렬 (i, j)성분 = n×l행렬 m×l행렬 × B AB

(

)

(

)

(

제i행

)

제j 열

0

8

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 등식 (A-B)(A+B)=A¤ -B¤ 이 성립하도록

실수 x, y를 정할 때, x+y의 값은?

① ;2!;

② 1

③ ;2#;

④ 2

⑤ ;2%;

3

1

-1

2

y

2

x

1

0

9

행렬 A={

}에 대하여 행렬 A¤ 의 제 1열의 모든 성분의 합과 제 2열의 모든 성분의 합이 같을 때,

양수 a의 값은?

① ;3!;

② ;2!;

③ ;3@;

④ 1

⑤ 2

a

3a

1

2a

확인문제 정답과 풀이 4쪽

6.

실수의 곱셈과 구별되는 행렬의 곱셈에 관한 성질

⑴ 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않는다.

즉, 두 행렬 A, B에 대하여 AB+BA인 경우가 존재한다.

⑵ 행렬의 곱셈에서는 A+O이고 B+O이지만 AB=O인 경우가 있다.

영행렬이 아닌 두 행렬 { }, { }의 곱은 { } { }={ }, 즉 영행렬이다.

7.

단위행렬과 행렬의 거듭제곱

⑴ 정사각행렬 중 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분이 모두 1이고, 그 외의 성분은 모두 0인

행렬을 단위행렬이라고 하며, 일반적으로 기호 E로 나타낸다.

{

},

ª º

, y

⑵ 임의의 정사각행렬 A에 대하여 AE=EA=A가 성립하므로 단위행렬 E는 행렬의 곱셈에 대한 항등원

이다.

⑶ 임의의 정사각행렬 A와 단위행렬 E, 자연수 m, n에 대하여 다음이 성립한다.

① E« =E

② A¤ =AA, A‹ =A¤ A, y, A« ±⁄ =A« A

③ Aμ A« =Aμ ±« , (Aμ )« =Aμ «

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 예

예제

www.ebsi.co.kr

1

행렬의 뜻

1

집합 X={1, 2, 3}에서 X로의 함수 f의 대응 관계는 그림과 같다. 함수 f와 역함수 f —⁄ 에

대하여 2_3행렬 A의 (i, j)성분

a‘Δ를 a‘Δ=f(i)+f —⁄ (j)로 정의할 때, 행렬 A의 모든

성분의 합은?

① 18

② 19

③ 20

④ 21

⑤ 22

행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ가 i, j에 대한 식으로 주어질 때

A가 2_2행렬이면 A={ }, A가 2_3행렬이면 A={ }으로 놓고 a‘Δ를 구한다.

a¡£ a™£ a¡™ a™™ a¡¡ a™¡ a¡™ a™™ a¡¡ a™¡ a¡¡=f(1)+f —⁄ (1)=2+2=4, a¡™=f(1)+f—⁄ (2)=2+1=3 a¡£=f(1)+f —⁄ (3)=2+3=5, a™¡=f(2)+f—⁄ (1)=1+2=3 a™™=f(2)+f —⁄ (2)=1+1=2, a™£=f(2)+f—⁄ (3)=1+3=4 ⋯ ⋯∴ A={ }={ } 따라서 행렬 A의 모든 성분의 합은 21이다. ④ 5 4 3 2 4 3 a¡£ a™£ a¡™ a™™ a¡¡ a™¡

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a

‘Δ를 a‘Δ=(두 수 2‘ 과 3Δ —⁄ 중 큰 수)로 정의할 때, 행렬 A의 모든 성분의 합

은?

① 10

② 11

③ 12

④ 13

⑤ 14

확인유제

유제

정답과 풀이 5쪽

0

1

이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a

‘Δ를 a‘Δ=øπ(i+j)+2(i-j)'ßißj로 정의할 때, 행렬 A의 모든 성분의 곱은?

① 0

② '2

③ 2

④ 2'2

⑤ 3'2

발전유제

₀

₂

풀 이 전 략 풀 이 답 3 3 X f X 1 1 2 2

예제

2

2

행렬의 덧셈·뺄셈과 곱셈

두 행렬 A={

}, B={

}과 단위행렬 E에 대하여 등식

2(A+X)+B=2AB+E

를 만족시키는 행렬 X의 모든 성분의 합은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

0

-1

3

2

2

1

1

-1

⑴ 문자식처럼 계산하여 X에 대하여 푼 다음 주어진 행렬을 대입한다. ⑵ 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 k(AB)=(kA)B=A(kB)`(단, k는 실수)가 성립하므로 이를 적절히 활용하면 계산을 좀 더 쉽게 할 수 있다. 2(A+X)+B=2AB+E에서 ⋯ ⋯2A+2X+B=2AB+E ⋯ ⋯2X=2AB-2A-B+E=(2A-E)(B-E) ⋯ ⋯∴ X=;2!;(2A-E)(B-E)=;2!;[2{ }-{ }][{ }-{ }] =;2!; { } { }={ } [;2!; { }]={ } { }={ } 따라서 행렬 X의 모든 성분의 합은 -1이다. ② -4 -1 5 -1 0 -1 1 1 4 1 1 -2 0 -2 2 2 4 1 1 -2 0 -2 2 2 4 1 1 -2 0 1 1 0 0 -1 3 2 0 1 1 0 2 1 1 -1

두 행렬 A, B가 A+B={

}, AB+BA=-2E를 모두 만족시킬 때, 행렬 A¤ +B¤ 의 모든

성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

3

-1

1

-1

유제

정답과 풀이 5쪽

행렬 A={

}과 단위행렬 E에 대하여 등식

이이

3(X+A¤ )+E=A‹ +3A

를 만족시키는 행렬 X의 (1, 2)성분은?

1

-1

3

2

풀 이 전 략 풀 이 확인유제

₀

₃

발전유제

₀

₄

답

예제

www.ebsi.co.kr

3

행렬의 곱셈에 관한 성질

3

두 이차정사각행렬 A, B가 등식 A¤ +BA=B¤ +AB를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것

은? (단, O는 영행렬이다.)

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑴ 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB=O라 하여 BA=O라 할 수 없다.

⑵ 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB=O라 하여 A=O 또는 B=O라 할 수 없다.

ㄱ. A¤ +BA=B¤ +AB에서 A¤ +BA-B¤ -AB=O

(A+B)A-(A+B)B=O

∴ (A+B)(A-B)=O이(참)

ㄴ. (반례) A={ }, B={ }이면 A¤ +BA=B¤ +AB이지만

(A-B)(A+B)={ } { }={ } +O이(거짓)

ㄷ. (반례) A={ }, B={ }이면 A¤ +BA=B¤ +AB이지만

A+B이고 A+-B이다.이(거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. ① 0 1 0 1 1 0 1 0 2 -2 2 -2 1 1 1 1 1 -1 1 -1 0 1 0 1 1 0 1 0

두 이차정사각행렬 A, B가 두 등식 (A+B)¤ =O, (A-B)¤ =O를 모두 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>

에서 있는 대로 고른 것은? (단, O는 영행렬이다.)

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

유제

정답과 풀이 6쪽

ㄱ. A+B=O ㄴ. A¤ +B¤ =O ㄷ. A¤ B=BA¤

풀 이 전 략

풀 이

확인유제

₀

₅

답

ㄱ. (A+B)(A-B)=O ㄴ. (A-B)(A+B)=O ㄷ. A=B 또는 A=-B

보기

예제

4

4

행렬의 거듭제곱

행렬 A={

}에 대하여 등식 A¤ ‚ =xA+yE가 성립하도록 실수 x, y를 정할 때, x-y의 값은?

(단, E는 단위행렬이다.)

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

3

-2

1

-1

행렬 A를 거듭제곱하여 A« =E를 만족시키는 자연수 n을 구한다.

A¤ ={ } { }={ }

A‹ =A¤ A={ } { }={ }=E 이므로 A¤ ‚ =(A‹ )fl A¤ =EA¤ =A¤

따라서 A¤ ‚ =xA+yE에서 ⋯ ⋯{ } =x{ }+y{ }={ } 따라서 x=-1, y=-1이므로 x-y=0 ③ 3x -2x+y x+y -x 0 1 1 0 3 -2 1 -1 -3 1 -2 1 0 1 1 0 3 -2 1 -1 -3 1 -2 1 -3 1 -2 1 3 -2 1 -1 3 -2 1 -1

행렬 A={

} 에 대하여 등식 Afi -A› =xA+yE가 성립하도록 실수 x, y를 정할 때, x+y의 값은?

(단, E는 단위행렬이다.)

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

2

-1

1

-1

유제

정답과 풀이 6쪽

행렬 A={

} 에 대하여 등식 A« =A를 만족시키는 두 자리의 자연수 n의 개수는?

① 12

② 13

③ 14

④ 15

⑤ 16

1

3

-2

-7

풀 이 전 략 풀 이 확인유제

₀

₆

발전유제

₀

₇

답

정답과 풀이 7쪽 | 출제 의도 | 행렬의 기본 연산을 할 수 있는지를 묻는 문제이다.

두 행렬 A={

}, B={

}에 대하여 행렬 A(A+B)의 모든 성분의 합은? [2점]

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

1

1

1

-1

-1

1

1

1

행렬의 덧셈과 곱셈 등 기본 연산을 묻는 2점짜리 문항이나 행렬 A의 거듭제곱을 계산하는 문제가 출제된다. 이때, 문제에서 주어지는 행렬 A는 A« 의 각 성분을 유추할 수 있거나, A를 몇 번 거듭제곱하면 단위행렬이 된다. 이 외에 도 연산의 성질에 관한 합답형 문제가 출제된다. 2011학년도 대수능 2009학년도 대수능 2007학년도 대수능

01

| 출제 의도 | 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있고, 행렬의 연산에 대한 기본적인 성질을 알고 있는지를 묻는 문제이다.

이차정사각행렬 A는 모든 성분의 합이 0이고, A¤ +A‹ =-3A-3E를 만족시킨다. 행렬 A› +Afi 의 모

든 성분의 합을 구하시오. (단, E는 단위행렬이다.) [4점]

02

| 출제 의도 | 행렬의 거듭제곱, 행렬의 실수배 등 행렬의 기본적인 연산을 할 수 있는지를 묻는 문제이다.

이차정사각행렬 X={

}에 대하여 D(X)=ad-bc라 하자. 이차정사각행렬 A={

}에 대하여

D(A¤ )=D(5A)를 만족시키는 모든 상수 p의 합을 구하시오.

[4점]

1

p

1

0

b

d

a

c

03

출제경향 & 대표기출문제

출제 경향

정답과 풀이 7쪽

01

02

03

04

05

두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 행렬 A¤ -AB의 모든 성분의 합은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

1 -2 2 1 1 -1 3 1

두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 등식 AB=A+B가 성립하도록 실수 x, y를 정할 때,

x¤ +y¤ 의 값은?

① 1

② '2

③ 2

④ 2'2

⑤ 4

1 y y 1 1 x x 1

두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 행렬 A+B의 (i, j)성분을 a‘Δ, 행렬 A-B의 (i, j)성분을 b‘Δ라 할 때, a‘Δ=i¤ -j, b‘Δ=i-j¤ 이 성립한다. 행렬 B의 모든 성분의 합은? (단, i=1, 2, j=1, 2이다.)

① 0

② 1

③ 2

④ 3

⑤ 4

A+B={ }, C={ }을 만족하는 세 행렬 A, B, C에 대하여 행렬 CA의 (2, 1)성분이 -2일 때, 행렬 CB의 (2, 1)성분은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

-1 3 2 1 2 1 1 0

행렬 A={ }에 대하여 A« =E를 만족하는 자연수 n의 최솟값은? (단, E는 단위행렬이다.)

-3 -1 2 1

행렬 A=sin`h { }-cos`h { }에 대하여 A¤ =E가 성립할 때, Afi 의 모든 성분의 합은? {단, 0…h<;2“;이고, E는 단위행렬이다.}

① -4

② -2

③ 0

④ 2

⑤ 4

1 0 0 1 0 1 1 0

직선 x+y-2=0 위를 움직이는 점 P(x, y)에 대하여 행렬 { } (x 3y)의 모든 성분의 합을 S∏라 할 때, S∏ 의 최댓값은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

x -y

행렬 A={ }과 두 실수 x, y에 대하여 등식 A+A¤ +A‹ +y+A⁄ ‚ =xA+yE가 성립할 때,

x-y의 값을 구하시오. (단, E는 단위행렬이다.) 0 1 1 2 두 이차정사각행렬 A, B가 두 등식 A+B=O, AB=O를 모두 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, O는 영행렬이다.)

① ㄴ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

01

02

03

04

ㄱ. A¤ =O ㄴ. BA=O ㄷ. A=B=O

보기

정답과 풀이 8쪽

Level

2

기본연습

이차정사각행렬 A가 등식 A¤ +A+E=O를 만족하고 A{ } =A‹ { } 일 때, 행렬 A의 모든 성분의 합은? (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)

① -5

② -4

③ -3

④ -2

⑤ -1

1 1 1 0

05

이차정사각행렬을 원소로 하는 집합 M=[{ }|a+b=2, a, b는 실수]와 두 행렬 X=(1 1), Y={ }에 대하여 A<M일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?1₁ b a a b

① ㄴ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

용액이 각각 aº(mL), bº(mL) 들어 있는 두 개의 용기 A, B가 있다. 용기 A에 들어 있는 용액의 ;2!;을 용기 B 로 옮긴 후 용기 B에 들어 있는 용액의 ;3!;을 용기 A로 옮기는 것을 1회 시행이라 하고, 이런 시행을 n회 실시한 후 두 용기 A, B에 남아 있는 용액의 양을 각각 a«(mL), b«(mL)이라 하자. 등식 { }=;9!; { }{ }을 만 족시키는 실수 x, y에 대하여 x+y의 값은? aº bº 4 y x 4 a™ b™

직선 y=-x+k 위를 움직이는 점 P(a, b)에 대하여 이차정사각행렬 A를 다음과 같이 정의하자.

행렬 A의 모든 성분의 합이 12일 때, 상수 k의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

행렬 A의 (i, j)성분을 a‘Δ라 할 때, (a‘Δ)=(i⋯ j){ } (단, i=1, 2, j=1, 2) 이다. a b

01

02

03

정답과 풀이 10쪽

Level

3

실력완성

신유형 www.ebsi.co.kr

ㄱ. XA=2X ㄴ. A¤ Y=2¤ Y ㄷ. (YXA)¤ =2‹ YX

|

역행렬과연립일차방정식

02

1.

역행렬의 뜻

⑴ 정사각행렬 A와 같은 꼴의 단위행렬 E에 대하여

⋯

⋯XA=AX=E

를 만족하는 행렬 X가 존재할 때, 행렬 X를 행렬 A의 역행렬이라 하고, 기호로 A—⁄ 과 같이 나타낸다.

즉, A—⁄ A=AA—⁄ =E이다.

⑵ 일반적으로 두 정사각행렬 A, B에 대하여 AB=E이면 BA=E가 성립하므로 두 정사각행렬 A, X에 대

하여 XA=E 또는 AX=E이면 X는 A의 역행렬이다.

즉, XA=E이면 X=A—⁄ 이고 AX=E이면 X=A—⁄ 이다.

또, 단위행렬 E에 대하여 EE=E이므로 E—⁄ =E이다.

A={ }, B={ }일 때

AB={ } { }={ }=E이므로 A—⁄ =B이고 B—⁄ =A이다.

2.

이차정사각행렬의 역행렬

이차정사각행렬 A={

}에 대하여

⑴ ad-bc+0일 때, 행렬 A의 역행렬이 존재하고

A—⁄ =

{

}

⑵ ad-bc=0일 때, 행렬 A의 역행렬이 존재하지 않는다.

-b

a

d

-c

1

ad-bc

b

d

a

c

0 1 1 0 -1 2 1 -1 1 1 2 1 -1 2 1 -1 1 1 2 1

0

1

정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여 등식 A¤ -A=2E가 성립할 때, 다음 중 행렬 A의 역행렬과 항상 같

은 것은?

① A-E

② A+E

③ ;2!;A-;2!;E

④ ;2!;A+;2!;E

⑤ 2A-2E

0

2

행렬 A={

}의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 모든 실수 x의 값의 합은?

① 0

② ;2!;

③ 1

④ ;2#;

⑤ 2

x+1

3x

x

x+2

확인문제 정답과 풀이 11쪽 예

0

3

역행렬이 존재하는 두 행렬 A, B에 대하여 AB={

}일 때, 행렬 B—⁄ A—⁄ 의 모든 성분의 합은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

2

7

1

3

0

4

등식 {

}X={

}를 만족시키는 행렬 X의 모든 성분의 합은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

2

4

1

3

3

7

2

5

확인문제 정답과 풀이 11쪽

3.

역행렬의 성질

차수가 같은 두 정사각행렬 A, B의 역행렬 A—⁄ , B—⁄ 이 모두 존재할 때, 다음이 성립한다.

⑴ (A—⁄ )—⁄ =A

⑵ (AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄

⑶ (kA)—⁄ =

;k!;A—⁄ (단, k는 0이 아닌 실수)

⑷ (A« )—⁄ =(A—⁄ )«` (단, n은 자연수)

역행렬의 성질 ⑵ 확인

(AB)(B—⁄ A—⁄ )=A(BB—⁄ )A—⁄ =AEA—⁄ =AA—⁄ =E (B—⁄ A—⁄ )(AB)=B—⁄ (A—⁄ A)B=B—⁄ EB=B—⁄ B=E

∴ (AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄

역행렬의 성질 ⑷ 확인 ⑵에 의하여

(AAAyA)—⁄ ={(AAyA)A}—⁄ =A—⁄ (AAyA)—⁄ =y=A—⁄ A—⁄ A—⁄ yA—⁄

∴ (A« )—⁄ =(A—⁄ )«

4.

역행렬의 활용

행렬 A의 역행렬 A—⁄ 이 존재할 때

⑴ AX=B

HjK X=A—⁄ B

⑵ XA=B

HjK X=BA—⁄

]

]

참고 참고 n개 n개

]

(n-1)개

]

(n-1)개

5.

연립일차방정식과 행렬

x, y에 대한 연립일차방정식을 다음과 같이 행렬을 이용하여 나타낼 수 있다.

⋯

⋯

_[

HjK

{

} {

}={

}

연립방정식[ 을 행렬을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

⋯

⋯

{ } { }={ }

6.

역행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이

x, y에 대한 연립일차방정식

[

를 행렬을 이용하여 {

} {

}={

} yy㉠와 같이 나타낸다.

이때, A={

}, X={

}, B={

}라 하면 ㉠은 AX=B yy㉡와 같이 나타낼 수 있다.

ad-bc+0이면 행렬 A의 역행렬 A—⁄ 이 존재하므로 ㉡의 양변의 왼쪽에 A—⁄ 을 곱하여 A—⁄ AX=A—⁄ B,

즉 X=A—⁄ B를 얻는다.

따라서 연립일차방정식

_[

의 해는 ad-bc+0일 때, { }=

{

} {

}이다.

p

q

-b

a

d

-c

1

ad-bc

x

y

ax+by=p

cx+dy=q

p

q

x

y

b

d

a

c

p

q

x

y

b

d

a

c

ax+by=p

cx+dy=q

3 6 x y 2 5 1 4 x+2y=3 4x+5y=6

p

q

x

y

b

d

a

c

ax+by=p

cx+dy=q

역행렬과연립일차방정식

0

5

연립일차방정식

_[

를 행렬을 이용하여 {

} {

}={

}와 같이 나타낼 때, 상수 a, b, c의 합

a+b+c의 값은?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

2

c

x

y

a

3

1

b

2x=4

x+3y=5

0

6

x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}의 해가 x=a, y=b일 때, a+b의 값은?

① -5

② -4

③ -3

④ -2

⑤ -1

2

-3

x

y

2

3

1

2

확인문제 정답과 풀이 11쪽

02

예

0

7

x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}가 오직 한 쌍의 해를 가질 필요충분조건이 k+a일 때,

실수 a의 값은?

① -;2#;

② -;3@;

③ 0

④ ;3@;

⑤ ;2#;

2

4

x

y

3

k

-2

1

0

8

x, y에 대한 연립일차방정식

_[

이 x=0, y=0 이외의 해를 가질 때, 상수 k의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

kx-y=0

x+(k+2)y=0

확인문제 정답과 풀이 11쪽

7.

x, y에 대한 연립일차방정식 {

}`{

}={

}의 해의 개수

⑴ ad-bc+0일 때, 오직 한 쌍의 해를 갖고 그 해는 { }={

}

—⁄

{

}이다.

⑵ ad-bc=0일 때

x, y에 대한 연립일차방정식

_[

에서 ① ad-bc+0이면 직선 ㉠과 ㉡은 한 점에서 만나므로 해가 한 쌍이다. ② ad-bc=0이면 ㉡의 양변에 적당한 수를 곱하여 ax+by=p'의 꼴로 고칠 수 있다. ②이때, p=p'이면 해가 무수히 많고, p+p'이면 해가 없다.

8.

x, y에 대한 연립일차방정식 {

} {

}={

}의 해의 개수

⑴ ad-bc+0일 때, 오직 한 쌍의 해를 갖고 그 해는

{

}={

}

—⁄

{

}={

}, 즉 x=y=0

⑵ ad-bc=0일 때, 해가 무수히 많다.

x, y에 대한 연립일차방정식 { } { }={ }이 x=0, y=0 이외의 해를 가질 필요충분조건은 ad-bc=0이다.

0 0 x y b d a c

0

0

0

0

b

d

a

c

x

y

0

0

x

y

b

d

a

c

ax+by=p yy㉠ cx+dy=q yy㉡

① a : c=b : d=p : q이면 해가 무수히 많다.

② a : c=b : d+p : q이면 해가 없다.

p

q

b

d

a

c

x

y

p

q

x

y

b

d

a

c

참고 참고

예제

www.ebsi.co.kr

1

역행렬의 뜻

1

행렬 A={

}의 역행렬이 -A일 때, 실수 x, y의 합 x+y의 값은?

① -5

② -4

③ -3

④ -2

⑤ -1

x

y

1

2

행렬 A의 역행렬 A—⁄ 과 단위행렬 E에 대하여

A—⁄ A=AA—⁄ =E

행렬 A의 역행렬이 -A이므로 A(-A)=E이다. 즉, -A¤ =E에서 A¤ =-E

⋯ ⋯{ } { } =-{ }

⋯ ⋯{ } ={ }

⋯ ⋯∴ 1+2x=-1, x+xy=0, 2+2y=0, 2x+y¤ =-1 따라서 x=-1, y=-1이므로 ⋯ ⋯x+y=-2 ④ 0 -1 -1 0 x+xy 2x+y¤ 1+2x 2+2y 0 1 1 0 x y 1 2 x y 1 2

역행렬을 갖는 이차정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여 등식 A+A—⁄ =E가 성립할 때, A‹ =kE이다. 실수

k의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

확인유제

유제

정답과 풀이 12쪽

0

1

역행렬을 갖는 이차정사각행렬 A에 대하여 A—⁄ { }={ }, A—⁄ {

}={

}이 성립할 때,

행렬 A의 모든 성분의 합은?

① 0

② 1

③ 2

④ 3

⑤ 4

0

-1

2

-1

2

0

1

3

발전유제

₀

₂

풀 이 전 략 풀 이 답

예제

2

2

이차정사각행렬의 역행렬

행렬 A={

}과 단위행렬 E에 대하여 행렬 A+E의 역행렬이 A-E일 때, 행렬 A+kE의 역행렬이 존재

하지 않도록 하는 모든 실수 k의 값의 곱은?

① -5

② -4

③ -3

④ -2

⑤ -1

a

-1

1

b

이차정사각행렬 { }의 역행렬이 존재하지 않으면 ad-bc=0이다. b d a c

행렬 A+E의 역행렬이 A-E이므로 (A+E)(A-E)=E에서 ⋯ ⋯A¤ -E=E⋯ ⋯∴ A¤ =2E

따라서 { } { }=2{ }에서 { }={ } 1+ab=2이므로 ab=1 이때, 행렬 A+kE={ }의 역행렬이 존재하지 않으려면 (1+k)(-1+k)-ab=0이어야 한다. 즉, -1+k¤ -1=0 (∵ ab=1) 따라서 k¤ -2=0이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의 곱은 -2이다. ④ a -1+k 1+k b 0 2 2 0 0 ab+1 1+ab 0 0 1 1 0 a -1 1 b a -1 1 b

행렬 A={

}이 모든 실수 x에 대하여 역행렬이 존재하도록 하는 정수 a의 최솟값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

1

x-1

ax

a-3

유제

정답과 풀이 12쪽

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 B—⁄ A={

}일 때, 등식 AX=B를 만족하는 행렬

X의 (1, 1)성분은?

① -5

② -3

③ 2

④ 3

⑤ 5

2

5

3

8

풀 이 전 략 풀 이 확인유제

₀

₃

발전유제

₀

₄

답

예제

www.ebsi.co.kr

3

역행렬의 성질

3

이차정사각행렬 A, B에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬, O는 영행렬이다.)

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄴ, ㄷ

어떤 명제가 참이면 그 대우도 참이다.

ㄱ. AB=O의 양변의 왼쪽에 A의 역행렬 A—⁄ 을 곱하면 A—⁄ AB=O에서 B=O 따라서 B의 역행렬은 존재하지 않는다. (참)

ㄴ. AB=A-B에서 AB-A+B=O

AB-A+B-E=-E, (A+E)(B-E)=-E⋯ ⋯∴ (A+E)(E-B)=E 따라서 A+E의 역행렬은 E-B이다. (거짓)

ㄷ. 행렬 AB의 역행렬이 존재하고 그 역행렬을 X라 하면

(AB)X=E, X(AB)=E에서 A(BX)=E, (XA)B=E

따라서 두 행렬 A, B 모두 역행렬이 존재한다. 그러므로 A, B 중 적어도 하나의 역행렬이 존재하지 않으면 행렬 AB의 역행렬은 존재하지 않는다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④

행렬 A={

} 와 영행렬이 아닌 이차정사각행렬 B에 대하여 AB=O인 행렬 B가 존재할 때, 실수 k의 값

은? (단, O는 영행렬이다.)

① -6

② -4

③ 2

④ 4

⑤ 6

2

k

1

3

유제

정답과 풀이 13쪽 풀 이 전 략 풀 이 확인유제

₀

₅

이차정사각행렬 A가 등식 A› =2E를 만족시킬 때, 다음 중 행렬 A‹ +A¤ +A+E의 역행렬과 항상 같은 것은?

(단, E는 단위행렬이다.)

① A-2E

② A-E

③ -A+E

④ A+E

⑤ A+2E

발전유제

₀

₆

답 ㄱ. AB=O이고 A의 역행렬이 존재하면 B의 역행렬은 존재하지 않는다.

ㄴ. AB=A-B이면 A+E의 역행렬은 B-E이다.

ㄷ. A, B 중 적어도 하나의 역행렬이 존재하지 않으면 행렬 AB의 역행렬은 존재하지 않는다.

예제

4

4

역행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이

한 점에서 만나는 두 직선 x+2y=m, 3x+4y=n의 교점의 좌표가 (a, b)일 때, 등식 { }=

_{

_}

{

}을

만족시키는 실수 p, q에 대하여 p+q의 값은? (단, m, n은 0이 아닌 상수이다.)

① 2

② ;2%;

③ 3

④ ;2&;

⑤ 4

m

n

p

-;2!;

-2

q

a

b

x, y에 대한 연립방정식_{[ , 즉 {} } { }={ }의 해는 ad-bc+ 0일 때, { }={ }—⁄{ }이다. p q b d a c x y p q x y b d a c ax+by=p cx+dy=q

점 (a, b)가 두 직선 x+2y=m, 3x+4y=n 위의 점이므로

연립방정식 [ , 즉 { } { }={ }의 해가 x=a, y=b이다. 따라서 { } { }={ } yy㉠이 성립하고, ㉠의 양변의 왼쪽에 { }—⁄ 을곱하면 { }—⁄{ } { }={ }—⁄{ }에서 ⋯ ⋯{ }={ }—⁄{ }=-;2!; { } { }=ª º{ } ⋯ ⋯∴ p+q=1+;2#;=;2%; ② m n 1 -;2!; -2 ;2#; m n -2 1 4 -3 m n 2 4 1 3 a b m n 2 4 1 3 a b 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 m n a b 2 4 1 3 m n x y 2 4 1 3 x+2y=m 3x+4y=n

행렬 {

} 가 등식 {

} {

} ={

} 을 만족시킬 때, x, y에 대한 연립방정식 {

} {

} ={

}

의 해는 x=a, y=b이다. a+b의 값을 구하시오.

1

2

x

y

b

d

a

c

0

1

1

0

b

d

a

c

1

-1

2

3

b

d

a

c

유제

정답과 풀이 13쪽

x, y에 대한 연립방정식 [

ax+(a+3)y=a-1

의 해가 존재하지 않도록 하는 상수 a의 값은?

2x+(a+1)y=3

풀 이 전 략 풀 이 확인유제

₀

₇

발전유제

₀

₈

답

예제

www.ebsi.co.kr

5

연립일차방정식의 해의 개수

5

x, y에 대한 연립방정식 {

} {

}={

}가 x=0, y=0 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 a의 값의 합은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

x

x-y

x

y

1

a-3

a

2

x, y에 대한 연립방정식 { }{ }={ }이 x=y=0 이외의 해를 가질 필요충분조건은 ad-bc=0이다.

0 0 x y b d a c { } { }={ }에서 ⋯ ⋯{ } { }={ } { } ⋯ ⋯{ } { }-{ } { }={ } ⋯ ⋯∴ { } { }={ }⋯ ⋯yy㉠ ㉠이 x=0, y=0 이외의 해를 가지려면 행렬 { } 의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

⋯ ⋯(a-1)(a-2)-1=0⋯ ⋯∴ a¤ -3a+1=0

이때, 근과 계수의 관계에 의하여 a¤ -3a+1=0을 만족하는 모든 실수 a의 값의 합은 3이다. ③

1 a-2 a-1 1 0 0 x y 1 a-2 a-1 1 0 0 x y 0 -1 1 1 x y 1 a-3 a 2 x y 0 -1 1 1 x y 1 a-3 a 2 x x-y x y 1 a-3 a 2

x, y에 대한 연립방정식 {

} {

} =k{

} 가 x=0, y=0 이외의 해를 갖도록 하는 자연수 k의 값을 구하시오.

x

y

x

y

3

2

1

4

유제

정답과 풀이 13쪽 풀 이 전 략 풀 이 확인유제

₀

₉

x, y에 대한 연립방정식 {

} {

} =x{

} +y{

} 의 해가 무수히 많도록 하는 모든 실수 a의 값의 곱은?

① -5

② -4

③ -3

④ -2

⑤ -1

-1

3

1

2

x

y

3

a

a

4

발전유제

₁₀

답

정답과 풀이 14쪽

| 출제 의도 | 역행렬과 행렬의 곱셈에 관한 성질을 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.

두 이차정사각행렬 A, B가

⋯

⋯A¤ +B=3E, A› +B¤ =7E

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이다.)

[4점] 역행렬을 가질 조건을 활용하는 문제나 역행렬의 성질에 관한 합답형 문제가 출제된다. 또, 연립방정식의 근의 개수와 행렬과의 관계를 이해하고 있는지를 묻는 문제가 출제된다. 2012학년도 대수능 2007학년도 대수능

01

| 출제 의도 | 역행렬의 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있는지를 묻는 문제이다.

(A+E)¤ =A를 만족시키는 이차정사각행렬 A와 행렬 { }에 대하여

p

q

03

출제경향 & 대표기출문제

출제 경향 | 출제 의도 | 역행렬의 성질을 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.

단위행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 A, B가 다음 조건을 만족시킨다.

A« =E가 성립하는 자연수 n의 최솟값은? (단, E는 단위행렬이다.)

[3점]

① 3

② 4

③ 5

④ 6

⑤ 7

2009학년도 대수능

02

㈎ A, B는 모두 역행렬을 가진다. ㈏ BAB=E, ABA=A—⁄

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. AB=BA ㄴ. B—⁄ =A¤ ㄷ. Afl +B‹ =18E

정답과 풀이 15쪽

01

02

03

04

05

이차방정식 x¤ +4x-2=0의 두 근을 a, b라 할 때, 행렬 A={ }의 역행렬 A—⁄ 의 모든 성분의 합은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

a 1 1 b

이차정사각행렬 A가 A‹ =2E를 만족시킬 때, 행렬 (A-A—⁄ ){A¤ +(A—⁄ )¤ +E}의 모든 성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

역행렬을 갖는 행렬 A={ }에 대하여 x, y에 대한 연립방정식 [ 의 해가 x=2, y=3일 때,

행렬 A—⁄ { }의 모든 성분의 합은?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

2 4 ax+by=1 cx+dy=2 b d a c 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 x, y에 대한 연립방정식 { }{ }={ }가 두 쌍 이상의 해를 가질 때, 다음 중 a, b의 관계식으로 옳은 것은?

① a=b

② a=-b

③ a=2b

④ a=-2b

⑤ a+b=1

a b x y a a+2b a-b 2b x, y에 대한 연립방정식 { }{ }={ }가 무수히 많은 해를 갖도록 하는 양수 a의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

x y x y 2 a+1 a 3

Level

1

기초연습

www.ebsi.co.kr

이차정사각행렬 A에 대하여 A¤ +A+E의 역행렬이 A-E일 때, 다음 중 행렬 Afi 의 역행렬과 항상 같은 것 은? (단, E는 단위행렬이다.)

① ;5!;A

② ;4!;A

③ ;3!;A

④ ;2!;A

⑤ A

행렬 A={ }와 역행렬을 갖는 이차정사각행렬 P에 대하여 행렬 B가 등식 A=PBP—⁄ 을 만족시킬 때, 행렬 B› 의 (1, 1)성분은?

① 6

② 7

③ 8

④ 9

⑤ 10

-1 -2 2 7

수직선 위의 서로 다른 두 점 A(a), B(b)에 대하여 선분 AB의 중점을 X(x), 선분 XB의 중점을 Y(y)라 하자.

이차정사각행렬 M={ }에 대하여 등식 { }=M{ }가 성립할 때, 두 실수 p, q의 합 p+q의 값은? x y a b -2 q p -1

영행렬이 아닌 이차정사각행렬 A에 대하여 A¤ =O일 때, 항상 역행렬을 갖는 행렬만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, O는 영행렬, E는 단위행렬이다.)

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ

⑤ ㄴ, ㄷ

01

02

03

04

ㄱ. A ㄴ. A+E ㄷ. 2A+3E 보기 정답과 풀이 16쪽

Level

2

기본연습

A¤ ={ }, AB=E를 만족시키는 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 행렬 (A—⁄ +B—⁄ )¤ 의 모든 성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 10

2 1 1 0 x, y에 대한 연립방정식 x{ }+y{ }={ }이 두 쌍 이상의 해를 갖도록 하는 실수 t의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

0 0 t+1 t+1 t -1 원 x¤ +y¤ =1 위의 점 중에서 등식 { }{ }={ }를 만족시키는 점 (a , b )가 존재할 때, 정수 a 의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

b a a b 3 2a-1 a a+2 x, y에 대한 연립방정식 { }{ }={ }가 모든 실수 t에 대하여 단 한 쌍의 해를 갖도록 하는 정수 a의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값을 구하시오. 1 2 x y t+1 4 t t+a

05

06

07

08

정답과 풀이 16쪽

Level

2

기본연습

일차함수 f(x)=ax+b의 역함수를g(x)라 할 때, g(3)=2이고 직선 y=g(x)와 직선 y=x의 교점의 좌표

가 (1, 1)이다. 이때, 등식 { }={ }{ }을 만족시키는 실수 m, n에 대하여 m¤ +n¤ 의 값을 구하시오. 3 1 -1 n m -1 a b

09

두 이차정사각행렬 A, B와 단위행렬 E에 대하여 다음 등식이 성립할 때, 행렬 A¤ +B¤ 의 모든 성분의 합은?

① 0

② 1

③ 2

④ 3

⑤ 4

곡선 y=

;[!;

(x>0) 위의 점 (a, b)에 대하여 x, y에 대한 연립방정식 4a x 3 1 이차정사각행렬 A에 대하여 { }={ }가 연립방정식 A{ }={ }의 해이고, { }={ }가 연립방정식 A{ }={ }의 해일 때, 연립방정식 A{ }={ }를 만족시키는 순서쌍 (x, y)의 개수는?

① 0

② 1

③ 2

④ 3

⑤ 무수히 많다.

-x -y x y x y x y 3 4 x y 0 0 x y 1 2 x y

01

두 이차정사각행렬 A, B와 역행렬이 존재하는 이차정사각행렬 P에 대하여 등식 AP=PB가 성립할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이다.)

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

02

03

04

정답과 풀이 18쪽

Level

3

실력완성

신유형 www.ebsi.co.kr

(A+B)—⁄ =;4!;(A—⁄ +B—⁄ ), AB=;2!;E

ㄱ. A¤ P=PB¤

ㄴ. AB=E이면 PA=BP이다. ㄷ. A‹ =E이면 B‹ =E이다.

|

그래프와행렬

03

1.

그래프의 뜻

⑴ 점과 선으로 이루어진 그림을 그래프라 하고, 그래프에서 점을 꼭짓점, 꼭짓점을 연결한 선을 변이라고 한다.

한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 한 쌍의 꼭짓점 사이에 많아야 한 변이 있는 그래프를 주로 다룬다.

⑵ 꼭짓점은 A, B, C, y와 같이 알파벳 대문자로 나타내고, 변은 양 끝점의 꼭짓점을 이용하여 AB, BC, CD,

y와 같이 나타낸다.

오른쪽 그래프에서 꼭짓점의 집합은 {A, B, C, D}이고 변의 집합은 {AB, AC, AD, BC, CD}이다.

2.

서로 같은 그래프

⑴ 꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘이거나 줄여서 두 그래프가 같은 그림이 될 수 있으면 두 그래

프는 서로 같다고 한다.

다음 두 그래프는 서로 같은 그래프이다.

⑵ 서로 같은 그래프는 꼭짓점의 개수와 변의 개수가 각각 같으며, 꼭짓점 사이의 연결 상태가 서로 같다.

0

1

오른쪽 그래프에서 꼭짓점의 개수를

a, 변의 개수를 b라 할 때, a+b의 값은?

① 8

② 9

③ 10

④ 11

⑤ 12

0

2

[그림 2]에 한 변을 추가하여 [그림 1]과 [그림 2]가 서로 같은 그래프가

되게 하려고 한다. 추가해야 할 변으로 가능한 것을 <보기>에서 있는

대로 고른 것은?

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

확인문제 정답과 풀이 19쪽 A B C D A B C D A B C D A B C D ㄱ. AD ㄴ. DE ㄷ. BD [그림 1] [그림 2] A B C D E 예 예 참고 보기

0

3

오른쪽 그래프의 꼭짓점 A에서 출발하여 한 번 지난 변을 반복하지 않고 꼭짓점 D로

이동하는 경로의 수를 구하시오. (단, 중간에 꼭짓점 D를 거치지 않는다.)

0

4

오른쪽 그래프를 나타내는 행렬의 성분 중 0의 개수를 구하시오.

확인문제 정답과 풀이 19쪽

3.

경로

그래프의 한 꼭짓점에서 출발하여 연결된 변을 따라 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동할 때,

이동한 순서대로 꼭짓점을 나열한 것을 경로라고 한다.

오른쪽 그래프에서 꼭짓점 A에서 출발하여 한 번 지난 변을 반복하지 않고 꼭짓점 E로 이동하는 경로의 수는 다음과 같이 5개이다. 2개의 변을 지나는 것 : ABE 3개의 변을 지나는 것 : ABDE 4개의 변을 지나는 것 : ABCDE 5개의 변을 지나는 것 : ABCDBE, ABDCBE

4.

그래프를 나타내는 행렬

그래프를 다음과 같은 방법으로 행렬로 나타낼 수 있다.

① 그래프에서 꼭짓점의 개수가 n이면 n_n행렬로 나타낸다.

② 두 꼭짓점이 변으로 연결되어 있으면 1, 변으로 연결되어 있지 않으면 0을 성분으로 한다.

즉, n개의 점 P¡, P™, P£, y, P

«을 꼭짓점으로 하는 그래프를 n_n행렬 M으로 나타낼 때,

행렬 M의 (i, j)성분 a

‘Δ는 다음과 같다. (단, i=1, 2, y, n, j=1, 2, y, n)

⋯ a

‘Δ=

[

오른쪽 그래프를 나타내는 행렬을 다음과 같이 구할 수 있다.

1 (두 꼭짓점 P‘, PΔ가 변으로 연결되어 있을 때)

0 (두 꼭짓점 P‘, PΔ가 변으로 연결되어 있지 않을 때)

B C D E A B C D A B C D A E A

A B C D

A 0 0 0 1

B 0 0 1 1

C 0 1 0 1

D 1 1 1 0

Δ

·

‚

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

예 예

0

5

오른쪽 그래프를 나타내는 행렬을 M이라 할 때, 행렬 M의 모든 성분의 합을 구하

시오.

0

6

0

5

의 그래프를 나타내는 행렬 M에 대하여 행렬 M¤ 의 (1, 1)성분을 a, 행렬 M¤ 의 (1, 2)성분을 b라 할

때, a+b의 값을 구하시오.

확인문제 정답과 풀이 20쪽 B C D A

그래프와행렬

03

5.

그래프를 나타내는 행렬의 성질

그래프를 나타내는 행렬은 다음과 같은 성질이 있다.

① 정사각행렬이고 모든 성분은 0 또는 1이다.

② 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분은 모두 0이다. 즉, (i, i)성분은 모두 0이다.

③ 행렬의 각 성분이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선에 대하여 대칭이다. 즉, (i, j)성분과 (j, i)성분

이 같다.

④ 행렬의 각 행 또는 열에 있는 성분의 총합은 그래프에서 그 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.

⑤ 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배이다.

6.

그래프를 나타내는 행렬의 활용

어떤 그래프를 나타내는 행렬을 M이라 할 때, 행렬 M¤ 은 다음과 같은 성질이 있다.

① 행렬 M¤ 의 (i, j)성분은 제i행에 해당하는 꼭짓점에서 출발하여 한 개의 꼭짓점만을 지나 제j열에 해당하는

꼭짓점으로 가는 방법의 수이다.

② 행렬 M¤ 의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분, 즉 행렬 M¤ 의 (i, i)성분은 제i행 또는 제i

열에 해당하는 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.

③ 행렬 M¤ 의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배와 일

치한다.

오른쪽 그래프를 나타내는 행렬을 M이라 할 때, 행렬 M¤ 은 다음과 같다.

③

Δ

M=

·

‚

Δ

M¤ =

·

‚

이때, 행렬 M¤ 의 (1, 2)성분은 점 A에서 한 개의 꼭짓점만을 지나 점 B로 가는 방법의 수인 1과 같고, 행렬 M¤ 의 왼쪽 위에서 오른 쪽 아래로 향하는 대각선 위의 모든 성분의 합 1+2+2+3=8은 변의 개수인 4의 2배와 일치한다.

1 1 1 0

1 2 1 1

1 1 2 1

0 1 1 3

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

B C D A 예

A B C D

A 0 0 0 1

B 0 0 1 1

C 0 1 0 1

D 1 1 1 0

예제

1

1

서로 같은 그래프

오른쪽 그래프와 서로 같은 그래프인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서로 같은 그래프는 꼭짓점의 개수와 변의 개수가 각각 같으며, 꼭짓점 사이의 연결 상태가 서로 같다. 주어진 그래프는 4개의 꼭짓점과 6개의 변으로 이루어져 있으며 각 꼭짓점에는 3개의 꼭짓점이 변으로 연결되어 있다. ㄱ. 변의 개수가 5이므로 주어진 그래프와 서로 같은 그래프가 아니다. ㄴ. 4개의 꼭짓점과 6개의 변으로 이루어져 있으며 각 꼭짓점에는 3개의 꼭짓점이 변으로 연결되어 있으므로 꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘이거나 줄여 주어진 그래프와 서로 같은 그래프를 얻을 수 있다. ㄷ. 4개의 꼭짓점과 6개의 변으로 이루어져 있으며 각 꼭짓점에는 3개의 꼭짓점이 변으로 연결되어 있으므로 꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘이거나 줄여 주어진 그래프와 서로 같은 그래프를 얻을 수 있다. 따라서 주어진 그래프와 서로 같은 그래프는 ㄴ, ㄷ이다. ④

오른쪽 그래프와 서로 같은 그래프인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄴ, ㄷ

확인유제

유제

정답과 풀이 20쪽

0

1

풀 이 전 략 풀 이 답 ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄱ. ㄴ. ㄷ. 보기 보기

예제

www.ebsi.co.kr

2

그래프를 나타내는 행렬

2

그래프 G를 나타내는 행렬 M이 오른쪽과 같을 때, 그래프 G와 행렬 M에 대한 설명으로

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑴ 행렬 M의 (i, j)성분과 (j, i)성분이 같다. ⑵ 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배와 일치한다. ⑶ 행렬의 각 행 또는 열에 있는 성분의 총합은 그래프에서 그 꼭짓점과 변으로 연결된 꼭짓점의 개수와 같다. ㄱ. a는 행렬 M의 (1, 4)성분과 같으므로 a=1 b는 행렬 M의 (3, 5)성분과 같으므로 b=0 ∴ a+b=1+0=1 (참) ㄴ. 행렬 M이 5_5행렬이므로 그래프 G의 꼭짓점의 개수는 5이고, 행렬 M의 모든 성분의 합이 10이므로 그래프 G 의 변의 개수는 5이다. 따라서 꼭짓점과 변의 개수의 합은 10이다. (참) ㄷ. 행렬 M의 제3행과 제4행에 있는 성분의 총합이 각각 3이므로 연결된 변의 개수가 3인 꼭짓점이 2개이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

그래프 G를 나타내는 행렬 M이 오른쪽과 같고 a, b는 상수이다. 그래프 G의 꼭짓점의

개수를 c, 변의 개수를 d라 할 때, a+b+c+d의 값은?

① 8

② 9

③ 10

④ 11

⑤ 12

유제

정답과 풀이 20쪽

서로 같은 그래프인 G¡, G™를 나타내는 행렬을 각각 M¡, M™라

할 때, M¡, M™는 오른쪽과 같다. a+b+c+d의 값을 구하시오.

풀 이 전 략 풀 이 확인유제

₀

₂

발전유제

₀

₃

답

M=

·

‚

0 0 1 1 0

0 0 1 0 0

1 1 0 1 0

a 0 1 0 1

0 0 b 1 0

M¡=

·

‚, M™=·

‚

0 1 1 c

1 0 1 0

1 1 0 0

d 0 0 0

0 1 0 0

1 0 1 1

0 1 0 a

0 1 b 0

M=

·

‚

0 1 1 1

1 0 1 0

a 1 0 b

1 0 1 0

ㄱ. a+b의 값은 1이다. ㄴ. 꼭짓점과 변의 개수의 합은 10이다. ㄷ. 연결된 변의 개수가 3인 꼭짓점이 2개이다. 보기