① ;4@5(; ② ;4#5!; ③ ;1!5!; ④ ;9&; ⑤ ;4#5&;
시작 n 끝
S 1
0 n n+1 S S+ n=9 ? S를 인쇄
아니오 예 1
n¤ -1
순서도에 관한 문제를 풀 때에는 변화되는 값들을 표로 나타내어 규칙을 찾는다.
변화되는 n, S의 값을 차례로 나타내면 다음과 같다.
따라서 인쇄되는 S의 값은
⋯ ⋯S= + +y+
⋯ ⋯S= + + +y+
⋯ ⋯S=;2!;[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+y+{;7!;-;9!;}+{;8!;-;1¡0;}]
⋯ ⋯S=;2!;{1+;2!;-;9!;-;1¡0;}=;4@5(; ①
1535358¥101 15353¥51
15352¥41 15351¥31
1535339¤ -11 1535333¤ -11
1535332¤ -11
다음 순서도에서 인쇄되는 S의 값에 대하여 log™(S+2)의 값을 구하시오.
시작 a 1 끝
S 0 a 2a S S+a n=30 ? S를 인쇄
아니오 예
n n+1
n 1
유제
정답과 풀이 64쪽풀 이 전 략
풀 이
확인유제 05
답
n 1 2 3 y 9
S 0 + y + +y+ 1
1535339¤ -1 1535333¤ -11
1535332¤ -11 1535333¤ -11
1535332¤ -11 1535332¤ -11
정답과 풀이 64쪽
| 출제 의도 | 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 과정을 이해하고 있는지를 묻는 문제이다.
첫째항이 1인 수열 {a«}에 대하여 S«=
a˚라 할 때,⋯ ⋯nS«≠¡=(n+2)S«+(n+1)‹ (næ1)
이 성립한다. 다음은 수열 {a«}의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.
;k=1n
수학적 귀납법을 이용한 증명 문제가 자주 출제되는데, 이 유형의 문제는 대부분 증명을 완성하는 것이므로 빈칸의 전 후 수식을 비교하거나 증명의 흐름과 문맥을 파악하면 쉽게 해결할 수 있다. 또, 여러 가지 형태의 점화식을 이용하여 항의 값을 추정하는 문제가 출제되는데, 점화식에서 몇 개의 항을 직접 구하여 규칙을 파악하는 능력이 필요하다.
2012학년도 대수능
2008년 9월 평가원
01
| 출제 의도 | 일반항을 이용하여 일정한 규칙과 주기를 가지고 움직이는 점을 찾을 수 있는지를 묻는 문제이다.
수열 {a«}에서 a«=3+(-1)« 일 때, 좌표평면 위의 점 P«을
⋯ ⋯P
«{a« cos, a« sin } 라 하자. 점 P™ººª와 같은 점은?
[3점]① P¡ ② P™ ③ P£ ④ P¢ ⑤ P∞
1333
2np31333
2np302
출제경향 & 대표기출문제
출제 경향
자연수 n에 대하여 S«≠¡=S«+a«≠¡이므로 na«≠¡=2S«+(n+1)‹ ⋯ ⋯yy㉠이다.
2 이상의 자연수 n에 대하여 (n-1)a«=2S«–¡+n‹ ⋯ ⋯yy㉡이고,
㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터na«≠¡=(n+1)a«+ 를 얻는다.
양변을 n(n+1)로 나누면 = + 이다.
b«= 이라 하면b«≠¡=b«+3+ (næ2)이므로 b«=b™+ (næ3)이다.
⋯
㈐ a« ㈏ 13n
13333331 n(n+1) 13a«
n 13333a«≠¡
n+1
㈎
㈎
위의 ㈎, ㈏, ㈐에 들어갈 식을 각각 f(n),
g(n), h(n)이라 할 때,의 값은?
[4점]① 30 ② 36 ③ 42 ④ 48 ⑤ 54
133311
f(3) g(3)h(6)정답과 풀이 65쪽
01
04
a¡=3, a™=7, a«≠™-a«≠¡=a«≠¡-a« (n=1, 2, 3, y)으로 정의된 수열 {a«}에 대하여 a¡∞의 값은?
① 55 ② 59 ③ 63 ④ 67 ⑤ 71
03
a¡=2, a«≠¡= (n=1, 2, 3, y)으로 정의된 수열 {a«}에서 a¡º의 값은?① ;7¡3; ② ;7™3; ③ ;7£3; ④ ;7¢3; ⑤ ;7∞3;
13331
4a«+1a«a¡=3, (3n-2)a«≠¡=(3n+1)a« (n=1, 2, 3, y)으로 정의된 수열 {a«}에서 a™º의 값은?
① 156 ② 162 ③ 168 ④ 174 ⑤ 180
Level 1 기초연습
www.ebsi.co.kr02
첫째항이 7인 수열 {a«}이 모든 자연수 n에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, a∞º의 값은?① 199 ② 203 ③ 207 ④ 211 ⑤ 215
㈎ a«≠™+a«=2a«≠¡ ㈏a«≠•-a«≠™=24
수열 {a«}에 대하여
⋯ ⋯a¡=2, a™=4, a«≠™-a«≠¡= (n=1, 2, 3, y) 일 때, a££의 값을 구하시오.
1551351a«≠¡-a«1
수열 {a«}이
⋯ ⋯a¡=3, a«≠¡=(n+1)a« (n=1, 2, 3, y) 을 만족시킬 때, a˚의 일의 자리의 숫자는?
① 1 ② 3 ③ 5 ④ 7 ⑤ 9
;2013 k=1
모든 항이 양수인 수열 {a«}에 대하여 a¡=7이고 x에 대한 이차방정식 x¤ -2'ß2a« x+(a«≠¡+3)=0이 모든 자연수 n에 대하여 중근을 가질 때, a•의 값을 구하시오.
01
02
03
정답과 풀이 66쪽
Level 2 기본연습
04
다음은 모든 자연수 n에 대하여⋯ ⋯ ¥2!+ ¥3!+ ¥4!+y + ¥(n+1)!= -1 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
(n+2)!
1535112« ±⁄
15352« ±⁄n 152›3
152‹2 152¤1
위의 증명에서 ㈎, ㈏에 알맞은 식을 각각 f(k), g(k)라 할 때, g(3)의 값을 구하시오.
153533f(3)
⁄n=1일 때, (좌변)=;2!;, (우변)=;2!;이므로 주어진 등식은 성립한다.
¤n=k일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
¤ ¥2!+ ¥3!+ ¥4!+y+ ¥(k+1)!= -1⋯ yy㉠
¤㉠의 양변에 을(를) 더하면
¤ ¥2!+ ¥3!+ ¥4!+y+ ¥(k+1)!+ = -1
¤이므로 n=k+1일 때도 성립한다.
따라서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식은 성립한다.
151155 2˚ ±¤
k ㈎ 1512˚ ±⁄
152›3 152‹2
152¤1
㈎
(k+2)!
1511552˚ ±⁄
1512˚ ±⁄k 152›3
152‹2 152¤1
㈏
수열 {a«}은 다음 조건을 모두 만족시킨다.
수열 {a«}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S«이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
a¡=;3!;, = (n=1, 2, 3, y)으로 정의된 수열 {a«}에 대하여
=;pQ;이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p, q는 서로소인 자연수이다.) 1535113a™˚–¡a™˚≠¡1
;20 k=1
15a«2 a¡+a™+a£+y+a«
15351111111n+1
자연수 n에 대하여 좌표평면 위의 점 P«을 다음 규칙에 따라 정한다.
예를 들면 P™(1, 1), P£(2, 1), P¢(2, 2)이다. 위의 규칙에 따라 정해진 점 P¡™º의
01
03 02
정답과 풀이 67쪽
Level 3 실력완성
신유형
www.ebsi.co.kr
㈎ a¡=1, a™=2
㈏ a«≠™-a«=5 (n=1, 2, y, 6)
㈐ a«≠•=a«+k (k는 실수, n=1, 2, 3, y)
x y
1 1
2 2
O
P¡ P™
P£
P¢…
㈎ 점 P¡의 좌표는 (0, 1)이다.
㈏ 점 P«의 좌표가 (a, b)일 때,
aæ"√b+1이면 점 P«≠¡의 좌표는 (a, b+1)이고 a<"√b+1 이면 점 P«≠¡의 좌표는 (a+1, b)이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
ㄱ. k=0이면 a™¡=11이다.
ㄴ. 수열 {a™«}이 등차수열이 되도록 하는 실수 k는 존재하지 않는다.
ㄷ. k=0이면 세 수 S•, S¡§, S™¢는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.
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