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동수역학
(교재 p118)
유체흐름에 관한 역학적 해석이 어려운 것은 점성과 압축성 효과 때문이라 할 수 있으므로 초 보자에게는 이들 효과를 무시한 이상유체에 관한 이론을 먼저 전개하게 되면 쉽게 이해할 수 있 다. 이 장에서는 이상유체에 관한 기초방정식으로 연속방정식, 오일러 운동방정식, 베르누이 방정 식 등을 학습할 것이다. 이들 방정식은 백터식으로, 그리고 2차원, 3차원, 흐름에까지 확장하여 이론을 전개할 수 있으 나 여기서는 주로 1차원 흐름에 대하여 스칼라 식으로 표현하였다. 베르누이 방정식은 이상유체 에 관하여 유도된 것이지만 초급 유체역학 분야에서는 가장 많이 이용하는 식 중의 하나이다. 식 자체가 간단 명료하여 실제의 점성유체에까지 적용범위를 확장하여 사용하므로 이 식에 관한 여 러 가지 응용문제를 많이 다루어 보아야 충분한 기초가 확립될 수 있다.1. 층류와 난류
유동은 층류와 난류로 구분된다.유체가 규칙적으로 질서 정연하게 층상을 이루어 흐르는 유동 을 층류(Laminar Flow), 이와 반대로 불규칙하게 난동을 이루며 흐르는 유동을 난류(TurbulentFlow)라 한다. ※ 레이놀즈 수(Reynolds Number), 점성력 관성력 ··· (4-1) 여기서, ：유체의 밀도 ：관속을 흐르는 유체의 평균 속도 ：원관의 지름 ：유체의 점성 계수 ：유체의 동점성 계수 상임계 레이놀즈 수 : 층류에서 난류로 바뀔 때의 수 상임계 속도 : 층류에서 난류로 바뀔 때의 유속 하임계 레이놀즈 수 : 난류에서 층류로 바뀔 때의 수 하임계 속도 : 난류에서 층류로 바뀔 때의 유속 [표 4-1] 레이놀즈 수
< 2100 층류 2100 < < 4000 천이구역 < 4000 난류 보통 임계 레이놀즈 수라 하면 하임계 레이놀즈 수를 말한다. (=2100~2300) [그림 4-1] 관에서의 층류와 난류흐름 [그림 4-2] 층류에서의 속도 분포 레이놀즈의 실험 결과에 의하면 상임계 레이놀즈 수는 10000 < < 13000의 범위이다. 이 값 은 탱크 속의 물의 정적, 유리관 입구의 모양 또는 실험 장치의 진동 유무에 따라 달라지고, 조건 이 최적일 때는 까지도 층류 상태를 유지할 수 있다. 이와 같이 상임계 수는 불확 실한데 반하여 하임계 레이놀즈 수는 확실한 값이 된다. Schiller의 실험에 의하면 ∼ 이다. 예제 비중 0.8, 점성계수가 0.03kg/m·s 인 기름이 안지름 450mm의 파이브를 통하여 0.3m³/s의 유량으로 흐 를 때 레이놀즈수는?(단, 물의 밀도는 1000kg/m³이다) 풀이 × × × × × × [m/s] [표 4-2] 주요 무차원수
무차원수 기 호 정 의 의 미 프루우스 수 (Froude Number) Fr 또는 중력 관성력 그래쇼프수 (Grashof Number) Gr 확산하는 점성력부력 루이스 수 (Lewis Number) Le 온도의 확산속도물질의 확산속도 마하수 (Mach Number) M 음속 속도 탄성력관성력 누셀수 (Nusselt Number) Nu 전도열 이동속도대류열 이동속도 페클레수 (Peclet Number) Pe 온도의 확산 범위물체의 영향 범위 프랜틀수 (Prandtl Number) Pr 온도의 확산속도 운동량의 확산속도 슈미트수 (Schmidt Number) Sc 운동량의 확산속도물질의 확산속도 스탠튼수 (Stanton Number) St 대류의 운동량 이동속도 대류열 이동속도 오일러수 (Euler Number) Eu 관성력압축력 코시수 (Cauchy Number) Ca 탄성력관성력 웨버수 (Weber Number) We 표면장력 관성력 ※ 표중의 정의에 사용한 기호의 의미 ：소리의 속도 ：대표길이 ：압력 ：속도 ：열전도율 ：표면장력 ：정압비열 ：점성계수(점도) ：확산계수 ：온도차 ：중력가속도 ：밀도 ：팽창계수 ：체적탄성계수 ：열전달율
2. 정상류와 비정상류
1) 정상류(Steady Flow)
흐르는 유체속의 임의의 1점에서 속도, 압력, 밀도 등이 시간과 관계없이 항상 일정한 상태에 있는 흐름을 정상류라 한다. 유체속에 직각좌표축 를 임의의 방향으로 잡으면 정상류에서 는 다음과 같다. 여기서, ：압력 ：밀도 ：온도 ：시간 ：속도
2) 비정상류(Unsteady Flow)
정상류가 아닌 흐름이다. 시간적 평균 속도를
≠ 3. 유선과 유적선
1) 유선(Stream Line)
흐르는 유체 속에 한 곡선을 가정하여 이 곡선 위의 각 점에 대한 접선이 그 점에 있 어 서의 속도 벡터의 방향과 일치할 때 이 곡 선 을 유선이라 한다. 유선은 유체의 한 입 자 가 지나는 궤적을 표시한다. ⇢ 유선방정식 여기서, ：속도 벡터 의 방향성분 ：유체입자의 미소변위 ：미소변위 의 방향의 성분2) 유적선(Path Line)
일정한 시간 내에 유체입자가 흘러간 궤도를 유적선이라 한다. 정상류일 때 유적선은 유선과 일치한다. [그림 4-3] 유선3) 유동장(Flow Field)
유선으로 이루어진 군을 유동장이라고 한다. 유동장에서 유선 사이의 간격이 좁은 곳은 고속․ 저압이며, 간격이 넓은 곳은 저속․고압임을 표시한다.4) 유관(Stream Tube)
유체의 내부에 한 폐곡선을 생각하여 이 위의 각 점을 지나는 유선으로 1개의 관을 만들 때, 이것을 유관이라고 한다. 이 관벽을 통해서는 유체의 출입이 없으므로 이것은 마치 고체의 관과 같이 생각할 수 있다. [그림 4-4] 유관4. 방향에 따른 유동구분
유체의 흐름과 흐름의 변수들이 흐름과 직각인 어떤 단면을 지나더라도 같은 단면에서는 항상 일정한 값을 가질 때 이러한 흐름을 1차원 흐름(One Dimensional Flow)이라 한다. [그림 4-5]와 같은 관내의 유동을 일반적으로 1차원 흐름으로 간주하여 (a)와 같이 균일 분포 유동으로 취급하 지만 실제적으로 고체와 접하는 경계면에서는 점성의 영향으로 (b)와 같이 속도가 0이 되며, 2차 원 속도성분이 존재하여 1차원 유동이라 할 수 없다.
(a) (b)
[그림 4-5] 관내 유동
2차원 흐름(Two Dimensional Flow)은 흐름이나 흐름의 변수 가운데 어느 하나가 흐름속에서 두 방향, 즉 직각좌표 방향의 특별한 기울기를 가지는 것으로 정의된다. 2차원 흐름의 예로서 는 [그림 4-6]과 같은 평판 위 경계층 내의 유체흐름, 평행평판 사이의 점성유동 등이 이에 속하 고 위어(Weir)를 넘쳐흐르는 흐름 및 익형 둘레의 흐름 등도 2차원 흐름의 보기이다.
[그림 4-6] 평판상의 속도 흐름
3차원 흐름(Three Dimensional Flow)이란 흐름이나 흐름의 변수가 직각 좌표계에서 , ,
방향으로 변화하는 흐름이다. 3차원 흐름의 예로서는 [그림 4-7]에서 보는 바와 같이 제트 항공기 의 공기 흡입구에 유입되는 공기흐름, 공기 속으로 날아가는 야구공이나 달리는 자동차 둘레의 공기의 흐름 등이 이에 속한다.
(a) (b) (c) [그림 4-7] 3차원 흐름의 예 p124
5. 연속방정식
유체유동에서 단면적이 균일한 관이나 불균일한 관내의 유량은 동일한 시간에 어느 단면에서나 질량보존의 법칙에 의하여 같다. 즉, 어느 위치에서나 유입 질량과 유출 질량이 같으므로 일정한 관내에 축적된 질량은 유속에 관계없이 일정하다. 이것을 연속의 원리(Principle of Continuity)라 고 한다.1) 질량유량
[그림 4-8]과 같은 단면이 일정하지 않은 유관속으로 압축성 유체가 정상류로 흐른다고 하자. 임의의 단면 ①, ②의 단면적을 , 라 하고, 유체의 평균속도와 밀도를 각각 라 하면 단면 ①, ② 사이의 유체가 의 시간이 지난 후 단면 ①′ ②′ 사이로 이동하였을 때 질량 보존의 법칙으로부터 단면 ① ①′ 사이의 질량은 단면 ② ②′ 사이의 질량과 같다. [그림 4-8] 유관 속의 정상흐름 단면 ①과 ②에서의 시간 동안의 질량유량을 각각 , 라고 하면 이 되고 질량 보존의 법칙으로부터 이므로 단위 시간당 질량유량을 로 각각 나누면 된다. 여기서 이므로 위 식은 ··· (4-2) 이 된다. 따라서 식 (4-2)는 다음 식과 같이 나타낼 수 있다. ··· (4-3) 위 식에서 을 질량유량이라 한다.
2) 중량유량(Weight Flowrate)
질량유량식에 를 대입하면 다음 식이 된다. ··· (4-4) 여기서 ：중량유량이라 하며, 주로 기체의 유량을 표시할 때 사용한다.3) 체적유량(Volumetric Flowrate)
유체가 비압축성일 때는 이므로 중량유량식은 다음과 같이 된다. ··· (4-5) 여기서 ：체적유량이라 하며, 주로 액체의 유량을 표시할 때 사용한다.예제 관의 직경이 40cm에서 점차 축소하여 직경이 20cm로 되는 수평 원형관속을 물이 800Ns의 유량으 로 흐르고 있다. 직경이 40cm, 20cm일 때 각 단면에서의 유속은 얼마인가? 풀이 중량유량은 이므로 × × × ms × × × ms 예제 유량을 mm × mm인 4각관으로 유동시키고 있다. 동일한 유량을 유속의 2배로 증속하여 원 형관으로 유동시키려면 관의 지름을 몇 m로 하여야 하는가? 풀이 4각관의 유속을 라 하면 유량은 × × m s 원형관 내에서의 유속은 가 되므로 × 연속방정식에 의하여 × cm
6. Euler의 운동방정식
[그림 4-9]와 같이 미소체적의 유체가 비압축성 이상유체로 1차원 흐름을 갖는다고 하자. 이 미소체적에 Newton의 운동방정식을 적용하여 유체의 운동방정식을 구하여 보자. 유선 1-2상에 미소 단면적이 , 미소길이가 인 미소유관을 잡고 이 미소유관에 대해 Newton의 법칙을 적 용하면 유선방향으로 작용하는 힘의 대수합
는
· ··· (4-6)[그림 4-9] 미소체적에 작용하는 유선방향으로의 힘 가 되어 미소유관의 질량 과 흐름방향에 대한 유관의 가속도 의 곱과 같다. 이 때 미소유 관에 작용하는 힘으로서는 미소유관의 입, 출구단면에 작용하는 압력차에 의한 힘과 미소유관의 질량력에 의한 힘, 즉 중력뿐이다. 미소유관의 입, 출구단면에서의 압력에 의한 전압력은 각각 이고 미 소유관의 중력의 흐름방향 성분은 ⋅⋅ 이다. 유선방향 (+)라 할 때, 이들의 합은
··· (4-7) 가 된다. 또 미소질량은 · 가속도는 가 된다. 따라서 미소질량과 가속도의 곱은 · · × · · ··· (4-8) 이 된다. 식 (4-7)과 식 (4-8)을 식 (4-6)에 대입하면 · 이 되고 이 식을 로 나누고 정리하면 다음 식을 얻는다. ··· (4-9)
또 이식을 간단히 하면
··· (4-10)
이 된다. 식 (4-9)와 (4-10)은 Newton의 제2법칙을 비압축성유체 1차원 흐름에 적용했을 때 얻는 식으로 오일러의 운동방정식(Euler's Equation of Motion)이라고 하며, 스위스의 수학자 Leonard Euler(1707~1783)가 1755년에 정립한 식이다.
![[그림 4-5] 관 내 유동](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/4781426.17433/6.892.269.653.383.530/그림-관-내-유동.webp)
![[그림 4-9] 미소체적에 작용하는 유선방향으로의 힘 가 되어 미소유관의 질량 과 흐름방향에 대한 유관의 가속도 의 곱과 같다](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/4781426.17433/10.892.326.616.144.334/미소체적에-작용하는-유선방향으로의-미소유관의-흐름방향에-대한-유관의-가속도.webp)
