굿비 수학2_해설

정답

및

해설

T H I N K M O R E A B O U T Y O U R F U T U R E

01. 함수의 극한

10`~`12`쪽

01

⑴ 그래프를 이용하면 ⑴ 2x=2 ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴ ⑵ 그래프를 이용하면 ⑴ 3=3 ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴ ⑶ 그래프를 이용하면 ⑴ '∂x-1=1 ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴ ⑷ 그래프를 이용하면 ⑴ =-1 ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴ ⑸ 그래프를 이용하면 ⑴ { +1}=1 ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴ 1 1_x lim x⁄¶ x y O +1 y= 1 1 1 113_x-1 lim x⁄0 x y O 1 y= x-11 -1 lim x⁄2 x y 1 O 1 2 lim x⁄2 x y 2 3 O y=3 lim x⁄1 x y _y=2x 1 2 O ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 1 ⑷ -1 ⑸ 1 ⑹ 0 02 ⑴ ¶ ⑵ -¶ ⑶ ¶ ⑷ -¶ 03 ⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ 1 ⑷ 1 ⑸ -2 04 ⑴ 존재하지 않는다. ⑵ 존재하지 않는다. 05 ⑴ 1 ⑵ 7 ⑶ -2 06 ⑴ 7 ⑵ 9 ⑶ -1 07 ⑴ -1 ⑵ 6 ⑶ 2 ⑷ 1 08 ⑴ a=3, b=-4 ⑵ a=2, b=1 09 8 ⑹ 그래프를 이용하면 ⑴ {- }=0 ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴

02

⑴ 그래프를 이용하면 ⑴ =¶ ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴ ⑵ 그래프를 이용하면 ⑴ {- }=-¶ ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴ ⑶ 그래프를 이용하면 ⑴ (x¤ +2)=¶ ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴ ⑷ 그래프를 이용하면 ⑴ (-x¤ )=-¶ ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴

03

⑸ f(x)+ g(x)=-1+(-1)=-2

04

⑴ 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으 ⑴므로 ⑴ =1, =-1 ⑴따라서 + 이므로 ⑴lim124|x|_x 의 값은 존재하지 않는다. x⁄0 |x| 124_x lim x ⁄0-|x| 124_x lim x⁄0+ |x| 124_x lim x ⁄0-|x| 124_x lim x⁄0+ _-1 y= x|x| O x y 1 lim x ⁄-2-lim x ⁄2-lim x⁄-¶ x y O y=-x2 lim x⁄¶ x y 2 O y=x +22 1 11233_|x-1| lim x⁄1 x y y=- 1 O 1 |x-1| 1 124_|x| lim x⁄0 x y y=|x|1 O 3 1_x lim x⁄-¶ x y O y=- 3

함수의 극한과 연속

Ⅰ

해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.10.31 5:25 PM 페이지2

⑵ 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같 ⑴으므로 ⑴ [x]=0, [x]=-1 ⑴따라서 [x]+ [x]이므로 ⑴ [x]의 값은 존재하지 않는다.

05

⑴ { f(x)+ g(x)}= f(x)+ g(x)=2+(-1)=1 ⑵ {2 f(x)-3 g(x)}= 2 f(x)- 3 g(x) ⑵ {2 f(x)-3 g(x)}=2 f(x)-3 g(x) ⑵ {2 f(x)-3 g(x)}=2_2-3_(-1)=4+3=7 ⑶ = = =-2

06

⑴ (3x+4)=3_1+4=7 ⑵ (x+1)(2x2_{-3x+1)=(2+1)(2_2}2_{-3_2+1)=9} ⑶ = =-1

07

⑴ = ⑴ = (x-2)=-1 ⑵ = ⑵ = ⑵ = _{('ƒx+7+3)=3+3=6} ⑶ = _=;3^;=2 ⑷ ("√x¤ +2x-x) ⑷= ⑷= = = =1

08

⑴ x → 1일 때 극한값이 존재하고 (분모) → 0이므로 ⑴(분자) → 0이어야 한다. 즉, ⑴ (x¤ +ax+b)=1+a+b=0 ∴ b=-a-1 ⑴ ∴ = ⑴ ∴ = ⑴ ∴ = (x+1+a)=2+a

⑴2+a=5이므로 a=3 ∴ a=3, b=-4

lim x⁄1 (x-1)(x+1+a) 11111111_x-1 lim x⁄1 x¤ +ax-a-1 1111112_x-1 lim x⁄1 x¤ +ax+b 111113_x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 2 113₁₊₁ 2 111112₂ æ–1+1+1_x lim x⁄¶ 2x 11112333 "√x¤ +2x+x lim x⁄¶ ("√x¤ +2x-x)("√x¤ +2x+x) 1111111111111 "√x¤ +2x+x lim x⁄¶ lim x⁄¶ 1 1 6-1+13 x x¤ 1111123_{5 3} 3+1-13 x x¤ lim x⁄¶ 6x¤ -x+1 111112_{3x¤ +5x-3} lim x⁄¶ lim x⁄2 (x-2)('ƒx+7+3) 1111111123_x-2 lim x⁄2 (x-2)('ƒx+7+3) 11111111111_{('ƒx+7-3)('ƒx+7+3)} lim x⁄2 x-2 111123 'ƒx+7-3 lim x⁄2 lim x⁄1 (x-1)(x-2) 11111133_x-1 lim x⁄1 x¤ -3x+2 11111_x-1 lim x⁄1 2_(-1)+6 111114444_{3_(-1)-1} 2x+6 11244_3x-1 lim x⁄-1 lim x⁄2 lim x⁄1 2 11_-1 lim f(x) x⁄0 11114_{lim g(x)} x⁄0 f(x) 1124_g(x) lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x⁄0+ O x y 2 1 -2 -1 -2 -11 2 y=[x] 13`~`15`쪽 ● ● ●_{핵심유형으로}개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ④ 1-1⑤ 1-2④ 1-32 핵심유형 2 -5 2-1④ 2-22 2-3④ 핵심유형 3 ② 3-1④ 3-2② 3-3-1 핵심유형 4 1 4-14 4-2ㄴ, ㄷ, ㄹ 핵심유형 5 28 5-12 5-2① 5-3-5 5-4⑤ 핵심유형 6 ;2!; 6-127 핵심유형 7 2 7-112 핵심유형

1

ㄱ. _;[!;=0 ㄴ. ㄷ. ∴ =¶ ∴ |x+2|=¶ ㄹ. x+1일 때 ㄷ. =x¤ +x+1이므로 ㄷ. =3 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄹ이다. x‹ -1 1124_x-1 lim x⁄1 x‹ -1 1124_x-1 x y 1 3 1 O x‹ -1 y= _x-1 lim x⁄-¶ 1 1114_|x+1| lim x⁄-1 x y -2 O y=|x+2| x y -1 O y=_|x+1|1 lim x⁄¶ ⑵ x⁄0일 때 0이 아닌 극한값이 존재하고 (분자)⁄0이므로 ⑴(분모)⁄0이어야 한다. 즉, ⑴ ('ƒx+4-a)=2-a=0 ∴ a=2 ⑴ ∴ = ⑴ ∴ = ⑴ ∴ = _{b('ƒx+4+2)=4b} ⑴4b=4이므로 b=1 ∴ a=2, b=1

09

4x… f(x)…x2 +4이고, 4x=8, (x2 +4)=8이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 limf(x)=8 x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄0 bx('ƒx+4+2) 111111333_x lim x⁄0 bx('ƒx+4+2) 111111111133_{('ƒx+4-2)('ƒx+4+2)} lim x⁄0 bx 111133 'ƒx+4-2 lim x⁄0 lim x⁄0

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c

1

-1 y=3+ 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ∴ {3+ }=3 ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴

1

-2 ④ y= 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ∴ =1 ⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴⑴

1

-3 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. ∴ f(x)+ f(x) + f(x) ∴=3+0+(-1)=2 00000000000000000000000000000000 핵심유형

2

f(x)의 값이 존재하므로 f(x)= f(x) 즉, (x¤ -ax+b)= (x+5)에서 1-a+b=6 ∴ a-b=-5

2

-1 주어진 그래프로부터 f(x)=2, f(x)=2 ∴ f(x)+ f(x)=2+2=4

2

-2 2…x<3일 때 [x+1]=3이므로 [x+1]=3 ∴ A=3 x<1일 때 |x-1|=-(x-1)이므로 = =-1 ∴ B=-1 ∴ A+B=2

2

-3 f(x)의 값이 존재하므로 f(x)= f(x) (x¤ +1)= (ax-b) 1=-b ∴ b=-1 f(x)의 값이 존재하므로 f(x)= f(x) (ax-b)= (x+3)

2a+1=5 ∴ a=2 ∴ a+b=1

lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2 lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x⁄0 -(x-1) 11112_x-1 lim x ⁄1-|x-1| 1114_x-1 lim x ⁄1-lim x⁄2+ lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1 lim x⁄2 lim x⁄1 lim x⁄0 x y O y=f(x) 3 2 -1 1 3 x 1134_x+1 lim x⁄¶ x y -1 1 O y=_x+1x x 1134_x+1 1 14_x¤ lim x⁄-¶ x y 3 O y=3+ x¤1 1 14_x¤ 핵심유형

3

x=-t로 놓으면 x`⁄`-¶일 때 t`⁄`¶이므로 = = = _=-;2!;

3

-1 = = _[ _ _] = = _{{(x¤ +1)('ƒx+3+2)}=2('4+2)=8}

3

-2 x {1- } = = = = _=;2!;

3

-3 g(x)= g(x)= g(x)= =3 ∴ { f(x)- g(x)}= f(x)- g(x) ∴ { f(x)- g(x)}=2-3=-1 핵심유형

4

f(x)=t로 놓으면 x⁄1-일 때 t ⁄3-이므로 f( f(x))= f(t)=1 x⁄3+일 때 t=1이므로 f( f(x))=f(1)=0 ∴ f( f(x))+ f( f(x))=1+0=1

4

-1 f(g(x))에서 g(x)=s로 놓으면 x_{⁄1-일 때 s ⁄1-이므로} f(g(x))= f(s)=3 g( f(x))에서 f(x)=t로 놓으면 lim x⁄1+ lim s ⁄1-lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄3+ lim x ⁄1-lim x⁄3+ lim t ⁄3-lim x ⁄1-lim x⁄3 lim x⁄3 lim x⁄3 2+7 1144₃ lim f(x)+lim {3g(x)- f(x)} x⁄3 x ⁄3 111111111111144_{lim 3} x⁄3 33 f(x)+{3 g(x)- f(x)} 11111111112₃ lim x⁄3 lim x⁄3 1 11111112 1 1 1+1+Ƭ1+1 x x lim x⁄¶ x 11111124 x+1+"√x¤ +x lim x⁄¶ x('ƒx+1-'x)('ƒx+1+'x) 1111111111111 'ƒx+1('ƒx+1+'x) lim x⁄¶ x('ƒx+1-'x) 1111111 'ƒx+1 lim x⁄¶ 'x 1112 'ƒx+1 lim x⁄¶ lim x⁄1 (x-1)(x¤ +1)('ƒx+3+2) 1111111111113_x-1 lim x⁄1 'ƒx+3+2 1111333 'ƒx+3+2 (x-1)(x¤ +1) 1111123333 'ƒx+3-2 lim x⁄1 (x-1)(x¤ +1) 1111123333 'ƒx+3-2 lim x⁄1 x‹ -x¤ +x-1 111112333 'ƒx+3-2 lim x⁄1 -1 112₁₊₁ 2 -1+1 t 111112₁ Ƭ1-1+1_t lim t⁄¶ -t+2 11112 "√t¤ -t+t lim t⁄¶ x+2 111123 "√x¤ +x-x lim x⁄-¶ 해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.10.31 5:25 PM 페이지4

x⁄1+일 때 t ⁄1-이므로 g(f(x))= g(t)=1 ∴ f(g(x))+ g( f(x))=3+1=4

4

-2 ㄱ. f(x)=0, g(x)=1이므로 ㄱ. f(x)+ g(x)=0+1=1 (거짓) ㄴ. f(|x|)= f(x)=0 ㄱ. f(|x|)= f(-x)=0 ㄱ. ∴ f(|x|)=0 (참) ㄷ. f(x)=0, g(x)=0이므로 ㄱ. |f(x)-g(x)|=|0-0|=0 ㄱ. f(x)=1, g(x)=1이므로 ㄱ. |f(x)-g(x)|=|1-1|=0 ㄱ. ∴ |f(x)-g(x)|=0 (참) ㄹ. g( f(|x|))에서 f(|x|)=t로 놓으면 ㄱ.⁄x⁄-1+일 때 t ⁄1-이므로 ㄱ. ⁄ g( f(|x|))= g(t)=1 ㄱ.¤x⁄-1-일 때 t ⁄0-이므로 ㄱ. ⁄ g( f(|x|))= g(t)=1 ㄱ.⁄, ¤에서 ㄱ. g( f(|x|))= g( f(|x|))=1 ㄱ.즉, g( f(|x|))의 값이 존재한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 핵심유형

5

=1에서 x ⁄ 2일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax-b)=0, 4+2a-b=0 ∴ b=2a+4 yy ㉠ ㉠을 주어진 식에 대입하면 = = = = =1이므로 4+a=12 ∴ a=8, b=20 ∴ a+b=28

5

-1 =b에서 x⁄-1일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax)=1-a=0 ∴ a=1 lim x⁄-1 x¤ +ax 11125_x+1 lim x⁄-1 4+a 1123₁₂ 4+a 1123₁₂ x+2+a 111123_{x¤ +2x+4} lim x⁄2 (x-2)(x+2+a) 111111111_{(x-2)(x¤ +2x+4)} lim x⁄2 x¤ +ax-2a-4 1111111_{x‹ -8} lim x⁄2 x¤ +ax-b 111122_{x‹ -8} lim x⁄2 lim x⁄2 x¤ +ax-b 11111_{x‹ -8} lim x⁄2 lim x⁄-1 lim x ⁄-1-lim x⁄-1+ lim t ⁄0-lim x ⁄-1-lim t ⁄1-lim x⁄-1+ lim x⁄-1 lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄0 lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim t ⁄1-lim x⁄1+ a=1을 주어진 식에 대입하면 = = x=-1=b ∴ a-b=1-(-1)=2

5

-2 =;4!;에서 x ⁄3일 때 극한값이 존재하고 (분모)`⁄0이므로 (분자)```⁄0이어야 한다. 즉, ('ƒx+a-b)='ƒ3+a-b=0 ∴ b='ƒ3+a yy`㉠ ㉠을 주어진 식에 대입하면 = = = = _=;4!; 위 식이 성립하려면 'ƒ3+a=2 ∴ a=1, b=2 (∵ ㉠) ∴ a+b=3

5

-3 =;3!;이므로 f(x)는 최고차항의 계수가 3인 이차함수이다. 또 =2에서 x_{⁄-2일 때 극한값이 존재하고} (분모)`⁄0이므로 (분자)`⁄0이어야 한다. 즉, f(x)= f(-2)=0 따라서 f(x)=3(x+2)(x+a)(`a는 상수)라 하면 = = = =2 a-2=-;3*; ∴ a=-;3@; 따라서 f(x)=3(x+2){x-;3@;}이므로 f(x)= f(-1)=3_1_{-;3%;}=-5

5

-4 =5에서 x ⁄ 2일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄ 0이므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다. 즉, { f(x)-3}=0 ∴ f(x)=3 ∴ = [ _ ] ∴ = _ ∴ =;5!;_113₃₊₃1 =;5!;_;6!;=;3¡0; 1 1111_f(x)+3 lim x⁄2 x-2 1111_f(x)-3 lim x⁄2 1 1111_f(x)+3 x-2 11122_f(x)-3 lim x⁄2 x-2 111122_{{ f(x)}¤ -9} lim x⁄2

lim

x⁄2

lim

x⁄2 f(x)-3 11114_x-2 lim x⁄2 lim x⁄-1 3(-2+a) 11111_-4 3(x+a) 1111_x-2 lim x⁄-2 3(x+2)(x+a) 11111114_(x+2)(x-2) lim x⁄-2 f(x) 111_{x¤ -4} lim x⁄-2 lim x⁄-2 f(x) 111_{x¤ -4} lim x⁄-2 x¤ -5 1114_f(x) lim x⁄¶ 1 2211555_2'ƒ3+a 1 221115555155553 'ƒx+a+'ƒ3+a lim x⁄3 (x+a)-(3+a) 221115555111115555_{(x-3)('ƒx+a+'ƒ3+a )} lim x⁄3 'ƒx+a-'ƒ3+a 22111555511_x-3 lim x⁄3 'ƒx+a-b 22111553_x-3 lim x⁄3 lim x⁄3 '∂x+a-b 111124_x-3 lim x⁄3 lim x⁄-1 x(x+1) 1111_x+1 lim x⁄-1 x¤ +x 111_x+1 lim x⁄-1

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 핵심유형

6

x<(2x¤ +x+3) f(x)<x+4의 각 변에 를 곱하면 <x f(x)< {∵ >0} 이때 =;2!;, =;2!;이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 x f(x)=;2!;

6

-1 3x+3< f(x)<3x+10의 각 변을 세제곱하면 (3x+3)3_{<{ f(x)}}3_<(3x+10)3 이고 x‹ +1>0이므로 < < 이때 =27, =27이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 =27 핵심유형

7

직선 y=x+1과 수직인 직선의 기울기는 -1이므로 점 P(t, t+1)을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 y-(t+1)=-(x-t) ∴ y=-x+2t+1 점 Q는 이 직선과 y축의 교점이므로 Q(0, 2t+1) 이제 세 점 A(-1, 0), P, Q에 대하여 AQ”¤ =1¤ +(2t+1)¤ =4t¤ +4t+2 AP”¤ =(t+1)¤ +(t+1)¤ =2t¤ +4t+2 ∴ = ∴ = _=;2$;=2

7

-1 원 C™에 외접하는 원 C¡이 x축에 접하므로 (원 C¡의 반지름의 길이)=y ∴ PA”=y+2 한편 H(0, y)이므로 PH”=x ∴ = yy ㉠ 그런데 PA”="√x¤ +(y-4)¤ 이므로 "√x¤ +(y-4)¤ =y+2 가 성립한다. 양변을 제곱하여 풀면

x¤ +y¤ -8y+16=y¤ +4y+4, 12y=x¤ +12 x¤ 1144_y+2 lim x⁄¶ PH”¤ 114_PA” lim x⁄¶ O H 2 P(x, y) A(0, 4) C™ C¡ x y 4 2 4+1+1 t t¤ 111112_{4 2} 2+1 +1 t t¤ lim t⁄¶ 4t¤ +4t+2 11111_{2t¤ +4t+2} lim t⁄¶ AQ”¤ 114 AP”¤ lim t⁄¶ { f(x)}‹ 11124_{x‹ +1} lim x⁄¶ (3x+10)‹ 111124_{x‹ +1} lim x⁄¶ (3x+3)‹ 11112_{x‹ +1} lim x⁄¶ (3x+10)‹ 111124_{x‹ +1} { f(x)}‹ 11124_{x‹ +1} (3x+3)‹ 11112_{x‹ +1} lim x⁄¶ x¤ +4x 111124_{2x¤ +x+3} lim x⁄¶ x¤ 111124_{2x¤ +x+3} lim x⁄¶ x 111124_{2x¤ +x+3} x¤ +4x 111124_{2x¤ +x+3} x¤ 111124_{2x¤ +x+3} x 111124_{2x¤ +x+3} ∴ y=;1¡2;x¤ +1 yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 = 11113x¤ =12 ;1¡2;x¤ +3 lim x⁄¶ PH”¤ 114_PA” lim x⁄¶ 16`~`17`쪽 ● ● ●_{기출문제로}내신대비하기● ● ● 01 7 02 ⑤ 03 8 04 ⑤ 05 ② 06 1 07 15 08 ④ 09 ④ 10 ;2#; 11 ;2!; 12 ② 13 1 14 3 15 6

01

= (x¤ +2x+4) =1¤ +2+4=7

02

ㄱ. (2x+1)=¶이므로 극한값이 존재하지 않는다. ㄴ. ;[!;=¶, ;[!;=-¶ ㄴ.이므로 극한값이 존재하지 않는다. ㄷ. = ㄷ. = = |x+1|=2 ㄹ. ("√x¤ -2x-x) ㄷ.= ㄷ.= = ㄷ.= =-1 따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄷ, ㄹ이다.

03

= = _{=;5!;이므로} a+2=10 ∴ a=8

04

주어진 그래프로부터 f(x)+ f(x)=1+1=2

05

ㄱ. (반례) f(x)=[ 이라 하면 ㄱ. f(x)=0이지만 f(0)=1이다. (거짓) ㄴ. 1+;[!;=t로 놓으면 x ⁄ ¶일 때 t ⁄ 1이므로 ㄱ. f{1+;[!;}=limf(t)=2 (거짓) t⁄1 lim x⁄¶ lim x⁄0 0 (x+0) 1 (x=0) lim x⁄0+ lim x ⁄-2-2 112_a+2 1+1 1111_1+a+1 x+1 11111_{x¤ +ax+1} lim x⁄1 -2 112₁₊₁ -2 111114₂ æ–1-1+1_x lim x⁄¶ -2x 1111124 "√x¤ -2x+x lim x⁄¶ ("√x¤ -2x-x)("√x¤ -2x+x) 1111111111111 "√x¤ -2x+x lim x⁄¶ lim x⁄¶ lim x⁄1 |x+1||x-1| 1111112_|x-1| lim x⁄1 ` ` |(x+1)(x-1)| 11111112_|x-1| lim x⁄1 |x¤ -1| 1112_|x-1| lim x⁄1 lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x⁄¶ ` ` lim x⁄1 (x-1)(x¤ +2x+4) 111111111_x-1 lim x⁄1 해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.10.31 5:25 PM 페이지6

∴ f(t)+ f(t)=4+2=6

09

=6에서 x-3=t로 놓으면 x=t+3이고, x⁄3일 때 t ⁄0이므로 = = _{[ _ ]} =;3!; =6 따라서 =18이므로 =18

10

정의역에 속하는 모든 실수 x에 대하여 f(-x)=-f(x)가 성립 하므로 -2… x… 2에서 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽과 같다. ∴ f(x)+ f(x) ∴=2+{-;2!;}=;2#;

11

x>0일 때, 삼각형 OAB에서 OA”=4, OB”=x이므로

AB”="√x¤ +16 이때 원 C의 중심을 C라 하면 △OAB=△OAC+△OBC+△ABC 이므로 ;2!;_4_x=;2!;_(4+x+"√x¤ +16 )_r 4x=r(x+4+"√x¤ +16 ) ∴ ;[R;= ∴ ;[R;= ∴ ;[R;= =;2!;

12

다항함수 f(x)에 대하여 =0이므로 f(x)의 차수를 n이라 하면 n…2이다. 따라서 f(x)=ax¤ +bx+c (a, b, c는 상수)로 놓을 수 있다. f(x) 11555_x‹ lim x⁄¶ 4 111433 4+'∂16 4 11111112 x+4+"√x¤ +16 lim x⁄0+ lim x⁄0+ 4 11111112 x+4+"√x¤ +16 lim x ⁄0-lim x⁄-2+ f(x) 13333_x lim x⁄0 f(t) 13333_t lim t⁄0 f(t) 13333_t lim t⁄0 f(t) 13333_t 1 113_t+3 lim t⁄0 f(t) 11133_(t+3)t lim t⁄0 f(x-3) 1111_{x¤ -3x} lim x⁄3 f(x-3) 1111_{x¤ -3x} lim x⁄3 lim t⁄1+ lim t ⁄1-t y y=f(t) O 2 1 3 4 0 (t<0) 2 (t=0) 4 (0<t<1) 3 (t=1) 2 (t>1)

(

»

{

»

9

f(t)= ㄷ. f(x)<g(x)<h(x)이면 ㄱ. f(x)… g(x)… h(x) ㄱ.이때 f(x)= h(x)=0이므로 ㄱ. g(x)=0 (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ이다.

06

=b에서 x⁄2일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, ('ƒx+a-2)='ƒ2+a-2=0

'ƒ2+a =2, 2+a=4 ∴ a=2 yy ㉠ ㉠을 주어진 식에 대입하면 = = = _=;4!; ∴ b=;4!; ∴ 2ab=2_2_;4!;=1

07

=5이므로 f(x)=x‹ +5x¤ +ax+b (a, b는 상수)로 놓을 수 있다. 또 =2에서 x⁄1일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, f(x)=1+5+a+b=0 ∴ a+b=-6 yy ㉠ 한편 ㉠에 의하여 f(x)=x‹ +5x¤ +ax+b=x‹ +5x¤ +ax-a-6 =(x-1)(x¤ +6x+a+6) 이므로 = = = =2 ∴ a=-7, b=1 (∵ ㉠) 따라서 f(x)=x‹ +5x¤ -7x+1이므로 f(2)=8+20-14+1=15

08

오른쪽 그림과 같이 함수 y=|x¤ -1|의 그래프를 그 린 후, 직선 y=t를 움직이면서 두 그래프의 교점의 개수 f(t)를 구해 보면 x y y=t O 1 1 -1 y=|x¤ -1| a+13 11233₃ x¤ +6x+a+6 11111153_x+2 lim x⁄1 (x-1)(x¤ +6x+a+6) 1111111111453_(x-1)(x+2) lim x⁄1 f(x) 11111124_(x-1)(x+2) lim x⁄1 lim x⁄1 f(x) 11111124_(x-1)(x+2) lim x⁄1 f(x)-x‹ 111133_{x¤ +1} lim x⁄¶ 1 111213 'ƒx+2 +2 lim x⁄2 (x+2)-4 11121211123 (x-2)('ƒx+2+2) lim x⁄2 'ƒx+2-2 1112144_x-2 lim x⁄2 'ƒx+a-2 1112144_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 'ƒx+a-2 1112144_x-2 lim x⁄2 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 x y y=f{x} O 1 1 2 2 -1 -1 -2 -2 ;2!; -;2!;

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 한편 =5에서 x ⁄0일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, f(x)= (ax¤ +bx+c)=c=0 ∴ f(x)=ax¤ +bx f(x)=ax¤ +bx를 =5에 대입하면 = = (ax+b)=b=5 ∴ f(x)=ax¤ +5x 방정식 f(x)=x, 즉 ax¤ +5x=x의 한 근이 x=-2이므로 4a-10=-2, 4a=8 ∴ a=2

따라서 f(x)=2x¤ +5x이므로 f(1)=2+5=7

13

⁄ f(x+4)=f(x)이므로 ‹ f(x)= f(x)=1 ∴ A=1 ¤f(x)=t라 하면 x⁄0+일 때 t ⁄0+이므로 ¤ _{g( f(x))= g(t)=-2 ∴ B=-2} ‹x⁄2-일 때 f(x)=1이므로 ‹ g( f(x))=g(1)=1 ‹x⁄2+일 때 f(x)=-1이므로 ‹ _{g( f(x))=g(-1)=1} ‹ ∴ g( f(x))=1 ∴ C=1 › f(x+4)= f(x)이므로 f(x)= f(x)=1 ‹ ∴ g( f(x))=g(1)=1 ∴ D=1 ∴ A+B+C+D=1+(-2)+1+1=1

14

x-a=t로 놓으면 x=t+a이고 x⁄a일 때 t ⁄0이므로 =2에서 = =2 yy ❶ ∴ ∴= = ∴= =111122+2_2 =3 yy ❷ 0+2 3f(x) 2+2lim1124 x⁄0 x 111111111_3f(x) lim 5x+lim1124 x⁄0 x⁄0 x 6f(x) lim_[2+1124] x⁄0 x 11111111_3f(x) lim[5x+1124]_{x⁄0 x} 6f(x) 2+1124 x 111112_3f(x) 5x+1124 x lim x⁄0 2x+6f(x) 111111_{5x¤ +3f(x)} lim x⁄0 3f(x) 111_x lim x⁄0 3f(t) 111_t lim t⁄0 3f(x-a) 11111_x-a lim x⁄a lim x⁄6-lim x ⁄2-lim x⁄6-lim x⁄2 lim x⁄2+ lim x⁄2-lim t⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄1 lim x⁄5 lim x⁄0 ax¤ +bx 1111_x lim x⁄0 f(x) 11555_x lim x⁄0 f(x) 11555_x lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 f(x) 11555_x lim x⁄0

15

에서 x⁄1일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄0이므로 (분자) ⁄0이어야 한다. 즉, {g(x)-4x}=0이므로 g(x)=4 yy ❶ f(x)+x-1=(x-1)g(x)에서 f(x)=(x-1)g(x)-(x-1) =(x-1){g(x)-1} yy ❷ ∴ = ∴ = ∴ =1111244(4-1)_4=6 yy ❸ 2 {g(x)-1}g(x) 1111111_x+1 lim x⁄1 (x-1){g(x)-1}g(x) 1111111111_(x-1)(x+1) lim x⁄1 f(x)g(x) 111124_{x¤ -1} lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 g(x)-4x 11111_x-1 lim x⁄1 채점 기준 배점 ❶lim1113f(x)_x 의 값 구하기 x⁄0 ❷ 답 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점 ❶ limg(x)의 값 구하기 x⁄1 ❷ f(x)를g(x)에 대한 식으로 나타내기 ❸ 답 구하기 30 % 30 % 40 %

02. 함수의 연속

18`~`19`쪽

01

⑴ f(x)=;[!;은 x=0에서 정의되지 않으므로 f(x)는 x=0에 ⑴서 불연속이다. ⑵ ⁄ x=0에서의 함숫값은 f(0)=0 ⑴¤ f(x)= |x|=0 ⑴⁄, ¤에서 f(x)=f(0) ⑴따라서 함수 f(x)는 x=0에서 연속이다. ⑶ f(x)= [x]=0 ⑶ f(x)= [x]=-1 ⑶이므로 f(x)+ f(x) ⑶따라서 f(x)의 값이 존재하지 않으므로 f(x)는 x=0 ⑶에서 불연속이다. ⑷ x+0일 때 =x ⑶⁄x=0에서의 함숫값은 f(0)=1 ⑶¤ f(x)= x=0 ⑴⁄, ¤에서 f(x)+f(0)이므로 f(x)는 x=0에서 불연 ⑴속이다. lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 x¤ 12_x lim x⁄0 lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴ 불연속 ⑵ 연속 ⑶ 불연속 ⑷ 불연속 02 ⑴ 5 ⑵ 2 03 ④ 04 2개 해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.11.1 3:2 PM 페이지8

02

⑴ 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)=f(1)

⑴즉, (x+a)=6이므로 1+a=6 ∴ a=5

⑵ 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=2에서도 ⑴연속이다. ⑴즉, f(x)=f(2)이므로 ⑴ f(x)= 3x=6 ⑴ f(2)=4+a ⑴에서 6=4+a ∴ a=2

03

④ -g(x)가 x=a에서 연속이려면 g(a)+0이어야 한다. 만약g(a)=0이면 이 함수는 x=a에서 정의되지 않으므로 x=a에서 불연속이다.

04

f(2)f(3)<0, f(3)f(4)<0이므로 방정식 f(x)=0은 열린구 간 (2, 3), (3, 4)에서 각각 적어도 1개의 실근을 갖는다. 따라 서 열린구간 (1, 4)에서 적어도 2개의 실근을 갖는다. f(x) 1144_g(x) lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x⁄1 lim x⁄1 = =;4A; 즉, ;4A;=4에서 a=16 ∴ b=(-2)_16=-32 ∴ a-b=16-(-32)=48

1

-1 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 f(x)는 x=2에서도 연속이다. 즉, f(x)=f(2)이므로 =a+1 =a+1 (x+1)=a+1 2+1=a+1 ∴ a=2

1

-2 함수 f(x)가 x=1에서도 연속이므로 f(x)=f(1) ∴ =b yy ㉠ ㉠에서 x⁄1일 때 극한값이 존재하고 (분모) ⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (x¤ +ax-10)=0이므로 1+a-10=a-9=0 ∴ a=9 a=9를 ㉠에 대입하면 = = (x+10) =1+10=11=b ∴ a+b=9+11=20

1

-3 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=-1, x=1에서 연속이어야 한다. ⁄x=-1에서 연속이어야 하므로 ⁄ f(x)= f(x)= f(-1)에서 ⁄ -1_(-2)=-1-a+b ⁄ 2=-1-a+b ⁄ ∴ a-b=-3 yy ㉠ ¤x=1에서 연속이어야 하므로 ⁄ f(x)= f(x)= f(1)에서 ⁄ 1_0=-1+a+b ⁄ 0=-1+a+b ⁄ ∴ a+b=1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2 따라서 |x|…1일 때 f(x)=-x¤ -x+2이므로 f{-;2!;}=-;4!;+;2!;+2=;4(; lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x⁄-1+ lim x ⁄-1-lim x⁄1 (x-1)(x+10) 1111111_x-1 lim x⁄1 x¤ +9x-10 111112_x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 x¤ +9x-10 1111124_x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄2 (x+1)(x-2) 1111112_x-2 lim x⁄2 x¤ -x-2 11112_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 a 11112 'ƒx+2+2 lim x⁄2 20`~`21`쪽 ● ● ●<sub>핵심유형으로개념정복하기</sub>● ● ● 핵심유형 1 48 1-1② 1-2④ 1-3;4(; 핵심유형 2 ㄱ,`ㄷ 2-1① 2-22 2-3-3 2-4;4%; 2-515 2-6-1 핵심유형 3 ② 3-1④ 3-2② 3-32 핵심유형

1

함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로 f(x)=f(2) ∴ =4 yy ㉠ ㉠에서 x⁄2일 때 극한값이 존재하고 (분모) ⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (a'ƒx+2+b)=0이므로 a'ƒ2+2+b=0 ∴ b=-2a 이것을 ㉠에 대입하면 = = = 1111111124a(x-2) (x-2)('ƒx+2+2) lim x⁄2 ax-2a 1111111133_{(x-2)('ƒx+2+2)} lim x⁄2 a('ƒx+2-2)('ƒx+2+2) 111111111112_{(x-2)('ƒx+2+2)} lim x⁄2 a'ƒx+2-2a 1111122_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 a'ƒx+2+b 111112_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 핵심유형

2

ㄱ. x>1일 때 f(x)=-x+3이므로 ㄱ. f(x)= (-x+3)=-1+3=2 (참) ㄴ. a=3이면 f(x)=[ ㄱ. f(x)=-1+3=2, f(x)= 3=3이므로 ㄱ. f(x)+ f(x) ㄱ.즉, f(x)의 값이 존재하지 않는다. ㄱ.따라서 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. 함수 f(x)는 x+1인 모든 실수에서 연속이므로 ㄱ.함수 (x-1)f(x)가 x=1에서 연속이면 실수 전체의 집 합에서 연속이다. ㄱ. (x-1)f(x)= (x-1)a=0_a=0 ㄱ. (x-1)f(x)= (x-1)(-x+3) ㄱ. (x-1)f(x)=0_2=0 ㄱ. ∴ (x-1)f(x)=0 ㄱ.이때 x=1에서의 함숫값은 0이므로 (x-1)f(x)는 ㄱ.x=1에서 연속이다. ㄱ.따라서 함수 (x-1)f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속 이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

2

-1 ㄱ. x⁄0+일 때 f(x) ⁄2이므로 ㄷ. f(x)=2 (참) ㄴ. x⁄3-일 때 f(x) ⁄2이므로 ㄷ. f(x)=2 (거짓) ㄷ. | f(x)|=2, | f(x)|=|-2|=2, ㄷ. | f(3)|=|-2|=2이므로 함수 | f(x)|는 x=3에서 연속이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

2

-2 이차방정식 ax¤ +2(a-4)x-(a-4)=0의 판별식을 D라 하면

=(a-4)¤ +a(a-4)=a¤ -8a+16+a¤ -4a =2a¤ -12a+16=2(a-2)(a-4) ⁄ >0, 즉 0<a<2 또는 a>4이면 ⁄서로 다른 두 실근을 가지므로 f(a)=2 ¤ =0, 즉 a=2 또는 a=4이면 ⁄중근을 가지므로 f(a)=1 ‹ <0, 즉 2<a<4이면 ⁄실근을 갖지 않으므로 f(a)=0 ⁄ ∴ f(a)=

_[

2 (0<a<2 또는 a>4) 1 (a=2, 4) 0 (2<a<4) D 12₄ D 12₄ D 12₄ D 12₄ lim x⁄3+ lim x ⁄3-lim x ⁄3-lim x⁄0+ lim x⁄1 ` lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ 3 (x…1) -x+3 (x>1) lim x⁄1+ lim x⁄1+ 따라서 y=f(a)의 그래프는 다음 그림과 같다.

위의 그림에서 함수 f(a)가 불연속인 a의 값은 a=2, a=4 일 때의 2개이다.

2

-3 ⁄g(0)=f(0){ f(0)+k}=3(3+k) ¤ _g(x)= f(x){ f(x)+k} ¤ _g(x)= f(x)_ { f(x)+k} ¤ _g(x)=3_(3+k) ‹ g(x)= f(x){ f(x)+k} ‹ _g(x)= f(x)_ { f(x)+k} ‹ _g(x)=0_(0+k)=0 이때 함수g(x)가 x=0에서 연속이 되려면 g(0)= g(x)= g(x)이어야 한다. 따라서 ⁄, ¤, ‹에 의하여 3(3+k)=0 ∴ k=-3

2

-4 합성함수 (gΩf)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=1에서 연속이어야 한다. 즉, (gΩf)(x)= (gΩf)(x)=(gΩf)(1)이어 야 한다. (gΩf)(x)= g( f(x)) (gΩf)(x)= g(x¤ +2x) (gΩf)(x)= |x¤ +2x-2a| (gΩf)(x)=|1+2-2a|=|3-2a| (gΩf)(x)= g( f(x)) (gΩf)(x)= g(x+1) (gΩf)(x)= |x+1-2a| (gΩf)(x)=|1+1-2a|=|2-2a| (gΩf)(1)=g( f(1))=g(3)=|3-2a| 이므로 |3-2a|=|2-2a|

(3-2a)¤ =(2-2a)¤ , 9-12a+4a¤ =4-8a+4a¤

4a=5 _{∴ a=;4%;}

2

-5 O 1 1 -1 2 x y y=g(x) ` lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x ⁄1-` lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0+ 1 2 a y O 2 4 y=f(a) 해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.10.31 5:25 PM 페이지10

f(x)=x¤ +ax+b (a, b는 상수)로 놓으면 f(x)g(x)=

_[

이때 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0과 x=2에서 연속이다. ⁄ _{f(x)g(x)가 x=0에서 연속이므로} ⁄ f(x)g(x)=f(0)g(0) ⁄이 성립한다. 즉, ⁄ _f(x)g(x)= (-x+1)(x¤ +ax+b) ⁄ _f(x)g(x)=1_b=b ⁄ f(0)g(0)=-b ⁄에서b=-b이므로 b=0 yy ㉠ ¤ f(x)g(x)가 x=2에서 연속이므로 ⁄ _{f(x)g(x)=f(2)g(2)} ⁄가 성립한다. 즉, ⁄ _f(x)g(x)= (-x+1)(x¤ +ax+b) ⁄ _f(x)g(x)=-1_(4+2a) (∵ ㉠) ⁄ f(x)g(x)=-4-2a ⁄ _{f(2)g(2)=4+2a (∵ ㉠)} ⁄에서-4-2a=4+2a이므로 ⁄ _{4a=-8 ∴ a=-2} ⁄, ¤에 의하여 f(x)=x¤ -2x이므로 f(5)=5¤ -2_5=15 [참고] x=a에서 연속인 다항함수 f(x)와 x=a에서 불연속인 함수g(x)에 대하여 함수 f(x)g(x)가 x=a에서 연속이 려면 반드시 f(a)=0이어야 한다. 즉, 다항함수 f(x)는 반드시 x-a를 인수로 가져야 한다. 따라서 이 문제에서 이차함수 f(x)는 f(0)=0, f(2)=0이어야 하므로 복잡한 계산 없이 f(x)=x(x-2) 로 곧바로 결론지을 수 있다.

2

-6 함수 f(x)가 x=-1에서 불연속이므로 함수 f(x)g(x) 가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 이차함수 g(x)가 g(-1)=0을 만족시키면 된다. 즉, g(-1)=1+k=0에서 k=-1 핵심유형

3

f(x)=x‹ +x-8이라 하면 f(0)=-8<0, f(1)=-6<0, f(2)=2>0 f(3)=22>0, f(4)=60>0, f(5)=122>0 따라서 f(1) f(2)<0이므로 사잇값의 정리에 의하여 f(x)=0의 실근이 존재하는 구간은 (1, 2)이다.

3

-1 ㄱ. (반례) f(x)=[1 (xæ0)이면 x=0에서 함수 -1 (x<0) lim x ⁄2-lim x ⁄2-lim x ⁄2-lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0+ -(x¤ +ax+b) (x…0)<2 (-x+1)(x¤ +ax+b) (0<x<2) x¤ +ax+b (xæ2)<2 ㄱ.| f(x)|는 연속이지만 함수 f(x)는 불연속이다. (거짓) ㄴ. 두 함수 f(x), g(x)가 닫힌구간` [a, b]에서 연속이면 함수 f(x)-g(x)도 연속이므로 최대・최소 정리에 의 하여 함수 f(x)-g(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값 과 최솟값을 갖는다. (참) ㄷ. f(x)가 상수함수가 아니면 사잇값의 정리에 의하여 f(c)=r(r는 무리수)인 c가 닫힌구간 [a, b]에 속하므로 f(c)의 값이 유리수임에 모순이다. 따라서 f(x)는 상 수함수이다. (참) 그러므로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

3

-2 f(x)는 구간 [1, 2)에서 연속이고 f(1)=3, f(2)=0이지만 x=2 는 구간에 속하지 않으므로 최솟 값은 존재하지 않는다. 따라서 x=1일 때 최댓값은 3이 고, 최솟값은 없다.

3

-3 f(x)=(x-2)(x-3)+(x-3)(x-4)+(x-4)(x-2) 라 하면 f(2)=2, f(3)=-1, f(4)=2이므로 f(2) f(3)=2_(-1)=-2<0, f(3) f(4)=-1_2=-2<0 따라서 열린구간` (2, 3), (3, 4)에서 각각 한 개의 실근을 가지고 a<b이므로 a는 열린구간 (2, 3)에 속한다. ∴ n=2 O 3 1 2 x y f(x)=-x¤ +4¤ 22`~`23`쪽 ● ● ●_{기출문제로}내신대비하기● ● ● 01 3 02 ④ 03 24 04 -2 05 ③ 06 ② 07 ④ 08 ③, ⑤ 09 최댓값 : 5, 최솟값 : 3 10 ① 11 90 12 -4<a<6

01

f(x)+ f(x)이므로 f(x)의 값이 존재하지 않는 다. ∴ a=1 x=0, x=1에서 불연속이므로 b=2 ∴ a+b=3

02

ㄱ. f(x)= = ㄱ. f(x)= (x+2)=2+2=4 ㄱ.따라서 f(x)=f(2)이므로 함수 f(x)는 x=2에서 연 ㄱ.속이다. lim x⁄2 lim x⁄2 ` (x-2)(x+2) 1111112_x-2 lim x⁄2 x¤ -4 11333_x-2 lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄0 lim x⁄0+ lim x

⁄0-G o o d b e g i n , ⁄0-G o o d B a s i c ㄴ. f(x)= = ;[{;=1 ㄱ. f(x)= = =-1 ㄱ. ∴ f(x)+ f(x) ㄱ.따라서 f(x)의 값이 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 ㄱ.x=0에서 불연속이다. ㄷ. 모든 실수 x에 대하여 x¤ +4+0이므로 ㄷ.함수 f(x)= 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 그러므로 실수 전체의 집합에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄷ이다.

03

함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)= f(x)=f(1) 즉, = (3x-2)=1이다. =1에서 x⁄1+일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄0이므로 (분자)⁄0이어야 한다. 즉, (a'ƒx+1-b)=0이므로 a'2-b=0 ∴ b=a'2 yy ㉠ = (∵ ㉠) = = = = = =1 ∴ a=2'2 이것을 ㉠에 대입하면 b=2'2_'2=4 ∴ a¤ +b¤ =(2'2)¤ +4¤ =8+16=24

04

x+1일 때 f(x)= 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(1)= f(x)= x⁄1일 때 극한값이 존재하고 (분모)⁄0이므로 (분자)⁄0이 어야 한다. 즉 (x¤ -4x+a)=0이므로 -3+a=0 ∴ a=3 lim x⁄1 x¤ -4x+a 111114_x-1 lim x⁄1 lim x⁄1 x¤ -4x+a 111114_x-1 a 113_2'2 a 111112 'ƒx+1+'2 lim x⁄1+ a(x-1) 1111111112_{(x-1)('ƒx+1+'2)} lim x⁄1+ a('ƒx+1-'2)('ƒx+1+'2) 1111111111112_{(x-1)('ƒx+1+'2)} lim x⁄1+ a('ƒx+1-'2) 11111123_x-1 lim x⁄1+ a'ƒx+1-a'2 1111112_x-1 lim x⁄1+ a'ƒx+1-b 111112_x-1 lim x⁄1+ lim x⁄1+ a'ƒx+1-b 111112_x-1 lim x⁄1+ lim x ⁄1-a'ƒx+1-b 111112_x-1 lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ x¤ +x-2 11113_{x¤ +4} lim x⁄0 lim x ⁄0-lim x⁄0+ x 11_-x lim x ⁄0-x 133 |x| lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x⁄0+ x 133 |x| lim x⁄0+ lim x⁄0+ ∴ f(1)= ∴ f(1)= ∴ f(1)= (x-3)=-2

05

f(x)=|x-2|, g(x)=[x]에 대하여 ㄱ. h(2)=f(2)g(2)=0_2=0 (참) ㄴ. [x]=2, [x]=1이므로 ㄴ. h(x)= f(x) g(x) ㄴ. h(x)= (x-2)[x] ㄴ. h(x)=0_2=0 ㄴ. h(x)= f(x) g(x) ㄴ. h(x)= {-(x-2)[x]} ㄴ. h(x)=0_1=0 ㄴ. ∴ h(x)=0 (참) ㄷ. ㄱ, ㄴ에서 h(2)=0, h(x)=0이므로 ㄴ. h(x)=h(2) ㄴ.따라서 함수 h(x)는 x=2에서 연속이다. (거짓) 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

06

함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0에서 연속 이어야 한다. 즉, f(x)= f(x)=f(0)이어야 하므로 (3x¤ +ax+b)= (ax+3)=b ∴ b=3 또한 함수 f(x)는 x=1에서 연속이어야 하므로 f(x)= f(x)=f(1)이어야 하고, f(x+2)=f(x)에서 f(1)=f(-1), 즉 (3x¤ +ax+3)=-a+3이므로 3+a+3=-a+3, 2a=-3 ∴ a=-;2#; ∴ 2a+b=(-3)+3=0

07

ㄱ. f(x)g(x)=2_(-2)=-4 ㄱ. f(x)g(x)=(-1)_1=-1 ㄱ. ∴ f(x)g(x)+ f(x)g(x) ㄱ.따라서 f(x)g(x)의 값은 존재하지 않는다. (거짓) ㄴ. = =-1 ㄱ. = =-1 ㄱ. ∴ 111f(x) =-1 (참) g(x) lim x⁄1 -1 11₁ f(x) 111_g(x) lim x ⁄1-2 11_-2 f(x) 111_g(x) lim x⁄1+ lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x⁄2 lim x⁄2 lim x⁄2 ` lim x ⁄2-` lim x ⁄2-lim x ⁄2-` lim x⁄2+ ` lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x⁄1 (x-1)(x-3) 1111112_x-1 lim x⁄1 x¤ -4x+3 111114_x-1 lim x⁄1 해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.10.31 5:25 PM 페이지12

ㄷ. { f(x)+g(x)}= f(x)+ g(x) ㄷ. { f(x)+g(x)}=2+(-2)=0 ㄷ. { f(x)+g(x)}= f(x)+ g(x) ㄷ. { f(x)+g(x)}=(-1)+1=0 ㄱ. ∴ { f(x)+g(x)}=0 ㄱ.이때 f(1)+g(1)=1+(-1)=0이므로 ㄱ. { f(x)+g(x)}=f(1)+g(1) ㄷ.따라서 함수 f(x)+g(x)는 x=1에서 연속이다. (참) 그러므로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

08

f(x), g(x)가 x=a에서 연속이므로 f(x)= f(a), g(x)=g(a) ① {2 f(x)-g(x)}=2 f(a)-g(a)이므로 ①2 f(x)-g(x)는 x=a에서 연속이다. ② f(x)g(x)= f(a)g(a)이므로 f(x)g(x)는 x=a에서 ①연속이다.

③ (반례) f(a)=g(a)이면 가 x=a에서 정의되

①지 않으므로 는 x=a에서 불연속이다. ④ { f(x)}¤ ={ f(a)}¤ 이므로 { f(x)}¤ 은 x=a에서 연속이다. ⑤ g( f(x))=g( f(a))이므로 g( f(x))가 x=a에서 연속 ①이려면g(x)가 x=f(a)에서 연속이라는 조건이 더 필요하 다.

09

f(x)= = +2 이므로 닫힌구간` [2, 4]에서 함수 y= f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. 따라서 함수 f(x)는 x=2에서 최 댓값 5, x=4에서 최솟값 3을 갖는 다.

10

f(x)=3x ˙k f(x)-3x=0에서 g(x)=f(x)-3x라 하면 f(x)가 연속함수이므로 g(x)도 연 속함수이다. 이때g(1)=f(1)-3=5-3=2>0 이때g(2)=f(2)-6=2-6=-4<0 이때g(3)=f(3)-9=-5-9=-14<0 이때g(4)=f(4)-12=11-12=-1<0 이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식g(x)=0은 열린구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 열린구간 (1, 4)에서 방정식 f(x)=3x는 적어도 1개의 실근을 가지므로 n=1 y x y=f(x) O 1 2 4 2 3 5 3 112_x-1 2x+1 1114_x-1 lim x⁄a lim x⁄a f(x) 111112_f(x)-g(x) f(a) 111112_f(a)-g(a) lim x⁄a lim x⁄a lim x⁄a lim x⁄a lim x⁄1 lim x⁄1 ` lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x ⁄1-` lim x⁄1+ lim x⁄1+ lim x⁄1+

11

함수 y=g(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 함수g(x)는 x=1에서 불연속이다. 이때 f(x)g(x)가 연속함수이므로 x=1에서 연속이어야 한다. 즉, f(x)g(x)=f(1)=1+2a 즉, f(x)g(x)=-f(1)=-1-2a f(1)g(1)=(1+2a)_0=0 에서 1+2a=0 _{∴ a=-;2!;} yy ❶ 따라서 f(x)=x¤ -x이므로 f(10)=100-10=90 yy ❷

12

사잇값의 정리에 의하여 방정식 f(x)=0이 구간 (1, 2)에서 중근이 아닌 오직 하나의 실근을 가지려면 f(1)f(2)<0이어야 하므로 yy ❶ (a+4)(a-6)<0 ∴ -4<a<6 yy ❷ lim x ⁄1-lim x⁄1+ 1 1 -1 O x y y=g(x) 채점 기준 배점 ❶ a의 값 구하기 ❷ f(10)의 값 구하기 70 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ 방정식 f(x)=0이 중근이 아닌 오직 하나의 실근 을 가질 조건 알기 ❷ a의 값의 범위 구하기 60 % 40 %

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 24`~`27`쪽 ● ● ●_{대단원 마무리하기} ● ● ● 01 ⑤ 02 ⑤ 03 ① 04 30 05 ① 06 50 07 13 08 ④ 09 ⑤ 10 ④ 11 11 12 ① 13 ③ 14 13 15 ③ 16 ① 17 ③ 18 21 19 13 20 ② 21 20 22 ④ 23 ③ 01 ⁄ _=3이므로 ⁄ _{f(x)-x¤ 은 일차항의 계수가 3인 일차식이다. 즉,} ⁄ f(x)-x¤ =3x+a (단, a는 상수) ⁄이므로 f(x)=x¤ +3x+a이다. ¤ = ¤ = ¤ = =1 ¤이므로 =1 ∴ a=-2 ⁄, ¤에 의하여 f(x)=x¤ +3x-2이므로 f(2)=2¤ +3_2-2=8 02 주어진 그래프로부터 x⁄0+이면 f(x) ⁄3-x⁄2+이면 f(x)=3 임을 알 수 있다. ∴ f( f(x))+ f( f(x)) ∴= f(t)+f(3) ∴=3+2=5 03 =2에서 x⁄ 1일 때 0이 아닌 극한값이 존재하고, (분자)⁄ 0이므로 (분모) ⁄ 0이어야 한다. ∴ f(x)=0 ∴ ∴= ∴= _[ _ _ _] ∴= _ _ ∴= _ _ ∴=;6!;lim1111f( f(x))_f(x) x⁄1 1 111_2x+1 lim x_⁄1 1 111_x-1 121_f(x) lim x_⁄1 f( f(x)) 1111_f(x) lim x_⁄1 1 111_2x+1 lim x⁄1 f(x) 121_x-1 lim x⁄1 f( f(x)) 1111_f(x) lim x⁄1 1 111_2x+1 f(x) 121_x-1 f( f(x)) 1111_f(x) lim x⁄1 f( f(x)) 1111111_(2x+1)(x-1) lim x⁄1 f( f(x)) 11111_{2x¤ -x-1} lim x⁄1 lim x_⁄1 x-1 112_f(x) lim x⁄1 lim t ⁄3-lim x⁄2+ lim x⁄0+ 2 22155_4+a x+1 2211155555_{x¤ +3x+a} lim x⁄1 x+1 221555_f(x) lim x⁄1 (x-1)(x+1) 22111555555555553_(x-1)f(x) lim x⁄1 x¤ -1 22111555555_(x-1)f(x) lim x⁄1 f(x)-x¤ 2211155_x lim x⁄¶ 이때 f(x)=t로 치환하면 x⁄ 1일 때 t ⁄ 0이므로 = = =1 ∴ =;6!; =;6!; 04 (x+1)f(x)=1이므로 (x+1)f(x)=g(x)라 하면 g(x)=1 x+-1일 때 f(x)= 이므로 (2x¤ +1)f(x)= _{[(2x¤ +1)_ ]} (2x¤ +1)f(x)= _ g(x) (2x¤ +1)f(x)_{=;2#;_1=;2#;} 따라서 a=;2#;이므로 20a=20_;2#;=30 [다른 해설] (x+1)f(x)=2 f(x)=1이므로 f(x)=;2!; (2x¤ +1)f(x)=3 _{f(x)=3_;2!;=;2#;} 따라서 a=;2#;이므로 20a=20_;2#;=30 05 =2이므로 f(x)=x¤ +2x+a (단, a는 상수)로 놓을 수 있다. 따라서 f{;[!;}= +;[@;+a이므로 x¤ f{;[!;}= x¤ { +;[@;+a} x¤ f{;[!;}= (1+2x+ax¤ )=1 06 직선 PQ의 기울기가 =2a+1 이므로 직선 PQ의 방정식은 y=(2a+1)(x-a)+a¤ y=(2a+1)x-(a¤ +a) 따라서 직선 PQ와 직선 y=x의 교점의 x좌표를 구하면

x=(2a+1)x-(a¤ +a), 2ax=a¤ +a

∴ x= = (∵ a+0) 즉, f(a)= 이므로 f(a)= _=;2!; ∴ 100limf(a)=100_;2!;=50 a⁄0 a+1 112₂ lim a⁄0 lim a⁄0 a+1 112₂ a+1 112₂ a¤ +a 1124_2a a¤ +2a+1-a¤ 11111123_a+1-a lim x⁄0+ 1 12_x¤ lim x⁄0+ lim x⁄0+ 1 12_x¤ f(x)-x¤ 11112_x lim x⁄¶ lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x⁄1 2x¤ +1 x+1 lim x⁄1 g(x) x+1 lim x⁄1 lim x⁄1 g(x) x+1 lim x⁄1 lim x⁄1 f( f(x)) 11221 f(x) lim x⁄1 f( f(x)) 11111 2x¤ -x-1 lim x⁄1 1 112_t 132_f(t) lim t⁄0 f(t) 112_t lim t⁄0 f( f(x)) 1111_f(x) lim x⁄1 해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.11.1 3:3 PM 페이지14

07 조건 ㈎에서 =2이므로

f(x)-x‹ =6x+a HjK f(x)=x‹ +6x+a (a는 상수)

로 놓을 수 있다. 조건 ㈏에서 f(x)=-7이므로 (x‹ +6x+a)=-7 ∴ a=-7 따라서 f(x)=x‹ +6x-7이므로 f(2)=2‹ +6_2-7=13 08 f(x)+0이면 = =1이므로 주어진 식을 만족시키지 않는다. ∴ f(x)=f(a)=0 즉, 이차방정식 f(x)=0의 두 근 a, b 중 한 근이 a이므로 a=a라 하면 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)의 식은 f(x)=(x-a)(x-b) a=a와 f(x)의 식을 주어진 식에 대입하면 = = = _=;5#; 이므로 5(a-b)-5=3(a-b)+3 2(a-b)=8 ∴ a-b=4 a<b일 때는 b-a=4 ∴ |a-b|=4 [참고] f(x)+0이면 `f(x)는 연속함수이므로 `f(a)+0 = = _=1+;5#; 즉, (좌변)+(우변)이므로 등식이 성립하지 않는다. 따라서 f(x)=f(a)=0이 되어 극한식이 ;0); 꼴이어야한다. 09 직선 l의 y절편을 b(b는 상수)라 하면 직선 l의 방정식은 y=-2x+b 이때 직선 -2x-y+b=0과 점 C(2, 0) 사이의 거리가 r이므로 =r _{∴ b=4—'5r} 이를 직선 l의 방정식에 대입하면 -2x-y+4—'5r=0이 고, 이 직선과 점 C'(3, 3) 사이의 거리가 f(r)이므로 =f(r) ∴ f(r)= = _{(∵ r<'5)} ∴ f(r)= =1235 _='5 '5 5—'5r 11124 '5 lim r⁄0+ lim r⁄0+ 5—'5r 11124 '5 |-5—'5r| 11111 '5 |-6-3+4—'5r| 111111115 '5 |-4+b| 1111 '5 lim x⁄a f(a) 112_f(a) f(a)-0 11114_f(a)+0 f(x)-(x-a) 11111123_f(x)+(x-a) lim x⁄a lim x⁄a (a-b)-1 113111_(a-b)+1 (x-b)-1 11111_(x-b)+1 lim x⁄a (x-a)(x-b)-(x-a) 111111111123_{(x-a)(x-b)+(x-a)} lim x⁄a f(x)-(x-a) 11111123_f(x)+(x-a) lim x⁄a lim x_⁄a f(a) 112_f(a) f(x)-(x-a) 11111123_f(x)+(x-a) lim x⁄a lim x⁄a lim x⁄0 lim x⁄0 f(x)-x‹ 11112_3x lim x⁄¶ 10 f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로 f(x)=x¤ +bx+c (b, c는 상수)로 놓으면 f{;[!;}= { +;[B;+c}=c=3 ∴ f(x)=x¤ +bx+3 또한 |x|[ f{;[!;}-f{-;[!;}]=a이므로 |x|[ f{;[!;}-f{-;[!;}] = _{|x|[{ +;[B;+3}-{ -;[B;+3}]} = =a 이때 x=0에서 극한값이 존재하려면 x=0에서 좌극한과 우극 한이 같아야 하므로 = , =-즉, 2b=-2b이므로 b=0 ∴ a=0 따라서 f(x)=x¤ +3이므로 f(2)=2¤ +3=7 11 함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)=f(1)이어야 한다. 즉, f(x)= (2x+10)=12 f(1)=1+a 에서 12=1+a ∴ a=11 12 ⁄g(0)=f(0){ f(0)+k}=2(2+k) ¤ g(x)= f(x){ f(x)+k} ¤ g(x)= f(x)_ { f(x)+k} ¤ g(x)=0_(0+k)=0 ‹ _{g(x)= f(x){ f(x)+k}} ‹ g(x)= f(x)_ { f(x)+k} ‹ g(x)=2(2+k) 이때 함수g(x)가 x=0에서 연속이 되려면 g(0)= g(x)= g(x)이어야 한다. 따라서 ⁄, ¤, ‹에 의하여 2(2+k)=0 ∴ k=-2 13 원 x¤ +y¤ =t¤ 과 직선 y=1이 만나는 점의 개수 f(t)를 t의 값의 범위에 따라 나누어 구해 보면 f(t)=

_[

함수 (x+k)f(x)가 구간 (0, ¶)에서 연속이므로 x=1에서 연속이어야 한다. 즉, (1+k)f(1)= (x+k)f(x)= (x+k)f(x) 이어야 하므로 lim x⁄1+ lim x ⁄1-2 (|t|>1) 1 (|t|=1) 0 (|t|<1) -1 t y O y=f(t) 1 1 2 lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x ⁄0-lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x ⁄1-lim x ⁄1-lim x ⁄1-2bx x 2bx x 2b|x| x lim x ⁄0-2b|x| x lim x⁄0+ 2b|x| x lim x⁄0 1 x¤ 1 x¤ lim x⁄0 lim x⁄0 lim x⁄0 1 x¤ lim x⁄¶ lim x⁄¶

G o o d b e g i n , G o o d B a s i c 1+k=(1+k)_0=(1+k)_2 ∴ k=-1 ∴ f(1)+k=1-1=0 14 함수 f(x)가 x=1, x=2, x=3에서만 불연속이므로 g(2)=1, g(2)=2, g(2)=3일 때 x=2에서 ( fΩg)(x)=f(g(x))가 불연속일 가능성이 있다. 따라서 x=2일 때 f(g(x))의 함숫값과 x⁄ 2일 때의 극한값 이 같지 않도록 하는 k를 찾으면 된다. ⁄g(2)=1일 때 ⁄ _{f(g(2))=f(1)=3} ⁄ f(g(x))= f(t)=3ÓΔ g(x)=t로 치환 ⁄따라서 f(g(2))= f(g(x))이므로 ⁄함수 ( fΩg)(x)는 x=2에서 연속이다. ¤g(2)=2일 때 ⁄ _{f(g(2))=f(2)=1} ⁄ f(g(x))= f(t)=2ÓΔ g(x)=t로 치환 ⁄따라서 f(g(2))+ f(g(x))이므로 ⁄함수 ( fΩg)(x)는 x=2에서 불연속이다. ‹_{g(2)=3일 때} ⁄ f(g(2))=f(3)=1 ⁄ _f(g(x))= f(t)=2ÓΔ g(x)=t로 치환 ⁄따라서 f(g(2))+ f(g(x))이므로 ⁄함수 ( fΩg)(x)는 x=2에서 불연속이다. ⁄, ¤, ‹에 의하여 함수 ( fΩg)(x)가 x=2에서 불연속이 되는 경우는g(2)=2, g(2)=3일 때이고 이때의 실수 k는 6, 7 이다. 따라서 실수 k의 합은 6+7=13 15 ㄱ. f(x)=1=f(-1) (참) ㄴ. f(x)g(x)=1_0=0, f(x)g(x)=0_1=0 ㄴ. ∴ f(x)g(x)= f(x)g(x) (참) ㄷ. ㄴ에 의하여 f(x)g(x)=0 ㄴ. f(1)g(1)=1_1=1 ㄴ. ∴ f(x)g(x)+f(1)g(1) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 16 삼차함수 g(x)는 최고차항의 계수가 1이고 g(0)=3이므로 g(x)=x‹ +ax¤ +bx+3 (단, a, b는 상수) 으로 놓을 수 있다. 이때 합성함수 (gÁ f)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0, x=2에서도 연속이다. ⁄_{(gÁ f)(x)가 x=0에서 연속이므로} ⁄ (gÁ f)(x)=(gÁ f)(0) ⁄이 성립한다. 즉, lim x⁄0 lim x⁄1 lim x⁄1 lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x⁄1+ lim x ⁄-1-lim x⁄2 lim t⁄3+ lim x⁄2 lim x⁄2 lim t⁄2+ lim x⁄2 lim x⁄2 lim t⁄1+ lim x⁄2 ⁄ _{(gÁ f)(x)= g(f(x))} ⁄ _{(gÁ f)(x)}= g(t)=a+b+4 ⁄ (gÁ f)(0)=g(f(0))=g(0)=3 ⁄에서 a+b+4=3 ∴ a+b=-1 yy ㉠ ¤ (gÁ f)(x)가 x=2에서 연속이므로 ⁄ _{(gÁ f)(x)=(gÁ f)(2)} ⁄가 성립한다. 즉, ⁄ (gÁ f)(x)= g(f(x)) ⁄ (gÁ f)(x)= g(t)=a-b+2 ⁄ (gÁ f)(2)=g(f(2))=g(0)=3 ⁄에서 a-b+2=3 ∴ a-b=1 yy ㉡ ⁄㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-1 ⁄따라서 g(x)=x‹ -x+3이므로 ⁄ g(3)=27-3+3=27 [참고] 함수 y=f(x)의 그래프를 보면 x=0에서는 함숫값만 떨어져 있고, x=2에서는 직선 x=2를 기준으로 그래프가 둘로 나뉘 어져 있다. 따라서 위의 해설과 같이 ⁄에서는 극한을 좌극한과 우극한으로 나누지 않고 계산하면 되고, ¤에서는 우극한만 이 용하여 계산하면 된다. 17 모든 실수 x에 대하여 f(x+2)=f(x)를 만족시키며 f(x)=[ 로 주어진 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0, x=1에서도 연속이다. ⁄ f(x)가 x=0에서연속이므로 f(x)=f(0)이성립한다. ⁄ 즉, (ax+1)=f(0)=b에서 b=1 ⁄ _f(x)=[ ¤ f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)=f(-1)이 성립 ⁄ 한다. (∵ f(x+2)=f(x)) ⁄ 즉, (3x¤ +2ax+1)=f(-1)=-a+1에서 ⁄ 2a+4=-a+1, 3a=-3 ∴ a=-1

⁄, ¤에 의하여 a+b=-1+1=0 18 함수 g(x)=x-(2a+7)은 다항함수이므로 실수 전체의 집 합에서 연속이다. 이때 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에 서 연속이려면 다음 두 가지 경우이어야 한다. ⁄ 함수 f(x)가` x=a에서 연속이어야 하므로 ⁄ _f(x)=f(a) ⁄가 성립해야 한다. 즉, ⁄ f(x)= (x¤ -x)=a¤ -a ⁄ f(a)=a+3 ⁄에서 lim x⁄a+ lim x⁄a+ lim x⁄a+ lim x ⁄1-lim x ⁄1-ax+1 (-1…x<0) 3x¤ +2ax+1 (0…x<1) lim x ⁄0-lim x ⁄0-ax+1 (-1…x<0) 3x¤ +2ax+b (0…x<1) lim t⁄-1+ lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim t ⁄1-lim x⁄0 lim x⁄0 해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.10.31 5:25 PM 페이지16

⁄ a¤ -a=a+3

⁄ a¤ -2a-3=0, (a+1)(a-3)=0

⁄ ∴ a=-1 또는` a=3

¤ 함수 f(x)가 x=a에서 불연속일 때g(a)=0이어야하므로

⁄ g(a)=a-(2a+7)=-a-7=0

⁄ ∴ a=-7

⁄, ¤에서 모든 실수 a의 값은

a=-7, a=-1, a=3

이므로 구하는 모든 실수 a의 값의 곱은 (-7)_(-1)_3=21 [다른 해설] 함수 f(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=a에 서도 연속이어야 하므로 f(x)g(x)= f(a)g(a) 가 성립해야 한다. 즉, f(x)g(x)= (x¤ -x){x-(2a+7)} f(x)g(x)=(a¤ -a)(a-2a-7) f(x)g(x)=-a(a-1)(a+7) f(a)g(a)=(a+3){a-(2a+7)} =-(a+3)(a+7) 에서 -a(a-1)(a+7)=-(a+3)(a+7) (a+7){a(a-1)-(a+3)}=0 (a+7)(a¤ -2a-3)=0 (a+7)(a+1)(a-3)=0

∴ a=-7 또는` a=-1 또는` a=3 따라서 모든 실수` a의 값의 곱은

(-7)_(-1)_3=21

19 h(x)=f(x)f(x-a)라 하면 f(x)는 x=0에서 불연속이고 f(x-a)는 x=a에서 불연속이므로 h(x)가 x=a에서 연속이

되려면 f(a)=0이어야 한다.

그래프에서 f(-1)=0, f(14)=0이므로 a=-1, a=14일 때 h(x)=f(x)f(x-a)는 x=a에서 연속이 된다.

따라서 모든 실수 a의 값의 합은 (-1)+14=13

[참고]

a=-1, a=14일 때 h(x)가 x=a에서 연속이 됨을 다음과 같

이 확인할 수 있다. ⁄a=-1일 때 h(x)=f(x)f(x+1) ⁄ h(-1)=f(-1)f(0)=0_1=0 ⁄ lim f(x)f(x+1)=0_7=0 x⁄-1+ x y O 14 1 -1 7 y=f{x} lim x⁄a+ lim x⁄a+ lim x⁄a+ ⁄ f(x)f(x+1)=0_1=0 ⁄따라서 h(-1)= h(x)이므로 h(x)는 x=-1에서 ⁄연속이다. ¤a=14일 때 h(x)=f(x)f(x-14) ⁄ h(14)=f(14)f(0)=0_1=0 ⁄ f(x)f(x-14)=0_7=0 ⁄ f(x)f(x-14)=0_1=0 ⁄따라서 h(14)= h(x)이므로 h(x)는 x=14에서 ⁄연속이다. 20 함수 f(x)=x¤ -x+a가` 실수 전체의 집합에서 연속이므로 {g(x)}¤ =

[

도 주어진 구간에서 모두 연속이다. 따라서 함수 y={g(x)}¤ 이 x=0에서 연속이려면 {g(0)}¤ = {g(x)}¤ HjK { f(1)}¤ = { f(x-1)}¤ 이 성립하면 된다. { f(1)}¤ =a¤ , { f(x-1)}¤ ={ f(-1)}¤ =(2+a)¤ 이므로 a¤ =(2+a)¤ 4a+4=0 ∴ a=-1 21 함수 y=f(x)는 x=2에서 불연속이다. 또한 함수g(x)=ax‹ +bx¤ +cx+10 (a, b, c는 상수)은 다항 함수이므로 실수 전체의 집합에서 연속이다. 따라서 합성함수 (gΩf)(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=2에서도 연속이어야 하므로 (gΩf )(2)= (gΩf )(x)= (gΩf )(x) 이어야 한다. 즉, (gΩf )(2)=g( f(2))=g(1) (gΩf )(x)= g( f (x))=g(0) (gΩf )(x)= g( f (x))=g(2) 즉, g(0)=g(1)=g(2)이어야 한다. 이때 g(0)=10이므로 g(1)=g(2)=10이다. ∴g(1)+g(2)=10+10=20 22 주어진 집합의 원소의 개수는 방정식 ax¤ +2(a-2)x-(a-2)=0 의 서로 다른 실근의 개수와 같다. ⁄a+0인 경우 ⁄이차방정식 ax¤ +2(a-2)x-(a-2)=0의 판별식을 D라 하면

⁄ =(a-2)¤ +a(a-2)=2a¤ -6a+4 ⁄ ` =2(a¤ -3a+2)=2(a-1)(a-2) D 12₄ lim x⁄2+ lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x ⁄2-lim x⁄2+ lim x ⁄2-lim x⁄0+ lim x⁄0+ lim x⁄0+ { f(x+1)}¤ (단, x…0) { f(x-1)}¤ (단, x>0) lim x⁄14 lim x ⁄14-lim x⁄14+ lim x⁄-1 lim x

⁄-1-G o o d b e g i n , ⁄-1-G o o d B a s i c

⁄이때 2(a-1)(a-2)>0인 경우에는 서로 다른 두 실근을 갖는다. 즉,

⁄ a<0 또는 0<a<1 또는 a>2일 때

⁄ f(a)=2 yy`㉠

⁄또 2(a-1)(a-2)=0인 경우에는 한 개의 실근(중근)을

갖는다. 즉,

⁄ a=1 또는 a=2일 때 f(a)=1 yy`㉡

⁄2(a-1)(a-2)<0인 경우에는 실근을 갖지 않는다. 즉,

⁄ 1<a<2일 때 f(a)=0 yy`㉢

¤a=0인 경우 ⁄ -4x+2=0, x=;2!; ∴ f(a)=1 yy`㉣ ㉠~㉣에 의하여 y=f(a)의 그래프는 다음과 같다. ㄱ. 그래프에 의하여 f(a)=2, f(0)=1이므로 ㄱ. f(a)+f(0)(거짓) ㄴ. f(a)+ f(a), 즉 좌극한과 우극한이 다른 경우 ㄱ. 는 c=1, c=2로 2개이다. (참)

ㄷ. a=0, a=1, a=2에서 함수 f(a)가 불연속이므로 불연속 인 a의 값은 모두 3개이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 23 ㄱ. f(x)=-1 (참) ㄴ. ⁄ { f(x)+g(x)}=(-1)+1=0이고 ㄴ. ⁄ { f(x)+g(x)}=1+(-1)=0이므로 ㄴ. ⁄ { f(x)+g(x)}=0 ㄴ. ¤ f(1)+g(1)=0+0=0 ㄴ. ⁄, ¤로부터 x=1에서 (극한값)=(함숫값)이므로 ㄴ. 함수 f(x)+g(x)는 x=1에서 연속이다. (참) ㄷ. 열린구간 (-1, 2)에서 함수 (fΩg)(x)=f(g(x))의 값 의 변화를 살펴보면 다음 표와 같다. ㄴ. 따라서 함수 (fΩg)(x)는 x=1에서 불연속이다. ㄴ. 즉, 열린구간 (-1, 2)에서 불연속이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. lim x⁄1 lim x⁄1+ lim x ⁄1-lim x ⁄0-lim a ⁄c-lim a⁄c+ lim a⁄0 lim a⁄0 1 2 a y O y=f(a) 2 1 [참고] ㄷ. (fΩg)(1)=f(0)=0 ㄷ. (fΩg)(x)= f(t)=-1 ㄷ. (fΩg)(x)= f(t)=-1 ㄷ.따라서 x=1에서 함수 (fΩg)(x)는 불연속이다. lim t ⁄1-lim x ⁄1-lim t⁄-1+ lim x⁄1+

01

위의 그림에서 함수 y=|x¤ -2x|의 그래프와 직선 y=t가 만 나는 점의 개수 f(t)를 구해 보면 다음과 같다. f(t)=

[

이때 함수 f(t)는 t=0, t=1에서 불연속이고, 함수g(t)는 이 차함수이므로 모든 실수 t에서 연속이다. 즉, 함수 f(t)g(t)가 모든 실수 t에서 연속이려면 t=0, t=1에 서도 연속이어야 한다. ⁄ 함수 f(t)g(t)가 t=0에서 연속이므로 ⁄ _{f(t)g(t)= f(t)g(t)=f(0)g(0)} ⁄이어야 한다. ⁄ f(t)g(t)= f(t)_ g(t) f(t)g(t)=0_g(0)=0 f(t)g(t)= f(t)_ g(t) f(t)g(t)=4_g(0)=4g(0) f(0)g(0)=2_g(0)=2g(0) ⁄즉, 0=4g(0)=2g(0)이어야 하므로 ⁄ g(0)=0 ¤ 함수 f(t)g(t)가 t=1에서 연속이므로 ⁄ f(t)g(t)=lim f(t)g(t)=f(1)g(1) t⁄1+ lim t ⁄1-lim t⁄0+ lim t⁄0+ lim t⁄0+ lim t ⁄0-lim t ⁄0-lim t

⁄0-(

M

»

{

«

»

9

lim t⁄0+ lim t ⁄0-y t y=f(t) O 1 2 3 4 0 (t<0) 2 (t=0) 4 (0<t<1) 3 (t=1) 2 (t>1) y _{y=|x¤ -2x|} x O 1 2 y=t y=1 28`쪽 ● ● ●1등급 만들기● ● ● 01 8 02 ② x의 값 -1 ⁄ 0 0 0 _{⁄ 1} 1 1 ⁄ 2 g(x)의 값 1 ⁄ 0 0 0 _{⁄ 1} 0 -1 ⁄ 0 f(g(x))의 값 -1 ⁄ 0 0 0 _{⁄ -1} 0 -1 해(001-072)굿비수Ⅱ 2018.11.1 3:3 PM 페이지18