2019 개념원리 RPM HigQ 수학(하) 답지 정답

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(1)핵심 고난도 문제서. 수학(하). 정답과 풀이 Ⅰ. 집합과 명제 . 002. Ⅱ. 함수 . 029. Ⅲ. 경우의 수 . 063.

(2) Ⅰ. 집합과 명제. ④ {-4}: 유한집합. 01. ⑤ [1, ;2!;, ;3!;, ;4!;, ;5!;, y]: 무한집합. 집합의 뜻과 표현. 따라서 유한집합인 것은 ④이다. 본문 9~12쪽. 0007. ④. 5의 양의 배수는 5, 10, 15, 20, y이므로 k의 값이 될. 수 있는 자연수는 1, 2, 3, 4, 5이다.. 0001. ‘키가 큰’, ‘가창력이 뛰어난’, ‘100에 가까운’은 조건이. 명확하지 않아 그 대상을 분명히 정할 수 없으므로 집합이 아니. 따라서 구하는 합은 1+2+3+4+5=15. 15. 다. 따라서 집합인 것은 ①, ④이다.. ①, ④. 0008. ① n({0, 1, 2})-n({0})=3-1=2. ② n(A)=0이면 A=∅이다.. 0002. ㄱ. -5는 유리수이므로 -5<Q. ③ n({0})=1, n({∅})=1이므로 n({0})=n({∅}). ㄴ. '3은 무리수이므로 '3 ²Q. ④ n({∅, 0})-n(∅)=2-0=2. ㄷ. i 2=-1은 실수이므로 i 2<R. ⑤ n({{1, 2}})+n({1, 2})=1+2=3. 2 2(1+i) 2 ㄹ. = =1+i는 허수이므로 ²R 1-i (1-i)(1+i) 1-i. 따라서 옳은 것은 ③이다.. ㅁ. i 12=(i 4)3=13=1은 정수이므로 i 12<Z ㅂ. '¶16=4는 정수이므로 '¶16<Z 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㅂ이다.. 0003. ㄷ, ㅂ. 0009. [. ③. x x ]=10에서 10É <11 10 10. ∴ 100Éx<110. 이때 x는 정수이므로 A={100, 101, 102, y, 109}. ① 5=51. xÜ`+1=0에서 (x+1)(xÛ`-x+1)=0. ② 25=52. ∴ x=-1 (∵ x는 실수). ③ 35=51_71. ∴ B={-1}. ④ 75=31_52. |x|É2에서 -2ÉxÉ2이고, x는 정수이므로. ⑤ 245=51_72. C={-2, -1, 0, 1, 2}. . 따라서 집합 A의 원소인 것은 ④이다.. ④. 따라서 n(A)=10, n(B)=1, n(C)=5이므로 n(A)_n(B)_n(C)=50. 0004 A={-1, 0, 1}, B={2, 4, 6}. a b -1. 2. 4. 6. 1. 3. 5. 값을 구하면 오른쪽 표와 같으므로. 0. 2. 4. 6. C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 1. 3. 5. 7. a<A, b<B인 a, b에 대하여 a+b의. 0010. 집합 A의 원소는 0, 1, {0, 1}이다.. ① 1은 집합 A의 원소이므로 1<A. C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. . 50. ② 0<A이므로 {0},A ③ {0, 1}은 집합 A의 원소이므로 {0, 1}<A ④ 0<A, 1<A이므로 {0, 1},A. 0005. ⑤ {0, 1}<A이므로 {{0, 1}},A. A={ i, -1, -i, 1 }이므로 2. 2. z<A이면 z =1 또는 z =-1 z1<A, z2<A인 zÁ, zª에 대하여 2. 2. z1 +z2 의 값을 구하면 오른쪽 표와 같으 므로 B={-2, 0, 2}. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. z12. z22 -1. 1. -1. -2. 0. 0011. 1. 0. 2. ㄱ. ∅은 집합 A의 원소이므로 ∅<A. 따라서 집합 B의 원소의 개수는 3이다.. ⑤. 3. 집합 A의 원소는 ∅, a, b, {b, c}이다.. ㄴ. 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 ∅,A ㄷ. {b, c}는 집합 A의 원소이므로 {b, c}<A ㄹ. c²A이므로 {c}øA. 0006. ① 무한집합. ㅁ. {a, b}²A이므로 {{a, b}}øA. ② {y, -3, -2, -1, 1, 2, 3, y}: 무한집합. ㅂ. ∅<A, {b, c}<A이므로 {∅, {b, c}},A. ③ 0과 1 사이의 무리수는 무수히 많으므로 무한집합. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㅂ이다.. 002. 정답과 풀이. ㄱ, ㄴ, ㅂ.

(3) 0012. 집합 A의 원소는 0, ∅, {0}, {∅}이다.. n=1일 때, B1={1},A. ① 0은 집합 A의 원소이므로 0<A. n=2일 때, B2={1, 2},A. ② {0}은 집합 A의 원소이므로 {0}<A. n=4일 때, B4={1, 2, 4},A. ③ {0, ∅}은 집합 A의 원소가 아니므로 {0, ∅}²A. n=6일 때, B6={1, 2, 3, 6}øA. ④ {0}<A이므로 {{0}},A. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 n은 1, 2, 4이므로 구. ⑤ 0<A, {∅}<A이므로 {0, {∅}},A. 하는 n의 값의 합은. 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.. 0013. ③. 1+2+4=7. 0018. A={1, 4}. x<A, y<A인 x, y에 대하여 xy의 값을. y. x. 7. A,B이므로 1<B이어야 한다.. 1. 4. ‌ Ú 1=aÛ `-3일 때, aÛ`=4. 구하면 오른쪽 표와 같으므로. 1. 1. 4. ∴ a=-2 또는 a=2. B={1, 4, 16}. 4. 4. 16. a=-2이면 A={-1, 1}, B={1, 2, 7}이므로 AøB a=2이면 A={1, 3}, B={1, 2, 3}이므로 A,B. x<A, y<A인 x, y에 대하여 x>y일 때,. ‌ 때, a=4 Û 1=-a+5일. ;]{;의 값이 될 수 있는 것은 ;1$;=4뿐이므로. 이때 A={1, 5}, B={1, 2, 13}이므로 AøB. C={4} ∴ C,A,B. 0014. ④. A={0, 1, 2, 3, 4}이고, 집합 B는 집합 A의 부분집. 합 중 원소가 4개인 집합이므로. Ú, Û에서 a=2. 0019. 2. A=B이므로 12<B, 즉 12=aÛ`-4a. aÛ`-4a-12=0, (a+2)(a-6)=0 ∴ a=-2 또는 a=6. {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4},. ‌ 때 Ú a=-2일. {0, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} 의 5개이다.. ⑤. A={-12, 9, 12}, B={1, 4, 12}이므로 A+B ‌ 때 Û a=6일 A={1, 4, 12}, B={1, 4, 12}이므로 A=B. 0015. Ú, Û에서 a=6. xÛ`-5x-6É0에서. 6. (x+1)(x-6)É0 ∴ -1ÉxÉ6 ∴ A={x|-1ÉxÉ6}. 0020. |x-2|Ék에서. 즉, -4<A이므로 (-4)Û`-4a-20=0 . -kÉx-2Ék ∴ -k+2ÉxÉk+2. -4a-4=0 ∴ a=-1. ∴ B={x|-k+2ÉxÉk+2}. 그림과 같으므로. xÛ`-x-20=0에서 (x+4)(x-5)=0 . # ". A,B가 성립하도록 두 집합 A, B를 수직선 위에 나타내면 오른쪽. A,B이고 B,A이므로 A=B. ∴ x=-4 또는 x=5 L

(4) Y. L

(5) . 따라서 B=A={-4, 5}이므로 b=5 ∴ a-b=-6. -k+2É-1, 6Ék+2. -6. 다른풀이. ∴ k¾4. A,B이고 B,A이므로 A=B. 따라서 k의 최솟값은 4이다.. ②. 이때 -4, b는 이차방정식 xÛ`+ax-20=0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여. 0016. C,B,A가 성립하도록. 세 집합 A, B, C를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로. $. #. ". -4+b=-a, -4b=-20. L Y. ∴ a=-1, b=5 ∴ a-b=-6. -2<kÉ6 따라서 정수 k는 -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6의 8개이다.. ④. 0021. A={1, 2, 3, 4, 6, 12}. 집합 X는 집합 A의 진부분집합 중에서 1, 2, 3을 반드시 원소. 0017. 자연수 n에 대하여 n<Bn이므로 Bn,A가 성립하려. 면 n<A이어야 한다.. 로 갖는 집합이므로 집합 X의 개수는 26-3-1=2Ü`-1=7. ② 01. 집합의 뜻과 표현. 003.

(6) 0022. A={x, y, z}, B={x, y, z, p, q, r}. 본문 13~14쪽. 집합 X의 개수는 집합 B의 부분집합 중에서 x, y z를 반드시 원소로 갖고, q를 원소로 갖지 않는 집합의 개수와 같으므로 26-3-1=2Û`=4. 4. 0028. x와 ;;Á[¤;;이 모두 자연수이므로 x의 값이 될 수 있는 수. 는 16의 양의 약수인 1, 2, 4, 8, 16이다.. 0023. 1<A이면 :Á1:¤ =16<A이므로 1과 16은 항상 동시에 집합 A의. xÛ`-x-2É0에서 (x+1)(x-2)É0. 원소이어야 한다. 같은 방법으로 2와 8도 동시에 집합 A의 원소. ∴ -1ÉxÉ2. 이어야 한다.. 이때 x는 정수이므로 A={-1, 0, 1, 2} |x|É3에서 -3ÉxÉ3이고, x는 정수이므로. 또, 4<A이면 :Á4:¤ =4<A이므로 4도 주어진 조건을 만족시킨다.. B={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. 따라서 구하는 집합 A의 개수는 집합 {1, 2, 4}의 공집합이 아. 따라서 집합 X의 개수는 집합 B의 부분집합 중에서 -1, 0, 1, 2. 닌 부분집합의 개수와 같으므로. 를 반드시 원소로 갖는 집합의 개수와 같으므로. 2Ü`-1=7. 7-4. 2. =2Ü`=8. 8. 7. 다른풀이. x와 ;;Á[¤;;이 모두 자연수이므로 집합 A의 원소가 될 수 있는 것은. 0024. A={1, 2, 3, y, k}이므로 n(A)=k. 16의 양의 약수인 1, 2, 4, 8, 16이다.. 집합 A의 부분집합 중에서 1, 3을 반드시 원소로 갖고 2, 4, 6. 이때 1과 16, 2와 8은 어느 하나가 집합 A의 원소이면 나머지. 을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수가 64이므로. 하나도 반드시 A의 원소이다.. k-2-3. 2. ‌ 경우 Ú n(A)=1인. k-5. =64, 2. =2ß`. k-5=6 ∴ k=11. 11. 집합 A는 {4}의 1개 ‌ 경우 Û n(A)=2인 집합 A는 {1, 16}, {2, 8}의 2개. 0025. A={9, 18, 27, 36, 45}. ‌ 경우 Ü n(A)=3인. 집합 A의 부분집합 중에서 적어도 한 개의 짝수를 원소로 갖는 집합은 A의 부분집합 중에서 집합 {9, 27, 45}의 부분집합을 제외하면 되므로 구하는 부분집합의 개수는 2Þ`-2Ü`=32-8=24. 집합 A는 {1, 4, 16}, {2, 4, 8}의 2개 ‌ 경우 Ý n(A)=4인 집합 A는 {1, 2, 8, 16}의 1개. 24. ‌ 경우 Þ n(A)=5인 집합 A는 {1, 2, 4, 8, 16}의 1개. 0026. Ú~Þ에서 구하는 집합 A의 개수는. A={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}. 집합 A의 부분집합 중에서 1 또는 4를 원소로 갖는 집합은 A의 부분집합 중에서 집합 {9, 16, 25, 36, 49}의 부분집합을 제외 하면 되므로 구하는 부분집합의 개수는 2à`-2Þ`=128-32=96. 96. 1+2+2+1+1=7. 0029. ㄱ. 4의 양의 배수들의 일의 자리의 수는 4, 8, 2, 6, 0. 이 차례로 반복되므로 A(4)={0, 2, 4, 6, 8} ∴ 2<A(4). 0027. ㄴ. 2의 ‌ 양의 배수들의 일의 자리의 수는 2, 4, 6, 8, 0이 차례로. Ú 6<X일 때. 집합 X의 개수는 집합 {3, 4, 5, 7}의 부분집합 중에서 공집 합이 아닌 집합의 개수와 같으므로. 반복되므로 A(2)={0, 2, 4, 6, 8} ∴ A(2)=A(4). 2Ý`-1=15. ㄷ. 2k_5=10k이고, ‌ 10k의 일의 자리의 수는 0이므로 . ‌ 때 Û 6²X일 집합 X의 개수는 집합 {3, 4, 5, 7}의 부분집합 중에서 3,. 0<A(2k) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. 4를 반드시 원소로 갖는 집합의 개수와 같으므로 24-2=4. 0030. Ú, Û에서 구하는 집합 X의 개수는 15+4=19. 004. 정답과 풀이. ②. x<A, y<B인 x, y에 대하여 x+y의 값은. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a+1, a+3, a+5. ⑤.

(7) 이때 n(X)=10이 되려면 a+1, a+3, a+5 중에서 하나만 2,. ‌ 때, 집합 B는 Û n(B)=4일. 3, 4, y, 9 중 하나와 같아야 한다.. {1, 3, 5, 7}, {1, 3, 5, 9}, {1, 3, 7, 9},. 또, a가 자연수이므로 2Éa+1<a+3<a+5. {1, 5, 7, 9}, {3, 5, 7, 9}. 따라서 a+1만 2, 3, 4, y, 9 중 하나와 같아야 하므로. 의 5개이다.. 2Éa+1É9, a+3>9. Ú, Û에서 구하는 집합 B의 개수는. ∴ 6<aÉ8. 10+5=15. 따라서 자연수 a의 최댓값은 8이다.. 15. 8. Lecture. 0034 ㄱ. 3 이하의 소수는 2, 3이므로. a+5가 2, 3, 4, y, 9 중 하나와 같은 경우 a+3<2, 2Éa+5É9 ∴ -3Éa<-1 따라서 a가 자연수라는 조건에 맞지 않는다.. A£={2, 3} ∴ n(A3)=2 4의 양의 약수는 1, 2, 4이므로 B¢={1, 2, 4} ∴ n(B4)=3 ∴ n(A3)+n(B4)=5. 0031. ㄴ. a<A ‌ n이면 a는 n 이하의 소수이므로 . ㄱ. A1(3)={x|N(3, x)=1}. A1(3)은 100 이하의 자연수 중 3과의 공약수가 1개인 수,. aÉn<n+1. 즉 3과 서로소인 수의 집합이므로. 이때 a는 n+1보다 작은 소수이므로. 4<A1(3). a<An+1 즉, a<An이면 a<An+1이므로 An,An+1. ㄴ. A ‌ 3(4)={x|N(4, x)=3} A3(4)는 100 이하의 자연수 중 4와의 공약수가 3개인 수,. ㄷ. m=7, ‌ n=14이면 B7={1, 7}, B14={1, 2, 7, 14}이므로 B7,B14. 즉 4의 배수의 집합이므로 A3(4)의 원소의 개수는 . 그런데 7은 14의 배수가 아니다.. 100Ö4=25 ㄷ. A ‌ 2(a)={x|N(a, x)=2}에서 a가 소수이면 A2(a)는. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.. ②. 100 이하의 자연수 중 a와의 공약수가 2개인 수, 즉 a의 배. 수의 집합이므로 A2(a)의 원소의 개수는 [. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 0032. 100 ]이다. a. 0035 ③. 집합 P(A)는 A의 부분집합을 원소로 갖는 집합이므. 로 P(A)의 원소는. 집합 A의 부분집합 중에서 1을 반드시 원소로 갖는 집. 합의 개수는 24-1=8이다. 즉, AÁ, Aª, y, AÁ° 중에서 1을 원소로 갖는 집합은 8개이다. 같은 방법으로 2, a, 2a를 각각 원소로 갖는 집합도 8개씩 있으 므로 S1+S2+S3+ y +S15=8(1+2+a+2a)=96. ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. 3+3a=12 ∴ a=3. ① {a, c}는 집합 P(A)의 원소이므로 {a, c}<P(A) ② A={a, b, c}는 집합 P(A)의 원소이므로 A<P(A) ③ 집합 ‌ P(A)의 원소의 개수는 A의 부분집합의 개수와 같으 3. 므로 n(P(A))=2 =8. 0036. 3. f(n)은 집합 X의 부분집합 중에서 n을 반드시 원소로. 갖고, 1, 2, 3, y, n-1은 원소로 갖지 않는 집합의 개수이므로. ④ {a}<P(A)이므로 {{a}},P(A). f(n)=210-1-(n-1)=210-n (단, 1Én<10). ⑤ ∅은 집합 P(A)의 원소이므로 ∅<P(A). ㄱ. ‌f(8)=210-8=2Û`=4. 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.. ②, ⑤. ㄴ. a=2, ‌ b=3일 때 2<X, 3<X이고 2<3이지만 f(2)=210-2=2¡`=256. 0033. 조건 ㈎에서 집합 B의 원소는 모두 홀수이어야 하므로 . B,{1, 3, 5, 7, 9} 조건 ㈏에서 집합 B의 원소의 개수는 짝수이어야 하므로 n(B)=2 또는 n(B)=4 ‌ 때, 집합 B는 Ú n(B)=2일 {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {1, 9}, {3, 5}, {3, 7}, {3, 9}, {5, 7}, {5, 9}, {7, 9} 의 10개이다.. f(3)=210-3=2à`=128 이므로 f(2)>f(3) ㄷ. f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9) =210-1+210-3+210-5+210-7+210-9 =29+27+25+23+2 =682 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. ③. 참고 n=10일 때, 10을 최소의 원소로 갖는 집합은 {10}뿐이므로 f(10)=1. 01. 집합의 뜻과 표현. 005.

(8) 1 1 1 1 , , , y, 6 ]의 부분집합 중에서 2 22 23 2 1 1 Ú ‌가장 작은 원소가 6 인 집합의 개수는 6 을 반드시 원소로 2 2 갖는 부분집합의 개수와 같으므로 . 0037. 집합 S=[. =2Þ`. 1 1 Û ‌가장 작은 원소가 5 인 집합의 개수는 5 을 반드시 원소로 2 2 1 갖고, 6 을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수와 같으므로 2 26-1-1=2Ý` Ü ‌가장 작은 원소가. 주머니 A에서 2개의 공을. +. -1. 0. 1. 동시에 꺼낼 때 나온 공에 적힌 두. -1. -2. -1. 0. 수의 합은 오른쪽 표와 같으므로. 0. -1. 0. 1. P={-2, -1, 0, 1, 2}. 1. 0. 1. 2. +. 0. 1. 주머니 B에서 2개의 공을 동시에. 6-1. 2. 0039. 1 1 을 반드시 원소로 4 인 집합의 개수는 2 24. 1 1 갖고, 5 , 6 을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수와 같으 2 2 므로 26-1-2=2Ü` 1 1 1 , , 인 집합의 개수를 23 22 2 각각 구하면 26-1-3=22, 26-1-4=2, 1이므로 같은 방법으로 가장 작은 원소가. 꺼낼 때 나온 공에 적힌 두 수의 합. 0. 0. 1. 은 오른쪽 표와 같으므로. 1. 1. 2. Q={0, 1, 2} a<P, b<Q인 a, b에 대하여 ab의 값을 구하면 다음 표와 같 으므로 a. b. -2. -1. 0. 1. 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0 1. -2. -1. 0. 1. 2. 2. -4. -2. 0. 2. 4. R={-4, -2, -1, 0, 1, 2, 4} 따라서 집합 R의 원소의 개수는 7이다.. ②. a1+a2+a3+ y +a63 1 1 1 1 1 1 _2Þ`+ 5 _2Ý`+ 4 _2Ü`+ 3 _2Û`+ 2 _2+ _1 26 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 = + + + + + =3 2 2 2 2 2 2 =. 본문 15쪽. 0038. 집합 Xª는 집합 A의 부분집합 중 집합 XÁ의 모든 원. 소를 반드시 원소로 갖는 집합이다.. 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 이용하여 d(k)를 구한다.. Ú n(X1)=1일 때 집합 X1이 될 수 있는 집합은 {1}, {2}, {3}, {4}의 4개이 고, 각각의 X1에 대하여 집합 X2는 24-1=2Ü`=8(개)씩 있 으므로 순서쌍 (X1, X2)의 개수는 4_8=32 ‌ Û n(X 1)=2일 때 {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}의 6개이고, 각각의 X1에 대하여 집 합 X2는 24-2=2Û`=4(개)씩 있으므로 순서쌍 (X1, X2)의 개수는 6_4=24. |2'2 k| =2k (∵ k는 자연수) "Ã1Û`+(-1)Û`. d(k)=2k-1 ㄱ. d(1)=2-1=1이므로 A1={1} ㄴ. d(2)=4-1=3이므로 ‌ A2={1, 2, 3} ㄷ. d(k)=2k-1, ‌ d(k+1)=2(k+1)-1=2k+1이므로. 집합 X1이 될 수 있는 집합은 {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}의 4개이고, 각각의 X1에 대하여 집합 X2는 24-3=21=2(개)씩 있으므로 순서쌍 (X1, X2)의 개 수는 4_2=8. Ak={1, 2, 3, y, 2k-1} Ak+1={1, 2, 3, y, 2k-1, 2k, 2k+1} ∴ n(Ak+1)-n(Ak)=(2k+1)-(2k-1)=2 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.. ‌ Ý n(X 1)=4일 때 집합 X1이 될 수 있는 집합은 {1, 2, 3, 4}의 1개이고, 이때 X1,X2를 만족시키는 집합 X2는 {1, 2, 3, 4}뿐이므로 순 서쌍 (X1, X2)의 개수는 1_1=1 Ú~Ý에서 구하는 순서쌍 (X1, X2)의 개수는. 정답과 풀이. x-y+2'2k=0 사이의 거리는. ∴ n(A2)-n(A1)=3-1=2. ‌ Ü n(X 1)=3일 때. 006. 원 xÛ`+yÛ`=1의 중심 (0, 0)과 직선 y=x+2'2 k, 즉 . 이때 원의 반지름의 길이가 1이므로. 집합 X1이 될 수 있는 집합은 {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, . 32+24+8+1=65. 0040. 개념 Plus. 점과 직선 사이의 거리 점 (xÁ, yÁ)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리는 특히, 원점과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리는. 65. ㄴ, ㄷ. |axÁ+byÁ+c| "ÃaÛ`+bÛ`. |c| "ÃaÛ`+bÛ`.

(9) 0041. 두 자리 자연수 중에서 2_(홀수) 꼴인 자연수는 . 집합 A의 원소를 3으로 나누었을 때 나머지가 같은 수들로 분류하 여 주어진 조건을 만족시키는 집합 X를 찾는다.. 2_5, 2_7, 2_9, y, 2_49 이므로 두 자리 자연수 m의 개수는 5부터 49까지의 홀수의. 집합 A의 원소 중 3으로 나누었을 때의 나머지가. 개수와 같다. 즉, 1부터 50까지의 홀수 중에서 1, 3을 제외. m (m=0, 1, 2)인 모든 수를 원소로 갖는 집합을 Xm이라 하면. 하면 되므로 구하는 m의 개수는. X0={x|x=3k, k=1, 2, 3}={3, 6, 9}. 25-2=23 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.. X1={x|x=3k+1, k=0, 1, 2, 3}={1, 4, 7, 10}. ⑤. X2={x|x=3k+2, k=0, 1, 2}={2, 5, 8} Ú ‌집합 X의 원소가 모두 3k 꼴인 경우. 0043. X=X0의 1개이다.. 집합 X의 모든 원소의 합이 홀수인 경우를 먼저 생각한다.. Û ‌집합 X의 원소가 모두 3k+1 꼴인 경우 X,X1이고 n(X)=3일 때이므로 집합 X는 . 조건 ㈏에서 집합 X의 모든 원소의 합이 홀수이므로 집합 X에. {1, 4, 7}, {1, 4, 10}, {1, 7, 10}, {4, 7, 10}. 는 홀수인 원소가 1개 또는 3개 속해야 한다.. 의 4개이다.. 이때 조건 ㈎에서 5<X이므로 집합 X의 원소 중에서 홀수가 5 뿐인 경우와 홀수가 5를 포함하여 3개인 경우로 나누어 생각할. Ü ‌집합 X의 원소가 모두 3k+2 꼴인 경우. 수 있다.. X=X2의 1개이다.. Ú ‌집합 X의 원소 중에서 홀수가 5뿐인 경우 . Ý ‌집합 X의 세 원소가 각각 3k, 3k+1, 3k+2 꼴인 경우 집합 X가 세 집합 X0, X1, X2에서 각각 한 개의 원소를 선. 조건 ㈐에서 집합 X의 가장 큰 원소는 5이어야 하므로. 택하여 만든 집합일 때이므로 집합 X의 개수는. {2, 5},X,{2, 4, 5}. 3_4_3=36. 이때 집합 X의 개수는 23-2=2 Û ‌집합 X의 원소 중에서 홀수가 5를 포함하여 3개인 경우. Ú~~~Ý에서 구하는 집합 X의 개수는 1+4+1+36=42. 42. 세 홀수 1, 3, 5가 집합 X의 원소일 때, 조건 ㈐에서 집합 X 의 가장 큰 원소는 5이어야 하므로. Lecture. 세 수를 더하여 3의 배수가 나오는 경우는 Ú 3k 꼴의 수 3개를 더할 때 Û 3k+1 꼴의 수 3개를 더할 때 Ü 3k+2 꼴의 수 3개를 더할 때 Ý 3k, 3k+1, 3k+2 꼴의 세 수를 더할 때 의 4가지뿐이다.. {1, 2, 3, 5},X,{1, 2, 3, 4, 5} 이때 집합 X의 개수는 25-4=2 세 홀수 1, 5, 7이 집합 X의 원소일 때, 조건 ㈐에서 집합 X 의 가장 큰 원소는 7이어야 하므로 {1, 2, 5, 7},X,{1, 2, 4, 5, 6, 7} 이때 집합 X의 개수는 26-4=2Û`=4 세 홀수 3, 5, 7이 집합 X의 원소일 때, 조건 ㈐에서 집합 X 의 가장 큰 원소는 7이어야 하므로. 0042. {2, 3, 5, 7},X,{2, 3, 4, 5, 6, 7} . 집합 Am의 의미를 파악하여 보기의 참, 거짓을 확인한다.. ㄱ. A ‌ 4는 2a=. 4 , 즉 4=2a_b인 자연수 a, b의 순서쌍 (a, b) b. 를 원소로 갖는 집합이다.. 이때 집합 X의 개수는 26-4=2Û`=4 Ú, Û에서 구하는 집합 X의 개수는 2+(2+4+4)=12. 12. 이때 4=21_2 , 4=22_1이므로 A4={(1, 2), (2, 1)} ㄴ. m ‌ =2k일 때, Am은 2a=. 2k , 즉 2k=2a_b인 자연수 a, b b. 의 순서쌍 (a, b)를 원소로 갖는 집합이므로 Am={(1, 2k-1), (2, 2k-2), (3, 2k-3), y, (k, 1)} ∴ n(Am)=k ㄷ. ‌n(Am)=1이 되려면 2a=. m m , 즉 b= a 이 자연수가 되도 b 2. 록 하는 자연수 a가 한 개뿐이어야 하므로 a=1이고, m=2_(홀수) 꼴이어야 한다. 01. 집합의 뜻과 표현. 007.

(10) Ⅰ. 집합과 명제. 02. 0049 B;(B-A)=B-A=B이므로 A;B=∅. 집합의 연산. 또, A'B=U이므로 B=U-A={2, 4, 6, 8, 10}-{4, 10}={2, 6, 8} 따라서 집합 B의 모든 원소의 합은. 본문 17~22쪽. 2+6+8=16. 0044 집합 B는 y, z를 반드시 원소로 갖고, x, w를 원소로 갖지 않아야 하므로 집합 B가 될 수 있는 것은 ③이다. . ③. 0050. 16. U={2, 4, 6, 8, 10, 12}. 조건 ㈎에서 (A'B)` ={6, 8, 10}이므로 A'B={2, 4, 12}. 0045 집합 A의 부분집합 중에서 집합 B와 서로소인 집합은. 조건 ㈐에서 집합 A의 모든 원소의 합은 14이므로 A={2, 12}. 집합 B의 원소를 원소로 갖지 않는 집합이다.. 또, 조건 ㈏에서 B의 원소는 8의 약수이므로 집합 B의 원소가. 집합 B의 원소의 개수를 n이라 하면. 될 수 있는 것은 2 또는 4이다.. 26-n=4=2Û`에서. 주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내면 다음 그림과 같다.. 6-n=2 ∴ n=4. 4. 6. ". . 0046. . 두 집합 A, B가 서로소,. ". 즉 A;B=∅이려면 오른쪽 그림 과 같아야 하므로 ;2A;Éa+1 ∴ a¾-2. . 0047. #. . # #". #a. A;B={2, 3}이므로 2<A. Ú ‌a=-1일 때. " . A={2, 3, 5}, B={-4, 2, 9}이므로. Y. A;B={2} 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.. #a. "a . . Û ‌a=2일 때 Y. A={2, 3, 5}, B={-1, 2, 3}이므로 A;B={2, 3} ③. 0048 주어진 조건을 벤다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로. 6. ". . B={1, 3}. . ② 정답과 풀이. 18. (a+1)(a-2)=0 ∴ a=-1 또는 a=2. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.. 008. 2a-b=9, a+;3B;=7. 즉, aÛ`-a=2이므로 aÛ`-a-2=0. A` ;B` ={x|-3<xÉ-2}. . 이때 A=[4, 9, a+;3B;]이므로. 0052. Y. . . B-A={3}이므로 4, 7, 2a-b는 집합 A의 원소이다.. a=6, b=3 ∴ ab=18. Y. B-A={x|-2<xÉ1} "a #a. . B` ={x|xÉ-2 또는 x>4}. ㄷ.. {4}. 두 식을 연립하여 풀면. ". . . . . #a. #. ". . . . . 0051. . ㄴ.. #. . a¾-2. ". 6 ". ∴ B-A={4}. 주어진 두 집합 A, B를 수직선 위에 나타내면 다음 그. #a. . 또는 . . Y. . 림과 같다.. ㄱ.. . . # B

(11) . . #. # . . Ú, Û에서 a=2. 0053. (A;B``)'(A` ;B) =(A-B)'(B-A). 이므로 벤다이어그램으로 나타내면 오른 . 쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.. 2. 6. ". . # .

(12) (A-B)'(B-A)={1, 3, 8}이고 1<A, 3<A이므로. 0059. 8<B, a-1<A;B. U의 부분집합 X가 A'X=B'X를 만족시키려면 집합 X는. 그런데 a-1+a+2이므로. 두 집합 A, B의 공통인 원소 5를 제외한 나머지 원소 1, 2, 3,. a-1=aÛ`-4a-7, a+2=8. U={1, 2, 3, y, 10}. 7, 8을 반드시 원소로 가져야 한다.. ∴ a=6. ②. 따라서 집합 X의 개수는 210-5=25=32. 0060. 0054 ① A-B` =A;(B``)` =A;B. 32. X'A=(X-B),X이므로 A,X. ② A;(U-B``)=A;B. 이때 X'A=X이므로 X'A=X-B에서. ③ (U-A``);B=A;B. X=X;B` ∴ X,B`. ④ B;(A'A``)=B;U=B. ∴ A,X,B`. ⑤ (A;B)'(B;B``)=(A;B)'∅=A;B. 즉, {1, 2},X,{1, 2, 4, 6, 7}이므로 집합 X는 {1, 2, 4, 6, 7}. 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다.. ④. 의 부분집합 중 1, 2를 반드시 원소로 갖는 집합이다. 따라서 집합 X의 개수는 25-2=2Ü`=8 . 0055. A;B=A이므로 A,B. 0061. ㄱ. A,B이므로 B` ,A`. 조건을 벤다이어그램으로 나타내면 오른. =B-A 6. 면 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같. . . . # . # ". . 따라서 집합 B의 모든 원소의 합은 1+3+7+13=24. 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. . . . ∴ B={1, 3, 7, 13}. 으므로 A'B` +U ①. 0062. 24. (C-A)'(C;B``)=(C;A``)'(C;B``) =C;(A` 'B``) =C;(A;B)`. (A;B``)'(B-A)=(A-B)'(B-A)=∅. =C-(A;B). 이므로 A-B=∅, B-A=∅ 따라서 A,B, B,A이므로 A=B. ". . 쪽 그림과 같다.. 이때 BøA이면 B-A+∅. 0057. 6. 이고 A={3, 5, 7, 11}이므로 주어진. ㄷ. A ‌ ` -B` =A` ;(B``)` =A` ;B. 0056. (A` ;B``)'(A;B)=(A'B)` '(A;B) ={3, 7, 9, 15}. ㄴ. A,B이므로 A;B` =A-B=∅. ㄹ. A'B ‌ ` 를 벤다이어그램으로 나타내. ③. ①. 이므로 C-(A;B)={5, 7, 10} 이때 C={3, 5, 6, 7, 10}이므로 3<(A;B), 6<(A;B). (A'B);X=X에서 X,(A'B). 따라서 반드시 집합 A;B의 원소인 것은 ①이다.. ①. (A-B)'X=X에서 (A-B),X ∴ (A-B),X,(A'B). 0063. 즉, {2, 7},X,{1, 2, 3, 5, 7}이므로 집합 X는 {1, 2, 3, 5, 7}의 부분집합 중 2, 7을 반드시 원소로 갖는 집합. 주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내면 다음 그림과. 같다. ① A;B` =A-B. 6. ② (A;B)'B ‌ . 6. 이다.. ". #. ". #. ". #. 따라서 집합 X의 개수는 25-2=2Ü`=8. 0058. 8. A={1, 2, 3, 4, 6, 12}. =(A'B``);(B'B``). 조건 ㈎에서 2<X, 4²X, 6²X,. =(A'B``);U. 조건 ㈏에서 2<X, 12<X. =A'B`. 이므로 집합 X는 A의 부분집합 중 2, 12를 반드시 원소로 갖. ③ (A;B ‌ ``)'A`. 고, 4, 6은 원소로 갖지 않는 집합이다.. =(A'A``);(B` 'A``). 따라서 집합 X의 개수는. =U;(A;B)`. 2. 6-2-2. =2Û`=4. 4. 6. =(A;B)` 02. 집합의 연산. 009.

(13) ④ (A'B);(A;B) ‌ `. 6. =(A'B)-(A;B). ". 0067. #. A3;(A4'A6)=(A3;A¢)'(A£;A¤) =AÁª'A¤ =A6. 전체집합 U의 원소 중 6의 배수는 8개이므로 구하는 원소의 개 ⑤ (A-B)'(A ‌ ` ;B``). 6. =(A;B``)'(A` ;B``). ". 수는 8이다.. #. =(A'A``);B`. 0068. =U;B` =B` 따라서 색칠한 부분을 나타낸 집합과 같은 것은 ②이다.. ②. ㄷ. A-(B;C)=A;(B;C)`. 배수의 집합과 약수의 집합 ⑴ ‌자연수 p의 양의 배수의 집합을 Ap라 할 때, 자연수 m이 자연수 n 의 배수, 즉 n이 m의 약수이면 Am,An ⇨ Am;An=Am, Am'An=An ⑵ ‌자연수 q의 양의 약수의 집합을 Bq라 할 때, 자연수 m이 자연수 n 의 배수, 즉 n이 m의 약수이면 Bn,Bm ⇨ Bm;Bn=Bn, Bm'Bn=Bm. =(A;B``)'(A;C``) =(A-B)'(A-C) ㄹ. A` '(B;C)` =A` '(B` 'C``) =A` 'B` 'C` 셋 이상의 집합에 대해서도 드모르간의 법칙이 성립한다.. ㄱ, ㄷ, ㄹ. 0069. 집합 A6;A8은 6과 8의 공배수의 집합, 즉 24의 배수. 의 집합이므로 A6;A8=A24. A'B=A이므로 B,A. 따라서 Am,A24를 만족시키는 m은 24의 배수이므로 자연수. ∴ {(A-B ‌ ``)'(B-A)}-A. m의 최솟값은 24이다. . ={(A;B)'(B;A``)}-A. ∴ a=24. ={(B;A)'(B;A``)}-A. 또, (A6'A8),An에서 A6,An, A8,An이므로 n은 6과 8. ={B;(A'A``)}-A. 의 공약수이다. 즉, 자연수 n의 최댓값은 6과 8의 최대공약수 2. =(B;U)-A. 이다. . =B-A. ∴ b=2 ①. ∴ a-b=22. 22. [{(B-A)'(A` ;B``)}'B``]`. =[{(B;A` `)'(A` ;B``)}'B``]`. 0070. =[{(A` ;B)'(A` ;B``)}'B``]`. -2<A에서 -8-4a+2-2=0 ∴ a=-2. =[{A` ;(B'B``)}'B``]`. xÜ`+2xÛ`-x-2=0에서 (x+2)(x+1)(x-1)=0이므로. ={(A` ;U)'B``}`. x=-2 또는 x=-1 또는 x=1. =(A` 'B``)`. ∴ A={-2, -1, 1}. =A;B. -2<B에서 4+2+b=0 ∴ b=-6. 즉, A;B=B이므로 B,A. xÛ`-x-6=0에서 (x+2)(x-3)=0이므로. ③ B-(A;B)=B-B=∅. x=-2 또는 x=3 ∴ B={-2, 3}. ④ B,A이므로 A` ,B` . ∴ A'B={-2, -1, 1, 3}. ⑤ A` ,B` 이므로 A` ;B` =A` . 따라서 집합 A'B의 모든 원소의 합은. 따라서 항상 옳은 것은 ③이다.. 010. ⑤. Lecture. =A;(B` 'C``). 0066. ∴ A2;A6=A4;A6. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. . =A;B. =∅ (∵ B,A). 즉, An,Am이므로 Am;An=An. =∅'(A;B). 0065. A2;A6={2}, A4;A6={2}. ㄷ. n이 ‌ m의 약수이면 n의 약수는 모두 m의 약수이다.. ㄴ. A;(A` 'B)=(A;A``)'(A;B). 따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.. 므로 Am;An=∅. =∅. =U-(A;B;C). ㄱ. A2={2}, A4={2, 4}, A6={2, 3, 6}이므로. ㄴ. ‌두 자연수 m, n이 서로소이면 m, n의 양의 공약수는 1뿐이. 0064 ㄱ. (A'B);(A` ;B``)=(A'B);(A'B)`. =(A;B;C)`. ③. 정답과 풀이. ③. A;B={-2}이므로 -2<A, -2<B. -2+(-1)+1+3=1. 1.

(14) 0071. (A;A``)'(A'A``)` ④ ACA` =. xÛ`-9x+14<0에서 (x-2)(x-7)<0이므로. =∅'U` =∅'∅=∅. 2<x<7 ∴ A={x|2<x<7}. ⑤ A` CB` = (A` ;B` )'(A` 'B` )` . 2xÛ`-7ax+3aÛ`É0에서 (2x-a)(x-3a)É0이므로. =(A'B)` '(A;B). ;2A;ÉxÉ3a (∵ a>0) ∴ B=[x|;2A;ÉxÉ3a] 이때 A;B=A, 즉 A,B가 성. =(A;B)'(A'B)`. # ". 립하려면 오른쪽 그림과 같아야 하. . 므로. =ACB. . B. Y. 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.. ;2A;É2, 7É3a. 0075. ∴ ;3&;ÉaÉ4. 이므로. ②. n(A` 'B``)=n((A;B)``)=n(U)-n(A;B). 31=40-n(A;B) ∴ n(A;B)=9. 따라서 자연수 a는 3, 4의 2개이다. . ②. ∴ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =18+25-9=34. 0072. 34. xÛ`-x-12É0에서 (x+3)(x-4)É0이므로. 0076. -3ÉxÉ4 ∴ A={x|-3ÉxÉ4} 조건 ㈎에서 A'B=R가 성립하 려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 yy ㉠. a¾-3, bÉ4. # . B. 이므로. #. " C. . n(A` ;B``)=n((A'B)``)=n(U)-n(A'B). Y. 5=50-n(A'B) ∴ n(A'B)=45 ∴ n((A-B)'(B-A))=n(A'B)-n(A;B) =45-12=33. A-B=A;B``이고 B` ={x|aÉxÉb}이므로. 0077. A;B` ={x|-3ÉxÉ4};{x|aÉxÉb}. ④. n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =12+9-19=2. ={x|aÉxÉb} (∵ ㉠). n(B;C)=n(B)+n(C)-n(B'C). 이때 조건 ㈏에서 A-B={x|-3ÉxÉ1}이므로 a=-3, b=1 ∴ b-a=4. =9+10-14=5. 4. n(C;A)=n(C)+n(A)-n(C'A). 0073. A={2, 3, 6},. 6. (A-B)'(B-A)={1, 2, 3, 7} 이므로 주어진 조건을 벤다이어그램으로. =10+12-22=0 ". . #. 즉, C;A=∅이므로 A;B;C=∅. . . ∴ n(A;B;C)=0. . ∴ n(A'B'C) ‌. 나타내면 오른쪽 그림과 같다.. =n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C). ∴ B={1, 6, 7}. -n(C;A)+n(A;B;C). . 따라서 집합 B의 모든 원소의 합은 1+6+7=14. 14. 개념 Plus. 대칭차집합 두 집합 A, B에 대하여 A-B와 B-A의 합 집합, 즉 (A-B)'(B-A) =(A'B)-(A;B) 를 대칭차집합이라 한다.. ". #. ‌ =12+9+10-2-5-0+0 =24. 0078. 24. 희망이네 반 학생 전체의 집합을 U, 휴대전화를 갖고. 있는 학생의 집합을 A, 디지털카메라를 갖고 있는 학생의 집합 을 B라 하면 n(U)=35, n(A)=25, n(A;B)=8, n(A` ;B``)=4 n(A` ;B``)=n((A'B)``)=n(U)-n(A'B)에서. 0074. n(A'B)=n(U)-n(A` ;B``)=35-4=31 ① AC∅=(A;∅)'(A'∅)` =∅'A` =A`. ② ACU=(A;U)'(A'U)` . . 따라서 디지털카메라를 갖고 있는 학생 수는 n(B)=n(A'B)-n(A)+n(A;B). . =31-25+8=14. ④. =A'U` =A'∅=A ③ ACB=(A;B)'(A'B)`. 0079. 등 번호가 2의 배수인 선수의 집합을 A, 등 번호가 3의. =(B;A)'(B'A)`. 배수인 선수의 집합을 B라 하면 등 번호가 6의 배수인 선수의. =BCA. 집합은 A;B이므로 02. 집합의 연산. 011.

(15) n(A` ;B``)=n((A'B)``). n(A'B)=25, n(A)=n(B), n(A;B)=3 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B). =n(U)-n(A'B). =n(A)+n(A)-n(A;B). =n(U)-{n(A)+n(B)-n(A;B)}. =2n(A)-n(A;B). =50-{19+25-n(A;B)} =n(A;B)+6. 에서 25=2n(A)-3. 이므로 n(A` ;B``)는 n(A;B)가 최대일 때 최대가 되고,. 2n(A)=28 ∴ n(A)=14. n(A;B)가 최소일 때 최소가 된다.. 따라서 등 번호가 2의 배수인 선수의 수는 14이다.. ⑤. ‌ 최대, 즉 A,B일 때 Ú n(A;B)가 n(A` ;B``)=n(A;B)+6=n(A)+6=19+6=25. 0080. 학생 전체의 집합을 U, A 볼펜을 구입해 본 학생의 집. ∴ M=25 ‌ 최소, 즉 n(A;B)=0일 때 Û n(A;B)가. 합을 A, B 볼펜을 구입해 본 학생의 집합을 B라 하면 n(U)=40, n(A;B)=12, n(A` ;B``)=10,. n(A` ;B``)=n(A;B)+6=6. n(B)=n(A)+4. ∴ m=6. n(A` ;B``)=n((A'B)``)=n(U)-n(A'B)에서. Ú, Û에서 M+m=31. n(A'B)=n(U)-n(A` ;B``)=40-10=30. 참고 n(A;B)는 n(A)<n(B)이므로 A,B, 즉 A'B=B일 때 최 대가 되고, n(A)+n(B)<n(U)이므로 A;B=∅일 때 최소가 된다.. n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =n(A)+{n(A)+4}-n(A;B). 0083. =2n(A)+4-n(A;B). 합을 B라 하면. 30=2n(A)+4-12. n(U)=28, n(A)=15, n(B)=22. 2n(A)=38 ∴ n(A)=19 따라서 A 볼펜을 구입해 본 학생 수는 19이다.. 19. 고궁만 견학한 적이 있는 학생의 집합은 B-A이고 n(B-A)=n(B)-n(A;B) 이므로 n(B-A)는 n(A;B)가 최소일 때 최대가 되고,. B,A일 때 n(A;B)가 최대이므로 M=n(B)=18. n(A;B)가 최대일 때 최소가 된다.. A'B=U일 때 n(A;B)가 최소이므로. ‌ 최소, 즉 A'B=U일 때 Ú n(A;B)가. n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)에서. n(A;B)의 최솟값을 m이라 하면. m=24+18-30=12 따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 차는 18-12=6. n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 . 6. 28=15+22-m ∴ m=9. 다른풀이. 따라서 n(B-A)의 최댓값은 ㉠에서 22-9=13. n(A;B)Én(A), n(A;B)Én(B)에서. ‌ 최대, 즉 A,B일 때 Û n(A;B)가. n(A;B)É24, n(A;B)É18. n(A;B)의 최댓값을 M이라 하면 M=n(A)=15. yy ㉠. 또, n(A'B)Én(U)에서. 따라서 n(B-A)의 최솟값은 ㉠에서 22-15=7 Ú, Û에서 구하는 최댓값은 13, 최솟값은 7이다.. n(A)+n(B)-n(A;B)Én(U). 최댓값: 13, 최솟값: 7. . 24+18-n(A;B)É30 ∴ n(A;B)¾12. yy ㉠. =22-n(A;B). n(A;B)의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하면. ∴ n(A;B)É18. 학급의 학생 전체의 집합을 U, 역사박물관을 견학한 적. 이 있는 학생의 집합을 A, 고궁을 견학한 적이 있는 학생의 집. 에서. 0081. ③. yy ㉡. ㉠, ㉡에서 12Én(A;B)É18 따라서 n(A;B)의 최댓값은 18, 최솟값은 12이므로 최댓값 본문 23~25쪽. 과 최솟값의 차는 18-12=6. 0084 AÁ={x|2ÉxÉ17} 0082. 동아리의 학생 전체의 집합을 U, 강아지를 좋아하는 학. 생의 집합을 A, 고양이를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면 n(U)=50, n(A)=19, n(B)=25 강아지와 고양이를 모두 좋아하지 않는 학생 수는. 012. 정답과 풀이. Aª={x|4ÉxÉ19} A£={x|6ÉxÉ21} ⋮ Ak={x|2kÉxÉ2k+15}.

(16) 이므로 AÁ;Aª;A£;`y`;Ak=∅이 성립하려면. 0088. AÁ;Ak=∅이어야 한다.. 조건 ㈏에서 2<B, 3<B 또는 3<B, 4<B. 즉, 오른쪽 그림과 같아야 하므로 2k>17 ∴ k>;;Á2¦;;. " . 따라서 자연수 k의 최솟값은 9이다.. 0085. Ú ‌2<B, 3<B, 4²B일 때. "² L. L

(17) Y. 9. 집합 A의 원소는 (nÛ`-7n+11)(nÛ`+3n+3) 꼴의 수. 이고, 집합 B의 원소는 100 이하의 소수이므로 집합 A;B의 원소는 (nÛ`-7n+11)(nÛ`+3n+3) 꼴의 수 중에서 100 이하 의 소수이다.. nÛ`-7n+11=1에서. 이므로 집합 B의 개수는 25-3=2Û`=4 Ü ‌2<B, 3<B, 4<B일 때 {1, 2, 3, 4},B,{1, 2, 3, 4, 5, 7}. ②. 집합 X는 집합 S의 부분집합. ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, S. ∴ n=2 또는 n=5. 를 원소로 가질 수 있다.. Ú n=2일 때, f(2)=1_(2Û`+3_2+3)=13. 조건 ㈎에서. Û n=5일 때, f(5)=1_(5Û`+3_5+3)=43. ∅<X이면 S<X. Ú, Û에서 13, 43은 모두 100 이하의 소수이므로. yy ㉠. {1}<X이면 {2, 3}<X. A;B={13, 43} ②. {2}<X이면 {1, 3}<X {3}<X이면 {1, 2}<X 이때 ㉠이면 조건 ㈏에서 {1}'{2, 3}=S<X이고, 조건 ㈎에. 집합 A;Bn의 모든 원소의 합이 10이 되려면. 서 S<X이면 ∅<X이므로 ㉠을 만족시키는 집합 X는. A;Bn={4, 6}이어야 하므로. {∅, {1}, {2, 3}, S}. 4<Bn, 6<Bn, 5²Bn, 8²Bn 즉, 자연수 n은 4와 6을 모두 약수로 갖고, 5와 8을 약수로 갖지 않는 수이므로 4와 6의 최소공배수인 12의 배수이면서 5의 배수 도 아니고 8의 배수도 아닌 수이다.. 이와 같은 방법으로 구하면 집합 X는 {∅, S}, {∅, {1}, {2, 3}, S}, {∅, {2}, {1, 3}, S}, {∅, {3}, {1, 2}, S}, {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, S}. 따라서 조건을 만족시키는 100 이하의 자연수 n은. 의 5개이다.. 2Û`_3=12, 2Û`_3_3=36, 2Û`_3_7=84. 5. Lecture. 이므로 모든 n의 값의 합은 132. A'B=A이므로 B,A. mx+1=x에서 (m-1)x=-1. {1, 3, 4},B,{1, 3, 4, 5, 7}. 0089. nÛ`-7n+10=0, (n-2)(n-5)=0. 0087. Û ‌2²B, 3<B, 4<B일 때. 4+4+4=12. 이어야 한다.. 12+36+84=132. 이므로 집합 B의 개수는 25-3=2Û`=4. Ú, Û, Ü에서 구하는 집합 B의 개수는. nÛ`-7n+11=1, nÛ`+3n+3=p (p는 소수). 0086. {1, 2, 3},B,{1, 2, 3, 5, 7}. 이므로 집합 B의 개수는 26-4=2Û`=4. 이때 nÛ`+3n+3이 1보다 큰 자연수이므로. ∴ n(A;B)=2. 조건 ㈎에서 1<B, 6²B, 8²B. yy ㉠. Ú ‌B=∅인 경우 ㉠의 해가 존재하지 않으므로 m=1. 집합 X={∅, {1}, {2}, {2, 3}, {1, 3}, S}인 경우 X의 두 원소 {1}, {2}에 대하여 {1}'{2}={1, 2}<X이어야 한다. 그런데 {1, 2}²X이므로 조건 ㈏를 만족시키지 않는다. 같은 방법으로 집합 {∅, {2}, {3}, {1, 3}, {1, 2}, S}, {∅, {1}, {3}, {2, 3}, {1, 2}, S} 도 집합 X가 될 수 없다.. 0090. Û ‌B+∅인 경우 -1<B 또는 2<B, 즉 ㉠의 해가 x=-1 또는 x=2이므. 집합 B의 원소는 50=2_5Û`과 서로소이므로 2의 배수. 도 아니고 5의 배수도 아니다.. 로 -(m-1)=-1 또는 2(m-1)=-1 . 이때 조건 ㈏에서 X;B=∅, 즉 X,B``이므로 집합 X의 모. ∴ m=2 또는 m=;2!;. 조건 ㈐에서 12=2Û`_3이므로 집합 X의 모든 원소는 2의 배수. 든 원소는 2의 배수이거나 5의 배수이어야 한다.. Ú, Û에서 m=;2!; 또는 m=1 또는 m=2. 도 아니고 3의 배수도 아니다. 따라서 집합 X의 모든 원소는 100 이하의 5의 배수 중에서 2의. 따라서 모든 실수 m의 값의 합은 ;2!;+1+2=;2&;. 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 자연수이므로 X의 원소가 될 수 ⑤. 있는 수는 5, 25, 35, 55, 65, 85, 95이다. 02. 집합의 연산. 013.

(18) Ú ‌a=2, b+2일 때. 이때 조건 ㈎에서 X+∅이므로 집합 X는 집합 {5, 25, 35, 55, 65, 85, 95}의 공집합이 아닌 부분집합이다.. A={2}, B={-1, b}이므로. 따라서 집합 X의 개수는. A'B={-1, 2, b}. 2à`-1=128-1=127. 127. 집합 A'B의 모든 원소의 합이 7이므로 -1+2+b=7 ∴ b=6. 0091. K(U)=1+2+3+4+5+6+7=28. ∴ a+b=8. A;B=∅, A'B=U이므로. Û ‌a=b, a+2, b+2일 때. K(A)+K(B)=K(U)=28. A={2, a}, B={-1, a}이므로. ∴ K(B)=28-K(A). A'B={-1, 2, a}. K(A)K(B)=K(A){28-K(A)}. 집합 A'B의 모든 원소의 합이 7이므로. =-{K(A)}Û`+28K(A). -1+2+a=7 ∴ a=6. =-{K(A)-14}Û`+196. ∴ a+b=12. 따라서 K(A)K(B)는 K(A)=14일 때 최댓값 196을 갖는 196. 다.. 0092. Ü ‌a+2, b=2일 때 A={2, a}, B={-1, 2}이므로 A'B={-1, 2, a}. n(A)=4이므로 A={xÁ, xª, x£, x¢}로 놓으면. 집합 A'B의 모든 원소의 합이 7이므로. xÁ+p xª+p x£+p x¢+p , , , B=[ ] 4 4 4 4. -1+2+a=7 ∴ a=6 ∴ a+b=8. 조건 ㈎에서 xÁ+xª+x£+x¢=36. yy ㉠. xÁ+p xª+p x£+p x¢+p + + + =12 4 4 4 4 ∴ xÁ+xª+x£+x¢+4p=48. yy ㉡. Ú, Û, Ü에서 a+b의 최댓값은 12이다.. ④. 0094 ACB=(A'B);(A;B)` =(A'B)-(A;B). ㉠을 ㉡에 대입하면. n(ACB). 36+4p=48 ∴ p=3. =n((A'B)-(A;B)). 조건 ㈏에서 2<A, 5<A이므로 xÁ=2, xª=5라 하면. =n(A-B)+n(B-A). x£+3 x¢+3 , B=[;4%;, 2, ] 4 4. ={n(A)-n(A;B)}+{n(B)-n(A;B)}. x£+3 이때 5<B이므로 =5라 하면 x£=17 4. 이때 n(ACB)=3, n(A)=2이므로. xÁ=2, xª=5, x£=17을 ㉠에 대입하면. 3=2+n(B)-2n(A;B). 2+5+17+x¢=36 ∴ x¢=12. ∴ n(B)=2n(A;B)+1. 즉, A={2, 5, 12, 17}, B=[;4%;, 2, ;;Á4°;;, 5]이므로. 이때 n(A;B)Én(A)=2이므로 n(A;B)의 값은 0 또는 1 또는 2이다.. A;(A` 'B``)=A;(A;B)` =A-(A;B). Ú ‌n(A;B)=0일 때. =n(A)+n(B)-2n(A;B). ={12, 17}. {1, 2};B=∅이고, ㉠에서 n(B)=1이므로 집합 B는 3,. 따라서 집합 A;(A` 'B``)의 모든 원소의 곱은 12_17=204. 0093. 4, 5, 6 중 하나를 원소로 갖는 집합이다. 204. xÛ`-(2+a)x+2a=0에서. (x-a)(x-2)=0 ∴ x=a 또는 x=2 ∴ A={2, a} xÛ`-(b-1)x-b=0에서 (x+1)(x-b)=0 ∴ x=-1 또는 x=b ∴ B={-1, b}. 따라서 집합 B의 개수는 4이다. Û ‌n(A;B)=1일 때 {1, 2};B={1} 또는 {1, 2};B={2}이고, ㉠에서 n(B)=3이므로 집합 B는 1 또는 2를 원소로 갖고, 3, 4, 5, 6 중에서 서로 다른 두 수를 원소로 갖는 집합이다. 이때 3, 4, 5, 6 중 서로 다른 두 수를 원소로 갖는 집합의 수 는 네 수 중 순서를 생각하지 않고 2개의 수를 선택하는 경 4_3 =6 2_1. 이때 A'B의 원소가 될 수 있는 것은 -1, 2, a, b이고, a>0,. 우의 수와 같으므로. b>0에서 a+-1, b+-1이므로 n(A'B)=3인 경우는 다. 따라서 집합 B의 개수는 . 음과 같다.. 2_6=12. 014. 정답과 풀이. yy ㉠.

(19) Ü ‌n(A;B)=2일 때 . 오른쪽 벤다이어그램과 같이 집합 A;B. {1, 2};B={1, 2}이고, ㉠에서 n(B)=5이므로 집합 B. 에 1, 9가 모두 속할 때, 집합 A의 원소의. 는 1과 2를 모두 원소로 갖고, 3, 4, 5, 6 중에서 서로 다른. 개수가 최대가 된다.. 세 수를 원소로 갖는 집합이다.. 따라서 A={1, 3, 5, 7, 9}이므로 집합. 이때 3, 4, 5, 6 중 서로 다른 세 수를 원소로 갖는 집합의 수. A의 모든 원소의 합은. 는 네 수 중 순서를 생각하지 않고 3개의 수를 선택하는 경. 1+3+5+7+9=25. 우의 수와 같으므로. 4_3_2_1 =4 3_2_1. 0098. 따라서 집합 B의 개수는 4이다.. 6 ". # . . 25. A`;B``=(A'B)``={6}이므로. A'B={1, 2, 3, 4, 5}. Ú, Û, Ü에서 구하는 집합 B의 개수는. S(A)+S(B)=S(A'B)+S(A;B). 4+12+4=20. 20. =(1+2+3+4+5)+1 yy ㉠. =16. 0095. 전체집합을 U, . 6 ". n(A;B;C)=x, .

(20) Y. n((B;C)-A)=y라 하고 주어진. Y. 조건을 만족시키도록 벤다이어그램의. . 각 영역에 속하는 원소의 개수를 써. ㉠과 S(A)=S(B)+2를 연립하여 풀면. Y. Y. #. S(A)=9, S(B)=7. Z. ∴ {S(A)}Û`+{S(B)}Û`=9Û`+7Û`=130. 0099. Z $. 넣으면 오른쪽 그림과 같다.. n(A;C)=9,. " Y. n(A;B;C)=6이므로. Y. n((A;B)-C)=x,. ∴ n(A'B'C) ‌. n((B;C)-A)=y. =(3+x)+(12-x)+(15-x)+x +(38-y)+y+(27-y). . ①. Z. Z. Z. #. 라 하고 주어진 조건을 만족시키도록 벤다. $. 이어그램의 각 영역에 속하는 원소의 개수. =95-y. 를 써넣으면 오른쪽 그림과 같다.. 이때. 이때 x¾0, 6-x¾0, y¾0, 11-y¾0이므로. n(A'B'C)=n(U)-n((A'B'C)``) =n(U)-n(A`;B`;C``). 0ÉxÉ6, 0ÉyÉ11. . 색칠한 부분의 원소의 개수는. =100-10=90. n((A'C)-B)=(6-x)+3+(11-y)=20-x-y. 이므로 95-y=90 ∴ y=5 또한, x¾0, 12-x¾0, 15-x¾0이므로 0ÉxÉ12. 따라서 x, y가 모두 최대일 때 색칠한 부분의 원소의 개수가 최. 수업을 2개 이상 신청한 주민의 수는. 소가 되므로 원소의 개수의 최솟값은 20-6-11=3. (12-x)+x+(15-x)+5=32-x 이므로 주민의 수의 최솟값은 x=12일 때 20이다.. 0096. 20. 100 이하의 자연수 전체의 집합을 U, 4의 배수의 집합. 을 A, 6으로 나누었을 때 나머지가 2인 자연수의 집합을 B라. 조건 ㈎에서 A,X. 하면 A={4, 8, 12, y, 100}, B={2, 8, 14, y, 98}이므로. B-A={3, 5, 6}이므로 조건 ㈏에서. A;B={8, 20, 32, y, 92}. 3<X, 6<X, 5²X 따라서 집합 X는 1, 2, 3, 4, 6을 반드시 원소로 갖고 5는 원소 로 갖지 않는 집합이다.. 따라서 4의 배수도 아니고, 6으로 나누었을 때의 나머지가 2도 n(A` ;B``)=n((A'B)``). 2k-5-1=32, 2k-6=2Þ` k-6=5 ∴ k=11. ∴ n(U)=100, n(A)=25, n(B)=17, n(A;B)=8 아닌 자연수의 개수는. 이때 n(U)=k이고 집합 X의 개수가 32이므로. 0097. 0100. 3. . =n(U)-n(A'B) . 11. =n(U)-{n(A)+n(B)-n(A;B)} =100-(25+17-8)=66. ⑤. B-A={2, 4, 6, 8, 10}이고. (A'B);B``=(A;B``)'(B;B``). 0101. 영화 A, B, C를 시청한 학생들의 집합을 각각 A, B,. =(A;B``)'∅. . C라 하면. =A;B` =A-B. . 조건 ㈎에서. ={3, 5, 7}. n(A;B)=22, n(B;C)=16, n(C;A)=12 02. 집합의 연산. 015.

(21) 조건 ㈏에서. 이때 조건 ㈐에서 집합 P의 모든 원소의 합이 28이므로 집합. n(A'B)=48, n(B'C)=52, n(C'A)=46. P-A의 모든 원소의 합은 28-7=21 이상 28-3=25 이하. 이므로. 이다.. yy ㉠. n(A)+n(B)=n(A'B)+n(A;B)=48+22=70. 조건 ㈏에서 P,B이고, B-A={5, 6, 7, 8}이므로 집합 P. n(B)+n(C)=n(B'C)+n(B;C)=52+16=68. 는 B-A의 원소 중에서 합이 21 이상 25 이하인 수들을 원소. n(C)+n(A)=n(C'A)+n(C;A)=46+12=58. 로 가져야 한다.. 위의 세 식에서. Ú ‌5, 6, 7, 8이 모두 P의 원소인 경우. 2{n(A)+n(B)+n(C)}=70+68+58=196. 5+6+7+8=26>25이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. Û ‌5, 6, 7, 8 중 세 수가 P의 원소인 경우. ∴ n(A)+n(B)+n(C)=98 ∴ n(A)={n(A)+n(B)+n(C)}-{n(B)+n(C)}. 5+6+7=18<21, 5+6+8=19<21, . =98-68=30. 5+7+8=20<21, 6+7+8=21. 따라서 영화 A를 시청한 학생 수는 30이다.. 30. 이므로 ㉠을 만족시키는 세 수는 6, 7, 8뿐이다. 이때 조건 ㈐에서 P의 모든 원소의 합이 28이므로 P={3, 4, 6, 7, 8} Ü 5, ‌ 6, 7, 8 중 두 수가 P의 원소인 경우. 본문 26~27쪽. 7+8=15<21이므로 ㉠을 만족시키는 경우는 없다. Ú, Û, Ü에서 P={3, 4, 6, 7, 8}이므로. 0102. P-A={6, 7, 8}. 집합 A;C는 원 xÛ`+yÛ`=72와 직선 x+y=n의 교점의 좌표의 집 합임을 이용한다.. 6_7_8=336. 336. Z. 집합 (A;C)'(B;C), 즉 (A'B);C의 원소의 개수가 . 따라서 집합 P-A의 모든 원소의 곱은. 0104. Y

(22) Z . 2가 되려면 직선 x+y=n이 원 xÛ`+yÛ`=72와 서로 다른 두 점에서. 0. 만나고, 원 xÛ`+yÛ`=8과는 만나지 않. Y

(23) Z . Y Y

(24) ZO. 집합 An에서 0Ém<n이므로 집합 An의 원소 m은 n보다 작은 자 연수 중 n과 서로소인 자연수임을 이용한다.. ㄱ. A ‌ 10의 원소는 10보다 작은 자연수 중 10과 서로소인 수이. 아야 한다.. 다. 즉, A10={1, 3, 7, 9}이므로 집합 A10의 모든 원소의. Ú 원 ‌ xÛ`+yÛ`=72와 직선 x+y=n이 서로 다른 두 점에서 만. 합은 . 날때 . 1+3+7+9=20. 원의 중심 O(0, 0)과 직선 x+y=n, 즉 x+y-n=0 사 이의 거리가 원의 반지름의 길이 6'2보다 작으므로 . 이때 A¤의 원소는 6보다 작은 자연수 중 6과 서로소인 수이. |-n| n = <6'2 ∴ n<12 '2 "Ã1Û`+1Û` Û 원 ‌ xÛ`+yÛ`=8과 직선 x+y=n이 만나지 않을 때 . 고, A£의 원소는 3보다 작은 자연수 중 3과 서로소인 수이므 로 A¤={1, 5}, A£={1, 2}. 원의 중심 O(0, 0)과 직선 x+y=n, 즉 x+y-n=0 사 이의 거리가 원의 반지름의 길이 2'2보다 크므로 |-n| n = >2'2 ∴ n>4 '2 "Ã1Û`+1Û` Ú, Û에서 4<n<12이므로 자연수 n은 5, 6, 7, y, 11의 7 개이다.. ㄴ. p=6, ‌ q=3이면 p는 q의 배수이다.. ④. ∴ A¤-A£={5}+∅ ㄷ. p=3, ‌ q=4이면 p, q는 서로소이고 p<q이다. 이때 ㄴ에서 A£={1, 2}이고, A¢의 원소는 4보다 작은 자연 수 중 4와 서로소인 수이므로 A¢={1, 3} ∴ A£;A¢={1}+A£ 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.. ①. 0103. 0105. 조건 ㈐를 이용할 수 있도록 조건 ㈎에서 집합 P;A의 원소의 합의 최댓값과 최솟값을 조사한다.. 두 집합 An, Bn의 조건인 이차부등식을 풀어 n의 값의 범위에 따라 f(n)을 구해 본다.. 조건 ㈎에서 n(P;A)=2이므로 집합 P;A의 모든 원소의. xÛ`-nÛ`x¾0에서. 합의 최댓값은 P;A={3, 4}일 때 3+4=7, 최솟값은 . x(x-nÛ`)¾0 ∴ xÉ0 또는 x¾nÛ`. P;A={1, 2}일 때 1+2=3이다.. ∴ An={x|xÉ0 또는 x¾nÛ`}. 016. 정답과 풀이.

(25) (x-3n)(x-3n-10)É0에서. 한편, 조건 ㈎에서. 3nÉxÉ3n+10 ∴ Bn={x|3nÉxÉ3n+10}. n(Y)=n(X'Y)-n(X)+n(X;Y)=17-11+1=7. Ú ‌nÛ`É3n일 때. n(Y-X)=n(Y)-n(X;Y)=7-1=6. n(n-3)É0, 0ÉnÉ3. 이므로 집합 Y는 1, 2, 3, y, 10 중 6개와 11, 12, 13, y, 21. ∴ 1ÉnÉ3 (∵ n은 자연수). 중 1개를 원소로 가져야 한다.. 이때 An;Bn={x|3nÉxÉ3n+10}이므로. 즉, S(Y)의 값이 최소가 되려면. f(n)=3n. Y={1, 2, 3, 4, 5, 6, 11}. Û ‌3n<nÛ`É3n+10일 때. 이어야 하므로 S(Y)의 최솟값은. 3n<nÛ`에서 n(n-3)>0. 1+2+3+4+5+6+11=32. n<0 또는 n>3. 따라서 S(X)-S(Y)의 최댓값은 yy ㉠. ∴ n>3 (∵ n은 자연수). 176-32=144. ②. 또, nÛ`É3n+10에서 nÛ`-3n-10É0 (n+2)(n-5)É0, -2ÉnÉ5 ∴ 1ÉnÉ5 (∵ n은 자연수). yy ㉡. 0107 학생 전체의 수를 k라 하고 조건에 맞게 식을 세운다.. ㉠, ㉡에서 3<nÉ5 이때 An;Bn={x|nÛ`ÉxÉ3n+10}이므로. 학생 전체의 집합을 U, 체험활동 A, B, C를 신청한 학생의 집. f(n)=nÛ`. 합을 각각 A, B, C라 하고 전체 학생 수를 k라 하면 n(U)=k, n(A)=;3@;k, n(B)=;2!;k, n(C)=;3!;k,. Ü ‌nÛ`>3n+10일 때 nÛ`-3n-10>0, (n+2)(n-5)>0. n(A;B;C)=;1Á0;k. n<-2 또는 n>5 ∴ n>5 (∵ n은 자연수). 이때 체험활동을 1개만 신청한 학생이 전체의 ;5@;, 즉 ;5@;k명이므로. 이때 An;Bn=∅이므로 f(n)=0. n(A'B'C)-n(A;B)-n(B;C)-n(C;A). ( 3n (1ÉnÉ3). Ú, Û, Ü에서 f(n)={ nÛ` (3<nÉ5) 9 0 (n>5). 또,. ∴ ‌f(1)+f(2)+f(3)+`y`+f(100). n(A'B'C). =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) =3+6+9+16+25=59. =n(A)+n(B)+n(C) ②. -{n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)}+n(A;B;C) 이므로 위의 식을 ㉠에 대입하여 정리하면. 0106 S(X)-S(Y)가 최대가 되는 것은 S(X)의 값이 최대이고 S(Y) 의 값이 최소일 때임을 이용하여 두 집합 X, Y를 구해 본다.. S(X)-S(Y)는 S(X)의 값이 최대이고 S(Y)의 값이 최소 일 때 최댓값을 갖는다. 조건 ㈏에서 k<X일 때, k를 제외한 k의 약수와 배수는 집합 X의 원소가 아니다. 11, 12, 13, y, 21은 서로 나누어떨어지지 않으므로 S(X)의 값이 최대이려면 집합 X는 11, 12, 13, y, 21을 모두 원소로 가져야 한다. 이때 1, 3, 7은 21의 약수, 2, 4, 5, 10은 20의 약수, 6, 9는 18 의 약수, 8은 16의 약수이므로 1, 2, 3, y, 10은 집합 X의 원 소가 될 수 없다. 즉, S(X)의 값이 최대가 되려면 X={11, 12, 13, y, 21}. +2n(A;B;C)=;5@;k yy ㉠. . n(X)=11. 이어야 하므로 S(X)의 최댓값은 11+12+13+`y`+21=176. ;3@;k+;2!;k+;3!;k-2{n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)} +3_;1Á0;k=;5@;k -2{n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)}=-;5&;k ∴ n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)=;1¦0;k ㉠에서 n(A'B'C)-;1¦0;k+2_;1Á0;k=;5@;k ∴ n(A'B'C)=;1»0;k ∴ n(A` ;B` ;C``)=n(U)-n(A'B'C) =k-;1»0;k=;1Á0;k 이때 n(A` ;B` ;C``)=18이므로 ;1Á0;k=18 ∴ k=180 따라서 체험활동을 2개만 신청한 학생의 수는 n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)-3n(A;B;C) =;1¦0;k-3_;1Á0;k=;1¢0;k=;1¢0;_180=72 02. 집합의 연산. 72. 017.

(26) Ⅰ. 집합과 명제. 03. ㄷ. ‌xÛ`¾0, yÛ`¾0이므로 xÛ`+yÛ`=0이면 xÛ`=yÛ`=0 즉, x=y=0이므로 xy=0이다.. 명제. 따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄷ이다.. 본문 30~36쪽. 0113. ④. ③ [반례] x='3, y=-'3이면 x+y=0은 유리수이. 지만 x, y는 모두 무리수이다.. 0108. ④ x=0이면 |x|=0이다.. ① 거짓인 명제이다.. ② ‌x의 값이 정해져 있지 않으므로 참, 거짓을 판별할 수 없다. 즉, 명제가 아니다.. ⑤ xÛ`+x+1={x+;2!;}2`+;4#;>0. 따라서 거짓인 명제는 ③이다.. ③, ④ 참인 명제이다.. ③. ⑤ ‘크다’의 기준이 명확하지 않으므로 명제가 아니다. 따라서 명제가 아닌 것은 ②, ⑤이다.. ②, ⑤. 0114. 명제 ‘~q이면 p이다.’가 거짓임을 보이려면 집합 Q` 의. 원소 중에서 집합 P의 원소가 아닌 것을 찾으면 된다.. 0109. 따라서 구하는 집합은. ‘(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`=0’의 부정은. Q` ;P` =(P'Q)`. ‘(a-b)Û`+(b-c)Û`+(c-a)Û`+0’이므로. ④. (a-b)Û`+0 또는 (b-c)Û`+0 또는 (c-a)Û`+0 ∴ a+b 또는 b+c 또는 c+a 즉, a, b, c 중에 서로 다른 것이 적어도 하나 있다.. 0110. ⑤. 0115. 주어진 명제의 부정은. ‘모든 실수 x에 대하여 3xÛ`-kx+k¾0이다.’ 이다.. U={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. ㉠이 참이 되어야 하므로 이차방정식 3xÛ`-kx+k=0의 판별식. xÜ`+2xÛ`+x=0에서 x(x+1)Û`=0. 을 D라 하면. ∴ x=-1 또는 x=0. D=(-k)Û`-4_3kÉ0. 조건 p의 진리집합을 P라 하면 P={-1, 0}. kÛ`-12kÉ0, k(k-12)É0. xÛ`+2x=0에서 x(x+2)=0. ∴ 0ÉkÉ12. ∴ x=-2 또는 x=0. 따라서 자연수 k의 최솟값은 1이다.. 조건 q의 진리집합을 Q라 하면 Q={-2, 0} P'Q={-2, -1, 0}이므로 P` ;Q` =(P'Q)` ={-3, 1, 2, 3} 따라서 구하는 진리집합의 원소의 개수는 4이다.. 1. 개념 Plus. 이때 조건 ‘~p 그리고 ~q’의 진리집합은 P` ;Q` 이고,. 0111. yy ㉠. 4. ① [반례] 2는 소수이지만 2Û`=4는 짝수이다.. 이차부등식이 항상 성립할 조건 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때, 모든 실수 x에 대하여 ⑴ axÛ`+bx+c>0 ⇨ a>0, D<0 ⑵ axÛ`+bx+c¾0 ⇨ a>0, DÉ0 ⑶ axÛ`+bx+c<0 ⇨ a<0, D<0 ⑷ axÛ`+bx+cÉ0 ⇨ a<0, DÉ0. ② ‌[반례] x=1, y=-1이면 x+y=0이지만 x+0, y+0이다. ③ ‌[반례] ∠A=∠C+∠B이면 삼각형 ABC는 이등변삼각형이 지만 ∠A+∠B이다. ④ ‌6의 양의 약수는 1, 2, 3, 6이고 12의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이므로 6의 양의 약수이면 12의 양의 약수이다.. ㄱ. [반례] x=-3, y=-2이면 x<y이지만. xÛ`=9, yÛ`=4이므로 xÛ`>yÛ`이다.. ㄴ. ‌|x|<2에서 -2<x<2 즉, -2<x<2이면 x<2이다.. 018. 정답과 풀이. ② QøR ‌ ` 이므로 명제 q 23Ú`~r는 거짓이다.. ③ RøP` 이므로 명제 r 23Ú`~p는 거짓이다.. ⑤ PøR에서 R` øP` 이므로 명제 ~r 23Ú`~p는 거짓이다.. xÛ`=('2-1)Û`=3-2'2도 무리수이다.. 0112. ① PøQ이므로 명제 p 23Ú`q는 거짓이다.. ④ R,Q에서 Q` ,R` 이므로 명제 ~q 23Ú`~r는 참이다.. ⑤ ‌[반례] x='2-1이면 x는 무리수이고, 따라서 명제 중 참인 것은 ④이다.. 0116. ④. 따라서 항상 참인 것은 ④이다.. 0117. ④. ㄱ. P;Q=P에서 P,Q이므로 명제 p 2! 3Ú`q는 참이다.. ㄴ. R` 'Q=(R;Q` )` =U이므로 R;Q` =∅ ∴ R-Q=∅. 즉, R,Q이므로 명제 r 23Ú`q는 참이다..

(27) ㄷ. 오른쪽 그림과 같이 P;R+∅일 때,. 6. PøR` 이므로 명제 p 23Ú`~r는 거. ③ 명제: [반례] x=1, y=1이면 |x-y|=y-x=0이지만 . 2 1. x=y이다.. 3. 짓이다.. 주어진 명제가 거짓이므로 그 대우도 거짓이다.. ④ 대우: x=3이면 xÛ`=9이다. (참). 따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ이다. . ③. ⑤ 명제: xy가 홀수이면 x, y는 모두 홀수이고, xÛ`, yÛ`도 모두 홀수이므로 xÛ`+yÛ`은 짝수이다. (참). 0118. |x-2|<2에서 -2<x-2<2. 따라서 대우가 거짓인 명제는 ③이다.. ∴ 0<x<4 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면. 0122. P={x|0<x<4}, Q={x|5-k<x<k} 명제 p 23Ú`q가 참이 되려면. L. 에서. . L Y. . 따라서 실수 k의 최솟값은 5이다.. ②. Q={x|xÉ-5 또는 -3ÉxÉ2} R={x|xÉb}. 2 1. (참). B . 주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다.. ㄴ. 역: |x|É3이면 xÛ`-3x+2É0이다. (거짓). [반례] x=0이면 |x|É3이지만 xÛ`-3x+2=2>0이다.. |x|É3에서 -3ÉxÉ3. 즉, xÛ`-3x+2É0이면 |x|É3이다. (참). 주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다.. ㄷ. 역: 두 자연수 x, y에 대하여 x+y가 짝수이면 x, y가 모두. 2 . C Y. Q,R. 또, 주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다.. ㄹ. 역: 두 집합 A, B에 대하여 A=B이면 A-B=∅이다. (참). M=-5, m=2 -7. ㄱ. 역: x, y가 모두 무리수이면 x+y는 무리수이다. (거짓). . [반례] x=3, y=5이면 x+y=8은 짝수이지만 x, y는 모두. 따라서 a의 최댓값은 -5, b의 최솟값은 2이므로 ∴ M-m=-7. 짝수이다. (거짓) 홀수이다.. 이어야 하므로 위의 그림에서 aÉ-5, b¾2. 0120. . ∴ 1ÉxÉ2. P={x|xÉa}. 명제 q 23Ú`r가 참이 되려면. 명제: x>0이고 y>0이면 xy>0이므로 |xy|=xy이다. . 명제: xÛ`-3x+2É0에서 (x-1)(x-2)É0 . 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면. P,Q. ∴ k¾5. 3. ㄱ. 역: |xy|=xy이면 x>0이고 y>0이다. (거짓). y<0이다.. 5-kÉ0, 4Ék. 명제 p 23Ú`q가 참이 되려면 . [반례] x='2, y=-'2이면 x, y는 모두 무리수이지만 . 명제: [반례] A={1, 2}, B={1, 2, 3}이면 A-B=∅이지만 A+B이다.. 주어진 명제가 거짓이므로 그 대우도 거짓이다.. 따라서 역은 거짓이고 대우는 참인 명제는 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 3개이다.. ㄴ. 역: xÛ`=yÛ`이면 xÜ`=yÜ`이다. (거짓). 3. . 0123. x+y=0은 유리수이다.. 주어진 명제가 참이 되려면 그 대우. ‘x-a=0이면 xÛ`-6x+8=0이다.’. [반례] x=1, y=-1이면 xÛ`=yÛ`=1이지만 xÜ`=1, . 가 참이 되어야 한다.. yÜ`=-1이므로 xÜ`+yÜ`이다.. xÛ`-6x+8=0에 x=a를 대입하면. ㄷ. 역: x>1이면 xÛ`>1이다. (참). aÛ`-6a+8=0, (a-2)(a-4)=0. 따라서 역이 참인 명제는 ㄷ뿐이다.. ③. [반례] x=-1, y=-3이면 |xy|=xy=3이지만 x<0,. 2 1. P,Q이어야 하므로 오른쪽 그림. 0119. 주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다.. ③. ∴ a=2 또는 a=4 따라서 모든 실수 a의 값의 합은. 0121. ① 명제: x<y<0이면 xy>0이므로 x<y<0의 각. 2+4=6. 변을 xy로 나누면 ;]!;<;[!;<0이다. (참). 0124. 주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다.. 참이 되어야 한다.. 명제 p 23Ú`q가 참이 되려면 그 대우 ~q 23Ú`~p가. ② 명제: x¾1이고 y¾1이면 x+y¾2이다. (참). p: |x-a|¾5에서 ~p:`|x-a|<5. -5<x-a<5 ∴ a-5<x<a+5. 주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다.. ⑤. 03. 명제. 019.

(28) 0128. q: |x-3|¾4에서 ~q:`|x-3|<4 -4<x-3<4 ∴ -1<x<7. ① [ 23Ú의 반례] x='2, y=-1이면 x+y'2=0이. 지만 x+0, y+0이다.. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면. x=y=0이면 x+y'2=0이므로 q`jjK`p. P` ={x|a-5<x<a+5}, Q` ={x|-1<x<7} 명제 ~q 23Ú`~p가 참이 되려. 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.. ② ‌A'B=A HjK B,A HjK A` ,B`. 1a 2aa. 면 Q` ,P` 이어야 하므로 오른. B . 쪽 그림에서. B

(29) Y. . . 따라서 p는 q이기 위한 필요충분조건이다.. ③ [ 23Ú의 반례] 오른쪽 그림에서 ∠A=60ù이 지만 삼각형 ABC는 정삼각형이 아니다.. a-5É-1, 7Éa+5 ∴ 2ÉaÉ4 따라서 정수 a는 2, 3, 4의 3개이다.. 므로 q`jjK`p. p: |x-a|¾5에서 x-aÉ-5 또는 x-a¾5. 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다.. q: |x-3|¾4에서 x-3É-4 또는 x-3¾4. ± #. . x>1이면 |x|>1이므로 q`jjK`p. ∴ xÉ-1 또는 x¾7. 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이다. ⑤ xÛ`+yÛ`=0이면 xÛ`¾0, yÛ`¾0에서 xÛ`=yÛ`=0이므로 . 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|xÉa-5 또는 x¾a+5},. x=y=0이다. 즉, xy=0이므로 p`jjK`q. [ Û23 의 반례] x=1, y=0이면 xy=0이지만 . Q={x|xÉ-1 또는 x¾7}. 른쪽 그림에서. ". . ④ [ 23Ú의 반례] x=-2이면 |x|=2>1이지만 x<1이다.. ∴ xÉa-5 또는 x¾a+5. 면 P,Q이어야 하므로 오. ±. . 삼각형 ABC가 정삼각형이면 ∠A=60ù이. 3. 다른풀이. 명제 p 23Ú`q가 참이 되려. $. 2. 1. B . 2 . B

(30) . xÛ`+yÛ`=1+0. 1 Y. a-5É-1, 7Éa+5 ∴ 2ÉaÉ4. 따라서 p는 q이기 위한 충분조건이다. 따라서 p가 q이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것은 ⑤이다.. ⑤. 따라서 정수 a는 2, 3, 4의 3개이다.. 0125. 두 명제 p 23Ú`r, q 23Ú`~r가 모두 참이므로 각각의. 대우 ~r 2! 3Ú`~p, r 23Ú`~q도 모두 참이다.. 또, 두 명제 p 23Ú`r, r 23Ú`~q가 모두 참이므로 명제 . p 2! 3Ú`~q가 참이고, 그 대우 q 23Ú`~p도 참이다. 따라서 항상 참인 명제는 ②이다.. 0129. ②. ㄱ. xÛ`+xy+yÛ`=0이면. xÛ`+xy+yÛ`={x+;2};}2`+;4#; yÛ`¾0이므로. {x+;2};}2`=0, ;4#; yÛ`=0, 즉 x=y=0이므로 p`jjK`q x=y=0이면 xÛ`+xy+yÛ`=0이므로 q`jjK`p. ㄴ. x>1, y>1이면 xy>1에서 xy+1>2이므로 p`jjK`q. 0126. [ Û23 의 반례] x=-1, y=-2이면 xy+1=3>2이지만. 명제 ~s 2! 3Ú`r가 참이므로 그 대우 ~r 2! 3Ú`s도 참이다.. 두 명제 ~p 23Ú`q, ~r 2! 3Ú`s가 참이므로 명제 ~p 2! 3Ú`s가. x<1, y<1이다.. 참이 되려면 명제 q 23Ú`~r가 참이어야 한다.. ㄷ. x, y는 실수이므로. 제 ~p 23Ú`s가 참임을 보이기 위해 필요한 참인 명제는. 따라서 p가 q이기 위한 필요충분조건인 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 또, 명제 q 23Ú`~r가 참이면 그 대우 r 23Ú`~q도 참이므로 명. ③ r 23Ú`~q이다.. 0127. ③. |xÛ`|=|yÛ`| HjK xÛ`=yÛ` HjK |x|=|y|. . ㄱ, ㄷ. 0130. 세 조건 p, q, r를. p는 r이기 위한 필요조건이므로 r jjK p,. ~q는 r이기 위한 충분조건이므로 ~q jjK r. p: 1급수 물이다., q: 마실 수 있는 물이다.. ㄱ. r jjK p이므로 ~p jjK ~r. r: 산천어가 사는 물이다.. 즉, ~r는 ~p이기 위한 필요조건이다.. 로 놓으면. 두 명제 p 23Ú`q, r 23Ú`p가 모두 참이므로 각각의 대우. ㄴ. ~q jjK r이므로 ~r jjK q. 또, 두 명제 r 23Ú`p, p 23Ú`q가 모두 참이므로 명제 r 23Ú`q. ㄷ. ~q jjK r, r jjK p에서 ~q jjK p이므로 ~p jjK q. 따라서 참인 명제는 ㄴ뿐이다.. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.. ~q 23Ú`~p, ~p 23Ú`~r도 모두 참이다.. 도 참이고, 그 대우 ~q 23Ú`~r도 참이다.. 020. 정답과 풀이. ②. 즉, q는 ~r이기 위한 필요조건이다.. 즉, ~p는 q이기 위한 충분조건이다.. ⑤.

(31) 0131. p는 r이기 위한 필요조건이므로 r jjK p. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면. p는 q이기 위한 필요조건이므로 q jjK p. P={x|xÉ-2 또는 x¾5}. s는 r이기 위한 충분조건이므로 s jjK r. Q={x|8-a<x<8+a}. 즉, q jjK p jjK s. Q,P이어야 하고, 오른쪽 그림에서. p는 s이기 위한 충분조건이므로 p jjK s Kj. Kj j. p가 q이기 위한 필요조건이므로. j. . 5É8-a ∴ aÉ3. r. 따라서 서로 필요충분조건인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ의 3개이다.. 0132. 3. 1 2. . B

(32) B Y. 따라서 자연수 a는 1, 2, 3의 3개이다.. 0136. q는 r이기 위한 충분조건이므로 Q,R. 1. ②. 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면. P={x|-1<xÉ5}, Q={x|-2ÉxÉa},. p는 ~q이기 위한 필요조건이므로 Q` ,P. R={x|x¾b}. ① Q` ,P에서 P` ,Q이고 Q,R이므로 P` ,R. p는 q이기 위한 충분조건이므로 P,Q. ② Q` ,P이므로 P;Q` =Q` . r는 q이기 위한 필요조건이므로 Q,R. ③ Q,R이므로 R` ,Q`. 즉, P,Q,R이므로 오른쪽 그. ④ Q ‌ ` ,P이고, P` ,R(∵ ①)에서 R` ,P이므로. 3 2 1. 림에서. (Q` ;R``),P. bÉ-2, a¾5. ⑤ P` ,Q이므로 P` ;Q=P` 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.. ②. 따라서 a의 최솟값은 5, b의 최. B Y. C . 댓값은 -2이므로 a-b의 최솟값은 5-(-2)=7. 0133. 7. (P-Q``)'(R-Q)=∅이므로. P-Q` =∅, R-Q=∅. 0137. ∴ P;Q=∅, R,Q 즉, 세 집합 P, Q, R 사이의 포함 관계를. 6. 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림. 1. 주어진 명제의 대우는 ‘n이 3의 배수가 아니면 nÛ`도 3의. 배수가 아니다.’이다. 2 3. n이 3의 배수가 아니라고 하면. 과 같다.. n=3k+1 또는 n= 3k+2 (k=0, 1, 2, y). ② R,Q이므로 ‌ q는 r이기 위한 필요조. 이다. Ú n=3k+1일 때. 건이다. ④ R,P` 이므로 ~p는 r이기 위한 필요조건이다. 따라서 항상 옳은 것은 ②이다.. nÛ`=(3k+1)Û`=9kÛ`+6k+1 =3(3kÛ`+2k)+ 1. ②. Û n= 3k+2 일 때. 0134. p가 q이기 위한 충분조건이므로 명제 ‘3xÛ`+5x-2+0. nÛ`=(3k+2)Û`=9kÛ`+12k+4 =3(3kÛ`+4k+1)+ 1. 이면 3x-a+0이다.’가 참이다. 즉, 그 대우 ‘3x-a=0이면 3xÛ`+5x-2=0이다.’도 참이다.. Ú, Û에서 nÛ`은 3으로 나누면 나머지가 1인 자연수이므로 3의. 3x-a=0에서 x=;3A;이므로 3xÛ`+5x-2=0에 x=;3A; 를 대입. 배수가 아니다.. 하면. 3{;3A;}2`+5{;3A;}-2=0, aÛ`+5a-6=0. 따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다. . (a+6)(a-1)=0 . 0138. ∴ a=-6 또는 a=1 따라서 모든 실수 a의 값의 곱은 -6이다.. 0135. (x-5)(x+2)¾0에서 xÉ-2 또는 x¾5. -6. ㈎ 3k+2, ㈏ 1, ㈐ 1. b+0이라 가정하면 a+b'2=0에서 '2=-;bA;. 이때 a, b가 유리수이므로 -;bA;, 즉 '2는 유리수이다.. 이것은 '2가 무리수라는 사실에 모순이므로 b=0이다.. b=0을 등식 a+b'2=0에 대입하면 a=0이다.. |x-8|<a에서 -a<x-8<a (∵ a는 자연수). 따라서 유리수 a, b에 대하여 a+b'2=0이면 a=b=0이다.. ∴ 8-a<x<8+a. . 풀이 참조 03. 명제. 021.

(33) 0139. {"Ã2(a+b)}Û`-('a+'b)Û`. {4x+;]!;}{;[!;+16y}=4+64xy+. =2(a+b)-(a+2'¶ab+b). 1 +16 xy. ¾20+2¾¨64xy_. =a-2'¶ab+b =('a)Û`-2'a'b+('b )Û`. 1. xy. =20+2_8 . =( 'a-'b )Û`¾0. =36 {단, 등호는 xy=;8!;일 때 성립}. ∴ {"Ã2(a+b)}Û`¾('a+'b )Û`. 그런데 "Ã2(a+b)>0, 'a+'b>0이므로. 따라서 {4x+;]!;}{;[!;+16y}의 최솟값은 36이다.. "Ã2(a+b)¾'a+'b. . 이때 등호는 'a-'b=0, 즉 a=b 일 때 성립한다. . ①. ②. 0143. x>-2에서 x+2>0이므로 산술평균과 기하평균의. 관계에 의하여. 0140. 2x-1+. A-B. =(aÛ`-ab+bÛ`)-(a+3b-5). 18 18 =2(x+2)+ -5 x+2 x+2 ¾2¾¨2(x+2)_. =;2!;(2aÛ`-2ab+2bÛ`-2a-6b+10). =2_6-5=7. =;2!;{(aÛ`-2ab+bÛ`)+(aÛ`-2a+1)+(bÛ`-6b+9)}. 이때 등호는 2(x+2)=. =;2!;{(a-b)Û`+(a-1)Û`+(b-3)Û`} b=3을 동시에 만족시키는 실수 a, b는 존재하지 않으므로. ∴ x=1 따라서 2x-1+. ;2!;{(a-b)Û`+(a-1)Û`+(b-3)Û`}>0. 18 은 x=1일 때 최솟값 7을 가지므로 x+2. m=7, a=1 ∴ m+a=8. 8. ③. 0144 0141. 18 일 때 성립하므로 x+2. (x+2)Û`=9, x+2=3 (∵ x+2>0). 이때 (a-b)Û`¾0, (a-1)Û`¾0, (b-3)Û`¾0이고, a=b, a=1,. ∴ A>B. 18 -5 x+2. ㄱ. [반례] x=1, y=-2이면 |x+y|=1, |x-y|=3. 이므로 |x+y|<|x-y|. xÛ`>0, yÛ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의. 하여 4xÛ`+yÛ`¾2¿¹4xÛ`yÛ`=4xy 그런데 4xÛ`+yÛ`=32이므로. ㄴ. (|x|+|y|)Û`-|x-y|Û` =(|x|Û`+2|x||y|+|y|Û`)-(x-y)Û`. 32¾4xy ∴ xyÉ8. =(xÛ`+2|xy|+yÛ`)-(xÛ`-2xy+yÛ`). 이때 등호는 4xÛ`=yÛ`, 즉 2x=y일 때 성립하고, 4xÛ`+yÛ`=32. =2(|xy|+xy)¾0 (∵ |xy|¾-xy). 이므로. ∴ (|x|+|y|)Û`¾|x-y|Û`. 4xÛ`+yÛ`=4xÛ`+(2x)Û`=32, 8xÛ`=32, xÛ`=4. 그런데 |x|+|y|¾0, |x-y|¾0이므로. ∴ x=2, y=4 (∵ x>0, y>0). |x|+|y|¾|x-y| . 따라서 xy는 x=2, y=4일 때 최댓값 8을 가지므로. (단, 등호는 |xy|=-xy, 즉 xyÉ0일 때 성립). . M=8, a=2, b=4 ∴ M+a+b=14. 14. ㄷ. xÛ`+yÛ`-{2(xy-x+y)-1}. 0145. =xÛ`+yÛ`+1-2xy+2x-2y =xÛ`+(-y)Û`+1Û`+2x_(-y)+2x_1+2_(-y)_1 =(x-y+1)Û`¾0 ∴ xÛ`+yÛ`¾2(xy-x+y)-1 (단, 등호는 x-y=-1일 때 성립). . 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.. 0142. x>0, y>0에서 xy>0이므로 산술평균과 기하평균의. 관계에 의하여. 022. ⑤. 정답과 풀이. ㄱ. x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에. 의하여. x+y¾2'¶xy. 그런데 x+y=16이므로 16¾2'¶xy. '¶xy É8 (단, 등호는 x=y일 때 성립). 양변을 제곱하면 xyÉ64. 즉, xy의 최댓값은 64이다.. ㄴ. ;[!;+;]!;=. x+y 16 = xy xy. ㄱ에서 xyÉ64이므로.

(34) . 1 1 16 ∴ ¾ ¾;4!; xy 64 xy. 즉, ;[!;+;]!;의 최솟값은. ∴ -14É2x-3y+6zÉ14 {단, 등호는 ;2{;=-;3};=;6Z;일 때 성립}. . 1 이다. 4. 따라서 2x-3y+6z의 최댓값은 14이다.. ③. ㄷ. ('§x+'y )Û`=x+2'¶xy+y =16+2'¶xy. ∴ 16+2'¶xyÉ32. 즉, ('§x+'y )Û`=16+2'¶xyÉ32이므로. 0150. ㄱ에서 '¶xyÉ8이므로 2'¶xyÉ16. ②. a>0, b>0, c>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계. xÛ`+yÛ`¾2¿¹xÛ`yÛ`=2xy 그런데 xÛ`+yÛ`=36이므로 36¾2xy ∴ xyÉ18 이때 등호는 xÛ`=yÛ`, 즉 x=y일 때 성립하고, 등호가 성립할 때 직사각형 ABCD의 넓이 2xy가 최대가 되므로 xÛ`+yÛ`=36에서 ∴ x=3'2, y=3'2 (∵ x>0, y>0) 따라서 변 BC의 길이는 2x=6'2이다.. b c c a a b + + + + + a a b b c c b a c b a c + }+{ + }+{ + } a b b c c a. ¾2¾¨. 0151. 3 , y절편은 2m+3이므로 m. A{-2-. =6 (단, 등호는 a=b=c일 때 성립). 이때 삼각형 OAB의 넓이는. b+c c+a a+b 의 최솟값은 6이다. + + a b c. 0147. x, y가 실수이므로 코시–슈바르츠의 부등식에 의하여. 6. ;2!;_{2+. Z #. ZNY

(35) N