정답
및
해설
T H I N K M O R E A B O U T Y O U R F U T U R E01. 여러 가지 순열
10`~`11`쪽01
⑴ (5-1)!=4!=24 ⑵ A, B를 한 사람으로 생각하여 4명의 학생이 원탁에 둘러앉 는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 이때 A, B의 자리를 정하는 경우의 수가 2이므로 구하는 경우의 수는 6_2=1202
5명의 학생 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는 5P3=60 뽑은 3명이 원탁에 둘러앉으면 같은 경우가 3가지씩 있으므로 구하는 경우의 수는 60_;3!;=2003
⑴4P2=4 2 =16 ⑵2P5=2 5 =32 ⑶3P3=3 3 =2704
⑴nP3=n3 이고 125=53 이므로 n=5 ⑵4Pr=4 r 이고 16=42이므로 r=2 ⑶3Pr=3r 이고 243=35 이므로 3_3r =35 , 3r=34 ∴ r=405
만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수는 1, 2, 3의 3개에서 2개를 택하는 중복순열의 수와 같다. ∴3P2=32=906
⑴ 5개의 숫자 중 2가 2개, 3이 2개 있으므로 구하는 경우의 수는 =30 ⑵ 3을 맨 앞에 고정하고 남은 4개의 숫자를 일렬로 나열하면 된다. 이때 2가 2개 있으므로 구하는 경우의 수는 =1207
⑴ 최단 거리로 가는 경우의 수는⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ≈을 일렬로 ⑵나열하는 경우의 수와 같으므로 1445!=5 4! 4! 22442! 5! 11142!_2! ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴ 24 ⑵ 12 02 20 03 ⑴ 16 ⑵ 32 ⑶ 27 04 ⑴ 5 ⑵ 2 ⑶ 4 05 9 06 ⑴ 30 ⑵ 12 07 ⑴ 5 ⑵ 56 ⑵ 최단 거리로 가는 경우의 수는⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄≈≈≈을 ⑵일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 11148! =56 5!_3!경우의 수
Ⅰ
12`~`13`쪽 ● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ② 1-1 96 1-2144 1-3144 1-4240 핵심유형 2 ⑤ 2-1 ⑴ 81 ⑵ 125 ⑶ 32 2-2125 2-3⑤ 핵심유형 3 ⑤ 3-1 ② 3-2⑴ 150 ⑵ 78 3-3⑤ 핵심유형 4 12 4-1 ④ 4-218 4-346 핵심유형1
8명을 원형으로 배열하는 경우의 수는 (8-1)!=7! 이때 다음 그림과 같이 직사각형 모양의 탁자에서 원형으로 배열하는 한 가지 경우에 대하여 서로 다른 경우가 4가지씩 존재한다. 따라서 구하는 경우의 수는 7!_41
-1 한 쌍의 부부를 한 명으로 생각하여 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 이때 각 부부끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!_2!_2!_2!=16 따라서 구하는 경우의 수는 6_16=961
-2 오른쪽 그림과 같이 남자 4명이 먼저 원 탁에 앉고, 남자들 사이인 4개의 빈자리 에 여자 4명이 앉으면 된다. 남자 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 남 남 남 남 2 3 4 8 7 6 1 5 1 2 3 7 6 5 8 4 8 1 2 6 5 4 7 3 7 8 1 5 4 3 6 23
01.여러 가지 순열 여자 4명이 빈자리에 앉는 경우의 수는 4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 6_24=1441
-3 6가지 색 중 한 가지를 택하여 가운데 정오각형을 칠하는 경 우의 수는 6이다. 원형으로 구성된 나머지 5개의 삼각형을 5가지 색으로 칠하 는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 따라서 구하는 경우의 수는 6_24=1441
-4 6명을 원형으로 배열하는 경우의 수는 (6-1)!=5!=120 이때 다음 그림과 같이 정삼각형 모양의 탁자에서 원형으로 배열하는 한 가지 방법에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다. 따라서 구하는 경우의 수는 120_2=240 핵심유형2
X의 원소 1, 2, 4에 Y의 원소 1, 2, 3, 4가 대응될 수 있으 므로 구하는 함수의 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하 는 중복순열의 수와 같다. ∴ ¢P£=43=642
-1 ⑴ 3개의 학급이 중복이 가능하므로 구하는 경우의 수는 서 로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복순열의 수와 같다. ⑴ ∴ £P¢=3› =81 ⑵ 5개의 우체통이 중복이 가능하므로 구하는 경우의 수는 서로 다른 5개에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같다. ⑴ ∴ ∞P£=5‹ =125 ⑶ , _가 중복이 가능하므로 구하는 답안의 개수는 서로 다른 2개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같다. ⑴ ∴ ™P∞=2fi =322
-2 짝수가 되어야 하므로 일의 자리에는 반드시 2가 와야 한다. 나머지 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 5개의 숫자에서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 5P3=5 3=1252
-3 깃발을 한 번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는 3P1=3 깃발을 두 번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는 3P2=3 2=9 같은 방법으로 깃발을 세 번, 네 번 들어 올려서 만들 수 있 는 신호의 개수는 각각3P3=3 3=27, 3P4=3 4=81이므로 구하는 신호의 개수는 3+9+27+81=120 6 2 5 3 4 6 5 4 2 3 1 1 핵심유형3
양쪽 끝에 I를 고정하고 중간에 S, T, A, T, S, T, C의 7 개의 문자를 일렬로 나열하면 된다. 이때 S가 2개, T가 3개이므로 구하는 경우의 수는 =4203
-1 a, c와 b, d의 순서가 각각 정해져 있으므로 a, c를 모두 x 로, b, d를 모두 y로 바꿔 생각한다. 즉, 6개의 문자 x, y, x, y, e, f를 일렬로 나열한 후 첫 번째 x는 a, 두 번째 x는 c로, 첫 번째 y는 b, 두 번째 y는 d로 바꾸면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 =1803
-2 ⑴ 맨 앞자리에 0이 오면 안되므로 만들 수 있는 자연수의 개수는 (6개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수) -(0 ` ` ` ` 꼴의 개수) ⑴먼저 6개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 6개의 ⑴숫자 중 1이 2개, 2가 2개이므로 =180 ⑴이때 0 ` ` ` ` 꼴의 개수는 5개의 숫자 1, 1, 2, 2, 3 을 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 ⑴ =30 ⑴따라서 만들 수 있는 자연수의 개수는 ⑴ 180-30=150 ⑴[다른 해설] ⑴주어진 6개의 숫자를 모두 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수의 맨 앞자리의 숫자는 1 또는 2 또는 3이다. ⑴⁄ 맨 앞자리의 숫자가` 1인 경우 5개의 숫자` 0, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 ⑴ ⁄수는 =60 ⑴¤ 맨 앞자리의 숫자가` 2인 경우 5개의 숫자` 0, 1, 1, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 ⑴ ⁄수는 =60 ⑴‹ 맨 앞자리의 숫자가` 3인 경우 5개의 숫자` 0, 1, 1, 2, 2를 일렬로 나열하는 경우의 ⑴ ⁄수는 =30 ⑴⁄~‹에 의하여 만들 수 있는 자연수의 개수는 ⑴ 60+60+30=150 ⑵ 주어진 6개의 숫자를 모두 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 짝수의 일의 자리 숫자는 0 또는 2이다. ⑵⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 경우 5개의 숫자 1, 1, 2, 2, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 ⑵ ⁄ 11145! =30 2!_2! 5! 11142!_2! 5! 1552! 5! 1552! 5! 115555552!_2! 6! 115555552!_2! 6! 115555552!_2! 7! 115555552!_3!⑵¤ 일의 자리의 숫자가 2인 경우 5개의 숫자 0, 1, 1, 2, 3으로 만들 수 있는 다섯 자리 의 수의 개수와 같으므로 ⑵ ⁄ - =60-12=48 ⑵⁄, ¤에 의하여 만들 수 있는 짝수의 개수는 ⑵ 30+48=78
3
-3 1, 3, 3, 3을 먼저 일렬로 나열한 후 양 끝과 나열한 수 사이 5군데 중에서 짝수 번째 자리에 짝수가 오도록 2군데를 선 택하여 2와` 4를 넣으면 된다. 1, 3, 3, 3을 일렬로 나열하는 경우의 수는 =4 각각에 대하여 앞에서부터 짝수 번째 자리에 오도록 2와 4 를 넣는 경우는 다음과 같이 6가지가 있다. 따라서 구하는 경우의 수는 4_6=24 핵심유형4
⁄A ⁄ P로 가는 경우의 수는 2 ¤P ⁄ Q로 가는 경우의 수는 2 ‹Q ⁄ B로 가는 경우의 수는 =3 ⁄~‹에 의하여 구하는 경우의 수는 2_2_3=124
-1 오른쪽 그림과 같이 P지점을 잡으면 ⁄A ⁄ P로 가는 경우의 수는 ⁄ =6 ¤P ⁄ B로 가는 경우의 수는 ⁄ =10 ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 6_10=604
-2 오른쪽 그림과 같이 Q지점을 잡으면 구하는 경우의 수는 A ⁄ Q ⁄ B로 가는 경우의 수와 같다. ⁄A ⁄ Q로 가는 경우의 수는 ⁄ =6 ¤Q ⁄ B로 가는 경우의 수는 ⁄ =3 ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 6_3=18 3! 2! 4! 11142!_2! A P Q B 5! 11143!_2! 4! 11142!_2! A P 3! 2! 4! 3! 4! 1552! 5! 1552!4
-3 오른쪽 그림과 같이 C지점의 도로가 연결되어 있다고 생각하 면 구하는 경우의 수는 (연결된 상태에서 A ⁄ B로 가는 경우의 수) -(`A ⁄ C ⁄ B로 가는 경우의 수) 이므로 - =56-10=46 [다른 해설] 오른쪽 그림과 같이 세 지점 P, Q, R를 잡으면 A지점에서 B지 점까지 최단 거리로 가는 경우는 A ⁄ P ⁄ B, A ⁄ Q ⁄ B, A ⁄ R ⁄ B 이다. ⁄A ⁄ P ⁄ B로 가는 경우의 수는 1_1=1 ¤A ⁄ Q ⁄ B로 가는 경우의 수는 ¤ _ =3_5=15 ‹A ⁄ R ⁄ B로 가는 경우의 수는 ¤ _ =3_10=30 ⁄~‹에 의하여 구하는 경우의 수는 1+15+30=46 5! 11143!_2! 3! 2! 5! 4! 3! 2! A B P Q R 5! 11142!_3! 8! 11145!_3! A C B , , ↑ 2 4 ↑ 4 2 ↑ 2 4 ↑ 4 2 ↑ 2 4 ↑ 4 2 14`~`15`쪽 ● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ● 01 24 02 ② 03 12 04 ③ 05 ① 06 ③ 07 ⑤ 08 ① 09 ① 10 ⑤ 11 120 12 ① 13 19 14 30 15 5401
아버지의 의자가 정해지면 어머니의 의자는 마주 보는 위치에 저절로 정해진다. 따라서 부모가 마주 보고 앉는 경우의 수는 5명이 원탁에 둘러 앉는 경우의 수와 같으므로 (5-1)!=4!=2402
책상의 내부에 1명이 앉는 경우의 수는 5이다. 책상의 외부에 나머지 4명이 앉는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 5_6=305
01.여러 가지 순열03
8등분된 원판에서 색이 칠해지지 않은 영역은 네 개이고, 이 네 개의 영역에 C, D, E, F를 칠하는 경우의 수는 4!=24이다. 이때 다음 그림과 같이 색칠되는 경우는 같은 경우이므로 각 경 우에 대하여 2가지씩 같은 경우가 생긴다. 따라서 구하는 경우의 수는 24_;2!;=1204
8명을 원형으로 배열하는 경우의 수는 (8-1)!=7! 이때 정사각형 모양의 책상에서 원형으로 배열하는 한 가지 경 우에 대하여 서로 다른 경우가 2가지씩 존재한다. 따라서 구하는 경우의 수는 7!_2 [다른 해설] 8명 중 한 명을 A라 할 때, A의 자리를 정하는 경우는 그림과 같이 2가지이다. 그 각각에 대하여 A를 제외한 학생 7명이 앉는 경우의 수는 7! 따라서 구하는 경우의 수는 7!_205
먼저 A를 칠해 윗면으로 놓으면 아랫면을 칠하는 경우의 수는 5 이고, 옆면을 칠하는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 5_6=3006
서로 다른 4개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¢P∞=4fi =102407
1과 3이 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는 (1, 2, 3으로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수의 개수) -(1, 2로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수의 개수) -(2, 3으로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수의 개수) +(2로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수의 개수) 이다. ⁄1, 2, 3으로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수의 개수는 £P¢=3› =81 A A B B A F A C D E B B A D A E F C ¤1, 2로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수의 개수는 ™P¢=2› =16 ¤2, 3으로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수의 개수는 마찬 가지로 16 ‹2로 중복을 허용하여 만든 네 자리 자연수는 2222이므로 1개 ⁄~‹에 의하여 구하는 자연수의 개수는 81-16_2+1=50 [다른 해설] 구하는 자연수의 개수는 (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3), (1, 2, 3, 3), (1, 1, 1, 3), (1, 3, 3, 3), (1, 1, 3, 3) 을 이용하여 만든 네 자리 자연수의 개수와 같다. ⁄(1, 1, 2, 3) 또는 (1, 2, 2, 3) 또는 (1, 2, 3, 3)으로 만든 ⁄자연수의 개수는 _3=36 ¤(1, 1, 1, 3) 또는 (1, 3, 3, 3)으로 만든 자연수의 개수는 ⁄ _2=8 ‹(1, 1, 3, 3)으로 만든 자연수의 개수는 ⁄ =6 ⁄~‹에 의하여 구하는 자연수의 개수는 36+8+6=5008
집합 {1, 2, 3, 4, 5, 6}을 전체집합으로 생각할 때 두 부분집합 A, B가 서로소이면 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6은 각각 세 집합 A, B, (A'B)Ç 중 어느 하나에 반드시 들어가게 된다. 따라서 서로소인 두 부분집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수 는 서로 다른 3개에서 6개를 택하는 중복순열의 수와 같다. ∴ £P§=3fl =72909
가운데를 기준으로 한쪽에 빨간 공 1개, 파란 공 2개, 흰 공 3개 를 일렬로 나열한 다음 반대쪽에는 좌우대칭이 되도록 나머지 공을 나열하면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 =6010
A가 B의 집을 연이어 2번 방문하지 않으면서 친구들의 집을 방 문하는 순서의 경우의 수는 B, B, C, D, E, F를 일렬로 나열할 때 B끼리 이웃하지 않는 경우의 수와 같다. B, B, C, D, E, F를 일렬로 나열하는 경우의 수는 =360 이때 B끼리 이웃하는 경우의 수는 5!=120 따라서 구하는 경우의 수는 360-120=24011
6개의 문자 a, b, c, x, x, x를 일렬로 나열한 후 첫 번째 x는 d, 두 번째 x는 e, 세 번째 x는 f로 바꾸면 된다. 6! 1552! 6! 11142!_3! 4! 11142!_2! 4! 3! 4! 2!따라서 구하는 경우의 수는 =120
12
A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =56 A지점에서 P지점을 지나 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 _ =5_3=15 따라서 구하는 경우의 수는 56-15=4113
위의 그림에서 실선을 따라 ↗ 또는 ↘방향으로 한 번 점프했을 때, '2만큼 이동하게 되고, 실선을 따라 ⁄ 방향으로 한 번 점 프했을 때, 1만큼 이동하게 된다. 점 A에서 4번만 점프하여 점 B로 이동하는 경우는 다음과 같다. ⁄ ⁄ 방향으로 4번 점프하는 경우 : 1가지 ¤ ↗ 방향으로 1번, ↘ 방향으로 1번, → 방향으로 2번 점프하 는 경우 : ⁄ =12 (가지) ‹ ↗ 방향으로 2번, ↘방향으로 2번 점프하는 경우 ⁄ =6 (가지) ⁄~‹에 의하여 구하는 경우의 수는 1+12+6=1914
맨 앞자리에는 8이 오고, 맨 뒷자리에는 9가 오지 않도록 하려면 8 7 또는 8 8 로 놓은 후 빈칸에 나머지 수가 들어가면 된다. ⁄8 7에서 빈칸에 7, 8, 9, 9, 9를 나열하는 경우의 ⁄수는 =20 yy ❶ ¤8 8에서 빈칸에 7, 7, 9, 9, 9를 나열하는 경우의 ⁄수는 =10 yy ❷ ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 20+10=30 yy ❸ 5! 11142!_3! 5! 3! 4! 11142!_2! 4! 1552! x y O O A B 2 1 2 1 -2 -1 -2 -1 3! 1552! 5! 1554! 8! 11145!_3! 6! 1553!15
A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 =84 yy ❶ A지점에서 P를 지나 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 _ =3_5=15 A지점에서 Q를 지나 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 _ =5_3=15 yy ❷ 따라서 구하는 경우의 수는 84-(15+15)=54 yy ❸ 3! 1552! 5! 1554! 5! 1554! 3! 1552! 9! 11146!_3! 채점 기준 배점 ❶ A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수 구하기 ❷ P 또는 Q를 지나는 경우의 수 구하기 ❸ 답 구하기 30 % 50 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 8 7의 꼴로 배열하는 경우의 수 구하기 ❷ 8 8의 꼴로 배열하는 경우의 수 구하기 ❸ 답 구하기 40 % 40 % 20 %02. 중복조합
16`~`17`쪽01
⑴3H2=3+2-1C2=4C2= =6 ⑵2H6=2+6-1C6=7C6=7C1=7 ⑶8H0=8+0-1C0=7C0=1 ⑷3H3=3+3-1C3=5C3=5C2= =1002
⑴7H4=7+4-1C4=10C4이므로 n=10 ⑵2H5=2+5-1C5=6C5=6C1이므로 n=6 ⑶5H3=5+3-1C3=7C3=7C4이므로 r=3 또는 r=4 ⑷4Hr=4+r-1Cr=3+rCr=3+rC3=8C3이므로 ⑷ 3+r=8 ∴ r=503
5명의 학생에게 볼펜 7자루를 나누어 주는 경우의 수는 서로 다 른 5개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 5H7=5+7-1C7=11C7=11C4= =33004
(a+b+c)6 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 3개의 문자 a, b, c에서 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 3H6=3+6-1C6=8C6=8C2= =28 8_7 1122_1 11_10_9_8 11111124_3_2_1 5_4 1122_1 4_3 1122_1 ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴ 6 ⑵ 7 ⑶ 1 ⑷ 10 02 ⑴ 10 ⑵ 6 ⑶ 3 또는 4 ⑷ 5 03 330 04 28 05 56 06 ⑴ 1296 ⑵ 360 ⑶ 15 ⑷ 1267
02.중복조합05
구하는 해의 개수는 4개의 문자 x, y, z, w에서 5개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 4H5=4+5-1C5=8C5=8C3= =5606
⑴ 집합 Y의 6개의 원소 중 중복을 허용하여 4개를 택하여 일 렬로 나열한 후 차례대로 f(1), f(2), f(3), f(4)로 정하 면 된다. ⑴따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 6개에서 4개를 택하 는 중복순열의 수와 같으므로 6P4=6 4 =1296 ⑵ 집합 Y의 6개의 원소 중에서 4개를 택하여 일렬로 나열한 후 차례대로 f(1), f(2), f(3), f(4)로 정하면 된다. ⑴따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 6개에서 4개를 택하 는 순열의 수와 같으므로 6P4=6_5_4_3=360 ⑶ 집합 Y의 6개의 원소 중에서 4개를 택하여 가장 작은 숫자 부터 차례대로 f(1), f(2), f(3), f(4)로 정하면 f(a)< f(b)를 만족시킨다. ⑴따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 6개에서 4개를 택하 ⑴는 조합의 수와 같으므로 6C4=6C2= =15 ⑷ 집합 Y의 6개의 원소 중에서 중복을 허용하여 4개를 택하여 가장 작은 숫자부터 차례대로 f(1), f(2), f(3), f(4)로 정하면 f(a)… f(b)를 만족시킨다. ⑴따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 6개에서 4개를 택하 는 중복조합의 수와 같으므로 ⑴ 6H4=6+4-1C4=9C4= =126 9_8_7_6 11111444_3_2_1 6_5 1122_1 8_7_6 11113_2_1 18`~`19`쪽 ● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 ⑴ 120 ⑵ 20 1-156 1-2⑤ 1-3② 1-4⑤ 1-5④ 1-6③ 1-7② 핵심유형 2 ⑴ 286 ⑵ 84 2-1120 2-230 2-310 2-478 2-545 2-6165 핵심유형 3 553 3-135 핵심유형1
⑴ 서로 다른 4개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 4H7=4+7-1C7=10C7=10C3=120 ⑵ 먼저 네 학생에게 연필을 한 자루씩 나누어 준 후 남은 3 자루를 다시 네 명의 학생에게 나누어 주면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 3개를 택 하는 중복조합의 수와 같으므로 ⑴ ¢H£=¢≠£–¡C£=§C£=201
-1 £Hr=3+r-1Cr=™+rCr=™+rC2=¶C2이므로 2+r=7 ∴ r=5 ∴ ¢H∞=4+5-1C5=8C5=8C3=561
-2 서로 다른 5개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ∞H£=5+3-1C£=¶C£=351
-3 크기와 모양이 같은 검은 구슬 5개를 서로 다른 3개의 상자 에 넣는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 £H∞=£≠∞–¡C∞=¶C∞=¶C™=21 크기와 모양이 같은 흰 구슬 2개를 서로 다른 3개의 상자에 넣는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복조 합의 수와 같으므로 £H™=£≠™–¡C™=¢C™=6 따라서 구하는 경우의 수는 21_6=1261
-4 3명의 학생에게 흰색 탁구공 8개와 주황색 탁구공 7개를 남 김없이 각각 한 개 이상씩 갖도록 나누어 주어야 하므로 먼 저 흰색 탁구공과 주황색 탁구공을 한 개씩 나누어 주고, 나 머지 흰색 탁구공 5개와 주황색 탁구공 4개를 나누어 주는 경우의 수를 구하면 된다. ⁄ 흰색 탁구공 5개를 3명의 학생에게 남김없이 나누어 주 는 경우의 수는 서로 다른3개에서 5개를 택하는 중복조 합의 수와 같으므로 ⁄ £H∞=£≠∞–¡C∞=¶C∞=¶C™=21 ¤ 주황색 탁구공4개를 3명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3개에서4개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로 ⁄ £H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=§C™=15 ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 21_15=3151
-5 3…a…b…c…d…10을 만족시키는 자연수 a, b, c, d의 순서쌍 (a, b, c, d)를 정하는 경우는 3부터 10까지의 8개 의 자연수 중 중복을 허용하여 4개를 뽑아 크기가 작은 것부 터 차례로 a, b, c, d에 대응시키면 된다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 •H¢=8+4-1C¢=11C¢=3301
-6 15장의 카드에서 5장의 카드를 택하여 작은 것부터 나열하 는 경우의 수는 1, 2, 3의 세 수에서 5개를 택하는 중복조합 의 수와 같으므로 3H5=3+5-1C5=7C5=7C2=21 이 중에서 합이 13 이상인 경우는 33333, 23333, 22333, 13333의 4가지이므로 구하는 경우의 수는 21-4=171
-7 고구마피자, 새우피자, 불고기피자 중에서 m개를 주문하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 m개를 택하는 중복조합의수와 같다. 이때 경우의 수가 36이므로 £Hμ=£≠μ–¡Cμ=μ≠™Cμ=μ≠™C™=36 =36 (m+2)(m+1)=72=9_8 ∴ m=7 한편 고구마피자, 새우피자, 불고기피자를 적어도 하나씩 포함하여 7개를 주문하는 경우의 수는 서로 다른 세 종류에 서 4개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 £H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=§C™=15 핵심유형
2
⑴ 방정식 a+b+c+d=10의 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 4개에서 10개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 ⑴ ¢H¡º=4+10-1C¡º=13C¡º=13C£=286 ⑵ 방정식 a+b+c+d=10이 양의 정수해를 가지므로 ⑴ aæ1, bæ1, cæ1, dæ1 ⑴a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1, d=d'+1로 놓으면 ⑴a+b+c+d=10에서 ⑴ (a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)=10 ⑴ a'+b'+c'+d'=6 (단, a'æ0, b'æ0, c'æ0, d'æ0) yy ㉠ ⑴즉, 구하는 양의 정수해의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. ⑴ ∴ ¢H§=4+6-1C6=9C6=9C3=842
-1 (a+b+c+d)‡ 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 a, b, c, d에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 4H7=4+7-1C7=10C7=10C3=1202
-2 (a+b)¤ (x+y+z)‹ 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 a, b에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 x, y, z에서 3개를 택하는 중복조합의 수의 곱과 같으므로 2H2_3H3=2+2-1C2_3+3-1C3 2H2_3H3=3C2_5C3=3C1_5C2=3_10=302
-3 방정식 x+y+z=6 (단, xæ1, yæ1, zæ1)에서 x=X+1, y=Y+1, z=Z+1로 놓으면 X+Y+Z=3 (단, Xæ0, Yæ0, Zæ0) …… ㉠ 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 ㉠을 만족 시키는 순서쌍 (X, Y, Z)의 개수와 같고, 이것은 서로 다 른 3개의 문자 X, Y, Z에서 3개를 택하는 중복조합의 수 와 같으므로 £H£=£≠£–¡C£=∞C£=∞C™=102
-4 방정식 x+y+z=8 (단, xæ-1, yæ-1, zæ-1)에서 x=X-1, y=Y-1, z=Z-1로 놓으면 X+Y+Z=11 (단, Xæ0, Yæ0, Zæ0) …… ㉠ 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 ㉠을 만족 (m+2)(m+1) 111111142_1 시키는 순서쌍 (X, Y, Z)의 개수와 같고, 이것은 서로 다 른 3개의 문자 X, Y, Z에서 11개를 택하는 중복조합의 수 와 같으므로 £H¡¡=£≠¡¡–¡C¡¡=¡£C¡¡=¡£C™=782
-5 방정식 x+y+z=19 (`단, x, y, z는 홀수`)`에서 x=2X+1, y=2Y+1, z=2Z+1로 놓으면 X+Y+Z=8 (`단, Xæ0, Yæ0, Zæ0) yy ㉠ 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 ㉠을 만족 시키는 순서쌍 (X, Y, Z)의 개수와 같고, 이것은 서로 다 른 3개의 문자 X, Y, Z에서 8개를 택하는 중복조합의 수 와 같으므로 £H•=3+8-1C8=¡ºC•=¡ºC™=452
-6 네 자리 자연수에서 천, 백, 십, 일의 자리의 숫자를 각각 a, b, c, d라 하면 a+b+c+d=9 (단, aæ1, bæ0, cæ0, dæ0) 이때 a=a'+1로 놓으면 a'+b+c+d=8 (단, a'æ0, bæ0, cæ0, dæ0) yy ㉠ 따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 ¢H•=4+8-1C8=¡¡C•=¡¡C£=165 핵심유형3
f(1)=1인 함수는 Y의 원소 7개에서 중복을 허용하여 3개 를 택하여 일렬로 나열한 후 차례대로 X의 원소 2, 3, 4에 대응시키면 되므로 구하는 함수의 개수는 서로 다른 7개에 서 3개를 택하는 중복순열의 수와 같다. ∴ a=7P3=7 3 =343 x¡<x™일 때 f(x¡)æ f(x™)를 만족시키는 함수는 Y의 원 소 7개에서 중복을 허용하여 4개를 택한 후 큰 수부터 차례 대로 X의 원소 1, 2, 3, 4에 대응시키면 되므로 구하는 함 수의 개수는 서로 다른 7개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같다. ∴ b=7H4=7+4-1C4=10C4=210 ∴ a+b=343+210=5533
-1 조건 ㈎`에서 f(4)=7이므로 f(5)=7이고 f(1), f(2), f(3)을 정하는 경우의 수는 3, 4, 5, 6, 7 중 중복을 허용하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같다. 따라서 구하는 함수 f의 개수는 5H3=5+3-1C3=7C3=35 20`~`21`쪽 ● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ● 01 84 02 522 03 36 04 24 05 ③ 06 120 07 225 08 420 09 36 10 ③ 11 13 12 ⑴ 500 ⑵ 18 13 36 14 36 15 2109
02.중복조합01
서로 다른 7개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¶H£=8402
a는 서로 다른 2개에서 9개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 a=™Hª=10 b는 서로 다른 2개에서 9개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 b=™Pª=512 ∴ a+b=10+512=52203
5개의 수의 곱이 4의 배수가 되려면 2가 2개 이상 포함되어 있 어야 하므로 4의 배수가 되지 않는 경우는 2가 0개, 2가 1개만 포함되어 있는 경우이다. ⁄2가 0개인 경우의 수는 3, 5, 7에서 5개를 택하는 중복조합 의 수와 같으므로 3H5=21 ¤2가 1개인 경우의 수는 3, 5, 7에서 4개를 택하는 중복조합 의 수와 같으므로 3H4=15 ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 21+15=3604
여사건을 이용하자. ⁄3명의 학생에게 8자루의 연필을 나누어 주는 경우의 수 : ⁄서로 다른 3개에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ⁄ £H•=45 ¤3명의 학생 모두 적어도 한 자루의 연필을 받는 경우의 수 : 먼저 3명의 학생 모두에게 연필을 한 자루씩 나누어 준 후 남 은 5자루의 연필을 3명의 학생에게 나누어 주면 된다. 따라서 이 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로 ¤ £H∞=21 ⁄, ¤에 의하여 연필을 한 자루도 받지 못하는 학생이 생기는 경우의 수는 45-21=2405
조건을 만족시키는 순서쌍 (|a|, |b|, |c|)의 개수는 5개의 정 수 1, 2, 3, 4, 5에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ∞H£=35 이때 a, b, c는 각각 음의 정수와 양의 정수의 값을 가질 수 있으 므로 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 (|a|, |b|, |c|)의 개수의 2‹ 배 와 같다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 35_8=28006
주머니 A, B에 각각 1개, 2개의 구슬을 미리 담아놓으면 구하는 경우의 수는 7개의 구슬을 4개의 주머니에 넣는 경우의 수와 같다. 즉, 서로 다른 4개에서 7개를 택하는 중복조합의 수 와 같으므로 ¢H¶=12007
흰 공 4개를 세 명에게 나누어 주는 경우의 수는 £H¢=15 검은 공 7개를 세 명에게 적어도 하나씩 나누어 주는 경우의 수 는 1개씩 먼저 나누어 준 다음, 남은 검은 공 4개를 세 명에게 나 누어 주는 경우의 수와 같으므로 £H¢=15 따라서 구하는 경우의 수는 15_15=22508
(a+b)3 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 ™H£=4 (x-y)4 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 ™H¢=5 (p+q+r)5 의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 £H∞=21 따라서 구하는 항의 개수는 4_5_21=42009
aæ1, bæ1, cæ-1이므로 a=a'+1, b=b'+1, c=c'-1 로 놓으면 a+b+c=8에서 (a'+1)+(b'+1)+(c'-1)=8 a'+b'+c'=7 (단, a'æ0, b'æ0, c'æ0) yy ㉠ 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아 닌 정수해의 개수와 같으므로 3H7=3610
x+y+z+5w=14에서 ⁄w=1인 경우 ⁄ x+y+z=9 (단, xæ1, yæ1, zæ1) ⁄이때 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면 ⁄ x'+y'+z'=6 (단, x'æ0, y'æ0, z'æ0) ……`㉠ ⁄따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 ⁄ £H§=28 ¤w=2인 경우 ⁄ x+y+z=4 (단, xæ1, yæ1, zæ1) ⁄위 식을 만족시키는 순서쌍 (x, y, z)는 (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1) ⁄이므로 3개 ⁄, ¤에 의하여 구하는 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 28+3=3111
방정식 x+y+z=n의 음이 아닌 정수해의 개수는 £H«=3+n-1C«=2+nC«=2+nC™ 즉, 2+nC™=105이므로 =105 (n+2)(n+1)=210=15_14 n+1=14 ∴ n=1312
⑴ f(b)+1이므로 f(b)의 값이 될 수 있는 수는 1을 제외한 4 (2+n)(1+n) 1515151515552_1개이다. 또 집합 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 중복을 허 용하여 4개를 택하여 X의 원소 a, c, d에 대응시키면 되므 로 구하는 함수의 개수는 ⑴ 4_5P3=4_5 3 =500 ⑴[다른 해설] ⑴X에서 Y로의 함수의 개수는 5P4=5 4=625 ⑴f(b)=1인 함수의 개수는 5P3=5 3 =125 ⑴따라서 구하는 함수의 개수는 625-125=500 ⑵ f(b)=3이므로 f(a)æ3æ f(c)æ f(d) ⑴f(a)의 값이 될 수 있는 수는 3, 4, 5의 3개이고 f(c), f(d) 의 값을 정하는 경우의 수는 1, 2, 3의 3개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로3H2=6이다. ⑴따라서 구하는 함수의 개수는 3_6=18
13
x¡<x™이면 f(x¡)…f(x™)를 만족시키는 함수의 개수는 공역 의 원소 2, 4, 6 중에서 10개를 택하는 중복조합의 수와 같다. 그런데 조건 ㈏에서 공역과 치역이 같아야 하므로 2, 4, 6을 먼 저 한 개씩 뽑은 후 2, 4, 6 중에서 나머지 7개를 뽑아야 한다. 따라서 구하는 함수의 개수는 서로 다른 3개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H¶=3614
숫자 2가 0개, 1개 선택되는 경우로 나눈다. ⁄2가 0개 선택되는 경우 ⁄서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ⁄ £H∞=21 yy ❶ ¤2가 1개 선택되는 경우 ⁄서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ⁄ £H¢=15 yy ❷ ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 21+15=36 yy ❸15
흰 바둑돌 4개와 검은 바둑돌 4개에서 5개를 선택하는 경우를 나누어 생각한다. yy ❶ ⁄ 흰 바둑돌 4개, 검은 바둑돌 1개를 세 그릇에 넣는 경우의 수는 3H4_3H1=15_3=45 ¤ 흰 바둑돌 3개, 검은 바둑돌 2개를 세 그릇에 넣는 경우의 수는 3H3_3H2=10_6=60 ‹ 흰 바둑돌 2개, 검은 바둑돌 3개를 세 그릇에 넣는 경우의 수는 3H2_3H3=6_10=60 › 흰 바둑돌 1개, 검은 바둑돌 4개를 세 그릇에 넣는 경우의 수는 3H1_3H4=3_15=45 yy ❷ ⁄~›에 의하여 구하는 경우의 수는 45+60+60+45=210 yy ❸ 채점 기준 배점 ❶ 2가` 0개 선택되는 경우의 수 구하기 ❷ 2가` 1개 선택되는 경우의 수 구하기 ❸ 답 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 5개를 선택하는 경우를 나누어 생각하기 ❷ 각각의 경우의 수 구하기 ❸ 답 구하기 30 % 50 % 20 %03. 이항정리
22`~`23`쪽01
⑴ (x+y)5 ⑴=5C0x 5 +5C1x 4 y+5C2x 3 y2 +5C3x 2 y3 +5C4xy 4 +5C5y 5 ⑴=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5 ⑵ (2a-3b)4⑴=4C0(2a)4+4C1(2a)3(-3b)+4C2(2a)2(-3b)2
+4C3(2a)(-3b)
3
+4C4(-3b)
4
⑴=16a4-96a3b+216a2b2-216ab3+81b4
02
⑴ (x+y)8의 전개식의 일반항은 ⑴ 8Crx8-ryr ⑴이때 x6y2 항은 r=2일 때이므로 x6y2 의 계수는 ⑴ 8C2=28 ⑵ (2a+b)7의 전개식의 일반항은 ⑴ 7Cr(2a)7-rbr=7Cr27-ra7-rbr ⑴이때 a3b4 항은 r=4일 때이므로 a3b4 의 계수는 ⑴ 7C423=35_8=280 ⑶ {2x2 -} 6 의 전개식의 일반항은 ⑴ 6Cr(2x 2 )6-r {- } r =6Cr2 6-r (-1)r ⑴이때 상수항은 12-2r=r에서 r=4일 때이므로 ⑴ 6C422=15_4=6003
⑴4C3+4C4=5C4 ⑵5C0+5C1+6C2=6C1+6C2=7C204
⑴6C0+6C1+6C2+6C3+6C4+6C5+6C6=2 6 =64 ⑵5C0-5C1+5C2-5C3+5C4-5C5=0 ⑶ 9C0+9C2+9C4+9C6+9C8=2 9-1 =28 =256 ⑷ 8C1+8C3+8C5+8C7=27=128 x⁄ ¤ —¤ ® 11555x® 1 1x 1 1x ● ● ●개념확인● ● ● 01 ⑴ x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y505 ⑵ 16a4-96a3b+216a2b2-216ab3+81b4
02 ⑴ 28 ⑵ 280 ⑶ 60 03 ⑴5C4 ⑵7C2
11
03.이항정리 24`~`25`쪽 ● ● ●핵심유형으로개념정복하기● ● ● 핵심유형 1 2000 1-1② 1-2-3 1-370 1-480 핵심유형 2 729 2-1⑤ 2-210 2-33 핵심유형 3 ③ 3-1715 3-2② 핵심유형 4 1 4-17 4-2② 4-310 4-41024 핵심유형1
(ax+2)fi 의 전개식의 일반항은 ∞C®(ax)5-r _2r =∞C® 2r a5-r x5-r yy ㉠ 이때 x항은 5-r=1에서 r=4일 때이므로 x의 계수는 ∞C¢ 24 _a=∞C¡_16a=80a=400 ∴ a=5 a=5를 ㉠에 대입하면 일반항은 ∞C® 2r55-rx5-r 따라서 x2의 계수는 r=3일 때이므로 ∞C£ 23_52=10_8_25=20001
-1 {2x2+ } 7 의 전개식의 일반항은 7Cr(2x 2 )7-r { } r =¶C® 27-r 이때 x5항은 14-2r-r=5에서 r=3일 때이므로 x5 의 계수는 16_7C31
-2 {2x+;[A;}› 의 전개식의 일반항은 ¢C®(2x)4-r {;[A;} r =¢C® 24-r ar 이때 x¤ 항은 4-r-r=2에서 r=1일 때이므로 x¤ 의 계수는 ¢C¡ 2‹ _a=4_8a=32a=-96 ∴ a=-31
-3 (x¤ +2x){x+ } 7 =x¤ {x+ } 7 +2x{x+ } 7 {x+ } 7 의 전개식의 일반항은 ¶C® x7-r { } r =¶C® yy ㉠ 이때 (x¤ +2x){x+ } 7 의 전개식에서 상수항은 x¤ 과 ㉠ 의 항, 2x와 ㉠의 항이 곱해질 때 나타난다. ⁄ = 에서 ⁄ r-(7-r)=2 ∴ r=;2(; 1 13x¤ x‡ —® x® 1 1x 1 13x¤ 1 1x x‡ —® x® 1 1x 1 1x 1 1x 1 1x 1 1x x› —® x® x⁄ › —¤ ® x® 1 x 1 x ⁄그런데 r는 0…r…7인 정수이므로 항은 존재하지 않 ⁄는다. ¤ = 에서 ⁄ r-(7-r)=1 ∴ r=4 ⁄따라서 ㉠의 항은 = ⁄, ¤에서 구하는 상수항은 2x_ =701
-4 (1+x)3의 전개식의 일반항은 £C® xr (2+x)4 의 전개식의 일반항은 ¢Cß 24-s xs 따라서 (1+x)‹ (2+x)› 의 전개식의 일반항은 £C® xr _¢Cß 24-s xs =£C®_¢Cß 24-s xr+s r+s=1을 만족시키는 r, s의 순서쌍 (r, s)는 (0, 1), (1, 0)이므로 x의 계수는 £Cº_¢C¡_23 +£C¡_¢Cº_24=32+48=80 핵심유형2
(1+x)n=nC0+nC1x+nC2x 2 +y+nCnx n 의 양변에 x=2, n=6을 대입하면 6C0+6C1_2+6C2_2 2 +y+6C6_2 6 =(1+2)6=36=7292
-1 (1+x)n=nC0+nC1x+nC2x 2 +y+nCnx n 의 양변에 x=-;3!;, n=9를 대입하면 9C0+9C1_{-;3!;}+9C2_{-;3!;} 2 +y+9C9_{-;3!;} 9 =9C0- + -y+ ={1-;3!;} 9 ={;3@;}92
-2 주어진 식은 (1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +y+«C« x« 에서 x 대신 3을 대입한 것과 같으므로 «Cº+«C¡_3+«C™_3¤ +y+«C«_3« =(1+3)n =4n =22n=220 2n=20 ∴ n=102
-3 1120=(10+1)20 1120 =20C0_10 20 +20C1_10 19 +y+20C18_10 2 +20C19_10+20C20 1120 =103 (20C0_10 17 +20C1_10 16 +y+20C17) +20C18_102+20C19_10+20C20 1120 =103 (20C0_10 17 +20C1_10 16 +y+20C17) +19000+200+1 1120 =103 (20C0_10 17 +20C1_10 16 +y+20C17)+19201 ªCª 3· ªC• 3° ªC™ 3¤ ªC¡ 3 35 12x 35 12x ¶C¢ 124x 1 1x 1 1x x‡ —® x® 1 13x¤26`~`27`쪽 ● ● ●기출문제로내신대비하기● ● ● 01 ④ 02 20 03 ④ 04 -2 05 360 06 ④ 07 ① 08 30 09 ④ 10 2 11 ② 12 ④ 13 25 14 n의 최솟값 : 7, 상수항 : 35 15 11 이때 103(20C0_10 17 +20C1_10 16 +y+20C17)은 1000으 로 나누어떨어지므로 1020의 백의 자리 숫자는 2, 십의 자리 숫자는 0, 일의 자리 숫자는 1이다. 따라서 a=2, b=0, c=1이므로 a+b+c=3 핵심유형
3
™Cº=£Cº이므로 ™Cº+£C¡+¢C™+y+¡ºC• =£Cº+£C¡+¢C™+y+¡ºC• =¢C¡+¢C™+y+¡ºC• =∞C™+∞C£+y+¡ºC• ⋮ =¡ºC¶+¡ºC•=¡¡C•=¡¡C£ [참고] 위의 그림과 같이 파스칼의 삼각형에서 ˚Cº이나 ˚C˚(k=1, 2, 3, y)에서 시작하여 대각선 방향으 로 더하면 그 값은 꺾여 내려진 곳의 수와 같다. 즉, ˚Cº+˚≠¡C¡+˚≠™C™+y+˚≠®C®=˚≠®≠¡C® (예 ①) ˚C˚+˚≠¡C˚+˚≠™C˚+y+˚≠®C˚=˚≠®≠¡C˚≠¡ (예 ②)3
-1 3C3=4C4이므로 3C3+4C3+5C3+y+12C3 =4C4+4C3+5C3+y+12C3 =5C4+5C3+y+12C3 =6C4+6C3+y+12C3 ⋮ =12C4+12C3=13C4=7153
-2 (3C0+3C3)+(4C1+4C3)+(5C2+5C3)+2_6C3 =(3C0+4C1+5C2+6C3)+(3C3+4C3+5C3+6C3) ={(4C0+4C1)+5C2+6C3}+{(4C4+4C3)+5C3+6C3} ={(5C1+5C2)+6C3}+{(5C4+5C3)+6C3} =(6C2+6C3)+(6C4+6C3) =7C3+7C4=8C4 핵심유형4
«Cº-«C¡+«C™-«C£+y+(-1)n«C«=0이므로 ¡ºCº-¡ºC¡+¡ºC™-¡ºC£+y+¡ºC¡º=0 ∴ ¡ºC¡-¡ºC™+¡ºC£-¡ºC¢+y-¡ºC¡º=¡ºCº=14
-1 «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 이므로 «C¡+«C™+y+«C«=2« -1 따라서 주어진 식은 100<2« -1<200 ∴ 101<2« <201 이때 2fl =64, 2‡ =128, 2° =256이므로 n=74
-2 ¢ªC®=¢ªC¢ª–® (r=0, 1, 2, y, 49)이므로 ¢ªCº+¢ªC¡+¢ªC™+y+¢ªC™¢ =¢ªC¢ª+¢ªC¢•+¢ªC¢¶+y+¢ªC™∞ 이때 ¢ªCº+¢ªC¡+¢ªC™+y+¢ªC¢ª=249 이므로 ¢ªCº+¢ªC¡+¢ªC™+y+¢ªC™¢=;2!;_249 =248 [다른 해설] ¢ªC®=¢ªC¢ª–® (r=0, 1, 2, y, 49)이므로 ¢ªC¡=¢ªC¢•, ¢ªC£=¢ªC¢§, y, ¢ªC™£=¢ªC™§ ∴ ¢ªCº+¢ªC¡+¢ªC™+y+¢ªC™¢ ∴=¢ªCº+¢ªC™+¢ªC¢+y+¢ªC¢• ∴=249-1 =2484
-3 «Cº+«C™+«C¢+y+«C«=2« —⁄ (`n은 짝수)이므로 2n-1=512=29 , n-1=9 ∴ n=104
-4 11개의 과일 중 바구니에 담는 과일이 6개인 경우의 수는 11C6, 7개인 경우의 수는 11C7, ⋮ 11개인 경우의 수는 11C11 이므로 바구니에 담는 과일이 6개 이상인 경우의 수는 11C6+11C7+11C8+11C9+11C10+11C11 한편11Cr=11C11-r(r=0, 1, 2, y, 11)이므로 11C6+11C7+11C8+11C9+11C10+11C11 =11C5+11C4+11C3+11C2+11C1+11C0 이때11C0+11C1+11C2+y+11C11=2 11 이므로 11C6+11C7+11C8+11C9+11C10+11C11 =;2!;_211 =210 =1024 1 ¡Cº ¡C¡ ™Cº ™C¡ ™C™ £Cº £C¡ £C™ £C£ ¢Cº ¢C¡ ¢C™ ¢C£ ¢C¢ ∞Cº ∞C¡ ∞C™ ∞C£ ∞C¢ ∞C∞ §Cº §C¡ §C™ §C£ §C¢ §C∞ §C§ ① ② ⋮13
03.이항정리01
(1+x)« 의 전개식에서 x¤ 의 계수는 «C™이므로 «C™= =66 n(n-1)=132=12_11 ∴ n=1202
(x+a)fl 의 전개식의 일반항은 §C®xfl —® a® x› 항은 6-r=4에서 r=2일 때이므로 그 계수는 §C™_a¤ =15a¤ xfi 항은 6-r=5에서 r=1일 때이므로 그 계수는 §C¡_a⁄ =6a 이때 x› 의 계수가 xfi 의 계수의 50배이므로15a¤ =50_6a, a¤ -20a=0
a(a-20)=0 ∴ a=20 (∵ a>0)
03
8C1_2 7 +8C2_2 6 +8C3_2 5 +y+8C8 =(8C0_2 8 +8C1_2 7 +8C2_2 6 +y+8C8)-8C0_2 8 =(2+1)8 -28 =38 -2804
(1+2x)6(3+ax)=3(1+2x)6+ax(1+2x)6 (1+2x)6 의 전개식의 일반항은 6Cr1 6-r(2x)r= 6Cr2 rxr yy ㉠ 이때 (1+2x)6(3+ax)의 전개식에서 x3 항은 3과 ㉠의 x3항, ax와 ㉠의 x2 항이 곱해질 때 나타난다. ⁄ ㉠의 x3 항은 r=3일 때이므로 ⁄ 6C32 3x3=160x3 ¤ ㉠의 x2 항은 r=2일 때이므로 ⁄ 6C22 2x2=60x2 ⁄, ¤에서 x3 항은 3_160x3+ax_60x¤ =(480+60a)x3 이때 x3의 계수가 360이므로 480+60a=360 ∴ a=-205
(x2 -2)4 의 전개식의 일반항은 4Cr(x 2 )4-r (-2)r =4Cr(-2) r x8-2r (x+3)3 의 전개식의 일반항은 3Csx 3-s 3s 따라서 (x2-2)4 (x+3)3 의 전개식의 일반항은 4Cr(-2) r x8-2r _3Csx 3-s 3s =4Cr_3Cs(-2) r 3s x11-2r-s x4 항은 11-2r-s=4, 즉 2r+s=7(0…r…4, 0…s…3)일 때이므로 이를 만족시키는 r, s의 순서쌍 (r, s)는 (2, 3), (3, 1) 따라서 x4의 계수는 4C2_3C3_(-2) 2 _33 +4C3_3C1_(-2) 3 _3 =648-288=36006
(1+x)+(1+x)¤ +y+(1+x)° yy ㉠ (1+x)+(1+x)¤ +y+(1+x)fi 의 전개식에는 xfl 항이 없으 므로 ㉠의 전개식에서 xfl 의 계수는 (1+x)fl +(1+x)‡ +(1+x)° 의 전개식에서 xfl 의 계수와 같다. n(n-1) 121212_1 따라서 xfl 의 계수는 6C6+7C6+8C6=6C0+7C1+8C2=1+7+28=36 [참고] 6C6=7C7이므로 6C6+7C6+8C6=7C7+7C6+8C6 =8C7+8C6(∵n-1Cr+n-1Cr-1=nCr) =9C7=9C2=3607
(x+a)10 의 전개식의 일반항은 ¡ºC®a10-r xr이때 세 항 x, x2, x4의 계수는 각각 ¡ºC¡a9, ¡ºC™a8, ¡ºC¢a6 이므로
(¡ºC™a8)2=¡ºC¡a9_¡ºC¢a6
452
_a16
=10_210_a15
27a=28 (∵ a+0) ∴ a=;2@7*;
08
10C0_10C0+10C1_10C1+10C2_10C2+y+10C10_10C10 =10C0_10C10+10C1_10C9+10C2_10C8+y+10C10_10C0 에서 주어진 식은 (1+x)10(1+x)10 , 즉 (1+x)20의 전개식에 서 x10의 계수와 같다. 따라서 주어진 식은20C10이므로 n=20, r=10 ∴ n+r=20+10=3009
2C2=3C3이므로 2C2+3C2+4C2+y+20C2 =3C3+3C2+4C2+y+20C2 =4C3+4C2+y+20C2 =5C3+5C2+y+20C2 ⋮ =20C3+20C2=21C310
40C0-40C1+40C2-y-40C39+40C40=0이므로 40C1-40C2+40C3-40C4+y+40C39=40C0+40C40 =1+1=211
원소의 개수가 1인 부분집합의 개수 : 30C1 원소의 개수가 3인 부분집합의 개수 : 30C3 원소의 개수가 5인 부분집합의 개수 : 30C5 ⋮ 원소의 개수가 29인 부분집합의 개수 : 30C29 따라서 원소의 개수가 홀수인 부분집합의 개수는 30C1+30C3+30C5+y+30C29=2 30-1=22912
1145 =(1+10)45 =¢∞Cº+¢∞C¡_10+¢∞C™_102+y+¢∞C¢∞_1045 이때 세 번째 항 이후로는 100으로 나누어떨어지므로 1145 을 100으로 나누었을 때의 나머지는¢∞Cº+¢∞C¡_10을 100으로 나누었을 때의 나머지와 같다. ¢∞Cº+¢∞C¡_10=1+450=451 이므로 구하는 나머지는 51이다.
13
«C¡+«C™+y+«C«=(«Cº+«C¡+«C™+y+«C«)-«Cº =2n -«Cº=2n-1 n=1, 2, 3, y을 차례로 대입하면 1, 3, 7, 15, 31, 63, y으로 n이 짝수일 때 3의 배수가 된다. 따라서 n의 개수는 25이다.14
{x4- } n 의 전개식의 일반항은 nCr(x 4)n-r {- } r =nCr(-1) r yy ❶ 상수항이 존재하려면 4n-4r=3r, 즉 4n=7r이고 0…r…n 인 정수 n, r의 값이 존재해야 한다. 따라서 n, r의 값은 n=7, r=4 또는 n=14, r=8 또는 n=21, r=12 또는 y 즉 n의 최솟값은 7이고, 그때의 r의 값은 4이다. yy ❷ 따라서 구하는 상수항은 7C4_(-1) 4 =35 yy ❸15
13C0+13C1+13C2+y+13C6 =;2!;(13C0+13C1+13C2+y+13C6+13C7y+13C13) =;2!;_213 =212 ∴ n=12 yy ❶ 따라서 방정식 x¤ -12x+a=0의 한 근이 1이므로 1-12+a=0 ∴ a=11 yy ❷ x› « —› ® 1125x‹ ® 1 12x‹ 1 12x‹ 채점 기준 배점 ❶ n의 값 구하기 ❷ a의 값 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점 ❶ {x› - } n 의 전개식의 일반항 구하기 1 14x‹ ❷ n의 최솟값 구하기 ❸ 상수항 구하기 30 % 50 % 20 % 28`~`31`쪽 ● ● ●대단원 마무리하기 ● ● ● 01 ② 02 ② 03 ② 04 ③ 05 ⑤ 06 136 07 ① 08 ① 09 17 10 90 11 ④ 12 8 13 220 14 ③ 15 ④ 16 32 17 28 18 ④ 19 ⑤ 20 ③ 21 3 22 30 23 165 24 45501
두 용기 A, B를 묶어 하나로 생각하면 서로 다른5개의 용기를 원형의 실험 기구에 넣는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24 이때 각각의 경우에 대하여 두 용기 A, B의 위치를 서로 바꿀 수 있으므로 구하는 경우의 수는 24_2=4802
정중앙의 영역을 칠하는 방법의 수는 ¶C¡=7 정중앙을 제외한 정삼각형의 내부에 있는 나머지 세 영역을 칠 하는 방법의 수는 6가지 색에서 3가지 색을 택하여 원형으로 배 열하는 방법의 수와 같으므로 §C£_(3-1)!=40 남은 정삼각형의 외부의 세 영역을 칠하는 방법의 수는 3!=6 따라서 구하는 경우의 수는 7_40_6=1680 [다른 해설] 다음 그림과 같이 7개의 영역에 번호를 붙일 때, 서로 다른 7가 지 색을 모두 사용하여 7개의 영역을 번호 순으로 칠하는 방법 의 수는 7!이다. 이때 7가지 색을 a, b, …, g라 하면 다음 그림과 같이 회전했을 때 같아지는 경우가 3가지씩 나온다. 따라서 구하는 경우의 수는 7!_;3!;=168003
여학생 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (3-1)!=2 각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 달라야 하므로 세 곳에는 각각 1자리, 2자리, 3자리가 있어야 한다. 여학생 사이에 빈 자리 수를 정하는 경우의 수는 3!=6 빈 자리에 남학생을 배정하는 경우의 수는 6! 따라서 구하는 경우의 수는 2_6_6!=12_6! 이므로 n=12 a b c d e gf c a b f d ge b c a e f gd ① ② ③ ④ ⑤⑦⑥15
01.대단원Ⅰ 마무리하기04
일의 자리의 수는 5이어야 하고 나머지 3개의 자리에 들어가는 수 들은 중복이 가능하므로 구하는 경우의 수는 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중 에서 중복을 허락하여 3개를 택하여 일렬로 배열하는 중복순열의 수와 같다. ∴ ∞P£=5‹ =12505
그릇 A에 담을 과일 2개를 선택하는 경우의 수는 ∞C™= =10 나머지 과일 3개를 그릇 B, C에 담는 경우의 수는 ™P£=2‹ =8 따라서 구하는 경우의 수는 10_8=8006
조건 ㈎에서 f(3)은 짝수이므로 ⁄f(3)=2인 경우 ⁄1, 2는 모두 1로 대응되고 4, 5, 6은 각각 3, 4, 5, 6 중 하 나로 대응되므로, 만족하는 함수의 개수는 ⁄ ¡P™_¢P£=1¤ _4‹ =64 ¤f(3)=4인 경우 ⁄1, 2는 각각 1, 2, 3 중 하나로 대응되고 4, 5, 6은 각각 5, 6 중 하나로 대응되므로, 만족하는 함수의 개수는 ⁄ £P™_™P£=3¤ _2‹ =72 ‹f(3)=6인 경우 ⁄1, 2는 각각 1, 2, y, 5 중 하나로 대응되지만 4, 5, 6은 대 응되는 수가 없으므로, 이를 만족하는 함수는 없다. 따라서 구하는 함수의 개수는 64+72=13607
양 끝에 흰색 깃발이 놓이는 경우의 수는 나머지 흰색 깃발3개 와 파란색 깃발5개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 =5608
⁄B를 2곳에 설치하는 경우 : A, B, B, C, C를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 ⁄ =30 ¤B를 3곳에 설치하는 경우 : A, B, B, B, C를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 ¤ =20 ‹B를 4곳에 설치하는 경우 : A, B, B, B, B를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 ¤ =5 ⁄, ¤, ‹에 의해 구하는 경우의 수는 30+20+5=55 [다른 해설] 먼저 A를 설치한 후 남은 4곳에 B, C를 조건에 맞게 설치한다. 5! 134! 5! 133! 5! 1132!2! 8! 1123!5! 5_4 2 A를 설치할 곳을 선택하는 경우의 수는 5 C가 4개 있다고 가정할 때 남은 4곳에 B 또는 C를 설치하는 경 우의 수는 ™P¢=2› =16 이때 C는 2개이므로 16가지 경우 중 C를 4곳에 설치하는 1가 지 경우와 C를 3곳, B를 1곳에 설치하는 4가지 경우는 조건을 만족시키지 않으므로 제외해야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 5_(16-1-4)=5509
0을 한 개 이하로 사용하여 다섯 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우를 다음과 같이 나누어 생각해 보자. ⁄0을 사용하지 않는 경우 다섯 자리 자연수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 5인 수는 11111 한 개 뿐이다. ¤0을 한 개 사용하는 경우 각 자리의 숫자는0, 1, 1, 1, 2로 이루어져야 하므로 이 숫자들을 일렬로 나열하는 경우의 수는 ¤ =20 이때 맨 앞자리에 0이 오는 경우의 수를 빼주어야 하는데 그 경 우의 수는 1, 1, 1, 2를 일렬로 나열하는 경우의 수 =4와같다. 즉, 0을 한 개 사용하여 만들 수 있는 다섯 자리의 자연수의 개수는 20-4=16 따라서 ⁄, ¤에 의해 구하는 자연수의 개수는 1+16=1710
각 과목의 수준Ⅰ의 과제와 수준Ⅱ의 과제 사이에는 순서가 이 미 정해져 있으므로 국어를 K, 수학을 M, 영어를 E라 하면 구 하는 경우의 수는 K, K, M, M, E, E를 일렬로 나열하는 경우 의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 =9011
주어진 조건에 맞게 A지점에서 B지점까지 최단 거리로 가려 면 중간에 있는 E지점, F지점, G지점을 반드시 지나야 한다. ⁄A지점에서 E지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 ↗ 1개, ↘ 3개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 ¤ =4 ¤E지점에서 F지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 ↗ 2개, ↘ 1개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 ¤ =3 ‹F지점에서 G지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 1 3! 1122!1! 4! 1121!3! A C E F G D B 6! 1551555 2!2!2! 4! 143! 5! 143!›G지점에서 B지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 2 따라서 구하는 경우의 수는 4_3_1_2=24
12
A에게 준 공 3개를 제외한 나머지 공 7개를 B, C 2명에게 남김 없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락 하여 7개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 ™H¶=™≠¶–¡C¶=•C¶=•C¡=813
a_b_c가 홀수이므로 a, b, c는 모두 홀수이다. 이때 a…b…c…20이므로 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 1 부터 19까지 10개의 홀수 중에서 중복을 허락하여 3개를 택하 는 중복조합의 수와 같다. ∴ ¡ºH£=¡º≠£–¡C£=¡™C£ ∴ ¡ºH£= =22014
네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택하는 경우 의 수는 ¢H£=¢≠£–¡C£=§C£= =20 yy ㉠ 이때 네 개의 자연수 1, 2, 4, 8은 각각 2‚ , 2⁄ , 2¤ , 2‹ 으로 나타낼 수 있고, 2fl =64, 2‡ =128이므로 ㉠ 중에서 (2‹ , 2‹ , 2‹ ), (2‹ , 2‹ , 2¤ ), (2‹ , 2‹ , 2), (2‹ , 2¤ , 2¤ ) 인 경우는 제외해야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 20-4=1615
⁄ 조건 ㈎에서 5개의 수 a, b, c, d, e 중 0인 두 수를 정하는 경우의 수는 ⁄ ∞C™= =10 ¤a와 b가 0이라 가정하면 조건 ㈏에 의해 ¤ c+d+e=10 (단, cæ1, dæ1, eæ1) ¤이므로 c=c'+1, d=d'+1, e=e'+1이라 하면 ¤ c'+d'+e'=7 (단, c'æ0, d'æ0, e'æ0) …… ㉠ ¤따라서 구하는 순서쌍 (c, d, e)의 개수는 ㉠을 만족하는 순 서쌍 (c', d', e')의 개수와 같고, 이것은 서로 다른 3개의 문 자 c', d', e'에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¤ £H¶=3+7-1C¶=9C¶=9C™= =36 ⁄, ¤에 의하여 구하는 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 10_36=36016
조건 ㈏`에서 2a_4b=2a_22b=2a+2b 이 8=23 의 배수가 되려면 a+2bæ3 이어야 한다. 이를 만족하는 음이 아닌 정수 a, b, c의 순서쌍 (a, b, c)의 개 수는 a+b+c=7의 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수에서 a+2b<3을 만족하는 정수해 (a, b, c)의 개수를 빼면 된다. 9_8 2 5_4 2 6_5_4 111223_2_1 12_11_10 1111123_2_1 ⁄a+b+c=7을 만족시키는 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 3개의 문자 a, b, c에서 중복을 허락하여 7 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ¤ £H¶=3+7-1C7=9C7=9C2= =36 ¤a+2b<3을 만족시키는 a+b+c=7의 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수는 (0, 0, 7), (0, 1, 6), (1, 0, 6), (2, 0, 5) 와 같이 4이다. ⁄, ¤에 의하여 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 36-4=32 [다른 해설] b가 0부터 7까지일 때 a+2bæ3, a+b…7 을 모두 만족하는 0 이상의 정수 a의 값을 구해서 순서쌍 (a, b) 의 개수를 구하면 다음 표와 같다. 이때 a, b가 정해지면 c는 자동으로 정해지므로 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 위의 표의 순서쌍 (a, b)의 개수와 같은 32 이다. [참고] a+2bæ3에서 bæ2이면, a의 값에 관계없이 부등식이 성립하 므로 이때의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 a+b+c=7 (단, aæ0, bæ2, cæ0) 의 정수해와 같다. 이때 b=b'+2라 하면 a+b'+c=5 (단, aæ0, b'æ0, cæ0) …… ㉠ 따라서 bæ2일 때의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 ㉠을 만족하는 순서쌍 (a, b', c)의 개수와 같고, 이는 서로 다른 3개의 문자 a, b', c에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으 므로 3H5=3+5-1C5=7C5=7C2= =2117
3일 동안 상담하는 학생 수는 모두 9명이고 각 요일별로 적어도 한 명의 학생과 상담해야 하므로 a+b+c=9 (단, aæ1, bæ1, cæ1) 이때 a=a'+1, b=b'+1, c=c'+1이라 하면 a'+b'+c'=6 (단, a'æ0, b'æ0, c'æ0) 따라서 작성할 수 있는 상담 계획표의 가짓수는 서로 다른 3개 7_6 2 9_8 2 0 3~7 5 1 1~6 6 b 가능한 정수 a (a, b)의 개수 2 0~5 6 3 0~4 5 4 0~3 4 5 0~2 3 6 0~1 2 7 0 1 합계 32 [참고]와 같이 중 복조합을 이용하 여 계산할 수 있 다. ) » | M } M » M 017
01.대단원Ⅰ 마무리하기 의 문자 a', b', c'에서 중복을 허락하여 6개를 택하는 중복조 합의 수와 같으므로 £H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™= =2818
네 자리의 자연수에서 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자 리의 수를 각각 x, y, z, w라 하면 x+y+z+w=7 (단, xæ1, yæ1, zæ1, wæ1) 이때 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1, w=w'+1이라 하면 x'+y'+z'+w'=3 (단, x'æ0, y'æ0, z'æ0, w'æ0) 따라서 구하는 자연수의 개수는 방정식 x'+y'+z'+w'=3을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같고, 이것은 서로 다른 4 개에서 중복을 허락하여 3개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로 4H3=4+3-1C3=6C3= =20 [다른 해설] 합이 7이 되는 네 자연수는 (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 2) 이다. (1, 1, 1, 4)로 된 네 자리의 수의 개수는 =4 (1, 1, 2, 3)으로 된 네 자리의 수의 개수는 =12 (1, 2, 2, 2)로 된 네 자리의 수의 개수는 =4 따라서 구하는 자연수의 개수는 4+12+4=2019
조건 ㈎에서 a+b+c=6을 만족하는 음이 아닌 정수해 (a, b, c)의 개수는 서로 다른 3개의 문자 a, b, c에서 중복을 허 락하여 6개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 £H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™= =28 그런데 조건 ㈏에서 (1, a), (2, b), (3, c)는 한 직선 위에 있 지 않으므로 + HjK b-a+c-b ∴ 2b+a+c …… ㉠ 이때 조건 ㈎의 a+b+c=6에서 a+c=6-b이므로 ㉠에 대입하면 2b+6-b HjK b+2 b=2인 순서쌍의 개수는 a+c=4를 만족시키는 음이 아닌 정 수해 (a, c)의 개수와 같으므로 ™H¢=™≠¢–¡C¢=∞C¢=∞C¡=5 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 28-5=23 [참고] 세 점 (1, a), (2, b), (3, c)가 한 직선 위에 있는 경우는 세 점의 위치 를 생각하면 오른쪽 그림과 같이 간 단히 구할 수 있지만 해설에서와 같 이 중복조합의 수를 이용하는 방법 도 익혀두도록 하자. O 1 1 2 3 4 2 3 x y c-b 12323-2 b-a 12322-1 8_7 11552 4! 3! 4! 2! 4! 3! 6_5_4 3_2_1 8_7 1155220
첫째 줄에 있는 타일 중 검은색으로 칠할 타일의 개수를 k (k=0, 1, 2, 3)이라 하면 ⁄k=0일 때 ⁄둘째 줄에 있는 n개의 타일 중에 ⁄서 검은색으로 칠할 타일 3개를 고르는 경우의 수는 오른쪽 그림과 같이 검은색 타일 3개 사 이에 칠하지 않은 타일을 1개씩 넣은 후∨표시된 네 곳에 중복을 허락하여 칠하지 않은 타일 (n-5)개를 넣는 경우의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 이다. ¤k=1일 때, ⁄둘째 줄에 있는 n개의 타일 중에서 검은색 ⁄으로 칠할 타일 2개를 고르는 경우의 수는 ⁄오른쪽 그림과 같이 검은색 타일 2개 사이에 칠하지 않은 타 일을 1개씩 넣은 후∨표시된 세 곳에 중복을 허락하여 칠하 지 않은 타일 (n-3)개를 넣는 경우의 수와 같으므로 £H«–£이다. ⁄첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 1개를 고르는 경우의 수 는 둘째 줄에서 검은색으로 칠할 타일의 바로 위쪽에 있는 타 일을 제외한 나머지 (n-2)개의 타일 중 1개의 타일을 고르 는 경우의 수와 같으므로 이다. 그러므로 검은색으로 칠할 타일 3개를 고르는 경우의 수는 £H«–£_(n-2)이다. ‹k=2일 때 ¤와 같은 방법으로 구할 수 있다. ›k=3일 때 ⁄과 같은 방법으로 구할 수 있다. 따라서 S(n)= 이다. 위의 과정에서 f(n)=¢H«–∞, g(n)=n-2이므로 f(10)+g(8)=¢H∞+8-2 =•C∞+6=•C£+6 =56+6=6221
{ax+ }› 의 전개식에서 일반항은 ¢C®(ax)4-r { }® =¢C®a4-r (단, r=0, 1, 2, 3, 4) 이때 상수항은 4-r=r에서 r=2일 때이므로 ¢C™ a¤ =6a¤ 조건에서 상수항이 54이므로 6a¤ =54, a¤ =9 ∴ a=3 (∵ a>0)22
(x+a)fi (a>0)의 전개식에서 일반항은 ∞C®afi —® x® (단, r=0, 1, 2, 3, 4, 5) 따라서 x‹ 의 계수는 ∞C£a¤ =10a¤ 이고 x› 의 계수는 ∞C¢a=5a이다. 이때 10a¤ =5a이므로10a=5 (∵ a>0) ∴a=;2!;
∴ 60a=60_;2!;=30 x› —® x® 1 x 1 x 2(n-2)(2n¤ -8n+9) 3 n-2 ¢H«–∞ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
01
조건 ㈎에 의해서 | f(x)+f(-x)|=1 HjK f(x)+f(-x)=1 또는 f(x)+f(-x)=-1 집합 X={-3, -2,-1, 1, 2, 3}에 대하여 조건 ㈏에 의해서 정의역의 양수인 원소 x에 대하여 공역의 양수인 원소 f(x)의 값을 대응시키면 f(-x)의 값은 다음과 같이 자동으로 정해진 다. ⁄ f(x)+f(-x)=1일 때 ⁄ f(x)=1이라 하면 조건을 만족시키는 f(-x)의 값은 없다. ⁄ f(x)=2라 하면 f(-x)=-1 …… ㉠ ⁄ f(x)=3이라 하면 f(-x)=-2 …… ㉡ ¤ f(x)+f(-x)=-1일 때 ⁄ f(x)=1이라 하면 f(-x)=-2 …… ㉢ ⁄ f(x)=2라 하면 f(-x)=-3 …… ㉣ ¤ f(x)=3이라 하면 조건을 만족시키는 f(-x)의 값은 없다. 따라서 정의역의 원소 1, 2, 3 각각에 대하여 나머지 정의역의 원소 -1, -2, -3의 함숫값을 고려하여 f(x)를 대응시키는 경우는 ㉠`~`㉣의 4가지이므로 구하는 함수 f(x)의 개수는 ¢P£=4‹ =6402
⁄ 조건 ㈎`를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수를 구해 보자. ⁄조건 ㈎`에서 세 자연수 a, b, c는 180=2¤ _3¤ _5의 약수이 다. 즉, ⁄ a=2x¡ _3y¡ _5z¡ , b=2x™_3y™ _5z™ , c=2x£_3y£ _5z£ (단, i=1, 2, 3에 대하여 x‘, y‘, z‘는 음이 아닌 정수) ⁄으로 놓으면 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 ⁄ x¡+x™+x£=2, y¡+y™+y£=2, z¡+z™+z£=1⁄을 만족시키는 각각의 순서쌍 (x¡, x™, x£), (y¡, y™, y£),
(z¡, z™, z£)의 개수의 곱과 같다. ⁄따라서 조건 ㈎를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 ⁄ £H™_£H™_£H¡=¢C™_¢C™_£C¡ ⁄ £H™_£H™_£H¡= _ _3=108 ¤ 조건 ㈎를 만족시키는 순서쌍 중에서 조건 ㈏를 만족시키지 않는 순서쌍의 개수를 구해 보자. ⁄조건 ㈏에서 a+b, b+c, c+a이므로 a, b, c는 서로 다른 수이어야 한다. 즉, a, b, c 중 적어도 두 수가 같은 경우 조건 ㈏를 만족시키지 않는다. ⁄곱이 180이 되는 세 수 중에서 적어도 두 수가 같은 경우는 ⁄ 1_1_180, 2_2_45, 3_3_20, 6_6_5 ⁄이므로 이때의 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 4_ =12 따라서 조건 ㈎, ㈏를 모두 만족시키는 순서쌍 (a, b, c)의 개수 는 108-12=96 [다른 해설] 서로 다른 세 자연수를 곱하여 180이 되는 곱셈식은 다음과 같다. 1_2_90, 1_3_60, 1_4_45, 1_5_36, 1_6_30, 1_9_20, 1_10_18, 1_12_15, 2_3_30, 2_5_18, 2_6_15, 2_9_10, 3_4_15, 3_5_12, 3_6_10, 4_5_9 따라서 구하는 모든 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 16_3!=96 3! 2! 4_3 2 4_3 2 32`쪽 ● ● ● 1등급 만들기● ● ● 01 64 02 96
23
(x-1)n (`n은 자연수)의 전개식에서 일반항은 «C®(-1)n-r xr (단, r=0, 1, 2, y, n) 이때 x2항은 r=2일 때이므로 그 계수는«C™(-1)n-2 이고, 조건에서«C™(-1)n-2 =-55이므로 _(-1)n-2 =-55 ∴ n=11 따라서 x3항은 r=3일 때이므로 그 계수는 ¡¡C£(-1)11-3 = =16524
각 색의 색연필을 적어도 하나씩 포함하므로 구하는 방법의 수 는 3개 중에서 중복을 허락하여 0개, 1개, 2개, y, 12개를 뽑는 방법의 수와 같다. 따라서 구하는 방법의 수는 £Hº+£H¡+£H™+y+£H¡™ =£≠º–¡Cº+£≠¡–¡C¡+£≠™–¡C™+y+£≠¡™–¡C¡™ =™Cº+£C¡+¢C™+∞C£+y+¡¢C¡™ =£Cº+£C¡+¢C™+∞C£+y+¡¢C¡™ (∵™Cº=£Cº=1) =¢C¡+¢C™+∞C£+y+¡¢C¡™ (∵£Cº+£C¡=¢C¡) =∞C™+∞C£+y+¡¢C¡™ (∵¢C¡+¢C™=∞C™) ⋮ =¡¢C¡¡+¡¢C¡™=¡∞C¡™=¡∞C£=455 11_10_9 1111143_2_1 n(n-1) 1111219
04.확률의 뜻과 활용04. 확률의 뜻과 활용
34`~`35`쪽01
표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}이고 A={3, 6}, B={1, 3, 5}, C={2, 4, 6} ⑴ A'B={1, 3, 5, 6}, AÇ ={1, 2, 4, 5} ⑵ B;C=0이므로 B와 C는 서로 배반사건이다.⑴A;B={3}, A;C={6}이므로 A와 B, A와 C는 서로 배
반사건이 아니다.