Ⅲ 통계

X 0 1 2 3 합계

P(X=x) ;8!; ;8#; ;8#; ;8!; 1

⑵ E{-;2!;X+2}=-;2!;E(X)+2={-;2!;}_5+2=-;2!;

⑴V{-;2!;X+2}={-;2!;}²V(X)=;4!;_4=1

⑴r{-;2!;X+2}=|-;2!;|r(X)=;2!;_2=1

04 ⑴ 3의 배수는 3, 6이므로 한 개의 주사위를 1번 던졌을 때,

⑴3의 배수의 눈이 나올 확률은 ;6@;=;3!;

⑴따라서 3의 배수의 눈이 나오는 횟수 X는 이항분포

⑴B{6, ;3!;}을 따른다.

⑵ P(X=x)=6Cx{;3!;}

x

{;3@;}

6-x(x=0, 1, 2, y, 6)

⑶ P(X=2)=6C2{;3!;}

2

{;3@;}

6-2=;2•4º3;

⑷ E(X)=6_;3!;=2, V(X)=6_;3!;_;3@;=;3$;

⑴r(X)="√V(X)=Æ;3$;=1142'33

60`~`61`쪽

● ● ●핵심유형으로개념정복하기^{● ● ●}

핵심유형 1 ;1¶2;

1-1;3!;

핵심유형 2 ;1!5#;

2-1;6!;

핵심유형 3 ;7$;

3-1350원 3-21000

3-3E(X)=;1#8%;, r(X)= 3-4;25#6;

핵심유형 4 2

4-1④ 4-2'∂11 4-336

핵심유형 5 평균：6, 분산：:¡4∞:

5-1;1!2!5@; 5-22'3 5-380 5-4:™5¡:

'ƒ665 122218

핵심유형

1

확률의 총합은 1이므로 ;4%;a+;4!;+a=1

;4(;a=;4#; ∴ a=;3!;

따라서 구하는 확률은

P(Xæ2)=P(X=2)+P(X=3) P(Xæ2)=;4!;+;3!;=;1¶2;

1-1 확률의 총합은 1이므로

P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 + + k-3 =1

112412 1124k-212

1124k-112

3k-6=12 ∴ k=6

∴ P(X¤ -6X+8<0)=P(2<X<4)

=P(X=3)

125246-212

X 1 2 3 합계

P(X=0)=;8!;, P(X=100)=;4!;, P(X=200)=;8!;, P(X=500)=;8!;, P(X=600)=;4!;, P(X=700)=;8!;

이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

∴ E(X)=0_;8!;+100_;4!;+200_;8!;+500_;8!;

∴ E(X)=+600_;4!;+700_;8!;=350 따라서 구하는 기댓값은 350원이다.

3-2 전체 복권의 장수를 x, 복권 한 장으로 받을 수 있는 상금을 확률변수 X라 하면 기대금액이 200원이므로

E(X)=100000_ +10000_ +0_

E(X)= =200 200000=200x ∴ x=1000 따라서 전체 복권의 장수는 1000이다.

39

07.이산확률변수의 확률분포

P(X=0)=;3§6;=;6!;, P(X=1)=;3!6);=;1∞8;,

P(X=2)=;3•6;=;9@;, P(X=3)=;3§6;=;6!;,

P(X=4)=;3¢6;=;9!;, P(X=5)=;3™6;=;1¡8;

이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 확률변수 X에 대하여 E(X)

=0_;6!;+1_;1∞8;+2_;9@;+3_;6!;+4_;9!;+5_;1¡8;

=;1#8%;

V(X)

=0¤ _;6!;+1¤ _;1∞8;+2¤ _;9@;+3¤ _;6!;+4¤ _;9!;

=+5¤ _;1¡8;-{;1#8%;}¤

= - =

r(X)=

3-4 확률의 총합은 1이므로

a+b+c=1 yy ㉠

E(X)=1이므로 0_a+1_b+2_c=1

∴ b+2c=1 yy ㉡

r(X)=;2!;에서 V(X)=;4!;이므로

V(X)=0¤ _a+1¤ _b+2¤ _c-1¤ =;4!;

∴ b+4c=;4%; yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=;8!;, b=;4#;, c=;8!;

∴ abc=;25#6;

핵심유형

4

E(Y)=;3$;에서 E{;3!;X-2}=;3$;

;3!;E(X)-2=;3$;, ;3!;E(X)=;;¡3º;;

∴ E(X)=10

E(Y¤ )=4이므로 V(Y)=E(Y¤ )-{E(Y)}¤ 에서 V(Y)=4-{;3$;}¤ =;;™9º;;

즉, V{;3!;X-2}=;;™9º;;이므로

;9!;V(X)=;;™9º;; ∴ V(X)=20

∴ V(X)=;1@0);=2 1114E(X)

'ƒ665 112418

1166518¤

112122518¤

12356

[다른 해설]

Y¤ =;9!;X-;3$;X+4이므로 E(Y¤ )=4에서

E{;9!;X¤ -;3$;X+4}=4

;9!;E(X¤ )-;3$;E(X)+4=4 E(X)=10이므로

;9!;E(X¤ )-;;¢3º;;+4=4 ∴ E(X¤ )=120 따라서 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =120-10¤ =20 이므로 =;1@0);=2

4-1 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b에서 20=8a+b

V(Y)=V(aX+b)=a¤ V(X)에서 12=3a¤ , a¤ =4 ∴ a=2 (∵ a>0)

∴ b=4 ∴ a+b=6

4-2 확률의 총합은 1이므로

a+a+2a=1, 4a=1 ∴ a=;4!;

즉, 확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 확률변수 X에 대하여

E(X)=(-1)_;4!;+0_;4!;+1_;2!;=;4!;

E(X¤ )=(-1)¤ _;4!;+0¤ _;4!;+1¤ _;2!;=;4#;

∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

∴ V(X)=;4#;-{;4!;}¤ =;1!6!;

즉, r(X)="√V(X)=æ–;1!6!;= 이므로 r(-4X+7)=|-4|r(X)=4_ ='ƒ11

4-3 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은 각각 P(X=0)= =;1£0;

P(X=1)= =;5#;

P(X=2)= =;1¡0;

이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 확률변수 X에 대하여

£Cº_™C™

111244∞C™

£C¡_™C¡

111244∞C™

£C™_™Cº 111244∞C™

1224'ƒ114 1224'ƒ114 1114V(X)E(X)

X 0 1 2 3 4 5 합계

P(X=x) ;6!; ;1∞8; ;9@; ;6!; ;9!; ;1¡8; 1

X -1 0 1 합계

P(X=x) ;4!; ;4!; ;2!; 1

X 0 1 2 합계

P(X=x) ;1£0; ;5#; ;1¡0; 1

E(X)=0_;1£0;+1_;5#;+2_;1¡0;=;5$;

E(X¤ )=0¤ _;1£0;+1¤ _;5#;+2¤ _;1¡0;=1

∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =1-{;5$;}¤ =;2ª5;

∴ V(10X+7)=10¤ V(X)=100_;2ª5;=36

핵심유형

5

3개의 동전을 한 번 던질 때, 2개는 앞면, 1개는 뒷면이 나 올 확률은

£C™{;2!;}¤ {;2!;}⁄ =3_ =;8#;

따라서 확률변수 X는 이항분포 B{16, ;8#;}을 따르므로 E(X)=16_;8#;=6, V(X)=16_;8#;_;8%;=;;¡4∞;;

5-1 확률변수 X는 이항분포 B{3, ;5$;}를 따르므로 X의 확률질 량함수는

P(X=x)=3Cx{;5$;}

x

{;5!;}

3-x(x=0, 1, 2, 3)

∴ P(Xæ2)=P(X=2)+P(X=3)

∴ P(Xæ2)=3C2{;5$;}

2

{;5!;}

1+3C3{;5$;}

3

{;5!;}

0

∴ P(Xæ2)=;1!2!5@;

5-2 확률변수 X는 이항분포 B{50, ;5@;}를 따르므로

V(X)=50_;5@;_;5#;=12

∴ r(X)='∂12=2'3

5-3 E(X)=20, V(X)=15이므로

E(X)=np=20 yy ㉠ V(X)=np(1-p)=15 yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 20(1-p)=15 1-p=;4#; ∴ p=;4!;

p=;4!;을 ㉠에 대입하면 ;4!;n=20

∴ n=80

5-4 확률변수는 X는 이항분포 B{5, ;1£0;}을 따르므로

V(X)=5_;1£0;_;1¶0;=;2@0!;

∴ V(2X+5)=2¤ V(X)

∴ V(2X+5)=4_;2@0!;=;;™5¡;;

132‹1

62`~`63`쪽

● ● ●기출문제로내신대비하기^{● ● ●}

01 ③ 02 ;6!; 03 90 04 14

05 2800원 06 ② 07 2'5 08 17

09 :¡5•: 10 0.0466 11 ② 12 5

13 42 14 5 15 80

01 확률의 총합이 1이므로

;3!;+a+;2!;=1 ∴ a=;6!;

X¤ -2X-3<0에서

(X+1)(X-3)<0 ∴ -1<X<3

∴ P(X¤ -2X-3<0)=P(-1…X<3)

∴ P(X¤ -2X-3<0)=P(X=0)+P(X=1)

∴ P(X¤ -2X-3<0)=;6!;+;2!;=;3@;

02 ⁄ 나오는 눈의 수의 합이 2인 경우는 (1, 1)의 1가지이므로

⁄ P(X=2)=;3¡6;

¤ 나오는 눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지 이므로

⁄ P(X=3)=;3™6;

‹ 나오는 눈의 수의 합이 4인 경우는 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지이므로

⁄ P(X=4)=;3£6;

⁄, ¤, ‹에서

P(2…X…4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) P(2…X…4)=;3¡6;+;3™6;+;3£6;=;3§6;=;6!;

03 ^P(X=x)= =k{ - } (x=1, 2, 3, 4, 5) 확률의 총합은 1이므로

k{;1!;-;2!;}+k{;2!;-;3!;}+y+k{;5!;-;6!;}=1

k[{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{;5!;-;6!;}]=1

k{1-;6!;}=1, ;6%;k=1 ∴ k=;5^;

즉, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

E(X)=1_;5#;+2_;5!;+3_;1¡0;+4_;5£0;+5_;2¡5;

E(X)=;5*0&;

∴ E(50X+3)=50E(X)+3 112x+11 1x1 111244x(x+1)k

X 1 2 3 4 5 합계

P(X=x) ;5#; ;5!; ;1¡0; ;5£0; ;2¡5; 1

41

07.이산확률변수의 확률분포

∴ E(50X+3)=50_;5*0&;+3=90

04 확률의 총합이 1이므로

;7$;+a+b=1 ∴ b=;7#;-a yy ㉠ 이때 a¤ =;7$;b이므로 이 식에 ㉠을 대입하면

a¤ =;7$; {;7#;-a}, 49a¤ +28a-12=0 (7a+6)(7a-2)=0

∴ a=;7@; (∵ 0…a…1)

a=;7@;를 ㉠에 대입하면 b=;7!;

X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

이때 확률변수 X의 평균이 30이므로

E(X)=k_;7$;+3k_;7@;+5k_;7!;=30

=30 ∴ k=14

05 흰 공 4개, 검은 공 5개가 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 공을 꺼낼 때, 나오는 결과에 따른 상금은 다음과 같다.

⁄ 검은 공 2개를 꺼낼 때 받는 상금은 2_1800=3600(원)

¤ 흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼낼 때 받는 상금은 900+1800=2700(원)

‹ 흰 공 2개를 꺼낼 때 받는 상금은 2_900=1800(원)

한 번의 놀이에서 받을 수 있는 상금을 확률변수 X라 하면 X 가 가질 수 있는 값은 1800, 2700, 3600이고, 그 확률은 각각

P(X=1800)= =;6!;

P(X=2700)= =;9%;

P(X=3600)= =;1∞8;

이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

∴ E(X)=1800_;6!;+2700_;9%;+3600_;1∞8;=2800 따라서 구하는 기댓값은 2800원이다.

06 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이고, 그 확률은 각각 P(X=0)=£Cº_∞C£=;2∞8;

111244•C£

¢Cº_∞C™

111244ªC™

¢C¡_∞C¡

111244ªC™

¢C™_∞Cº 111244ªC™

1115k7

X k 3k 5k 합계

P(X=x) ;7$; ;7@; ;7!; 1

X 1800 2700 3600 합계 P(X=x) ;6!; ;9%; ;1∞8; 1

P(X=1)= =;2!8%;

P(X=2)= =;5!6%;

P(X=3)= =;5¡6;

이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 확률변수 X에 대하여

E(X)=0_;2∞8;+1_;2!8%;+2_;5!6%;+3_;5¡6;=;8(;

E(X¤ )=0¤ _;2∞8;+1¤ _;2!8%;+2¤ _;5!6%;+3¤ _;5¡6;=;5(6(;

∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =;5(6(;-{;8(;}¤ =;4@4@8%;

07 E(X)=a, E(X¤ )=a+1이므로

V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =a+1-a¤

∴ V(4X-1)=16V(X)=16(a+1-a¤ )

∴ V(4X+1)=16[-{a-;2!;}¤ +;4%;]

∴ V(4X+1)=-16{a-;2!;}¤ +20

따라서 V(4X-1)은 a=;2!;일 때 최댓값 20을 가지므로 r(4X-1)의 최댓값은 '∂20=2'5

08 확률변수 X에 대하여

E(X)=1_;8!;+2_;8#;+3_;8#;+4_;8!;=;2%;

E(X¤ )=1¤ _;8!;+2¤ _;8#;+3¤ _;8#;+4¤ _;8!;=7

∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =7-{;2%;}¤ =;4#;

E(Y)=11에서

E(aX+b)=11, aE(X)+b=11

∴ ;2%;a+b=11 yy ㉠ 또 V(Y)=12에서

V(aX+b)=12, a¤ V(X)=12, a¤ _;4#;=12 a¤ =16 ∴ a=4 (∵ a>0)

a=4를 ㉠에 대입하면 b=1

∴ a¤ +b¤ =4¤ +1¤ =17

09 확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3이고, 그 확률은 각각 P(X=1)= =;5!;

P(X=2)= =;5#;

P(X=3)=¢C£_™Cº=;5!;

111244§C£

¢C™_™C¡

111244§C£

¢C¡_™C™

111244§C£

£C£_∞Cº 111244•C£

£C™_∞C¡

111244•C£

£C¡_∞C™

111244•C£

X 0 1 2 3 합계

P(X=x) ;2∞8; ;2!8%; ;5!6%; ;5¡6; 1

이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 확률변수 X에 대하여

E(X)=1_;5!;+2_;5#;+3_;5!;=2 E(X¤ )=1¤ _;5!;+2¤ _;5#;+3¤ _;5!;=:™5™:

∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =:™5™:-2¤ =;5@;

∴ V(3X-2)=3¤ V(X)=:¡5•:

10 실제로 콘도에 투숙하러 오는 예약한 사람 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B(22, 0.8)을 따르므로

P(X=x)=™™C_x0.8^x_0.2^22-x(x=0, 1, 2, y, 22) 방이 부족하려면 X>20이어야 하므로 구하는 확률은

P(X>20)=P(X=21)+P(X=22)

=™™C™¡0.8¤ ⁄ _0.2+™™C™™0.8¤ ¤ _0.2‚

=22_0.009_0.2+1_0.007_1

=0.0466

11 E(X)=48p, V(X)=48p(1-p)이므로 {E(X)}¤ =V(X)에서

(48p)¤ =48p(1-p), 48p=1-p (∵ p+0)

∴ p=;4¡9;

12 동전을 10번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 Y라 하면 뒷면이 나오는 횟수는 10-Y이므로

X=4Y-3(10-Y)=7Y-30

한편 동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 확률은 ;2!;이므로 Y는 이항분포 B{10, ;2!;}을 따른다.

∴ E(Y)=10_;2!;=5

∴ E(X)=E(7Y-30)=7E(Y)-30

=7_5-30=5

13 장난감이 불량품이 아닐 확률은 1-;7!;=;7^;

상자가 불량품이 아닐 확률은 1-;5¡0;=;5$0(;

포장한 상품이 불량품이 아니기 위해서는 장난감과 상자가 모두 불량품이 아니어야 하므로 그 확률은

;7^;_;5$0(;=;2@5!;

따라서 확률변수 X는 이항분포 B{50, ;2@5!;}을 따르므로 E(X)=50_;2@5!;=42

X 1 2 3 합계

P(X=x) ;5!; ;5#; ;5!; 1

14 확률의 총합이 1이므로

;6!;+ + =1

=1, 3a+3=6 ∴ a=1

따라서 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

yy ❶

확률변수 X에 대하여

E(X)=1_;6!;+2_;3!;+3_;2!;=;3&;

E(X¤ )=1¤ _;6!;+2¤ _;3!;+3¤ _;2!;=6

∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

∴ V(X)=6-{;3&;}¤ =;9%; ^{yy ❷}

∴ V(3X+2)=3¤ V(X)=9_;9%;=5 ^{yy ❸}

15 (4+a)개의 공이 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 꺼낼 때 검 은 공이 나올 확률은 이다.

따라서 확률변수 X는 이항분포 B{n, }를 따르므로

E(X)=n_ =48 yy㉠

V(X)=n_ _ =16 yy㉡ yy ❶

㉠을 ㉡에 대입하면

48_ =16, 4+a=12 ∴ a=8 yy ❷ a=8을 ㉠에 대입하면

n_;1•2;=48 ∴ n=72 ^{yy ❸}

∴ n+a=80 yy ❹

1124+a4

1124+a4 1124+aa

1124+aa

1124+aa 1124+aa

112443a+36

112442a+16 1144a+16

채점 기준 배점

❶ E(X), V(X)를 n, a를 사용하여 나타내기

❷ a의 값 구하기

❸ n의 값 구하기

❹ n+a의 값 구하기

30 % 30 % 30 % 10 %

채점 기준 배점

❶ 확률변수 X의 확률분포표 작성하기

❷ V(X) 구하기

❸ V(3X+2) 구하기

40 % 40 % 20 %

X 1 2 3 합계

P(X=x) ;6!; ;3!; ;2!; 1

43

08.연속확률변수의 확률분포

05 ⑴ E(X)=100_;2!;=50

⑴r(X)=Æ…100_;2!;_;2!;='∂25=5

⑴따라서 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(50, 5²)을 따 른다.

⑵ E(X)=72_;3!;=24

⑴r(X)=Æ…72_;3!;_;3@;=4

⑴따라서 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(24, 4²)을 따 른다.

08. 연속확률변수의 확률분포

64`~`65`쪽

01 ⑴ P(1…X…2)는 오른쪽 그림과 같이 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, x=2로 둘러싸 인 도형의 넓이와 같으므로

⑴ P(1…X…2)

⑴ =;2!;_{;8!;+;4!;}_1=;1£6;

⑵ P(Xæ3)은 오른쪽 그림과 같이 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=3, x=4로 둘러싸인 도 형의 넓이와 같으므로

⑴ P(Xæ3)

⑴ =;2!;_{;8#;+;2!;}_1=;1¶6;

03 ⑴ P(-1…Z…1)=P(-1…Z…0)+P(0…Z…1)

⑴ P(-1…Z…1)=P(0…Z…1)+P(0…Z…1)

⑴ P(-1…Z…1)=0.3413+0.3413=0.6826

⑵ P(1.5…Z…2.5)=P(0…Z…2.5)-P(0…Z…1.5)

=0.4938-0.4332=0.0606

⑶ P(Zæ2)=P(Zæ0)-P(0…Z…2)

⑶ P(Zæ2)=0.5-P(0…Z…2)

⑶ P(Zæ2)=0.5-0.4772=0.0228

⑷ P(Zæ-2.5)=P(Z…2.5)

⑷ P(Zæ-2.5)=P(Z…0)+P(0…Z…2.5)

⑷ P(Zæ-2.5)=0.5+P(0…Z…2.5)

⑷ P(Zæ-2.5)=0.5+0.4938=0.9938

04 ⑴ 확률변수 X의 평균이 40, 표준편차가 10이므로

⑴ Z=

⑵ P(50…X…65)=P{ …Z… }

⑴ P(50…X…65)=P(1…Z…2.5)

⑴ P(50…X…65)=P(0…Z…2.5)-P(0…Z…1)

⑴ P(50…X…65)=0.4938-0.3413

⑴ P(50…X…65)=0.1525

65-40 111210 50-40

111210 1112X-4010

;8#;

O 3 4 x

y

;2!;

f{x}=;8!;x

O 1 2 4 x

y

;8!;

;4!; f{x}=;8!;x

● ● ● 개념확인^{● ● ●} 01 ⑴ ;1£6; ⑵ ;1¶6;

02 ⑴ N(16, 3²) ⑵ N(5, 5²)

03 ⑴ 0.6826 ⑵ 0.0606 ⑶ 0.0228 ⑷ 0.9938

04 ⑴ Z= ⑵ 0.1525

05 ⑴ N(50, 5²) ⑵ N(24, 4²) 1112X-4010

핵심유형

1

함수 f(x)=a|x-4|의 그래프 와 x축 및 두 직선 x=0, x=8로 둘러싸인 도형의 넓이는 1이므로

;2!;_4_4a+;2!;_4_4a

=1

16a=1 ∴ a=;1¡6;

이때 P(3…X…6)은 위의 그림의 색칠한 도형의 넓이와 같으므로

P(3…X…6)=;2!;_1_;1¡6;+;2!;_2_;8!;=;3∞2;

1-1 함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 는 1이므로

;2!;_(1+3)_a=1, 2a=1

∴ a=;2!;

1-2 함수 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 는 1이므로

;2!;_2_a=1 ∴ a=1

O 34 6 8

2a a 4a

x y

y=a|x-4|

66`~`67`쪽

● ● ●핵심유형으로개념정복하기^{● ● ●}

핵심유형 1 ;3∞2;

1-1;2!; 1-2;8#; 1-3④

핵심유형 2 ④

2-1C, D 2-2②

핵심유형 3 35

3-10.8413 3-22명 3-36

핵심유형 4 ②

4-10.8413 4-20.0228 4-3186

1…x…2에서 함수 y= f(x)의 그래프는 두 점 (1, 1), (2, 0)을 지나는 직선이므로

y= (x-2) 즉, f(x)=-x+2 (1…x…2)

따라서 f{;2#;}=;2!;이고, P{1…X…;2#;}은 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x=1, x=;2#;으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으므로

P{1…X…;2#;}=;2!;_{1+;2!;}_;2!;=;8#;

1-3 ①, ② 0…x…4에서 f(x)æ0이므로

② f('5)æ0, f('3)æ0

③ f(0)=b이므로 bæ0

④ f(4)=4a+b이므로 4a+bæ0 ∴ 4aæ-b

⑤ 함수 y=f(x)의 그래프와` x축 및 두 직선 x=0, x=4

⑤로 둘러싸인 사다리꼴의 넓이는 1이므로

⑤ ;2!;_{ f(0)+f(4)}_(4-0)=1

⑤ ∴ f(0)+f(4)=;2!;

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

핵심유형

2

ㄱ. x¡<x™일 때,

ㄱ. P(x¡…X…x™)=P(X…x™)-P(X…x¡) (거짓) ㄴ. 정규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 ㄱ. P(X…m)=P(Xæm)=0.5 (참) ㄷ. 정규분포곡선과 x축 사이의 넓이가 1이므로 ㄱ. P(X…a)+P(Xæa)=1 (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

2-1 평균을 m이라 할 때, 정규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭인 종 모양이므로 평균이 가장 큰 것은 C이다.

또 표준편차가 클수록 정규분포곡선의 가운데 부분의 높이 는 낮아지면서 폭은 넓어지므로 표준편차가 가장 큰 것은 D 이다.

2-2 정규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 P(X…7)=P(Xæ15)에서 m= =11

또한` V{;3!;X}=4에서

{;3!;}¤ V(X)=4 ∴ V(X)=36 즉, r¤ =36이므로 r=6 (∵ r>0)

∴ m+r=11+6=17

핵심유형

3

확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(8, 3²), N(15, 10²)을 따르므로

1117+152

1121-01-2 ^{O 1 2}

1

;2!;

;2#;

y

y=f(x)

x

Z˛= , ZÁ=

로 놓으면 Z˛, ZÁ는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

P(11…X…14)=P(25…Y…a)에서

P{ …Z˛… }

=P{ …ZÁ… }

∴ P(1…Z˛…2)=P{1…ZÁ… }

따라서 =2이므로

a-15=20 ∴ a=35

3-1 음료수 한 잔의 양을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(180, 4¤ )을 따르므로 Z= 으로 놓으면 Z는 표 준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

∴ P(X…184)=P{Z… }

∴ P(X…184)=P(Z…1)

∴ P(X…184)=P(Z…0)+P(0…Z…1)

∴ P(X…184)=0.5+0.3413=0.8413

3-2 학생들의 수학 성적을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(72, 6²)을 따르므로 Z= 로 놓으면 Z는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따른다.

∴ P(Xæ84)=P{Zæ }=P(Zæ2)

=P(Zæ0)-P(0…Z…2)

=0.5-0.48=0.02 따라서 수학 성적이 84점 이상인 학생 수는

0.02_100=2(명)

3-3 Z= 로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따 르므로 P(Xæa+12)=0.0228에서

P{Zæ }=0.0228, P{Zæ }=0.0228 P(Zæ0)-P{0…Z… }=0.0228

0.5-P{0…Z… }=0.0228

∴ P{0…Z… }=0.4772 이때 P(0…Z…2)=0.4772이므로

=2 ∴ a=6

핵심유형

4

확률변수 X는 이항분포 B{720, ;6!;}을 따르므로 1a3

1a3 1a3

1a3

1a3 a+12-12

111113 1112X-123

84-72 11126 1112X-726

184-180 111124 X-180 111234 111a-1510

111a-1510 111a-1510

25-15 111210

11114-83 11111-83

1114Y-1510 111X-83

45

08.연속확률변수의 확률분포

E(X)=720_;6!;=120 V(X)=720_;6!;_;6%;=100

즉, X는 근사적으로 정규분포 N(120, 10²)을 따르므로 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

∴ P(125…X…135)

∴=P{ …Z… }

∴=P(0.5…Z…1.5)

∴=P(0…Z…1.5)-P(0…Z…0.5)

∴=0.4332-0.1915=0.2417

4-1 확률변수 X에 대하여 E(X)=225_;5$;=180 V(X)=225_;5$;_;5!;=36

즉, X는 근사적으로 정규분포 N(180, 6²)을 따르므로 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

∴ P(X…186)=P{Z… }

∴ P(X…186)=P(Z…1)

∴ P(X…186)=P(Z…0)+P(0…Z…1)

∴ P(X…186)=0.5+0.3413=0.8413

4-2 180명 중‘예’라고 대답하는 학생 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{180, ;6!;}을 따르므로

E(X)=180_;6!;=30, V(X)=180_;6!;_;6%;=25 즉, X는 근사적으로 정규분포 N(30, 5²)을 따르므로 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

따라서 구하는 확률은

P(Xæ40)=P{Zæ }=P(Zæ2) P(Xæ40)=P(Zæ0)-P(0…Z…2) P(Xæ40)=0.5-0.4772=0.0228

4-3 확률변수 X는 이항분포 B(10000, 0.02)를 따르므로 E(X)=10000_0.02=200

V(X)=10000_0.02_0.98=196

따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(200, 14²)을 따른다.

이때 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로

X-200 1112314

40-30 11125 1112X-305

186-180 111126 X-180

111236

135-120 1111210 125-120

1111210 X-120

1112310

P(a…X…214)

=P{ …Z… }

=P{ …Z…1}

=P{ …Z…0}+P(0…Z…1)

=P{0…Z…- }+0.3413

=0.6826

∴ P{0…Z…- }=0.3413 이때 P(0…Z…1)=0.3413이므로

- a-200 =1 ∴ a=186 1112314

a-200 1112314

a-200 1112314 a-200

1112314 a-200 1112314

214-200 1111214 a-200

1112314

68`~`69`쪽

● ● ●기출문제로내신대비하기^{● ● ●}

01 ;8!; 02 ;4#; 03 ③ 04 ②

05 16 % 06 영어 07 21 08 52점

09 0.9772 10 0.9332 11 0.8413 12 ① 13 81.7점 14 0.9938

01 함수 y= f(x) 의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이므로

;2!;_8_2k=1 ∴ k=;8!;

02 함수 f(x)=ax의 그래프와 x축 및 직선 x=6으로 둘러싸인 부분의 넓이 가 1이므로

;2!;_6_6a=1

∴ a=;1¡8;

∴ P(3…X…6)=;2!;_{;6!;+;3!;}_3=;4#;

03 세 고등학교 A, B, C의 수학 성적의 평균을 각각 mÅ, mı, mÇ, 표준편차를 각각 rÅ, rı, rÇ라 하면 두 학교 A, B, C의 정규분 포곡선이 각각 직선 x=mÅ, x=mı, x=mÇ에 대하여 대칭이 므로

mÅ<mı=mÇ

또 표준편차가 클수록 정규분포 곡선의 가운데 부분의 높이는 낮아지고 옆으로 퍼지므로 rÅ<rı<rÇ

① mÅ<mı이므로 A학교 학생보다 B학교 학생들의 성적이 더 높다.

② rÅ<rı이므로 B학교 학생보다 A학교 학생들의 성적이 더 고르다.

O 3 6

6a3a

x y

y=f(x)

O 2 8

2k

x y

y=f(x)

④ mÅ<mÇ이므로 A학교보다 C학교에 성적이 우수한 학생들 이 더 많다.

⑤ rÅ<rÇ이므로 A학교 학생보다 C학교 학생의 성적의 표준 편차가 더 크다.

04 ^Z= 로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므 로 P(36…X…k)=0.8185에서

P{ …Z… }=0.8185

P{-1…Z… }=0.8185

P(-1…Z…0)+P{0…Z… }=0.8185

P(0…Z…1)+P{0…Z… }=0.8185

0.3413+P{0…Z… }=0.8185

∴ P{0…Z… }=0.4772 이때 P(0…Z…2)=0.4772이므로

=2, k-42=12

∴ k=54

05 수축기 혈압을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(120, 10¤ ) 을 따르므로 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

∴ P(Xæ130)=P{Zæ }=P(Zæ1)

∴ P(Xæ130)=P(Zæ0)-P(0…Z…1)

∴ P(Xæ130)=0.5-0.34=0.16

따라서 수축기 혈압이 130 mmHg 이상인 선생님은 전체의 16 %이다.

06 반 학생들의 성적을 확률변수 X라 하면 X가 정규분포 N(m, r¤ ) 을 따를 때, Z= 의 값이 클수록 성적이 좋은 편이다.

국어： =0.5

영어： =1.5

수학： =1

따라서 가장 성적이 좋은 과목은 영어이다.

07 지원자의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(390, 8¤ ) 을 따른다.

이때 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1) 을 따르므로

X-390 215552525558 81-67 215515514 91-82 21551556 85-80 215515510

2155155X-mr

130-120 215552515510 X-120

21552515510 215515k-426

215515k-426 215515k-426

215515k-426 215515k-426 215515k-426

215515k-426 36-42

21551556 2155155X-426

P(Xæ402)=P{Zæ } P(Xæ402)=P(Zæ1.5)

P(Xæ402)=P(Zæ0)-P(0…Z…1.5) P(Xæ402)=0.5-0.43=0.07

∴ n=300_0.07=21

08 학생들의 수학 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(72, 16¤ )을 따르므로 Z= 로 놓으면 Z는 표준정 규분포 N(0, 1)을 따른다.

360등인 학생의 점수를 k점이라 하면

P(Xæk)=;4#0^0);=0.9, P{Zæ }=0.9 P{ …Z…0}+P(Zæ0)=0.9 P{ …Z…0}+0.5=0.9 P{ …Z…0}=0.4

∴ P{0…Z…- }=0.4 이때 P(0…Z…1.25)=0.4이므로

- =1.25 ∴ k=52 따라서 360등인 학생의 점수는 52점이다.

09 확률변수 X에 대하여

E(X)=288_;3!;=96, V(X)=288_;3!;_;3@;=64 따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(96, 8¤ )을 따르므로 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

∴ P(Xæ80)=P{Zæ }

∴ P(Xæ80)=P(Zæ-2)

∴ P(Xæ80)=P(-2…Z…0)+0.5

∴ P(Xæ80)=P(0…Z…2)+0.5

∴ P(Xæ80)=0.4772+0.5=0.9772

10 A회사의 제품을 택할 확률은 ;1™0º0;=;5!;이므로 400명의 고객 중 A회사의 제품을 택하는 고객의 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B{400, ;5!;}을 따른다.

∴ E(X)=400_;5!;=80, V(X)=400_;5!;_;5$;=64 따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(80, 8¤ )을 따르므로 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

∴ E(X)=400_;5!;=80, V(X)=400_;5!;_;5$;=64 따라서 X는 근사적으로 정규분포 N(80, 8¤ )을 따르므로 Z= 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

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