전기회로11(rlc병렬회로) u

4

R

-L-C 병렬 회로

학습 목표│ 1. R`-`L`-`C 병렬 회로의 특성에 대하여 설명할 수 있다. 2. R`-`L`-`C 병렬 회로를 복소수에 의해 계산할 수 있다. 3. R`-`L`-`C 병렬 회로에서 전압과 전류 관계를 벡터 표기법으로 나타낼 수 있다. 저항, 코일, 콘덴서 등을 접속하는 방법으로 병렬 접속이 있다. 저항, 코일, 콘덴서 등의 회로 소자의 병렬 접속은 그림 Ⅲ-35에 나타낸 것과 같이 연결함으로써 각 소자 들에 걸리는 전압이 모두 동일하도록 연결한 것이다. 따라서, 키르히호프의 전류 법칙 에 의해 다음 관계식이 성립한다. ˙ I= ˙I¡+ ˙I™+yy+˙I« ˙ I= + +yy+ _={ + yy+ _{} ˙V} ˙ I= (Ⅲ-75) 위 식 (Ⅲ-75)에서 임피던스 ˙Z의 역수 ˙Y= 을 어드미턴스라 한다. 앞 장의 R`-`L`-`C 직렬 회로에서는 각 회로 소자에 흐르는 전류가 동일하였기 때문에 임피던 스를 이용하여 전압, 전류의 관계를 구하는 것이 편리하였다. 그러나 병렬 회로에서는 각 회로 소자에 걸리는 전압이 동일하기 때문에 어드미턴스를 이용하여 연산하는 것 이 편리하다. 임피던스 Z가 다음 식으로 주어질 경우의 어드미턴스를 구해 본다. 1 ˙ Z ˙ V ˙ Z ˙1 ˙ Z« 1 ˙ Z™ ˙1 ˙ Z¡ ˙V ˙ Z« ˙V ˙ Z™ ˙V ˙ Z¡ 회로 소자 1 회로 소자 2 회로 소자 n n V I I¡ I™ I +

-어드미턴스

1

그림 Ⅲ-35 병렬 회로 구성

R

`-`L 병렬 회로

2

˙ Z=R＋jX [X] (Ⅲ-76) H Y= = = ・ H Y= ＋j [ ] (Ⅲ-77) 여기서, G= [ ], B= [ ] (Ⅲ-78) 이라고 놓으면 H Y=G＋jB [ ] (Ⅲ-79) 로 표시된다. 이때 어드미턴스 HY의 실수부 G를 컨덕턴스, 허수부 B를 서셉턴스라 하 며 HY, G, B의 단위로는 모(mho, 기호로는 [ ] 또는 [X—⁄ ])가 사용된다. X X X -X R¤ +X¤ X R R¤ +X¤ X -X R¤ +X¤ R R¤ +X¤ R-jX R-jX 1 R+jX 1 R+jX 1 ˙ Z 그림 Ⅲ-36의 (a)와 같은 R`-`L 병렬 회로의 전압, 전류의 관계에 대해 알아보기로 한다. 이 경우도 직렬 회로와 마찬가지로 벡터도를 이용하면 편리하다. 그러나 병렬 회로의 경우는 각 회로 소자에 걸리는 전압이 동일하므로, 그림 Ⅲ-36의 (b)와 같이 전압을 기준 벡터로 벡터도를 그리기로 한다. 그림 (b)의 벡터도로부터, 다음 관계가 성립함을 알 수 있다. I="√I ¤‰+çI ¤Ò=æ≠{ }¤ +{ }¤=V・æ≠{ }¤ +{ }¤ = = [A] (Ⅲ-80) h I‰ IÒ I V V I=I‰+IÒ IÒ I‰ R O L V Z V 1 xL 1 R V xL V R 그림 Ⅲ-36 R-L 병렬 회로와 벡터도 (a) 병렬 회로 (b) 벡터도 1 æ≠{ }¤ +{ }¤ 1 xL 1 R

따라서, R`-`L 병렬 회로의 합성 임피던스 Z [X]은 Z=;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;!;;;;;;;;;;;;;;;;;;;=;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;!;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; [X] (Ⅲ-81) 이다. 또한, 그림 Ⅲ-36의 (b)의 벡터도로부터, R`-`L 병렬 회로에서도 R`-`L 직렬 회로와 마찬가지로 전류 ˙I는 전압 ˙ V보다 위상이 뒤짐을 알 수 있다. 이 경우 위상차는 다음과 같이 된다. tan h= = = =

∴ h=tan—⁄ =tan—⁄ =tan—⁄ R [rad] (Ⅲ-82)

2pfL R xL IÒ I‰ R 2pfL R xL IÒ I‰ V xL V R æ≠{ }¤+{ }¤ 1 xL 1 R æ≠{ }¤ +{ }¤ 1 xL 1 R æ≠{ }¤ +{ }¤ 1 2pfL 1 R 3 [X]의 저항과 4 [X]의 유도 리액턴스의 병렬 회로가 있다. 이 병렬 회로의 임피던스 Z는 몇 [X]인가? 풀이│식 (Ⅲ-81)로부터 Z= 1 = 1 = = 3_4 _{=:¡5™:=2.4 [X]} "√3¤ _≈4Ω¤ 1 예제

₂₁

R

`-`C 병렬 회로

3

R`-`C 병렬 회로의 전압, 전류의 관계는 R`-`L 병렬 회로의 경우와 마찬가지로 구 할 수 있다. 그림 Ⅲ-37의 (a)와 같은 R`-`C 병렬 회로의 전압, 전류 관계를 나타내는 벡터도는 그림 Ⅲ-37의 (b)와 같이 그려지므로, 이 벡터도로부터 다음 관계가 성립함을 알 수 있다. æ≠{;3!;}¤+{;4!;}¤ Æ≠ 3¤ +4¤ 3¤ _4¤

I="√I ¤‰+çI ¤≈Ç =Æ{≠≠ }¤+(xCV)¤ =VÆ{≠ }¤+(xC)¤ I= = [A] (Ⅲ-83) 따라서, R`-`C 병렬 회로의 합성 임피던스 Z [X]은 다음과 같다. Z= = [X] (Ⅲ-84) 또한, 그림 Ⅲ-37의 (b)의 벡터도로부터, R`-`C 병렬 회로에서도 R`-`C 직렬 회로 와 마찬가지로 전류 HI는 전압 HV보다 위상이 앞섬을 알 수 있다. 이 경우 위상차는 다 음 식과 같이 된다. tan h= = =x CR=2pfCR

∴ h=tan—⁄ x CR=tan—⁄ 2pfCR [rad] (Ⅲ-85) xCV IÇ I‰ V Z V 1 R V R V R 1 æ≠{ }¤+(xC)¤ 1 R 1 æ≠{ }¤+(xC)¤ 1 R 1 æ≠{ }¤+(2pfC)¤ 1 R Æ{≠≠ }¤+(xC)¤ 1 R æ{;6≠!;} ¤ +≠{;8!;}¤ 6 [X]의 저항과 8 [X]의 용량 리액턴스의 병렬 회로가 있다. 이 병렬 회로의 임피던스 Z는 몇 [X]인가? 풀이│식 (Ⅲ-84)로부터 Z= 1 = 1 = 6_8 _{=;1$0*;=4.8 [X]} "6√¤ +8¤ 예제

₂₂

그림 Ⅲ-37 R`-`C 병렬 회로와 벡터도 h I=I‰+IÇ IÇ I‰ I‰ IÇ I V O R C (a) 병렬 회로 (b) 벡터도

그림 Ⅲ-38의 (a)와 같은 L`-`C 병렬 회로에서는 L에 흐르는 전류 ˙IÒ과 C에 흐르 는 전류 ˙IÇ는 위상이 p [rad]만큼 다르다.(즉, 방향이 반대이다.) 따라서, 전류 ˙I의 크 기는 ˙IÒ과 ˙IÇ의 크기의 차가 된다. 전압, 전류의 관계는 그림 Ⅲ-38의 (b)의 벡터도로부터 <xC의 경우, 다음 관계 가 성립함을 알 수 있다. I=IÇ+IÒ=xCV- ={xC- }V I_{=;;;;;;;;;;;;;;;;V;;;;;;;;;;;;;=} [A] (Ⅲ-86) 또한, xC< 의 경우는 다음과 같이 된다. I=IÒ-IÇ= -xCV={ -xC}V I_{=;;;;;;;;;;;;;;;;V;;;;;;;;;;;;;=} [A] (Ⅲ-87) 그리고 L`-`C 병렬 회로에서 HV와 HI의 위상차는 항상 [rad]이지만, 과 xC의 크기에 의해 HV와 HI의 위상 관계가 결정된다. 즉, HI는 HV에 대해서 1 xL p 2 V Z 1 xL V xL 1 xL V Z 1 xL V xL O I=IÒ+IÇ V IÇ IÒ IÒ 2 p 2 p IÒ IÇ I V C L 1 xL 1 xC- 1 xL

L

`-`C 병렬 회로

4

그림 Ⅲ-38 L`-`C 병렬 회로와 벡터도 (a) 병렬 회로 _{(b) 벡터도} { 1 <xC의 경우} xL 1 -xC 1 xL

<xC의 경우, IÒ<IÇ이고 HI는 HV보다 [rad] 앞선 위상

>xC의 경우, IÒ>IÇ이고 HI는 HV보다 [rad] 뒤진 위상

이 된다. 따라서, L`-`C 병렬 회로의 합성 임피던스는 <xC의 경우 용량 리액턴스로 작용 하고, >xC의 경우 유도 리액턴스로 작용한다. 전류의 크기로 바꿔 말하면 IÒ<IÇ이면 합성 임피던스는 용량 리액턴스로, IÒ>IÇ이면 유도 리액턴스로 작용 한다. 1 xL 1 xL p 2 1 xL p 2 1 xL 그림 Ⅲ-39의 (a)와 같은 R`-`L`-`C 병렬 회로의 전압, 전류의 관계는 R`-`L, R`-`C, L`-`C 병렬 회로에서 배운 것을 종합하여 구할 수 있다. 즉, 이 회로의 전압, 전류의 관 계를 벡터도로 그려 보면 그림 Ⅲ-39의 (b)와 같이 되며, 이 그림으로부터 전압 V [V] 와 전류 I [A]와의 관계, 임피던스 Z [X], 위상각 h [rad]은 다음과 같이 구해진다.

I="√I‰¤ +I˛¤ ="√I‰¤ √+(IÇ-IÒ)¤ =æ≠{ }¤+≠{xCV- }¤ V xL V R L R h I=I‰+IÒ+IÇ =I‰+I˛ O V I‰ IÇ IÒ I˛ IÒ I V C I‰ IÇ IÒ

R

`-`L`-`C 병렬 회로

5

그림 Ⅲ-39 R`-`L`-`C 병렬 회로와 벡터도 (a) 병렬 회로 (b) 벡터도_{ 1 >xC의 경우_} xL

= = [A] (Ⅲ-88) ∴ Z= (Ⅲ-89) tanh= = _{={xC- }R} ∴ h=tan—⁄ {xC- }R ∴ h_{=tan—⁄ {2pfC- }R [rad]} (Ⅲ-90) 병렬 회로도 직렬 회로와 마찬가지로 유도 리액턴스 XÒ=xL과 용량 리액턴스 XÇ= 의 크기에 따라 회로가 유도성이 되기도 하고 용량성이 되기도 한다. 만일, XÒ>XÇ라면 코일의 영향이 콘덴서의 영향보다 더 크기 때문에 R`-`L`-`C 병 렬 회로는 유도성 회로가 되며, R`-`L 병렬 회로와 등가가 된다. 따라서, 전류 ˙ I는 전압 ˙ V보다 위상이 뒤지게 된다. 한편, XÒ<XÇ라면 리액턴스 성분에서 용량 리액턴스가 차지하는 비율이 크므로, R`-`L`-`C 병렬 회로는 용량성 회로가 되며, R`-`C 병렬 회로와 등가가 된다. 따라서, 전류 ˙I는 전압 ˙V보다 위상이 앞선다. 그리고 전류의 크기로부터도 전압과 전류의 위상 관계를 알 수 있다, 즉, IÒ>IÇ이면 전류 ˙I는 전압 ˙V보다 위상이 뒤지고, IÒ<IÇ이면 ˙I는 전압 ˙V보다 위상이 앞선다.

V I‰ IÇ IÇ IÒ I O h 1 xC 1 2pfL 1 xL 1 xL I˛ I‰ V Z V 1 æ≠{ }¤+≠(xC- }¤ 1 xL 1 R 1 æ≠{ }¤+≠(xC- }¤ 1 xL 1 R xCV- V xL V R 그림 Ⅲ-40 R`-`L`-`C 병렬 회로에서의 전압・전류의 관계

60 [Hz]의 교류에 대해서, 20 [X]의 리액턴스를 가지는 코일과 25 [X]의 리액턴스를 가지 는 정전 용량을 병렬로 접속한 회로에 60 [Hz], 100 [V]의 교류 전압을 가할 때, 회로에 흐르는 전류 I의 크기는 얼마이고, 전압과의 위상차는 어떻게 되는가? 풀이│I=IÒ-IÇ에서 IÒ= =:¡2º0º:=5 [A] IÇ= =:¡2º5º:=4 [A] ∴ I=5-4=1 [A]

위상차는 >xC, 즉 IÒ>IÇ이므로 전류 I는 전압 V보다 [rad]만큼

위상이 뒤진다. p 2 1 xL V XÇ V XÒ 예제

₂₃

1837년, 모스가 발명한 전신기와 1876년 벨이 발명한 자석식 전화기는 1890년대에 이르러 실용화되었다. 우리나라의 경우 서울-인천, 서울-의주 간 전신선을 가설하고(1885년 9월 28일), 궁궐 안에 자석식 전화기를 설치하면서(1895년 6월) 비로서 근대식 통신 수단을 갖추게 된다. 이후 서울-인천 간 공중용 시외 전화 개통 (1902년 3월 20일)과 한성 전화소에서 시내 교환 업무가 개시되면서(1902년 6월 6일) 일반 사람들까지 전화를 사용할 수 있게 되었다. 한편, 1895년 마르코니의 무선 통신 성공과 플레밍의 2극 진공관을 개량한 3극 진공관의 발명에 따라 1920 년대 본격적인 라디오 방송 시대가 열렸다. 우리나라는 1927년 2월 16일 호출 부호‘JODK’사단법인 경성 방송국이 첫 전파를 송출하면서 라디오 방송이 시작되었고, 당시 전국의 라디오 수신기는 1,440대 정도였다.

전기와 통신

읽 을 거 리

R

`-`L`-`C 병렬 회로 특성

실습

과제

SW¡ _VARIAC SW¡ SW™ SW™ R C L C R L C 그림 Ⅲ-41 R`-`L`-`C 병렬 회로의 특성 회로 명칭 규격 수량 명칭 규격 수량 전구 220 [V], 100 [W] 1개 교류 전압계 0~250 [V] 1대 초코 코일 0.5 [H] 1개 교류 전류계 0~3 [A] 1대 콘덴서 20 [lF], 500 [V] 1개 오실로스코프 2채널 1대 스위치 2극 2개 전압 조정기 0~220 [V] 1대 사용 재료 및 기기 안전 및 유의 사항 1.스위치 SW¡과 스위치 SW™의 조작 순서를 실습 순서에 맞게 정확히 지킨다. 2.교류 전압 조정기의 출력 전압이 0 [V]가 되도록 한 뒤에 스위치 SW™를 열고 닫는 조작을 한다. 실습 순서 1.R`-`L 병렬 회로의 특성 ⑴ 그림 Ⅲ-41과 같이 회로를 결선한다. 스위치 SW¡과 SW™는 열어 둔다. 부하는 R`-`L 병 렬 부하를 사용하고, 각 소자에는 그림과 같이 교류 전류계를 접속한다. (a) 회로 소자의 병렬 특성 실습 도면(R`-`L 부하 실험) (b) R`-`C 병렬` 부하 (c) L`-`C 병렬 부하 (d) R`-`L`-`C 병렬 부하

⑵ 스위치 SW¡을 닫고 전압계의 지시값이 0 [V]가 되도록 전압 조정기를 조정한다. ⑶ 스위치 SW™를 닫는다. ⑷ 전압 조정기를 조정하여 전압계의 지시값이 50 [V] 정도가 되도록 한다. 이때, 전압계 및 각 전류계의 지시값을 표 Ⅲ-5에 기록한다. ⑸ 키르히호프의 전류 법칙에 따르면 Iº=I¡＋I™가 되어야 하는데, ⑷에서 측정한 값이 이 법 칙을 따르지 않음을 확인한다. 그림 Ⅲ-36의 (b)의 벡터도를 참조하여 그리면 일치함을 확 인한다. ⑹ 전압계의 지시값이 0 [V]가 되도록 전압 조정기를 조정한 후, 스위치 SW¡과 SW™를 연다. R`-`L 병렬 부하를 제거한다. 2.R`-`C 병렬 부하의 특성 ⑴ 부하를 R`-`C 병렬 부하를 사용하여1항의 ⑴`~`⑷까지 실습한다. ⑵ 키르히호프의 전류 법칙에 따르면 Iº=I¡＋I™가 되어야 하는데, ⑷에서 측정한 값이 이 법 칙을 따르지 않음을 확인한다. 그림 Ⅲ-37의 (b)의 벡터도를 참조하여 그리면 일치함을 확 인한다. ⑶ 전압계의 지시값이 0 [V]가 되도록 전압 조정기를 조정한 후, 스위치 SW¡과 SW™를 연다. R`-`C 병렬 부하를 제거한다. 3.L`-`C 병렬 부하의 특성 ⑴ 부하를 L`-`C 병렬 부하를 사용하여1항의 ⑴`~`⑷까지 실습한다. ⑵ 키르히호프의 전류 법칙에 따르면 Iº=I¡＋I™가 되어야 하는데, ⑷`에서 측정한 값이 이 법 칙을 따르지 않음을 확인한다. 그림 Ⅲ-38의 (b)의 벡터도를 참조하여 그리면 일치함을 확 인한다. ⑶ 전압계의 지시값이 0 [V]가 되도록 전압 조정기를 조정한 후, 스위치 SW¡과 SW™를 연다. L-C병렬 부하를 제거한다. 4.R`-`L`-`C 병렬 부하의 특성 ⑴ 부하를 R`-`L`-`C 병렬 부하를 사용하여1항의 ⑴`~`⑷까지 실습한다. ⑵ 키르히호프의 전류 법칙에 따르면 Iº=I¡＋I£가 되어야 하는데, ⑷`에서 측정한 값이 이 법 칙을 따르지 않음을 확인한다. ⑶ 전압계의 지시값이 0 [V]가 되도록 전압 조정기를 조정한 후, 스위치 SW¡과 SW™를 연다. R-L-C병렬 부하를 제거한다.

결과 정리 1.표 Ⅲ-5의 실험 결과를 이용하여 벡터도를 그려 본다. 2.L`-`C 부하와 R`-`L`-`C 부하의 경우에 IÒ=IÇ가 되도록 L, C 값을 설정하면 병렬 공진 이 이루어질 것을 예상할 수 있다. 표 Ⅲ-5병렬 회로 부하의 특성 공진이 발생하는 현상을 간단한 실험으로 확인해 보자. 길이가 1[m] 정도 되는 고무줄에 치약 정도의 무게를 가진 추를 묶고, 추의 반대쪽 고무줄 끝을 손으로 잡아서 추를 들자. 고무줄을 잡은 손을 천천히 상하로 움직이면 추도 동일한 거 리만큼 움직인다. 상하로 움직이는 속도를 서서히 빨리하여 어느 특정한 주파수가 되면 추가 상하로 움직이는 변위가 가장 커지는 주파수가 있음을 볼 수 있다. 이는 고무줄의 특성과 추의 무게에 의해서 결정되는 주파수로서 이 주파수를 공진 주파수라 고 한다. 손의 움직임을 공진 주파수보다 더 빨리 하면 추는 움직이지 않고 가만히 있게 된다. L-C직렬 회로와 이 실험을 대비하여 보면 다음과 같은 대응 관계가 있음을 알 수 있다. •손의 상하 움직임 변위 : 인가 전압 V •추의 상하 움직임 변위 : C 양단 전압 •고무줄의 길이 변위 : L 양단 전압 주파수가 낮을 경우에는 손의 변위가 모두 추의 변위로 변한다. 이는 인가 전압 V가 모두 C에 걸리고 L 양단에는 전압이 걸리지 않는 것과 같다. 주파수가 아주 높아지면 손의 변위는 모두 고무줄 길이의 변화로 나타난다. 이는 인가 전 압 V가 모두 L에 걸리고 C 양단에는 전압이 걸리지 않는 것과 같다. 공진 주파수가 되면 인 가 전압 V보다 더 큰 전압이 C와 L 양단에 걸리는데, 그 위상은 서로 반대가 되는 것을 위 의 추 실험으로 확인해 볼 수 있다.

구분 Vº [V] Iº [A] I¡ [A] I™ [A] I£ [A] 비고 R`-`L 부하

R`-`C 부하 L`-`C 부하 R`-`L`-`C 부하

다음 중 어드미턴스의 단위는? ① [X] ②[ ] ③ [H] ④ [F] ⑤ [W] X

1

3 [X]의 저항과 4 [X]의 유도 리액턴스가 병렬로 연결되었을 때, 임피던스 Z는 몇[X] 인가? ① 2.4 [X] ② 5 [X] ③ 7 [X] ④ 12 [X] ⑤ 15 [X]

2

R=25 [X_{], XÒ=25'3 [}X]의 R-L 병렬 회로에 교류를 가했을 때, 전류의 위상은 전압 보다 어떠한가? ① 동상 ② 60˘ 앞선다. ③ 60˘ 뒤진다. ④ 30˘ 앞선다. ⑤ 30˘ 뒤진다.

3

6 [X]의 저항과 8 [X]의 용량 리액턴스가 병렬로 연결되었을 때, 임피던스 Z는 몇[X]인 가? ① 48 [X] ② 14 [X] ③ 4.8 [X] ④ 1.4 [X] ⑤ 2.4 [X]

4

60 [Hz]에 대하여 XÒ=20 [X], XÇ=25 [X]인 L-C 병렬 회로의 합성 리액턴스는 몇 [X]인가? ① 11.1 [X] ② 15.6 [X] ③ 45 [X] ④ 60 [X] ⑤ 100 [X]

5

저항 30 [X]과 유도성 리액턴스 40 [X]을 병렬로 접속한 회로에 120 [V]의 교류 전압을 가할 때, 전체 전류 I는 몇[A]인가? ① 1.7 [A] ② 2.4 [A] ③ 5 [A] ④ 7 [A] ⑤ 10 [A]

6

중단원

연습 문제

저항 220 [X]과 유도성 리액턴스 220 [X]을 병렬로 접속한 회로에 220 [V]의 교류 전압을 가할 때, 전체 전류 I는 몇[A]인가? ①_{;2!; [}A] ② 2 [A] ③ [A] ④'2 [A] ⑤ 2'2 [A] 1 '2

7

L, C 병렬 회로의 공진 주파수는? ①f®= ②f®= ③f®= ④f®= ⑤f®= 1 2p(LC)¤ 1 2pLC 1 '∂2p∂L∂C 1 2p'∂Lßß∂C 1 '∂Lßß∂C

10

정답 1 ② 2 ① 3 ⑤ 4 ③ 5 ⑤ 6 ③ 7 ④ 8 ④ 9 ② 10 ② 저항 10 [X]과 인덕턴스 L [H]의 코일을 병렬 접속한 회로에 120 [V], 60 [Hz]의 교류 전 압을 가하니 20 [X]의 전류가 흘렀다. L은 몇 [mH]인가? ① 39.8 [mH] ② 26.5 [mH] ③ 21.2 [mH] ④ 19.9 [mH] ⑤ 15.9 [mH]

8

저항 10 [X]과 코일을 직렬로 접속한 회로에 교류 220 [V], 60 [Hz]를 가하였더니 11 [A] 의 전류가 흘렀다. 이 회로에 병렬로 콘덴서 C [lF]를 접속하였더니 전원에 흐르는 전류 는 5.5 [A]가 되었다. 콘덴서의 리액턴스는 몇 [X]인가? ①20'3[X] ② [X] ③ 20 [X] ④10'3 [X] ⑤ 10 [X] 40 '2

9