유리수와 순환소수
I
.
유리수와 순환소수
01
001
⑤002
35003
25004
150005
⑤006
28007
②008
7개009
3개010
12011
63012
73013
23개014
③015
147016
1.5H2017
③018
;1@1@0&;019
50개020
②, ④021
120022
1.H8023
162024
4.2H7025
;5#;026
0.H0H9 본교재 007 ~ 010쪽 교과서를 정복하는STEP
1
핵 심 유 형
00
1
⑤ ① 0.4565656y=0.4H5H6 순환마디 : 56 ② 3.245245245y=3.H24H5 순환마디 : 245 ③ 0.303030y=0.H3H0 순환마디 : 30 ④ 2.31231231y=2.H31H2 순환마디 : 31200
2
35 ;1°2;=0.41H6이므로 순환마디는 6이고 그 숫자의 개수는 1개이다. ∴ a=1 ;1»4;=0.6H42857H1이므로 순환마디는 428571이고 그 숫자의 개수는 6개 이다. ∴ b=6 ∴ (a+b)_(b-a)=(1+6)_(6-1)=7_5=3500
3
25 ;3¦7;=0.H18H9이므로 순환마디의 숫자의 개수는 3개이다. x1=1, x2=8, x3=9, x4=1, x5=8, y 12=3_4이므로 xÁª=9 17=3_5+2이므로 x17=8 ∴ x5+xÁª+x17=8+9+8=2500
4
150 ;3¦6;=0.19H4=0.19444y=;1Á0;+10Û` +9 10Ü` +4 10Ý` +4 10Þ` +y4 ∴ xÁ+xª+x3+y+x37=1+9+4_(37-2)=15000
5
⑤ ;7@;=0.H28571H4 ② 2020=6_336+4이므로 f(2020)은 순환마디의 4번째 숫자인 7이다. ③ f(n)= f(n+6)이므로 f(n)= f(n+6_5)=f(n+30)이다. ④ f(n)의 값이 될 수 있는 수는 2, 8, 5, 7, 1, 4이므로 f(n)=6을 만 족하는 n의 값은 없다. ⑤ f(1)+ f(2)+y+ f(19)+ f(20) =(2+8+5+7+1+4)_3+2+8=91 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.00
6
28 ;12£50;=5Ý`_23 =5Ý`_2_2Ü`3_2Ü` =10Ý`24n의 값이 커지면 a의 값도 커지므로 a+n의 값은 a=24, n=4일 때 가장 작다. ∴ a+n=24+4=28
00
7
② ;8!0$;=;4¦0;=2Ü`_57 =2Ü`_5_5Û`7_5Û` =17510Ü`=0.175이므로 (14, 80)=25이다. ;3¤7¼5;=;2¢5;=5Û`4=5Û`_2Û`4_2Û` =;1Á0¤0;=0.16이므로 (60, 375)=4이다. ∴ (14, 80)+(60, 375)=25+4=2900
8
7개 x 45 =3Û`_5x 가 유한소수가 되려면 x는 9의 배수이어야 한다. 이때 x는 7 이상 77 이하의 자연수이므로 9의 배수인 수는 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72의 8개이고, 이 중 45 를 정수로 만드는 45를 제외하면 x의 개수는 7개이다. x00
9
3개 분모의 소인수가 2나 5를 제외한 수를 갖고 있는 기약분수는 순환소수로 나타낼 수 있다. 즉 ;9@;=3Û`2, ;1¢1;, ;1°2;=2Û`_35 , ;1¤3;, ;1¥5;=3_5 은 순환소수이다. 8 이때 ;9@;=0.H2, ;1¢1;=0.H3H6, ;1°2;=0.41H6, ;1¤3;=0.H46153H8, ;1¥5;=0.5H3 이므로 순환마디가 1개인 분수는 ;9@;, ;1°2;, ;1¥5;의 3개이다.0
10
12 A 120 =2Ü`_3_5A 이므로 120 가 유한소수가 되려면 A는 3의 배수이A 어야 한다. 따라서 A의 값이 될 수 있는 가장 작은 두 자리의 자연수는 3_4=12이다.0
11
63 ;2ª4¥0;=;6¦0;=2Û`_3_57 , ;87(5;= 9 5Ü`_7이므로 두 분수에 곱해서 모두 유한소수로 나타낼 수 있으려면 A는 3과 7의 공 배수, 즉 21의 배수이어야 한다. 따라서 세 번째로 작은 두 자리의 자연수는 63이다.0
12
73 a 210 =2_3_5_7 가 유한소수가 되려면 a는 3_7=21의 배수이어a 야 한다.이때 40<a<70이므로 a=42 또는 a=63 Ú a=42일 때, 2_3_5_7 =;5!;42 이때 분자가 3이 아니므로 조건을 만족하지 않는다. Û a=63일 때, 2_3_5_7 =;1£0;이므로 ;1£0;=;b#; ∴ b=1063 Ú, Û에서 a=63, b=10이므로 a+b=63+10=73
0
13
23개 기약분수의 분모에 2나 5 이외의 소인수가 있으면 순환소수가 된다. Ú b=3일 때, a는 3, 6, 9를 제외한 수이므로 7개 Û b=6일 때, a는 3, 6, 9를 제외한 수이므로 7개 Ü b=7일 때, 7_a2_5_7 =2_5 이므로 가능한 a는 없다.a Ý b=9일 때, a는 9를 제외한 수이므로 9개 Ú ~ Ý에서 구하는 (a, b)의 개수는 7+7+0+9=23(개)0
14
③ 각 순환소수를 분수로 나타내는 과정에서 가장 편리한 식은 다음과 같다. ① 100x-10x ② 100x-x ③ 1000x-10x ④ 1000x-x ⑤ 10000x-10x0
15
147 2.H3H6=236-299 =23499 =;1@1^;이므로 a=26 3.1H4H5=3145-31990 =3114990 =17355 이므로 b=173 ∴ b-a=173-26=1470
16
1.5H2 1.H3H8=138-199 =:Á9£9¦:에서 경숙이는 분자를 바르게 보았으므로 처음 기약분수의 분자는 137이다. 1.6H7=167-1690 =:Á9°0Á:에서 유진이는 분모를 바르게 보았으므로 처음 기약분수의 분모는 90이다. 따라서 처음 기약분수는 :Á9£0¦:이므로 순환소수로 나타내면 :Á9£0¦:=1.5H20
17
③ ③ 정수 부분이 네 자리의 수인지는 알 수 없다.0
18
227110 2+10Û`6 +10Ü`3 +10Ý`6 +10Þ`3 +10ß`6 +10à`3 +y =2+0.06+0.003+0.0006+0.00003+0.000006+0.0000003+y =2.0636363y=2.0H6H3 =2063-20990 =2043990 =2271100
19
50개 소수점 아래 첫 번째 자리부터 순환마디가 시작되는 순환소수를 분수로 나타내면 분모는 9, 99, 999, y 꼴이다. x 396 =9_44 =x 99_4 에서 x는 44의 배수이거나 4의 배수이어야 x 하므로 x는 4의 배수이다. 따라서 200 이하의 자연수 중 4의 배수의 개수는 50개이다.0
20
②, ④ ① 5=;1%;=:Á2¼:=y ② 정수가 아닌 유리수에는 순환소수도 있다. ③ 무한소수 중 순환소수는 유리수이고, 순환소수가 아닌 무한소수는 유 리수가 아니다. ④ 기약분수의 분모에 2나 5 이외의 소인수가 있으면 유한소수로 나타낼 수 없다. 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.0
21
120 5.H7x-5.7x=9.H3에서 :°9ª:x-;1%0&;x=:¥9¢: 양변에 90을 곱하면 520x-513x=840, 7x=840 ∴ x=1200
22
1.H8 9.H4-7.H8-3.H6+4.H5-3.H7+3.H2 =94-99 -78-79 -36-39 +45-49 -37-39 +32-39 =85-71-33+41-34+299 =:Á9¦:=1.H8 01 유리수와 순환소수003
0
23
162 0.4H8=48-490 =;9$0$;, 0.H7=;9&;=;9&0);이므로 0.4H8<90 <0.H7에서 ;9$0$;<a 90 <;9&0); ∴ 44<a<70a 이때 90 =a a 2_3Û`_5가 유한소수가 되려면 a는 3Û`=9의 배수이어야 한다. 그런데 44<a<70이므로 가능한 a의 값은 45, 54, 63이다. ∴ 45+54+63=1620
24
4.2H7 x=0.H7=;9&;이므로 ;[!;=;7(; x- 1 1-;[!;= ;9&;-1 1-;7(; =;9&;- 1 -;7@;=;9&;+;2&;=;1&8&;=4.2H70
25
;5#; 0.5H9H0=0.5909090y, 0.H59H0=0.590590590y이므로 0.5H9H0>0.H59H0이고 (0.7)Û`=0.49이므로 {(0.5H9H0△
0.H59H0)△
(0.7)Û`}△
0.5H9 ={0.5H9H0△
(0.7)Û`}△
0.5H9 =0.5H9H0△
0.5H9=0.5H9=59-590 =;1¤0;=;5#;0
26
0.H0H9 0.HaHb+0.HbHa=0.H5에서 10a+b99 +10b+a99 =;9%;, 11(a+b)99 =;9%; ∴ a+b=5 이때 a>b이고 a와 b는 소수이므로 a=3, b=2
따라서 0.HaHb=0.H3H2, 0.HbHa=0.H2H3이므로 0.H3H2-0.H2H3=;9#9@;-;9@9#;=;9»9;`=0.H0H9
0
27
2857140
28
③0
29
360
30
;3¢3;0
31
10
32
34개0
33
④0
34
16, 320
35
7개0
36
1430
37
2, 5, 80
38
40
39
5.H9H0 `0
40
4040
41
④0
42
-10
43
40
44
;9&; 본교재 013 ~ 015쪽 실전문제 체화를 위한STEP
2
심 화 유 형
0
27
285714 ;3¥6;=;9@;=0.H2 (무한소수) 8★36=3 ;1°2;=0.41H6 (무한소수) 5★12=3 ;7!2);=;3°6;=0.13H8 (무한소수) 10★72=3 ;4#;=0.75 (유한소수) 3★4=7 ∴ (10★72)_(3★4)(8★36)+(5★12)=3+33_7 =;7@;=0.H28571H4 따라서 순환마디는 285714이다.0
28
③ ;2!7);=0.H37H0이므로 f {;2!7);}=3 ;1°3;=0.H38461H5이므로 f {;1°3;}=6 ;1¦2;=0.58H3이므로 f {;1¦2;}=1 ∴ f {;2!7);}_ f {;1°3;}- f {;1¦2;}=3_6-1=170
29
36 ;1¥3;=0.H61538H4 순환마디의 숫자의 개수는 6개이므로 f(n)=f(n+6)이다. f(n) = f(n+6)= f(n+12)= f(n+18)= f(n+24)=y 따라서 0<a<20인 a의 값은 6, 12, 18이므로 a의 값의 합은 6+12+18=360
30
;3¢3; aÁ=1, aª=2에서 n=1일 때, aª=aÁ+a3 ∴ a3=a2-aÁ=2-1=1 n=2일 때, 4a3=a2+a4 ∴ a4=4a3-a2=4-2=2 n=3일 때, a4=a3+a5 ∴ a5=a4-a3=2-1=1 n=4일 때, 4a5=a4+a6 ∴ a6=4a5-a4=4-2=2 y 따라서 A=0.121212y로 순환마디가 12인 순환소수임을 알 수 있다. ∴ A=0.H1H2=;9!9@;=;3¢3;0
31
1 0.HabcdeHf의 순환마디는 abcdef이고, 순환마디의 숫자의 개수는 6개이다. 이때 114=6_19이므로 소수점 아래 114번째 자리의 숫자는 순환마디 abcdef 중 마지막 숫자인 f이다.따라서 f=6, a=2, b=4, c=1, d=0, e=5이므로 a-c=2-1=1 이다.
0
32
34개;7!;=0.H14285H7이므로 순환마디의 숫자의 개수는 1, 4, 2, 8, 5, 7의 6개
;9@9*;=0.H2H8이므로 순환마디의 숫자의 개수는 2, 8의 2개이다. …… 30`% 두 순환소수의 순환마디는 아래 표와 같이 소수점 아래 첫 번째 숫자부 터 6개마다 2개씩 같은 숫자가 겹친다. n 1 2 3 4 5 6 y aÇ 1 4 2 8 5 7 y bÇ 2 8 2 8 2 8 y 따라서 100=6_16+4이므로 모두 16_2+2=34(개)의 숫자가 겹친 다. …… 40`%
0
33
④ 수직선 위에서 11개의 점에 대응하는 유리수는 ;1Á2;, ;1ª2;, ;1£2;, …, ;1!2!; 이다. 이때 12=2Û`_3이므로 순환소수로 나타내어지려면 분자가 3의 배수가 아니어야 한다. 따라서 순환소수로 나타낼 수 있는 수는 ;1Á2;, ;1ª2;, ;1¢2;, ;1°2;, ;1¦2;, ;1¥2;, ;1!2);, ;1!2!;의 8개이다.0
34
16, 32 ㈎에서 15x =3_5x 는 기약분수이므로 x는 3의 배수도 아니고 5의 배 수도 아니다. ㈏에서 ;3!;<15x <1이므로 1<15 <3 x 이때 1515 <15 <x 4515 이므로 15<x<45`` ㈐에서 15x 가 유한소수가 되려면 x의 소인수는 2나 5뿐이어야 하는데, ㈎에 의하여 x의 소인수는 2뿐이다. 따라서 소인수가 2뿐이고 15<x<45인 x의 값은 2Ý``과 2Þ`, 즉 16과 32 이다.0
35
7개 2a+3b 15 =2a+3b3_5 가 유한소수가 되려면 2a+3b는 3의 배수이어야 한다. 2<2a+3b15 <;3*;은 ;1#5);<2a+3b15 <;1$5);, 즉 30<2a+3b<40이므로 2a+3b는 33, 36, 39 Ú 2a+3b=33일 때, (a, b)는 (3, 9), (6`, 7), (9, 5)의 3개 Û 2a+3b=36일 때, (a, b)는 (6, 8), (9, 6)의 2개 Ü 2a+3b=39일 때, (a, b)는 (6, 9), (9, 7)의 2개 Ú~Ü에서 조건을 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 3+2+2=7(개) 이다.0
36
143 ;15#6;_n=52 =n 2Û`_13n 이 유한소수가 되려면 n은 13의 배수이어야 한다. 또 기약분수로 나타내면 분자가 11의 배수이므로 n은 11의 배수이어야 한다. 따라서 n은 13과 11의 공배수인 143의 배수이므로 자연수 n의 최솟값 은 143이다.0
37
2, 5, 8 6x+7=14a에서 6x=14a-7 ∴ x=14a-76 =7(2a-1)2_3 이때 x가 유한소수가 되려면 2a-1이 3의 배수이어야 하므로 2a-1=3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, y ∴ a=2, ;2&;, 5, :Á2£:, 8, :Á2»:, 11, y 그런데 a는 한 자리의 자연수이므로 a의 값은 2, 5, 8이다.0
38
4;45!0;_a=2_3Û`_5Û`1 _a가 유한소수가 되려면 a는 9의 배수이어야
한다.
또 기약분수로 나타내면 ;b@;이므로 a는 2의 배수이어야 한다.
따라서 a는 9와 2의 공배수인 18의 배수이고 a<50이므로 a=18, 36 Ú a=18일 때, ;45!0;_a=2_3Û`_5Û`18 =5Û`1 (×) Û a=36일 때, ;45!0;_a=2_3Û`_5Û`36 =5Û`2 (◯) Ú, Û에서 ;45!0;_a를 기약분수로 나타냈을 때 분자가 2가 되는 경우는 a=36일 때 ;b@;=5Û`2 이므로 b=5Û`=25 따라서 ;aB;=;3@6%;=0.69H4이므로 소수점 아래 17번째 자리의 숫자는 4이다.
0
39
5.H9H0 두 순환소수를 분수로 고치면 1.7H3=173-1790 =15690 =;1@5^;=2_133_5 1.7H3_a=2_133_5 _a가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 곱하는 수 a=2_3_5_13_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. 따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 a=2_3_5_13 1.8H3=183-1890 =16590 =116 =2_3 11 1.8H3_b=2_3 _b가 어떤 자연수의 제곱이 되려면 곱하는 수 11 b=2_3_11_(자연수)Û` 꼴이어야 한다. 따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 b=2_3_11 ∴` ;bA;=2_3_5_132_3_11 =;1^1%;=5.H9H0 01 유리수와 순환소수005
0
40
404 0.9S=0.3+0.03-0.006+0.0003-0.00006+0.000003 =-0.0000006+y =0.3+0.024+0.00024+0.0000024+y =0.3242424y =0.3H2H4 0.9S=324-3990 =321990 =107330 0.9S=;3!3)0&;이므로 S=;3!3)0&;_:Á9¼:=;2!9)7&; 따라서 x=297, y=107이므로 x+y=297+107=4040
41
④ 0.3H4Hb=340+b-3990 이므로 337+b990 =330a 양변에 990을 곱하면 337+b=3a이므로 a=337+b3 a는 자연수이므로 337+b는 3의 배수이어야 한다. 이때 b는 한 자리의 자연수이므로 Ú b=2일 때, a= 337+23 =113 ∴ a-b=113-2=111 Û b=5일 때, a= 337+53 =114 ∴ a-b=114-5=109 Ü b=8일 때, a= 337+83 =115 ∴ a-b=115-8=107 Ú ~ Ü에서 a-b의 값이 될 수 있는 것은 ㄷ, ㄹ, ㅂ이다.0
42
-1 0.HaaHb+0.Hb=0.H33H4에서 100a+10a+b 999 +b9 =;9#9#9$; …… 30`% 100a+10a+b+111b 999 =;9#9#9$; ∴ 110a+112b=334 …… 20`% 110a+112b=334에서 한 자리의 자연수 a, b의 값이 3보다는 작아야 하므로 a=1, b=2 또는 a=2, b=1을 대입해 본다. …… 20`% Ú a=1, b=2일 때 110_1+112_2=334 (◯) Û a=2, b=1일 때 110_2+112_1=332 (×) 따라서 a=1, b=2이므로 a-b=1-2=-1이다. …… 30`%0
43
4 0.00Ha=900 , 0.0Hb=a 90 , 0.Hc=b 9 이므로c {90 }b 2=900 _a c9 에서 8100 =bÛ` 8100 이므로 bÛ`=acac 2ÉaÉ6, 4ÉcÉ8, a<b<c이므로 a=2, b=4, c=8이다.0
44
;9&; 0.Hb 0.Ha_0.Hc=0.Hd에서 ;9B; ;9A;_;9C;=;9D; ;aB;_;9C;=;9D;, bca =d ∴ ad=bc yy ㉠ ㉠을 만족하는 10보다 작은 서로 다른 자연수 a, b, c, d(a>b>c>d) 를 구하면 1_6=2_3=6이므로 a=6, b=3, c=2, d=1 1_8=2_4=8이므로 a=8, b=4, c=2, d=1 2_6=3_4=12이므로 a=6, b=4, c=3, d=2 3_6=2_9=18이므로 a=9, b=6, c=3, d=2 3_8=4_6=24이므로 a=8, b=6, c=4, d=3 이때 a+b=14이므로 a=8, b=6, c=4, d=3 ∴ 0.Ha+0.Hb-0.Hc-0.Hd=0.H8+0.H6-0.H4-0.H3 ∴ 0.Ha+0.Hb-0.Hc-0.Hd=;9*;+;9^;-;9$;-;9#;=;9&;0
45
9240
46
800
47
120
48
90
49
90
50
5개0
51
570
52
8 창 의 융 합0
53
0.H85714H2,0
54
{:¦9¼9¼:, ;9&9);} 본교재 016 ~ 018쪽 최상위권 굳히기를 위한 STEP3
최 고 난
도
유
형
0
45
924 A 924 =2Û`_3_7_11A 가 유한소수가 되려면 A는 3_7_11=231의 배수이어야 한다. A 90 =2_3Û`_5A 가 순환소수가 되려면 A는 3Û`=9의 배수가 아니어야 한다. 231의 배수 중 500보다 큰 세 자리의 자연수는 693, 924이고, 693은 9 의 배수이므로 A는 924이다.0
46
80 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디가 시작되는 순환소수가 되려면 분수로 나타내었을 때 분모는 9가 계속되다가 일의 자리의 숫자만 0이어 야 하므로 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수에 2나 5가 1개씩만 있어야 한다. Ú A420 =2Û`_3_5_7A 에서 ① 분모의 소인수에 2가 1개만 있을 때, A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2_5=10 ② 분모의 소인수에 5가 1개만 있을 때, A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Û`=4 ③ 분모의 소인수에 2, 5가 각각 1개씩만 있을 때, A의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2 …… 40`%Û B600 = B 2Ü`_3_5Û`에서 ① 분모의 소인수에 2가 1개만 있을 때, B의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Û`_5Û`=100 ② 분모의 소인수에 5가 1개만 있을 때, B의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Ü`_5=40 ③ 분모의 소인수에 2, 5가 각각 1개씩만 있을 때, B의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 2Û`_5=20 …… 40`% 따라서 AB의 값 중 가장 작은 값은 2_20=40이고 두 번째로 작은 값 은 4_20 또는 2_40의 80이다. …… 20`%
0
47
12 999.H9=9999-9999 =1000이므로 k_999.H9-k=1000k-k=999k b a_111 =k이므로 999k=999_a_111 =b 3Û`_ba b a_111 가 기약분수이므로 a, b는 서로소이고, 3Û`_b a 가 자연수이므로 a는 9의 약수이다. 그런데 1<a<5이므로 a=3 b는 1<b<5인 자연수이고 a, b는 서로소이므로 b=2, 4 따라서 3Û`_ba 의 값은 a=3, b=4일 때 최대이므로 최댓값은 3Û`_43 =3_4=12이다.0
48
9 음이 아닌 정수 k에 대하여 n=11k+1이면 11 =k+;1Á1;, n n=11k+2이면 11 =k+;1ª1;, n y n=11k+10이면 11 =k+;1!1);이므로n n 11 의 순환마디를 구하기 위하여 0<11 <1인 범위에서만 생각해도 n 된다. 이때 n=1, 2, 3, y,`10이므로 ;1Á1;=11_9 =;9»9;=0.H0H9 ∴ f(1)=0+9=9``1_9 ;1ª1;=11_9 =;9!9*;=0.H1H8 ∴ f(2)=1+8=9``2_9 ;1£1;=11_9 =;9@9&;=0.H2H7 ∴ f(3)=2+7=9``3_9 같은 방법으로 계속하면 ;1¢1;=0.H3H6, ;1°1;=0.H4H5, ;1¤1;=0.H5H4, ;1¦1;=0.H6H3, ;1¥1;=0.H7H2, ;1»1;=0.H8H1, ;1!1);=0.H9H0이므로 f(1) = f(2)= f(3)= f(4)= f(5)= f(6)= f(7)= f(8)= f(9) = f(10)=9 ∴ f(n)=90
49
90.HaHc+0.Hd Hf=10a+c99 +10d+ f99 =10(a+d)+c+ f99 =1 10(a+d)+c+ f=99 이때 a, c, d, f는 한 자리의 자연수이므로 a+d=9, c+ f=9 2.aHbHc+3.dHeHf =2000+100a+10b+c-20-a990 = +3000+100d+10e+f-30-d990 =4950+99(a+d)+10(b+e)+(c+ f)990 =6 4950+99(a+d)+10(b+e)+(c+ f)=5940 99(a+d)+10(b+e)+(c+ f)=990 yy ㉠ a+d=9, c+f=9를 ㉠에 대입하면 99_9+10(b+e)+9=990 900+10(b+e)=990, 10(b+e)=90 ∴ b+e=9
∴ a+b-c+d+e- f =(a+d)+(b+e)-(c+ f) =9+9-9=9
0
50
5개 주어진 조건을 모두 만족하는 순환소수는 0.HabHc(a, b, c는 0 또는 한 자 리의 자연수) 꼴이다. 즉 약분하기 전의 분모가 999이어야 하므로 abc999 꼴이다. (단, a, b, c는 0 또는 한 자리의 자연수이고 a=b=c인 것은 제외) …… 30`% 999를 소인수분해하면 999=3Ü`_37이므로 분모로 가능한 수는 1을 제 외한 999의 약수이다. 즉 분모가 될 수 있는 수는 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999이다. …… 30`% 그런데 분모가 3, 9인 경우는 순환마디의 숫자의 개수가 1개이므로 기약 분수의 분모가 될 수 없다. 따라서 기약분수의 분모가 될 수 있는 수는 27, 37, 111, 333, 999의 5 개이다. …… 40`%0
51
570.H5aH8=500+10a+8999 =508+10a999 이므로 508+10a 999 =108n 999n=108_508+108_10a 양변을 27로 나누면 37n=4_508+4_10a 37n=2032+40a, 37n=8(5a+254) ∴ n=8(5a+254)37 01 유리수와 순환소수
007
한편 n는 자연수이고 37과 8은 서로소이므로 5a+254는 37의 배수 이다. 이때 a는 한 자리의 자연수이므로 5_1+254É5a+254É5_9+254 ∴ 259É5a+254É299 이때 5a+254는 259É5a+254É299를 만족하는 37의 배수이므로 5_1+254=259 ∴ a=1 a=1이므로 n=8_(5_1+254)37 =56 ∴ a+n=1+56=57
0
52
8aÖb=;bA;=0.cHd에서 ;bA;는 순환소수로 나타내어지므로 b가 될 수 있는 수는 2나 5 이외의 소인수를 가지는 3, 6, 7, 9이고, aÖb<1이므로 a<b이다. Ú b=3일 때, a=1 또는 a=2이면 순환마디는 소수점 아래 첫 번째 자리부터 시작하므로 b+3 Û b=6일 때, a=1 또는 a=5이면 순환마디는 소수점 아래 두 번째 자리부터 시작하므로 조건을 만족한다. ① a=1일 때, b=6이면 1Ö6=0.1H6 ② a=5일 때, b=6이면 5Ö6=0.8H3 a, b, c, d는 서로 다른 한 자리의 자연수이므로 a=5, b=6, c=8, d=3 Ü b=7일 때, 순환마디의 숫자가 1개인 경우는 없으므로 b+7 Ý b=9일 때, 순환마디는 모두 소수점 아래 첫 번째 자리부터 시작하므 로 b+9 Ú ~ Ý에서 a=5, b=6, c=8, d=3이므로 0.HabcHd=0.H568H3이고 199=4_49+3이므로 소수점 아래 199번째 자리의 숫자는 8이다. [다른 풀이]
aÖb=;bA;=0.cHd에서 ;bAA;는 순환소수로 나타내어지므로 b가 될 수 있는 수는 2나 5 이외의 소인수를 가지는 3, 6, 7, 9이고, aÖb<1이므로 a<b이다. 소수점 아래 두 번째 자리부터 순환마디가 시작하므로 b는 소인수에 2나 5가 1개씩만 있어야 한다. ∴ b=6 분자 a는 분모 b보다 작고 분모의 소인수 2와 3을 소인수로 갖지 않아야 하므로 a=5 5Ö6=0.8H3이고 199=4_49+3이므로 소수점 아래 199번째 자리의 숫자는 8이다. 따라서 0.H568H3에서 199=4_49+3이므로 소수점 아래 199번째 자리 의 숫자는 8이다.
0
53
0.H85714H2, 창 의 융 합 x=0.H3=;9#;=;3!;이므로 ;[!;=3 ;[@;=2Öx=2_;[!;=2_3=6 1- 1 1+;[@; =1-1 1+6 =1-;7!;=;7^; =0.H85714H2 따라서 순환마디는 857142이고, 오선지에 나타내면 다음과 같다. 풀이 첨삭 1 ;aB;=1Ö;aB;=1_;bA;=;bA;이므로 1;aB;은 ;aB;의 역수인 ;bA;이다.
0
54
{:¦9¼9¼:, ;9&9);} 창 의 융 합점 A의 x좌표가 가까워지는 값을 살펴보면 원점에서 출발하여 오른쪽으로 aÁ=7,
다시 오른쪽으로 a3=0.1aª=;1Á0;aª=;10!0;aÁ=;10&0;만큼,
다시 오른쪽으로 a5=0.1a4=;1Á0;a4=;10!0;a3=;10Á00;aª=;100!00;aÁ 다시 오른쪽으로 a5=;100&00;만큼, …과 같이 움직이므로 점 A의 x좌표가 가까워지는 값은 7+;10&0;+;100&00;+y=7+0.07+0.0007+y 7+;10&0;+;100&00;+y=7.0707y=7.H0H7 7+;10&0;+;100&00;+y=707-799 =70099 또 점 A의 y좌표가 가까워지는 값을 살펴보면 원점에서 출발하여 위로 aª=0.1aÁ=;1Á0;aÁ=;1¦0;만큼,
다시 위로 a4=0.1a3=;1Á0;a3=;10!0;a2=;10Á00;aÁ=;10¦00;만큼,
다시 위로 a6=0.1a5=;1Á0;a5=;10!0;a4=;10Á00;a3=;100!00;aª 다시 위로 a6=;100Á000;aÁ=;100¦000;만큼,
…과 같이 움직이므로 점 A의 y좌표가 가까워지는 값은 ;1¦0;+;10¦00;+;100¦000;+y=0.7+0.007+0.00007+y ;1¦0;+;10¦00;+;100¦000;+y=0.70707y=0.H7H0=;9&9); 따라서 점 A가 가까워지는 점의 좌표는 {:¦9¼9¼:, ;9&9);}이다.
단항식과 다항식
II
.
단항식의 계산
02
055
⑴ 1 ⑵ 256 ⑶ -3056
ㄷ, ㅂ057
3058
11059
④060
⑴ 11 ⑵ 1061
;2Á5;062
37063
x=5, y=2064
⑴ 81aÛ` ⑵ 1 AÛ`065
49aÛ`b16066
3067
8068
⑤069
①070
8071
⑤072
12abÛ`073
4xÜ`074
③075
4xÛ`y076
;[*;077
48명 본교재 021 ~ 024쪽 교과서를 정복하는STEP
1
핵 심 유 형
0
55
⑴ 1 ⑵ 256 ⑶ -3⑴ 3a+2_3Û`=243에서 3a+2+2=3Þ`이므로 a+4=5 ∴ a=1
⑵ abc =24x_24y Ö24z =24x+4y-4z =2Ý`(x+y-z) 이므로 x+y-z=2를 대입하면 abc =24(x+y-z)=24_2=28=256 ⑶ a4x_b2y _a_bÞ`=a4x+1 b2y+5 =a13 b17 이므로 4x+1=13, 2y+5=17 ∴ x=3, y=6 ∴ x-y=3-6=-3
0
56
ㄷ, ㅂ aÝ`ÖaÜ`ÖaÛ`=aÖaÛ`=;a!; ㄱ. aÝ`Ö(aÜ`ÖaÛ`)=aÝ`Öa=aÜ` ㄴ. aÝ`_aÛ`ÖaÜ`=aß`ÖaÜ`=aÜ` ㄷ. aÝ`Ö(aÛ`_aÜ`)=aÝ`ÖaÞ`=;a!; ㄹ. aÝ`_(aÜ`ÖaÛ`)=aÝ`_a=aÞ` ㅁ. aÝ`ÖaÛ`_aÜ`=aÛ`_aÜ`=aÞ` ㅂ. (aÛ`)Ü`ÖaÞ`ÖaÛ`=aß`ÖaÞ`ÖaÛ`=aÖaÛ`=;a!; 따라서 aÝ`ÖaÜ`ÖaÛ`과 계산 결과가 같은 것은 ㄷ, ㅂ이다.0
57
3 a35Öaà`Öa3x=a35-7-3x=a28-3x 이므로 a28-3x=aà` 28-3x=7, -3x=-21 ∴ x=7 x3y-1=49y+1 에서 x=7이므로 73y-1=72(y+1) 3y-1=2(y+1), 3y-1=2y+2 ∴ y=30
58
11 1_2_3_4_5_6_7_8_9_10_11_12_13_14_15 =1_2_3_2Û`_5_(2_3)_7_2Ü`_3Û`_(2_5)_11_(2Û`_3) _13_(2_7)_(3_5) =211 _3ß`_5Ü`_7Û`_11_13 따라서 a=11, b=6, c=3, d=2, e_ f=11_13이므로 e f-(a+b+c+d) =11_13-(11+6+3+2) =143-22=121 121=11Û`이므로 x=110
59
④ 1MB=210KB=220Byte=223Bit ① 1MB는 210_210_2Ü`=223(Bit)이다. ② 2KB는 2_210_2Ü`=214(Bit)이다. ③ 20MB는 20_210_210_2Ü`=5_225(Bit)이다. ④ 10MB=10_210_210=5_221(Byte)이다. ⑤ 40MB는 40_210_210=5_223(Byte)이다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.0
60
⑴ 11 ⑵ 1 ⑴ 4x+1_22x-1=32x-2 에서 (2Û`)x+1_22x-1=25(x-2) 22(x+1)+2x-1=25(x-2) , 즉 2(x+1)+2x-1=5(x-2)이므로 4x+1=5x-10 ∴ x=11 ⑵ 273xÖ93x+1 =(3Ü`)3xÖ(3Û`)3x+1=39xÖ36x+2 `=39x-(6x+2)=33x-2 33x-2=3, 즉 3x-2=1이므로 3x=3 ∴ x=10
61
;2Á5; 5Ü`+5Ü`+5Ü`+5Ü`+5Ü` 9Û`+9Û`+9Û` _ 3Ý`+3Ý`+3Ý` 25Ü` = 5Ü`_5 (3Û`)Û`_3_ 3Ý`_3 (5Û`)Ü` =5Ý`3Þ`_3Þ`5ß`=5Û`1 =;2Á5;0
62
37 (3Ý`)a =910 , (3Ý`)a=(3Û`)10 , 34a=320 에서 4a=20 ∴ a=5 5Þ`_b=10Þ`, 5Þ`_b=(2_5)Þ`, 5Þ`_b=2Þ`_5Þ` ∴ b=2Þ`=32 ∴ a+b=5+32=370
63
x=5, y=2 52x+1=53x-4 에서 2x+1=3x-4 ∴ x=5 3y+3+3y+1+3y=3y_3Ü`+3y_3+3y=(27+3+1)_3y=31_3y 279=31_3Û`이므로 31_3y=31_3Û` ∴ y=20
64
⑴ 81aÛ` ⑵ 1 AÛ` ⑴ a=9x=(3Û`)x =32x 이므로 81x+1=(3Ý`)x+1 =34x+4 =34x _3Ý`=81_(32x )Û`=81aÛ` 02 단항식의 계산009
[다른 풀이] 81x+1=(9Û`)x+1=92x+2=92x_9Û`=81_(9x)Û`=81aÛ` ⑵ 3110=(3Û`)Þ`1 =9Þ` 이므로 1 9Þ`1 =A ∴ 9Þ`=A1 ∴ 910=(9Þ`)Û`={A }1 Û`= 1AÛ`
0
65
49aÛ`b16 a=3x+1 +3x =3x _3+3x =(3+1)_3x =4_3x 이므로 3x=;4A; b=7x-2=7x 7Û`이므로 7 x=49b ∴ 63x=(3Û`_7)x=32x_7x=(3x)Û`_7x ∴ 63x={;4A;}Û`_49b=49aÛ`b160
66
3 K(2Ü`(4b-5) Ö642b-3 ) =K(212b-15 Ö(2ß`)2b-3 ) =K(212b-15 Ö212b-18 ) =K(212b-15-(12b-18) ) =K(2Ü`)=30
67
8 2ß`_15Ú`Û` 45Þ` =2ß`_(3_5)Ú`Û`(3Û`_5)Þ` =2ß`_3Ú`Û`_5Ú`Û`3Ú`â`_5Þ` =2ß`_3Û`_5à`=3Û`_5_(2ß`_5ß`) =45_10ß` 따라서 2+6=8자리의 자연수이므로 n=8이다.0
68
⑤ A=1030 , B=360, C=2120, D=545에서 지수인 30, 60, 120, 45의 최 대공약수는 15이므로 A=1030=(10Û`)15=10015 B=360=(3Ý`)15=8115 C=2120=(28)15=25615 D=545=(53)15=12515 이때 256>125>100>81이므로 25615>12515>10015>8115 ∴ C>D>A>B0
69
① 3의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 반복된다. 2024=4_506이므로 32024 의 일의 자리의 숫자는 반복되는 3, 9, 7, 1 중 마지막 숫자인 1이다. ∴a=1 또 x=323에서 9x=3Û`_323=325 이고, 25=4_6+1이므로 9x의 일의 자리의 숫자는 반복되는 3, 9, 7, 1 중 첫 번째 숫자인 3이다. ∴b=3 ∴a+b=1+3=40
70
8 (-2x5y2)AÖ(-8xBy3)_5xÝ`yÛ` =(-2)Ax5Ay2A_{- 1 8xByÜ`}_5xÝ`yÛ` =-;8%;_(-2)Ax5A-B+4y2A-1=Cx10y7 -;8%;_(-2)A=C, 5A-B+4=10, 2A-1=7이므로 A=4, B=14, C=-10 ∴A+B+C=4+14+(-10)=80
71
⑤ =2xy_(-3x3y)Þ`Ö36xÚ`Û`yá` =2xy_(-3)Þ`x15y5Ö36xÚ`Û`yá` =2xy_(-243x15yÞ`)Ö36xÚ`Û`yá` =2xy_(-243xÚ`Þ`yÞ`)36xÚ`Û`yá` =-27xÝ`2yÜ`0
72
12abÛ` 어떤 식을 A라고 하면 AÖ4b aÛ`= 3aÞ`4 ∴ A=3aÞ`4 _4baÛ`=3aÜ`b 따라서 바르게 계산하면
3aÜ`b_4b aÛ`=12abÛ
0
73
4xÜ`A=(-2xyÜ`)Û`Ö(3xÞ`y)Û`_12xyÛ` A=4xÛ`yß`_9xÚ`â`yÛ`1 _12xyÛ`=16yß`3xà` B=;4!;xy13Ö{-;4!;xÛ`y}Û`Ö3xà`yÞ` B=xyÚ`Ü`4 _ 16
xÝ`yÛ`_ 1
3xà`yÞ`=3xÚ`â`4yß` ∴ AB =AÖB=16yß`3xà` Ö3xÚ`â`4yß` ∴ =16yß`3xà` _3xÚ`â`4yß` =4xÜ`
0
74
③aÜ`bß`_aÞ`b10_(다)=aß`b12_(다)_(바) aÜ`bß`_aÞ`b10=aß`b12_(바)
∴ (바)=a8b16Öaß`b12=aÛ`bÝ`
(가)_aÞ`b10_(바)=(가)_aÜ`bß`_(라) aÞ`b10_aÛ`bÝ`=aÜ`bß`_(라) ∴ (라)=aÝ`b8
따라서 가로, 세로, 대각선에 있는 세 단항식의 곱셈의 결과는 aß`b12_aÞ`b10_aÝ`b8=a15b30
(가)_aÜ`bß`_(라)=a15b30이므로 (가)_aÜ`bß`_aÝ`b8=a15b30 ∴ (가)=a8b16 (가)_(나)_aß`b12=a15b30이므로 a8b16_(나)_aß`b12=a15b30 ∴ (나)=abÛ` aß`b12_(다)_(바)=a15b30 이므로 aß`b12_(다)_aÛ`bÝ`=a15b30 ∴ (다)=aà`b14 (나)_aÞ`b10_(마)=a15b30이므로 abÛ`_aÞ`b10_(마)=a15b30 ∴ (마)=aá`b18 따라서 바르게 짝지어진 것은 ③이다.
0
75
4xÛ`y (직육면체의 부피)=7xÜ`_5yÛ`_(높이)=140xÞ`yÜ`이므로 (높이)=140xÞ`yÜ`_7xÜ`1 _5yÛ`1 =4xÛ`y0
76
;[*;직각삼각형의 넓이는 ;2!;_;3@;xyÛ`_12xÛ`=4xÜ`yÛ` 마름모의 넓이는 ;2!;_(xÛ`y)Û`_a=xÝ`yÛ`2 a 두 도형의 넓이가 같으므로 4xÜ`yÛ`=xÝ`yÛ`2 a ∴a=4xÜ`yÛ`ÖxÝ`yÛ`2 =4xÜ`yÛ`_ 2
xÝ`yÛ`=;[*;
0
77
48명 원기둥 모양의 통의 부피는 prÛ`_4r=4prÜ` 반구 모양의 컵의 부피는 ;2!;_;3$;p_{;2!;r}Ü`=;1Á2;prÜ` ∴ 4prÜ`Ö;1Á2;prÜ`=4prÜ`_ 12 prÜ`=48` 따라서 최대 48명의 사람들에게 나누어 줄 수 있다.0
78
30
79
②0
80
80
81
-20
82
⑤0
83
A=35, n=70
84
③0
85
④0
86
1530
87
20
88
40
89
xà`yÛ`0
90
9xÝ`yÜ`0
91
:Á9¤:0
92
xyÛ`90
93
-yÛ`Ú`0
94
3yx0
95
;8#;a본교재 026 ~ 028쪽 실전문제 체화를 위한
STEP
2
심 화 유 형
0
78
3 (xa yb zc )d =x24 y48 z36 에서 xadybd zcd =x24 y48 z36 ∴ ad=24, bd=48, cd=36 a, b, c, d가 모두 자연수이므로 가장 큰 자연수 d는 24, 48, 36의 최대 공약수인 12이다. ∴ d=12 …… 40`% (xÛ`yÝ`zÜ`)12 에서 a=2, b=4, c=3 …… 30`% ∴ d-(a+b+c)=12-(2+4+3)=3 …… 30`%0
79
② ;2{;=(4k2)5=(22k2)5 , x=2_(210_k10) ∴ x=211k10 2y=(16k)4 =(24 k)4 =216 k4 ∴ y=215k4 4z=k9 ∴ z=ká`4 =ká` 2Û` yz x =215k4_ká`2Û`Ö211k10=215k4_ká`2Û`_2111k10=22k3=akb ∴ a=22=4, b=30
80
8 오이밭의 한 변의 길이를 x라 하고 딸기밭의 한 4a_3Ü x x y y 210_3b 16a 딸기밭 오이밭 9b 변의 길이를 y라고 하면 xy=4a _33 =210 _3b 이므로 (22 )a _33 =210 _3b 22a _33 =210 _3b 2a=10 ∴ a=5, b=3 ∴ a+b=5+3=80
81
-2 82a+1 42a-1=(2Ü`) 2a+1 (2Û`)2a-1=2 6a+3 24a-2 26a+3-(4a-2) =22a+5 즉 22a+5=512에서 22a+5 =29 2a+5=9 ∴ a=2 93b-1 81b = (3Û`)3b-1 (3Ý`)b = 36b-2 34b =36b-2-4b=32b-2 즉 32b-2=729에서 32b-2 =36 2b-2=6 ∴ b=4 ∴ a-b=2-4=-20
82
⑤ 912 =(32 )12 =324 이므로 912 =(324 )1 =324 =(312)2 =(32 )12 =(38)3 =(33 )8 =(36)4 =(34 )6 따라서 912과 같은 수는 모두 8번 나타난다.0
83
A=35, n=7 32x+3 -(3x )2 +32x+2 =3Ü`_32x-32x +3Û`_32x =27_32x -32x +9_32x =(27-1+9)_32x =35_32x ∴ A=35 n 35 이 유한소수가 되려면 분수를 기약분수로 만들었을 때 분모의 소인수 가 2나 5뿐이어야 한다. n A=35 =n 5_7 이므로 n은 7의 배수이어야 하고 이때 가장 작은 자n 연수 n의 값은 7이다. 02 단항식의 계산011
0
84
③ 4_5n-1_(2n-2+2n-1)_(3n+3n+2) =22_5n-1_(2n-2+2n-2_2)_(3n+3n_32) =22_5n-1_{2n-2_(1+2)}_{3n_(1+3Û`)} =22_5n-1_3_2n-2_10_3n =22_5n-1_3_2n-2_2_5_3n =22+(n-2)+1_5(n-1)+1_31+n =2n+1_5n_3n+1 =2_2n_5n_3_3n =6_(2_3_5)n =6_30n 따라서 a=6, b=30이므로 a+b=6+30=360
85
④ (분모)= 1 aÛ`+ 1 aÝ`+ 1 aß`+y+ 1 a2100=a 2098+a2096+a2094+y+1 a2100 =a2099+a2097+a2095+y+a a2101 ∴ a+aÜ`+aÞ`+y+a 2099 1 a2+ 1aÝ`+ 1a6+y+ 1a2100 = a+aÜ`+aÞ`+y+a2099 a2099+a2097+a2095+y+a a2100 =a21010
86
153 (252 +252 +252 )4 _(82 +82 +82 +82 )2 Ö(62 +62 ) =(3_252 )4 _(4_82 )2 Ö(2_62 ) ={3_(52 )2 }4 _{22 _(23 )2 }2 Ö(2_22 _32 ) =34_516_216_ 1 2Ü`_3Û`=3Û`_5 16_213 =3Û`_5Ü`_(2_5)13 =1125_1013 따라서 4+13=17자리의 자연수이고, 각 자리의 숫자의 합은 1+1+2+5=9이다. 따라서 m=9, n=17이므로 mn=9_17=1530
87
2 9의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 9, 1의 순서로 반복된다. 93001 에서 3001=2_1500+1이므로 93001의 일의 자리의 숫자는 반복 되는 9, 1 중 첫 번째 숫자인 9이다. 7의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1의 순서로 반복된다. 71004 에서 1004=4_251이므로 71004의 일의 자리의 숫자는 반복되는 7, 9, 3, 1 중 마지막 숫자인 1이다. 8의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 8, 4, 2, 6의 순서로 반복된다. 82147 에서 2147=4_536+3이므로 82147의 일의 자리의 숫자는 반복되 는 8, 4, 2, 6 중 세 번째 숫자인 2이다. 따라서 93001+71004+82147의 일의 자리의 숫자는 9+1+2=12에서 2이다.0
88
4 x30<340 에서 (x3)10<(34)10 ∴ xÜ`<3Ý`=81 따라서 81보다 작은 최대의 세제곱수는 64=4Ü`이므로 정수 x의 최댓값은 4이다.0
89
x7yÛ` 2x★yÛ`=(2x)Û`_yÛ`=4xÛ`yÛ` …… 20`% 4xÛ`yÛ`♥xÛ`y=4xÛ`yÛ`_(xÛ`y)Ü`=4xÛ`yÛ`_xß`yÜ`=4x8yÞ` …… 30`% 4x♥y=4x_yÜ`=4xyÜ` …… 20`% ∴ (2x★yÛ`)♥xÛ`yÖ(4x♥y) ∴ =4x8yÞ`Ö4xyÜ`=4x8yÞ` 4xyÜ` =x 7yÛ` …… 30`%0
90
9xÝ`yÜ` 125 9 xÛ`yÜ`_Ö[(-xyÛ`)Ü`_;2%;xÛ`y] =1259 xÛ`yÜ`_Ö{-xÜ`yß`_;2%;xÛ`y} =1259 xÛ`yÜ`_Ö{-5xÞ`yà`2 }=1259 xÛ`yÜ`__{-5xÞ`yà` }2 =_{-9xÜ`yÝ` }50 즉 _{-9xÜ`yÝ` }50 =-50xy 에서
=-50xy Ö{-9xÜ`yÝ` }50 =-50xy _{-9xÜ`yÝ`50 }=9xÝ`yÜ`
0
91
:Á9¤:{-;3@;xyÛ`}Û`Ö2xÛ`zÜ`_;[#;=;9$;xÛ`yÝ`Ö2xÛ`zÜ`_;[#;
{-;3@;xyÛ`}Û`Ö2xÛ`zÜ`_;[^;=;9$;xÛ`yÝ`_2xÛ`zÜ`1 _;[#;=3xzÜ`2yÝ` yy ㉠ …… 30`% 이때 x`:`y`:`z=2`:`4`:`3이므로 x=2k, y=4k, z=3k`(k+0)라 하고 ㉠에 대입하면 …… 20`% 2yÝ` 3xzÜ`= 2_(4k)Ý` 3_2k_(3k)Ü`= 4Ý`kÝ` 3Ý`kÝ`= 4Ý` 3Ý` = =16Û` 9Û` ={:Á9¤:}Û` …… 30`% ∴ a=:Á9¤:`(∵ a>0) …… 20`%
0
92
xyÛ`9 (가)_㉠Ö{-3xy }Ü`_(-3y)Û`=(라)이므로 [(-3x)Ü`y ]Û`_㉠Ö{-3xy }Ü`_(-3y)Û` =3ß`xß` yÛ` _㉠_ {-yÜ` 3Ü`xÜ` }_9yÛ` =㉠_(-3Þ`xÜ`yÜ`)=-27xÝ`yÞ` ∴ ㉠=-27xÝ`yÞ`_{- 1 3Þ`xÜ`yÜ` }= xyÛ` 3Û` = xyÛ` 90
93
-y21 D_(-yÜ`)=-3xÛ`yÜ` ∴ D=3xÛ`C_3xÛ`=-yÜ` ∴ C=-3xÛ`yÜ` B_{-3xÛ` }yÜ` =3xÛ` ∴ B=-9xÝ`
yÜ` A_{-9xÝ`yÜ` }=-3xÛ`yÜ` ∴ A= yß`
27xß` (-yÜ`)_(-3xÛ`yÜ`)=E ∴ E=3xÛ`yß` (-3xÛ`yÜ`)_(3xÛ`yß`)=F ∴ F=-9xÝ`yá` 3xÛ`yß`_(-9xÝ`yá`)=G ∴ G=-27xß`y15 ∴ A_G= yß` 27xß`_(-27xß`y 15)=-y21
0
94
3yx 직각삼각형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형 은 밑면의 반지름의 길이가 2y, 높이가 ;3@;x인 원뿔이므로 VÁ=;3!;_p_(2y)Û`_;3@;x=;9*;pxyÛ` 직각삼각형을 직선 m을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도 형은 밑면의 반지름의 길이가 ;3@;x, 높이가 2y인 원뿔이므로 Vª=;3!;_p_{;3@;x}Û`_2y=;2¥7;pxÛ`y ∴ VÁÖVª=;9*;pxyÛ`Ö;2¥7;pxÛ`y=;9*;pxyÛ`_8pxÛ`y27 =3yx0
95
;8#;a 처음보다 높아진 물의 높이를 h라고 하면 쇠공 세 개의 부피의 합은 높이 가 h인 원기둥의 부피와 같으므로 p_(4a)Û`_h=;3$;p_{;2#;a}Ü`+;3$;p_aÜ`+;3$;p_{;2!;a}Ü` p_16aÛ`_h=;3$;p_{3Ü`2Ü` aÜ`+aÜ`+1 2Ü` aÜ`} 16paÛ`h=;3$;p_27+8+18 aÜ` 16aÛ`hp=;3$;p_:£8¤:aÜ`=6paÜ` ∴ h= 6paÜ` 16paÛ`=;8#;a0
96
120
97
190
98
ㄱ0
99
⑴ 4 ⑵ 11100
;3#3!;101
ㄴ, ㄹ102
12103
B>A>C104
;2!;ab원 창 의 융 합105
⑤106
① 본교재 029 ~ 031쪽 최상위권 굳히기를 위한 STEP3
최 고 난
도
유
형
0
96
12 26x+4Ö82x=26x_2Ý`Ö(2Ü`)2x 26x+4Ö82x=2Ý`_26xÖ26x=2Ý`_26x_ 1 26x=2Ý` ∴ E(26x+4Ö82x)=E(2Ý`)=4 35y+3Ö35y=35y_3Ü`Ö35y=3Ü`_35y_ 1 35y=3Ü` ∴ S(35y+3Ö35y)=S(3Ü`)=3 ∴ E(26x+4Ö82x)_S(35y+3Ö35y)=4_3=120
97
19 14_2x _5x-3 =7_2_2x_5x-3 =7_2x+1 _5x-3 =7_2Ý`_(2_5)x-3 =112_(2_5)x-3 …… 40`% 112는 세 자리의 수이므로 (2_5)x-3 에서 x-3=16이다. …… 30`% ∴ x=19 …… 30`%0
98
ㄱ A=(-1)n+n+(-1)2n-1-(-1)n+2 2 에서 n은 2보다 큰 자연수이므로 n이 짝수일 때, A=1+n+-1-12 =n`(짝수) n이 홀수일 때, A=-1+n+-1+12 =n-1`(짝수) ㄱ. A는 짝수이다. ㄷ. n이 2보다 큰 가장 작은 자연수 3일 때, A=2이다.ㄹ. n=4일 때 A=4, n=5일 때 A=4, n=6일 때 A=6, y이므로 ㄹ. n의 값이 커질수록 A의 값은 같거나 커진다. ㄹ. 즉 항상 커지지는 않는다. 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.
0
99
⑴ 4 ⑵ 11 ⑴ x=24(m-2)=24m-8, y=42m-6=(2Û`)2m-6=24m-12이므로 ;]{;=224m-124m-8 =24m-8-4m+12=2Ý` ∴ [;]{;]2=[2Ý`]2=4 ⑵ x=(2aÛ`)Ý`=2Ý`_a8, y=(2a)Ü`=2Ü`_aÜ` ;4Z;={aÛ`2 }Ü`= aß`2Ü` 에서 z=aß`2Ü`_4=aß`2 이므로 ;]{;_z=2Ý`_a2Ü`_aÜ`8_aß`2 =a11∴ [;]{;_z]a=[a11]a=11
100
;3#3!; 자연수 n에 대하여 34n+36n+39n 을 10으로 나눈 나머지는 34n+36n+39n 의 일의 자리의 숫자와 같다. Ú n=1일 때, 34+36+39에서 일의 자리의 숫자만 계산해 보면 02 단항식의 계산013
4+6+9=19이고 일의 자리의 숫자는 9이므로 AÁ=9이다. Û n=2일 때, 34Û`+36Û`+39Û`에서 일의 자리의 숫자만 계산해 보면 6+6+1=13이고 일의 자리의 숫자는 3이므로 Aª=3이다. Ü n=3일 때, 34Ü`+36Ü`+39Ü`에서 일의 자리의 숫자만 계산해 보면 4+6+9=19이고 일의 자리의 숫자는 9이므로 A£=9이다. Ý n=4일 때, 34Ý`+36Ý`+39Ý`에서 일의 자리의 숫자만 계산해 보면 6+6+1=13이고 일의 자리의 숫자는 3이므로 A¢=3이다. y Ú~Ý에서 34n+36n+39n 을 10으로 나눈 나머지는 9, 3이 반복된다. 따라서 AÁ10 +Aª10Û`+10Ü`A£ +A¢10Ý`+y=0.H9H3이므로 기약분수로 나타 내면 ;9(9#;=;3#3!;이다.
101
ㄴ, ㄹㄱ. (좌변)=R[3x_3y]=R[3x+y]=x+y
(우변)=R[3x]_R[3y]=xy
이때 x+y+xy이므로 R[3x_3y]+R[3x]_R[3y]
ㄴ. (좌변)=R[3xÖ3y]=R[3x-y]=x-y`(∵ x>y)
(우변)=R[3x]-R[3y]=x-y ∴ R[3xÖ3y]=R[3x]-R[3y] ㄷ. (좌변)=R[(3x)y]=R[3xy]=xy (우변)=(R[3x])y=xy 이때 xy+xy이므로 R[(3x)y]+(R[3x])y ㄹ. (좌변) =R[(27x_3y)Ö81z]=R[33x_3yÖ34z] =R[33x+y-4z]=3x+y-4z`(∵ x>y>z)
(우변)=3R[3x]+R[3y]-4R[3z]=3x+y-4z ∴ R[(27x_3y)Ö81z]=3R[3x]+R[3y]-4R[3z] 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
102
12 {-xÜ`yÛ`}a_{xyÛ`b} 4 Ö{-3yxÞ`b} 2 =-9y c+1 xÞ` 에서 (-1)a_x3a y2a_ y 8 x4bÖ x 10 9y2b=-9y c+1 xÞ` (-1)a_x3a y2a_ y 8 x4b_9y 2b x10 =-9y c+1 xÞ` 9_(-1)a_ y8+2b-2a x4b+10-3a=-9y c+1 xÞ` (-1)a_ y8+2b-2a x4b+10-3a=(-1)_y c+1 xÞ` yy ㉠ 이때 (-1)a=-1이고 5<a<9이므로 a=7 ㉠에 a=7을 대입하면 (-1)7_ y8+2b-14 x4b+10-21=(-1)_y c+1 xÞ` y2b-6 x4b-11=y c+1 xÞ` ∴ 2b-6=c+1, 4b-11=5 4b-11=5이므로 b=4 b=4를 2b-6=c+1에 대입하면 8-6=c+1 ∴ c=1 ∴ a+b+c=7+4+1=12103
B>A>C A=a9bÛ`Ö(a3bc2)2_b3c4=a9b2_ 1 aß`bÛ`cÝ`_b 3c4=a3b3 …… 20`% B=-2a3b4c3_(2a6b4c3)2Ö(-2a3b4c3)3B=-2a3b4c3_4a12b8c6_{- 1
8aá`bÚ`Û`cá` }=aß` …… 30`% C=-9a10b5c11Ö(-abc2)3Ö(-3a2bc)2
C=-9a10b5c11_{- 1 aÜ`bÜ`cß`}_
1
9aÝ`bÛ`cÛ`=aÜ`cÜ` …… 30`% 따라서 A=aÜ`bÜ`=(ab)Ü`, B=aß`=(aÛ`)Ü`, C=aÜ`cÜ`=(ac)Ü`이고 a>b>c이므로 aÛ`>ab>ac이다. ∴ B>A>C …… 20`%
104
;2!;ab원 고급 포장지를 만드는 데 드는 비용은 1`cmÛ`에 ab원이므로 가로의 길이 가 2a`cm, 세로의 길이가 c`cm인 포장지, 즉 넓이가 2ac`cmÛ`인 포장 지 한 장을 만드는 데 드는 비용은 2ac_ab=2aÛ`bc(원)이다. 또 이 포장지 100장을 만드는 데 드는 비용은 2aÛ`bc_100=200aÛ`bc(원)이다. 그런데 이 포장지 한 상자의 판매 가격이 300aÛ`bc원이므로 한 상자 당 300aÛ`bc-200aÛ`bc=100aÛ`bc(원)의 이익이 생긴다. 따라서 넓이가 2ac`cmÛ`인 포장지 한 장을 판매했을 때의 이익은 100aÛ`bcÖ100=aÛ`bc(원)이므로 포장지 1`cmÛ` 당 얻을 수 있는 이익은 aÛ`bcÖ2ac=;2!;ab(원)이다.105
⑤ 창 의 융 합 종이 B를 반으로 접을 때마다 종이 B의 두께는 2배가 된다. 종이 B를 1번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.5_2`mm 종이 B를 2번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.5_2_2=0.5_2Û``(mm) 종이 B를 3번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.5_2Û`_2=0.5_2Ü``(mm) 즉 종이 B를 n번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.5_2n`mm이다. 같은 방법으로 종이 A를 삼등분하여 접을 때마다 종이 A의 두께는 3배 가 되므로 종이 A를 n번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.3_3n`mm이다. ① 종이 A를 8번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.3_38`mm이다. ② 종이 B를 7번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.5_2à`=;2!;_2à`=2ß`=64(mm) ③ 종이 A를 n번 접었을 때, 종이 A의 두께는 0.3_3n`mm ④ 종이 B를 n번 접었을 때, 종이 B의 두께는 0.5_2n`mm ⑤ 두 종이 A, B를 각각 2번 접었을 때 (종이 A의 두께)=0.3_3Û`=2.7(mm) (종이 B의 두께)=0.5_2Û`=;2!;_2Û`=2(mm) 즉 두 종이 A, B를 각각 2번 접었을 때부터 종이 A의 두께가 종이 B의 두께보다 두꺼워진다. 따라서 옳은 것은 ⑤이다.106
① 창 의 융 합 1단계 : 3Ü`-7=20=2Û`_5 2단계 : 2Û`_5_3Ü`-2Û`_5_7=2Û`_5_20=2Ý`_5Û` 3단계 : 2Ý`_5Û`_3Ü`-2Ý`_5Û`_7=2Ý`_5Û`_20=2ß`_5Ü` 4단계 : 2ß`_5Ü`_3Ü`-2ß`_5Ü`_7=2ß`_5Ü`_20=28_5Ý` ① a=28_5Ý` ② 28=256<3ß`=729이므로 28_54<3ß`_5Ý` ③ 2 8_5Ý` 2Ü`+2Ü`= 28_5Ý` 2Ý` =2Ý`_5Ý`=(2_5)Ý`=10Ý`=10000 ④ a=28_5Ý`=2Ý`_2Ý`_5Ý`=16_10Ý`이므로 6자리의 자연수이다. ⑤ 16_10Ý`=160000이므로 만의 자리의 숫자는 6이다. 따라서 옳지 않은 것은 ①이다. 풀이 첨삭 멩거 스펀지의 처음 정육면체의 개수를 a개라고 하면 1단계 도형에서 정육면체의 개수 : (a-7)개 2단계 도형에서 정육면체의 개수 : {(a-7)_a-(a-7)_7}개다항식의 계산
03
107
3108
11109
12x-7y+7110
;3!;x+2y111
5xÛ`+4x+6112
5113
6x-20y114
51115
18aÝ`5 -3aÜ`5bÛ`116
- 2 xÞ`117
-:ª4°:118
-4xÛ`+16xy+9yÛ`119
-6yÛ`+:Á2°:y+15xyÛ`120
-2121
;3!;122
④123
8124
41y-41125
;4#;126
⑤127
①128
0129
6aÛ`+22a130
10a+9b-15131
x+3y 본교재 033 ~ 036쪽 교과서를 정복하는STEP
1
핵 심 유 형
107
3 (-5xÛ`+4x-8)-a(3xÛ`-2x+2) =-5xÛ`+4x-8-3axÛ`+2ax-2a =-(5+3a)xÛ`+(4+2a)x-(8+2a) xÛ`의 계수는 -(5+3a)이고, 상수항은 -(8+2a)이므로 5+3a=8+2a ∴ a=3108
11 6x+y 4 -x-3y3 +3x-5y2 =3(6x+y)-4(x-3y)+6(3x-5y)12 =18x+3y-4x+12y+18x-30y12 =32x-15y12 =;3*;x-;4%;y 따라서 a=;3*;, b=-;4%;이므로 6a+4b=6_;3*;+4_{-;4%;}=16-5=11109
12x-7y+7 7x-5y+6-A=-5x+2y-1 ∴ A=(7x-5y+6)-(-5x+2y-1) =7x-5y+6+5x-2y+1 =12x-7y+7110
;3!;x+2y 4x-3{x+y-(-2y)}=2x-3y 4x-3(x+y-+2y)=2x-3y 4x-3(x+3y-)=2x-3y 4x-3x-9y+3_=2x-3y x-9y+3_=2x-3y 3_=2x-3y-x+9y=x+6y ∴ =;3!;x+2y111
5xÛ`+4x+6 A+(-3xÛ`-5x)=7xÛ`-4x+3 A=7xÛ`-4x+3-(-3xÛ`-5x) =7xÛ`-4x+3+3xÛ`+5x=10xÛ`+x+3 B=A-(15xÛ`-2x) =10xÛ`+x+3-(15xÛ`-2x) =10xÛ`+x+3-15xÛ`+2x=-5xÛ`+3x+3 ∴ A+B=(10xÛ`+x+3)+(-5xÛ`+3x+3) =5xÛ`+4x+6112
5 2(4x-3y+2)-3A=11x-3y-5 8x-6y+4-3A=11x-3y-5 3A=-3x-3y+9 ∴ A=-x-y+3 따라서 a=-1, b=-1, c=3이므로 -4a+2b+c=4-2+3=5113
6x-20y 4x와 마주 보는 면에 있는 다항식은 -8y이므로 두 다항식의 합은 4x-8y이다. 즉 A+(-3x+7y)=4x-8y이므로 A=4x-8y+3x-7y=7x-15y B+5x-3y=4x-8y이므로 B=4x-8y-5x+3y=-x-5y ∴ A+B=(7x-15y)+(-x-5y)=6x-20y 03 다항식의 계산015
114
51 7x(x-2y+3)=7xÛ`-14xy+21x에서 xÛ`의 계수는 7이므로 a=7 -2x(3x-5y+1)=-6xÛ`+10xy-2x에서 xy의 계수는 10이므로 b=10 -3x(4x-ay-b) =-3x(4x-7y-10) =-12xÛ`+21xy+30x 에서 xy의 계수는 21이고 x의 계수는 30이므로 합은 21+30=51`115
18aÝ`5 -3aÜ`5bÛ` 어떤 다항식을 A라고 하면 AÖ{-3aÛ`5b }=10bÛ`-3a5 ∴ A={10bÛ`-3a }_{-5 3aÛ`5b } ∴ A=10bÛ`_{-3aÛ`5b }-3a _{-5 3aÛ`5b } ∴ A=-6aÛ`b+ab 따라서 바르게 계산하면{-6aÛ`b+ab }_{-3aÛ`5b }=-6aÛ`b_{-3aÛ`5b }+ab _{-3aÛ`5b } =18aÝ`5 -3aÜ`5bÛ`
116
- 2 xÞ` A-16xÜ` 2xÛ` =2xÝ`+B에서 A-16xÜ`=4xß`+2BxÛ` A-2BxÛ`=4xß`+16xÜ` A가 x에 대한 6차의 단항식이고 B가 x에 대한 단항식이므로 A=4xß`, B=-8x ∴ ;a!;_B=4xß`1 _(-8x)=-xÞ`2117
-:ª4°: (0.H3xÛ`y-1.H3xyÛ`)Ö0.2H6xy-3xÛ`y{ 3 2xÛ` -2 3xy } ={;9#;xÛ`y-:Á9ª:xyÛ`}Ö;9@0$;xy-3xÛ`y{ 3 2xÛ` -2 3xy } ={;3!;xÛ`y-;3$;xyÛ`}_4xy -3xÛ`y{15 32xÛ` -2 3xy } =;4%;x-5y-;2(;y+2x=:Á4£:x-:Á2»:y 따라서 a=:Á4£:, b=-:Á2»:이므로 a+b=:Á4£:+{-:Á2»:}=:Á4£:-:£4¥:=-:ª4°:
118
-4xÛ`+16xy+9yÛ` (2x+y)★(-x+3y) =2_2x_(-x)+3_2x_3y+2_y_(-x)+3_y_3y =-4xÛ`+18xy-2xy+9yÛ` =-4xÛ`+16xy+9yÛ`119
-6yÛ`+:Á2°:y+15xyÛ`|
12xyÛ`-3xy -3y5xy+2 - 1 2x|
=(12xyÛ`-3xy)_{-2x }-(-3y)_(5xy+2)1 =-6yÛ`+;2#;y+15xyÛ`+6y =-6yÛ`+:Á2°:y+15xyÛ`120
-2 A=(2xy-x+y-1)_(-2xy) =2xy_(-2xy)-x_(-2xy)+y_(-2xy)-(-2xy) =-4xÛ`yÛ`+2xÛ`y-2xyÛ`+2xyB=(6xÜ`yÜ`-8xÜ`yÛ`-2xÛ`yÜ`)Ö2xy=6xÜ`yÜ`-8xÜ`yÛ`-2xÛ`yÜ`2xy B=3xÛ`yÛ`-4xÛ`y-xyÛ` X-A=B-X에서 2X=A+B ∴ X=A+B2 ∴ X=(-4xÛ`yÛ`+2xÛ`y-2xyÛ`+2xy)+(3xÛ`yÛ`-4xÛ`y-xyÛ`)2 ∴ X=-xÛ`yÛ`-2xÛ`y-3xyÛ`+2xy2 =-;2!;xÛ`yÛ`-xÛ`y-;2#;xyÛ`+xy 따라서 다항식 X에서 각 항의 계수는 -;2!;, -1, -;2#;, 1이므로 합은 -;2!;+(-1)+{-;2#;}+1=-2
121
;3!; 4a(a-2ab)-8(aÛ`-3aÛ`b) =4aÛ`-8aÛ`b-8aÛ`+24aÛ`b =-4aÛ`+16aÛ`b =-4_{-;2!;}Û`+16_{-;2!;}Û`_;3!; =-1+;3$;=;3!;122
④ 2x(2xÛ`y-5xyÜ`)Ö2xy-(9xÛ`yÛ`-3xÜ`y)Ö3xÛ`y =2x(2xÛ`y-5xyÜ`)2xy -9xÛ`yÛ`-3xÜ`y3xÛ`y=2xÛ`-5xyÛ`-3y+x
=2_{-;2!;}Û`-5_{-;2!;}_2Û`-3_2+{-;2!;} =;2!;+10-6-;2!;=4
123
8a◈b=18aÜ`bÛ`-6aÛ`bÜ`-2ab -7aÛ`bÜ`+2abÝ` bÛ`
∴ ;4!;◈(-4)=-16_{;4!;}Û`_(-4)+;4!;_(-4)Û` ∴ ;4!;◈(-4)=4+4=8
124
41y-41 2x+5y=3x-4y+7에서 2x-3x=-4y+7-5y -x=-9y+7 ∴ x=9y-7 ∴ 5x-4y-6 =5(9y-7)-4y-6 =45y-35-4y-6=41y-41125
;4#; ;[!;+;]!;=7에서 x+yxy =7 ∴ x+y=7xy∴ 2x-5xy+2yx+5xy+y =2(x+y)-5xyx+y+5xy =14xy-5xy7xy+5xy
∴ =12xy =;1»2;=;4#;9xy
126
⑤(3x+4y)`:`(5x-2y)=1`:`2에서
2(3x+4y)=5x-2y, 6x+8y=5x-2y ∴ x=-10y 2x-{x-(2x-3y)-5y} =2x-(x-2x+3y-5y) =2x-(-x-2y) =2x+x+2y =3x+2y 따라서 3x+2y에 x=-10y를 대입하면 3x+2y=3_(-10y)+2y=-30y+2y=-28y
127
① a+b+c=0이므로b+c=-a, c+a=-b, a+b=-c
∴ b+c +a c+a +b a+b =c -a +a -b +b -cc =-1+(-1)+(-1) =-3
128
0 y-[2x+z-{x-(2z-y)}] =y-{2x+z-(x-2z+y)} =y-(2x+z-x+2z-y) =y-(x-y+3z)=-x+2y-3z-x+2y-3z=-(a+b)+2_a+b2 -3_-a+b3 -x+2y-3z=-a-b+a+b+a-b=a-b a-b=ma+nb이므로 m=1, n=-1 ∴ m+n=1+(-1)=0
129
6aÛ`+22a ㉠ ㉡ ㉢ ㉣ ㉥ ㉦ ㉧ ㉤ 4a+9 5a-1 2a2+2a-3 a 2-5 (도형의 세로의 길이) =㉠+㉢+㉤+㉦ =(4a+9)+(aÛ`-5) =aÛ`+4a+4 (도형의 가로의 길이) =㉡+㉣+㉥+㉧ =(2aÛ`+2a-3)+(5a-1) =2aÛ`+7a-4 ∴ (둘레의 길이) =2(㉠+㉢+㉤+㉦+㉡+㉣+㉥+㉧) =2(aÛ`+4a+4+2aÛ`+7a-4) =2(3aÛ`+11a)=6aÛ`+22a130
10a+9b-15 (색칠한 부분의 넓이) =4a_3b-;2!;_(4a-6)_3b-;2!;_4a_(3b-5)-;2!;_6_5 =12ab-6ab+9b-6ab+10a-15=10a+9b-15131
x+3y 사다리꼴의 넓이는 ;2!;_{ABÓ+(x+2+ABÓ+x-2y)}_4y =;2!;_(2ABÓ+2x-2y+2)_4y =(2ABÓ+2x-2y+2)_2y (2ABÓ+2x-2y+2)_2y=8xy+8yÛ`+4y에서 2ABÓ+2x-2y+2=4x+4y+2 2ABÓ=4x+4y+2-2x+2y-2=2x+6y ∴ ABÓ=x+3y132
3x-3y133
2134
-4yÛ`-4xy135
18xÛ`-6xy+9yÛ`136
4xÝ`+5xÜ`y-xÛ`yÛ`137
-2xy+;[#;+1138
3yÛ`x +2-;3!;y139
-14x-2y+8140
{a+;5!;b}원141
7142
8143
②144
;6&;145
③146
⑴ 2 ⑵ -;2!;147
2p148
:Á2Á:a-2b 본교재 039 ~ 041쪽 실전문제 체화를 위한STEP
2
심 화 유 형
03 다항식의 계산017
132
3x-3y [-0.7]=-1, [1.8]=1, [-1.4]=-2, [0.8]=0이므로 [-0.7](4x-3y)+[1.8](3x+4y)-[-1.4](2x-5y) -[0.8](7x+6y) =(-1)_(4x-3y)+(3x+4y)-(-2)_(2x-5y) =-4x+3y+3x+4y+4x-10y =3x-3y133
2 f(x)=2A-[B-5C-{3B+3(A-2C)}] f(x)=2A-{B-5C-(3B+3A-6C)} f(x)=2A-(B-5C-3B-3A+6C) f(x)=2A-(-3A-2B+C) f(x)=2A+3A+2B-C f(x)=5A+2B-C f(x)=5(xÛ`+2x-4)+2(xÛ`-2x+3)-(-xÛ`-x-1) f(x)=8xÛ`+7x-13 ∴ f(1)=8+7-13=2134
-4yÛ`-4xy 5xÛ`-C+5xÜ`y=D에서 5xÛ`-(4yÛ`+A-B)+5xÜ`y=D 5xÛ`-{4yÛ`+A-(-3xÛ`-5xÜ`y)}+5xÜ`y=2xÛ`+4xy 5xÛ`-(4yÛ`+A+3xÛ`+5xÜ`y)+5xÜ`y=2xÛ`+4xy 5xÛ`-4yÛ`-A-3xÛ`-5xÜ`y+5xÜ`y=2xÛ`+4xy 2xÛ`-4yÛ`-A=2xÛ`+4xy ∴ A=-4yÛ`-4xy135
18xÛ`-6xy+9yÛ` A C D 3xÛ`+xy+9yÛ` 6xÛ`-2xy+3yÛ` xÛ`+3xy+13yÛ` B (6xÛ`-2xy+3yÛ`)+(xÛ`+3xy+13yÛ`)+B=15xÛ`-3xy+15yÛ` 이므로 7xÛ`+xy+16yÛ`+B=15xÛ`-3xy+15yÛ`에서 B=15xÛ`-3xy+15yÛ`-(7xÛ`+xy+16yÛ`) =8xÛ`-4xy-yÛ` C+(3xÛ`+xy+9yÛ`)+(8xÛ`-4xy-yÛ`)=15xÛ`-3xy+15yÛ`이므로 C+11xÛ`-3xy+8yÛ`=15xÛ`-3xy+15yÛ`에서 C=15xÛ`-3xy+15yÛ`-(11xÛ`-3xy+8yÛ`) =4xÛ`+7yÛ` (6xÛ`-2xy+3yÛ`)+D+(4xÛ`+7yÛ`)=15xÛ`-3xy+15yÛ`이므로 10xÛ`-2xy+10yÛ`+D=15xÛ`-3xy+15yÛ`에서 D=15xÛ`-3xy+15yÛ`-(10xÛ`-2xy+10yÛ`) =5xÛ`-xy+5yÛ` A+(5xÛ`-xy+5yÛ`)+(8xÛ`-4xy-yÛ`)=15xÛ`-3xy+15yÛ`이므로 A+13xÛ`-5xy+4yÛ`=15xÛ`-3xy+15yÛ`에서 A=15xÛ`-3xy+15yÛ`-(13xÛ`-5xy+4yÛ`)=2xÛ`+2xy+11yÛ` ∴ A+2B=2xÛ`+2xy+11yÛ`+2(8xÛ`-4xy-yÛ`) =18xÛ`-6xy+9yÛ`136
4xÝ`+5xÜ`y-xÛ`yÛ` (4xÛ`+5xy-yÛ`)_xÛ`yÛ`=4xÝ`yÛ`+5xÜ`yÜ`-xÛ`yÝ` xÛ`yÛ`_{xyÛ`1 }Û`=xÛ`yÛ`_xÛ`yÝ`1 =1yÛ` ∴ A=(4xÝ`yÛ`+5xÜ`yÜ`-xÛ`yÝ`)_1 yÛ`=4xÝ`+5xÜ`y-xÛ`yÛ`
137
-2xy+;[#;+1 -4xá`yß`ÖA=AÛ`Ö(-16xÜ`yá`)에서 AÜ`=-4xá`yß`_(-16xÜ`yá`)AÜ`=64x12y15=(4xÝ`yÞ`)Ü` ∴ A=4xÝ`yÞ`
∴ (-8xÞ`yß`+12xÜ`yÞ`+4xÝ`yÞ`)ÖA ∴ =(-8xÞ`yß`+12xÜ`yÞ`+4xÝ`yÞ`)Ö4xÝ`yÞ`=-2xy+;[#;+1
138
3yÛ`x +2-;3~!;y A◇3x=A_(3x)Û`=A_9xÛ` A_9xÛ`=27xÝ`y ∴ A=3xÛ`y …… 30`% 4y◆B=(4y)Û`_B=16yÛ`_B 16yÛ`_B=32xyÜ` ∴ B=2xy …… 30`% AÛ` 9xÛ`yÖ 4xy BÛ` = (3xÛ`y)Û` 9xÛ`y Ö 4xy (2xy)Û`= 9xÝ`yÛ` 9xÛ`y_ 4xÛ`yÛ` 4xy =xÜ`yÛ` ∴ {3xÛ`yÝ`+2xÜ`yÛ`-;3!;xÜ`yÜ`}Ö{9xÛ`yAÛ` Ö4xyBÛ` }
∴ ={3xÛ`yÝ`+2xÜ`yÛ`-;3!;xÜ`yÜ`}ÖxÜ`yÛ`=3yÛ`x +2-;3~!;y …… 40%
139
-14x-2y+8 A, B를 각각 간단히 하면 A={-4xÛ`y+;6!;xyÛ`}Ö;3@;xy={-4xÛ`y+;6!;xyÛ`}_2xy3 A=-6x+;4!;y B=;3*;{3x-;2#;y}=8x-4y 4A-(C-B)=-2x-y-8을 C에 대하여 풀면 4A-C+B`=-2x-y-8 ∴ C=4A+B+2x+y+8따라서 이 식에 A=-6x+;4~!;y, B=8x-4y를 대입하면
C=4A+B+2x+y+8=4{-6x+;4!;y}+(8x-4y)+2x+y+8 C=-24x+y+8x-4y+2x+y+8=-14x-2y+8