O x꼭짓점으로 하는 △ABC는 오른쪽

y=ax-2 y=ax-2

O

x 꼭짓점으로 하는

△

ABC는 오른쪽

그림과 같다.

y=ax-2의 그래프가 두 점 A, B를 지날 때와 그 사이를 지날 때

△

ABC 와 만난다.

y=ax-2의 그래프가 Ú 점 A(2, 6)을 지날 때, 6=2a-2 ∴ a=4 Û 점 B(6, 2)를 지날 때, 2=6a-2 ∴ a=;3@;

일차함수와 그래프 ⑴ 051

Ú, Û에서 ;3@;ÉaÉ4 ODÓ=a, CEÓ=b라고 하면 BCÓ`:`ODÓ=2`:`1

이므로 BCÓ`:`a=2`:`1 ∴ BCÓ=2a

△

^OPB=;2!;_16_a=8a

△

^OQP=;2!;_a_(-a+16)=;2!;a(-a+16)

이때

△

^OPB`:`

△

OQP=4`:`1이므로

△

^OPB=4

△

^OQP

8a=4_;2!;a(-a+16), 8a=2a(-a+16) 이때 a>0이므로 양변을 2a로 나누면

△

^AOP=;2!;_2_(k+2)=k+2

△

^AOB=;2!;_2_2=2 이때

△

^AOP=2

△

^AOB이므로

k+2=2_2 ∴ k=2, 즉 P(2, 4)

△

^BCP=;2!;_(2-b)_2=2-b이고

△

BCP=3

△

AOB이므로 2-b=3_2 ∴ b=-4

즉 y=ax-4의 그래프가 점 P(2, 4)를 지나므로 4=2a-4 ∴ a=4

∴ ab=4_(-4)=-16

382

^{③, ④}

383

^-;2#;

384

^-;2!;, :ª3°:

385

^2`:`3

386

^12개

387

^-;6!;

388

⁶

389

:ª6°:

창 의 융 합

390

^5개

391

;2£5;

본교재 103 ~ 105쪽

최상위권 굳히기를 위한

STEP

3 ^{최 고 난} ^도 ^유 ^형

382

^{ ③, ④}

① 3n은 3의 배수이므로 f(3n)=0

② f(1)=1, f(2)=2, f(3)=0, y

함숫값이 1, 2, 0의 순서대로 반복되어 나타난다.

∴ f(n)= f(n+3)

③ f(3n-1)=2, f(3n+1)=1이므로 f(3n-1)+ f(3n+1)

④ f(9n+1)=1, f(9n-1)=2이므로 f(9n+1)+ f(9n-1)

⑤ f(3n)=0, f(3n+1)=1, f(3n+2)=2이므로 f(3n)+ f(`3n+1)+ f(`3n+2)=0+1+2=3 따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다.

383

^^-;2#;

f(x+2)= f(x)-1

f(x)+1 yy ㉠

Ú x=3을 ㉠의 양변에 대입하면 f(5)= f(3)-1 f(3)+1=5 f(3)-1=5 f(3)+5, -4f(3)=6 ∴ f(3)=-;2#;

Û x=1을 ㉠의 양변에 대입하면 f(3)= f(1)-1 f(1)+1=-;2#;

-2 f(1)+2=3 f(1)+3, -5f(1)=1 ∴ f(1)=-;5!;

Ü x=5를 ㉠의 양변에 대입하면 f(7)= f(5)-1 f(5)+1=5-1

5+1 =;3@;

Ý x=7을 ㉠의 양변에 대입하면 f(9)= f(7)-1

f(7)+1=;3@;-1

;3@;+1=-;5!;

Þ x=9를 ㉠의 양변에 대입하면

f(11)= f(9)-1

f(9)+1=-;5!;-1 -;5!;+1=-;2#;

즉 f(1)=-;5!;, f(3)=-;2#;, f(5)=5, f(7)=;3@;, f(9)=-;5!;, f(11)=-;2#;, y 이므로 x의 값을 8로 나눈 나머지가 1, 3, 5, 7인 경 우 함숫값은 -;5!;, -;2#;, 5, ;3@;의 순서대로 반복되어 나타난다.

따라서 19를 8로 나눈 나머지는 3이므로 f(19)=-;2#;

384

^{ -};2!;, :ª3°:

점 O(0, 0)에서 0=0이므로 (가)의 규칙에 따라 이동시킨 점을 O'이라 고 하면 점 O'의 좌표는 (0, 0)이다.

점 A(2, -1)에서 2>-1이므로 (가)의 규칙에 따라 이동시킨 점을 A'이라고 하면 A'의 좌표는 (1, 3)이다.

즉 두 점 O'(0, 0), A'(1, 3)을 지나는 직선을 그래프로 하는 함수의 식

은 y=3x …… 40`%

한편 점 B(5, 3a-1)에서 Ú 5¾3a-1, 즉 aÉ2일 때,

점 B를 (가)의 규칙에 따라 이동시킨 점을 B'이라고 하면 점 B'의 좌 표는 (3a+4, -3a+6)이고 이 점은 y=3x의 그래프 위에 있어야 하므로 y=3x에 x=3a+4, y=-3a+6을 대입하면

-3a+6=3(3a+4), -12a=6 ∴ a=-;2!;

-;2!;É2이므로 조건을 만족한다.

Û 5<3a-1, 즉 a>2일 때,

점 B를 (나)의 규칙에 따라 이동시킨 점을 B''이라고 하면 점 B''의 좌표는 (7, 3a-4)이고 이 점은 y=3x의 그래프 위에 있어야 하므 로 y=3x에 x=7, y=3a-4를 대입하면

3a-4=21, 3a=25 ∴ a=:ª3°: …… 50`%

:ª3°:>2이므로 조건을 만족한다.

Ú, Û에서 상수 a의 값은 -;2!;, :ª3°: …… 10`%

385

^{ 2`:`3}

일차함수의 그래프 l은 두 점 (-2, 2), (0, 1)을 지나므로 기울기는 0-(-2) =-;2!; ∴ 1-2 PCÓ

PAÓ=;2!; yy ㉠

일차함수의 그래프 m은 두 점 (-2, 2), (0, -4)를 지나므로 기울기는 0-(-2) =-3 ∴ -4-2 PDÓ

PBÓ=3 yy ㉡

㉠, ㉡에서 PAÓ=2PCÓ, PDÓ=3PBÓ이므로

(PAÓ_PBÓ)`:`(PCÓ_PDÓ)=(2PCÓ_PBÓ)`:`(PCÓ_3PBÓ)=2`:`3

386

^{ 12개}

세 점 A(0, 7), B(21, 4), C(30, 19)를 y

O

A(0, 7)

C(30, 19) B(21, 4)

꼭짓점으로 하는

△

ABC는 오른쪽 그림

과 같다.

Ú ABÓ의 기울기는 4-721-0 =-;7!;이므로

일차함수와 그래프 ⑴ 053

x의 값이 7만큼 증가할 때 y의 값은 1만큼 감소한다.

따라서 구하는 점 (x, y)는 (0, 7), (7, 6), (14, 5), (21, 4)의 4개이다.

Û BCÓ의 기울기는 19-430-21 =;3%;이므로 x의 값이 3만큼 증가할 때 y의 값은 5만큼 증가한다.

따라서 구하는 점 (x, y)는 (21, 4), (24, 9), (27, 14), (30, 19) 의 4개이다.

Ü CAÓ의 기울기는 19-7

30-0 =;5@;이므로 x의 값이 5만큼 증가할 때 y의 값은 2만큼 증가한다.

따라서 구하는 점 (x, y)는 (0, 7), (5, 9), (10, 11), (15, 13), (20, 15), (25, 17), (30, 19)의 7개이다.

Ú~Ü에서 점 (0, 7), (21, 4), (30, 19)는 두 번씩 세었으므로 구하 는 점 (x, y)의 개수는

4+4+7-3=12(개)

387

^^-^;6!;

y=-;3@;x+2에 y=0을 대입하면

0=-;3@;x+2, ;3@;x=2 ∴ x=3, 즉 A(3, 0) y=-;3@;x+2에 x=0을 대입하면 y=2, 즉 B(0, 2)

∴

△

^BOA=;2!;_3_2=3

y=ax+1에 x=0을 대입하면 y=1, 즉 C(0, 1) 점 D의 x좌표를 p라고 하면

△

^BCD=;2!;_1_p=;2!;p

△

BCD의 넓이와 사각형 COAD의 넓이의 비가 1`:`2이고

△

BCD=;3!;

△

BOA이므로

;2!;p=;3!;_3=1 ∴ p=2 y=-;3@;x+2에 x=2를 대입하면 y=-;3@;_2+2=;3@;, 즉 D{2, ;3@;}

y=ax+1에 x=2, y=;3@;를 대입하면 ;3@;=2a+1 ∴ a=-;6!;

388

^⁶

두 일차함수의 그래프는 점 (k, 4)에서 만나므로 x=k, y=4를 y=ax+2b, y=-bx-2a에 각각 대입하면

4=ak+2b, 4=-bk-2a

위의 두 식을 변끼리 빼면 0=(a+b)k+(2a+2b) ∴ k=-2 즉 두 일차함수의 그래프는 점 (-2, 4)에서 만난다.

y=ax+2b의 그래프의 y절편은 2b, y=-bx-2a의 그래프의 y절편 은 -2a이고 두 일차함수의 그래프와 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 12이므로 ;2!;_{2b-(-2a)}_2=12

∴ a+b=6 yy ㉠

또 일차함수 y=ax+2b의 그래프가 점 (-2, 4)를 지나므로 y=ax+2b에 x=-2, y=4를 대입하면 4=-2a+2b

∴ a-b=-2 yy ㉡

㉠+㉡을 하면 2a=4 ∴ a=2

a=2를 ㉠에 대입하면 2+b=6 ∴ b=4 _{y y=2x+8}

y=-4x-4

O

4 8

-4 -4 -2

-1

따라서 y=2x+8의 그래프의 x절편은 -4,

y=-4x-4의 그래프의 x절편은 -1이므 로 두 일차함수의 그래프와 x축으로 둘러싸 인 부분의 넓이는

;2!;_{-1-(-4)}_4=6

389

^^:ª6°:

F C

E D

① ②

③

x y

O -6

A B

y=- x+a (a>0)

- 1 3

위의 그림에서 점 B의 x좌표를 k라고 하면 B{k, -;3!;k+a}

정사각형 ③에서

k=-;3!;k+a ∴ k=;4#;a

즉 정사각형 ③의 한 변의 길이는 ;4#;a이다.

A(-6, 2+a)이므로 정사각형 ②의 한 변의 길이는 2+a이다.

점 D의 x좌표는 -6-(2+a)=-8-a이므로 D(-8-a, 0) x=-8-a를 y=-;3!;x+a에 대입하면 y=;3*;+;3$;a

C{-8-a, ;3*;+;3$;a}이므로 정사각형 ①의 한 변의 길이는 ;3*;+;3$;a이다.

세 정사각형 ①, ②, ③의 둘레의 길이의 합이 31이므로 4[{;3*;+;3$;a}+(2+a)+;4#;a]=31, ;1#2&;a=;1#2&; ∴ a=1 따라서 A(-6, 3), C(-9, 4), E(-13, 0), F{-13, :Á3¤:}이므로 색칠한 두 삼각형의 넓이의 합은

;2!;_4_{:Á3¤:-4}+;2!;_3_(4-3)=:ª6°:

390

^{ 5개}

^{창 의 융 합}

y=2x+1의 그래프를

Ú y축의 방향으로 -1만큼 평행이동하면 y=2x+1-1=2x 이 그래프는 두 점 (0, 0), (1, 2)를 지난다.

Û y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하면 y=2x+1-2=2x-1 이 그래프는 두 점 (1, 1), (2, 3)을 지난다.

Ü y축의 방향으로 -3만큼 평행이동하면 y=2x+1-3=2x-2 이 그래프는 두 점 (1, 0), (2, 2)를 지난다.

Ý y축의 방향으로 -4만큼 평행이동하면 y=2x+1-4=2x-3 이 그래프는 두 점 (2, 1), (3, 3)을 지난다.

Þ y축의 방향으로 -5만큼 평행이동하면 y=2x+1-5=2x-4

(사각형 FCDE의 넓이)=;2!;_(10+8)_4=36 (오각형 ABCDE의 넓이)

△

^FPE=;2!;_(4-a)_10=5(4-a)

(사각형 PCDE의 넓이) =(사각형 FCDE의 넓이)-

△

FPE

ab<0이므로 a<0, b>0 또는 a>0, b<0

O

y ac>0이므로 a>0, c>0 또는 a<0, c<0

∴ a<0, b>0, c<0 또는 a>0, b<0, c>0 따라서 ;bA;<0, -;cB;>0이므로 y=;bA;x-;cB;의 그래 프는 오른쪽 그림과 같이 제3사분면을 지나지 않는 다.

393

^{ 제4사분면}

p<0, q>0이므로 -p>0, -q<0

즉 y=-px-q의 그래프의 기울기는 양수이고 y절편은 음수이다.

문서에서 2021 고쟁이 중학수학 2-1 답지 정답 (페이지 51-55)

O

△

△