2x-y=1에서 y=2x-1 ax+2y=b에서 y=-;2A;x+;2B;
10
일차함수와 일차방정식의 관계 061
연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 일차방정식의 그래프는 일치해 야 하므로
-;2A;=2, ;2B;=-1 ∴ a=-4, b=-2 y
O
x2
- 1 2
따라서 y=-4x+2의 그래프의 x절편은 ;2!;, y절편은 2이므로 오른쪽 그림과 같이 제3사분면을 지나지 않는다.
440
163x+3=0, 4x=a, y+3=0, 2y-8=0, y
O
x4
y=4y=-3 x=-1
-3
x=-1 -
a4 -
a4
즉 x=-1, x=;4A;, y=-3, y=4의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이가 35이므로 7_[;4A;-(-1)]=35 ∴ a=16
441
③연립방정식 [x+y=-5 yy ㉠ -x+2y=-4 yy ㉡ 에서
㉠+㉡을 하면 3y=-9 ∴ y=-3
㉠에 y=-3을 대입하면 x-3=-5 y
x x=2
x+y=-5 -x+2y=-4
O 2 -2 -1
A -3 C
-7 B
∴ x=-2, 즉 A(-2, -3)
㉠에 x=2를 대입하면 2+y=-5
∴ y=-7, 즉 B(2, -7)
㉡에 x=2를 대입하면
-2+2y=-4 ∴ y=-1, 즉 C(2, -1) 따라서 구하는 도형의 넓이는
;2!;_6_4=12
442
4l`:`x-2y-2=0에서 y=;2!;x-1 직선 l의 y절편은 -1이므로 C(0, -1) m`:`2x+y+6=0에서 y=-2x-6 직선 m의 x절편은 -3이므로 A(-3, 0) 연립방정식 [x-2y-2=0 yy ㉠
2x+y+6=0 yy ㉡ 에서
㉠+㉡_2를 하면 5x+10=0 ∴ x=-2 x=-2를 ㉡에 대입하면 -4+y+6=0
∴ y=-2, 즉 B(-2, -2) 따라서 사각형 ABCO의 넓이는
△
OAB+△
OBC=;2!;_3_2+;2!;_1_2=4443
3444
③, ④445
④446
③447
③448
y=6449
5450
;4&;451
6개452
-3453
④454
-;3$;455
7456
16457
4458
-80459
-5본교재 122 ~ 124쪽
실전문제 체화를 위한
STEP 2 심 화 유 형
443
33x+y-4=0에서 y=-3x+4
이 그래프와 평행한 직선의 방정식을 y=-3x+k라고 하자.
6x+3y-4=0의 그래프의 x절편은 ;3@;이므로 y=-3x+k에 x=;3@;, y=0을 대입하면 0=-3_;3@;+k ∴ k=2
y=-3x+2, 즉 3x+y-2=0이므로 a=3, b=1
∴ ab=3_1=3
444
③, ④① a+0, b+0이면 ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;이므로 그래프 는 일차함수의 그래프이다.
② a=0, b+0, c+0이면 by+c=0, 즉 y=-;bC;이므로 그래프는 x축 에 평행하다.
③ a>0, b<0, c<0이면 y=-;bA;x-;bC;에서
O
xy
-;bA;>0, -;bC;<0이므로 오른쪽 그림과 같이 제2 사분면을 지나지 않는다.
④ a+0, b=0, c=0이면 ax=0, 즉 x=0이므로 그 래프는 y축이다.
⑤ a<0, b>0, c<0이면 y=-;bA;x-;bC;에서
O
x y-;bA;>0, -;bC;>0이므로 오른쪽 그림과 같이 x의 값이 증가할 때, y의 값도 증가한다.
따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다.
445
④점 (-3, 8)을 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은 y=8 점 (4, -6)을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=4 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (4, 8)이므로 p=4, q=8
∴ p+q=4+8=12
446
③y=-x-10에 x=2k, y=k-1을 대입하면
k-1=-2k-10 ∴ k=-3
따라서 점 (-6, -4)를 지나고 y축에 수직인 직선의 방정식은 y=-4
447
③ax+by+1=0의 그래프가 x축에 수직이려면 x=p 꼴이어야 하므로 b=0
ax+1=0, 즉 x=-;a!;의 그래프가 제2사분면과 제3사분면을 지나려 면 -;a!;<0 ∴ a>0
448
y=6사각형 ABCD가 직사각형이므로 직선 AD의 방정식을 y=k라고 하면 ABÓ=k
점 A의 y좌표가 k이므로 4x-y=0에 y=k를 대입하면 4x-k=0 ∴ x=;4K;
점 D의 y좌표가 k이므로 2x+3y-30=0에 y=k를 대입하면 2x+3k-30=0 ∴ x=-3k+30
2 즉 A{;4K;, k}, D{-3k+30
2 , k}이므로 ADÓ=-3k+30
2 -;4K;=-7k+60 4 ABÓ`:`ADÓ=4`:`3이므로 k`:`-7k+60
4 =4`:`3 -7k+60=3k ∴ k=6
따라서 직선 AD의 방정식은 y=6
449
5두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표가 (1, 3)이므로 3x+2y+a=0에 x=1, y=3을 대입하면
3+6+a=0 ∴ a=-9
x-y+b=0에 x=1, y=3을 대입하면 1-3+b=0 ∴ b=2
3x+2y-9=0의 그래프의 x절편은 3이므로 x축과 만나는 점의 좌표 는 (3, 0)이고 x-y+2=0의 그래프의 x절편은 -2이므로 x축과 만나 는 점의 좌표는 (-2, 0)이다.
따라서 두 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리는 3-(-2)=5
450
;4&;직선 `l의 x절편은 3, y절편은 3, 즉 두 점 (3, 0), (0, 3)을 지나므로 기울기는 3-0
0-3 =-1 직선 l의 방정식은 y=-x+3
직선 m의 x절편은 -2, y절편은 1, 즉 두 점 (-2, 0), (0, 1)을 지나 므로 기울기는 1-0
0-(-2) =;2!;
직선 m의 방정식은 y=;2!;x+1
연립방정식
[
y=-x+3 yy ㉠ y=;2!;x+1 yy ㉡ 에서㉠을 ㉡에 대입하면 -x+3=;2!;x+1 ∴ x=;3$;
x=;3$;를 ㉠에 대입하면 y=;3%;
두 직선 `l, m의 교점의 좌표가 {;3$;, ;3%;}이므로 y=2ax-3에 x=;3$;, y=;3%;를 대입하면 ;3%;=;3*;a-3 ∴ a=;4&;
451
6개연립방정식 [4x-y=2 yy ㉠ 2x+3y=k yy ㉡ 에서
㉠_3+㉡을 하면 14x=k+6 ∴ x=k+6 14
㉠-㉡_2를 하면 -7y=2-2k ∴ y=2k-2 7
두 그래프의 교점이 제4사분면에 있으므로 x>0, y<0이다.
k+614 >0 ∴ k>-6 2k-27 <0 ∴ k<1
∴ -6<k<1
따라서 정수 k는 -5, -4, -3, -2, -1, 0의 6개이다.
452
-3세 직선으로 삼각형을 만들 수 없는 경우는 세 직선 중 두 직선이 평행하 거나 세 직선이 한 점에서 만나는 경우이다.
Ú 두 직선 x+3y-5=0, ax-y-2=0, 즉 y=-;3!;x+;3%;, y=ax-2가 평행할 때,
두 직선의 기울기는 같으므로 a=-;3!; …… 30`%
Û 두 직선 x-2y+3=0, ax-y-2=0, 즉 y=;2!;x+;2#;, y=ax-2가 평행할 때,
두 직선의 기울기는 같으므로 a=;2!; …… 30`%
Ü 세 직선이 한 점에서 만날 때, 연립방정식 [x+3y-5=0 yy ㉠
x-2y+3=0 yy ㉡ 에서 ㉠-㉡을 하면 5y-8=0 ∴ y=;5*;
y=;5*;을 ㉡에 대입하면 x-:Á5¤:+3=0 ∴ x=;5!;
ax-y-2=0에 x=;5!;, y=;5*; 을 대입하면
;5!;a-;5*;-2=0 ∴ a=18 …… 30`%
Ú~Ü에서 모든 상수 a의 값의 곱은
-;3!;_;2!;_18=-3 …… 10`%
10
일차함수와 일차방정식의 관계 063
453
④두 직선 4x+ay+1=0, bx-2y-;3!;=0, 즉 y=-;a$;x-;a!;, y=;2B;x-;6!;이 일치하므로 -;a$;=;2B;, -;a!;=-;6!; ∴ a=6, b=-;3$;
ax+3by+4=0에 a=6, b=-;3$;를 대입하면 6x-4y+4=0 ∴ y=;2#;x+1
ㄱ. y=;2#;x+1에 x=-;3*;, y=-3을 대입하면 -3=;2#;_{-;3*;}+1
ㄴ. (기울기)>0, ( y절편)>0이므로 오른쪽 위로 향하는 직선이다.
ㄷ. y=;2#;x+1에서 x절편은 -;3@;, y절편은 1이므로 그 곱은 -;3@;_1=-;3@;
ㄹ. x-;3@;y-2=0에서 `y=;2#;x-3이므로 y=;2#;x+1의 그래프와 기 울기가 같다. 따라서 두 그래프는 평행하므로 교점이 없다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
454
-;3$;3x-by=8에서 y=;b#;x-;b*;
연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 일차방정식의 그래프가 일치해 야 하므로
-a=;b#;, 4=-;b*; ∴ a=;2#;, b=-2 x+ay-b=0에 a=;2#;, b=-2를 대입하면 x+;2#;y+2=0, 즉 y=-;3@;x-;3$;
또 kx-2y=0에서 y=;2K;x
이때 두 직선 y=-;3@;x-;3$;, y=;2K;x가 평행하므로 -;3@;=;2K; ∴ k=-;3$;
455
72x-ay=4에서 y=;a@;x-;a$;
3x+6y=b에서 y=-;2!;x+;6B;
두 일차방정식의 그래프가 평행하므로
;a@;=-;2!;, -;a$;+;6B; ∴ a=-4, b+6
두 일차방정식 y=-;2!;x+1, y=-;2!;x+;6B;의 그래프의 y절편은 각각 1, ;6B;이므로
;6B;>1 ∴ b>6
따라서 자연수 b의 최솟값은 7이다.
456
16연립방정식 y
x 4x-y-4=0
4x-5y+12=0 4x+3y+12=0
O 2 -3
4
1 C F D A
B E -4
[4x-5y+12=0 yy ㉠4x-y-4=0 yy ㉡ 에서
㉠-㉡을 하면 -4y+16=0
∴ y=4
y=4를 ㉡에 대입하면 4x-4-4=0
∴ x=2, 즉 A(2, 4)
연립방정식 [4x-5y+12=0 yy ㉢ 4x+3y+12=0 yy ㉣ 에서
㉢-㉣을 하면 -8y=0 ∴ y=0
y=0을 ㉢에 대입하면 4x+12=0 ∴ x=-3, 즉 B(-3, 0) 연립방정식 [4x-y-4=0 yy ㉤
4x+3y+12=0 yy ㉥ 에서
㉤-㉥을 하면 -4y-16=0 ∴ y=-4
y=-4를 ㉤에 대입하면 4x+4-4=0 ∴ x=0, 즉 C(0, -4) 따라서 세 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는
(사각형 DEFA의 넓이)-
△
DBA-△
BEC-△
ACF=5_8-;2!;_5_4-;2!;_3_4-;2!;_2_8
=40-10-6-8=16
457
4사각형 ABCD는 평행사변형이므로 두 점 A, B를 지나는 2x-y=-2 의 그래프와 두 점 C, D를 지나는 mx+y+n=0의 그래프의 기울기 는 서로 같다.
2x-y=-2에서 y=2x+2 y
O
x-1 2 A B -2
y=4y=-2 2x-y=-2