D
C
mx+y+n=0에서 y=-mx-n2=-m ∴ m=-2
그런데 n>0이므로 y=-mx-n의 그래프 의 y절편은 음수이다.
2x-y=-2에 y=-2를 대입하면
2x+2=-2 ∴ x=-2, 즉 B(-2, -2)
BCÓ를 밑변으로 하는 사각형 ABCD는 넓이가 24, 높이가 6인 평행사 변형이므로 BCÓ_6=24
∴ BCÓ=4, 즉 C(2, -2)
-2x+y+n=0의 그래프가 점 C(2, -2)를 지나므로 x=2, y=-2 를 대입하면
-2_2-2+n=0 ∴ n=6
∴ m+n=-2+6=4
458
-80ax-y+b=0에서 y=ax+b bx-y+a=0에서 y=bx+a 두 직선의 교점의 y좌표가 16이므로 16=ax+b yy ㉠
16=bx+a yy ㉡
㉠-㉡을 하면 0=(a-b)x+(b-a)
즉 a>1, a<7이므로 1<a<7 a=2일 때 y=x+5 2x=14에서 x=7, 3y-15=0에서 y=5
kx-y+1=0, 즉 y=kx+1의 그래프는 항
Û y=kx+1의 그래프가 점 (7, 2)를 지날 때, 2=7k+1 ∴ k=;7!;
Ú, Û에서 ;7!;ÉkÉ1
464
23x-2y+12=0의 그래프의 x절편이 -4, y절편이 6이므로 A(-4, 0), B(0, 6)
ax-y+b=0의 그래프의 y절편이 b이므로 C(0, b) 연립방정식` [6x+4y=0 yy ㉠
3x-2y+12=0 yy ㉡ 에서
㉠+㉡_2를 하면 12x+24=0 ∴ x=-2 x=-2를 ㉡에 대입하면 -6-2y+12=0
∴ y=3, 즉 D(-2, 3)
△
BAO=;2!;_4_6=12이고△
BDC`:`△
BAO=1`:`6이므로△
BDC`:`12=1`:`6, 6△
BDC=12 ∴△
BDC=2△
BDC=;2!;_BCÓ_2=2 ∴ BCÓ=2, 즉 C(0, 4) ax-y+b=0의 그래프가 점 C(0, 4)를 지나므로 -4+b=0 ∴ b=4ax-y+4=0의 그래프가 점 D(-2, 3)을 지나므로 -2a-3+4=0 ∴ a=;2!;
∴ ab=;2!;_4=2
465
185x-20=0에서 x=4 y
y=3 kx-y+6=0
kx-y+6=0 5ax-4y-12=0
x=4
O
x3 6
A
4 B -3
-4y+12=0에서 y=3C
오른쪽 그림에서 x=4, y=3의 그래프의 교점을 A라고 하면 A(4, 3)
5ax-4y-12=0`
{0<a<;5^;}의 그래프와
x=4, y=3의 그래프의 교점을 각각 B, C라고 하면 B(4, 5a-3), C{24
5a , 3}
Ú 5a-3<3이면 5a<6 ∴ a<;5^;
kx-y+6=0의 그래프가 점 B(4, 5a-3)을 지날 때, 4k-(5a-3)+6=0 ∴ k=5a-9
4 yy ㉠ kx-y+6=0의 그래프가 점 C{24
5a , 3}을 지날 때, 245a k-3+6=0 ∴ k=-5a
8 yy ㉡
-;2#;ÉkÉ-;8#;이므로 ㉠에서 5a-9
4 =-;2#; ∴ a=;5#;
㉡에서 -5a
8 =-;8#; ∴ a=;5#;
Û 5a-3¾3이면 5a¾6 ∴ a¾;5^;
조건을 만족하지 않는다.
Ú, Û에서 a=;5#;이므로 30a=30_;5#;=18
466
1963 p직선 l의 x절편과 y절편이 각각 -;3@;, 1이므로 두 점 {-;3@;, 0}, (0, 1) 을 지난다. 직선 l의 기울기는 1-0
0-{-;3@;}=;2#;
직선 l의 방정식은 y=;2#;x+1 ∴ 3x-2y+2=0 yy ㉠ 직선 m의 x절편과 y절편이 각각 6, 6이므로 두 점 (6, 0), (0, 6)을 지 난다. 직선 m의 기울기는 6-0
0-6 =-1
직선 m의 방정식은 y=-x+6 ∴ x+y-6=0 yy ㉡
…… 40`%
㉠+㉡_2를 하면 5x-10=0 ∴ x=2 x=2를 ㉡에 대입하면 2+y-6=0 ∴ y=4
따라서 두 직선 l, m의 교점의 좌표는 (2, 4)이다. …… 20`%
네 직선 l, m, x=0, y=0으로 둘러싸인 부
1 6 3
2 2
분을 y축을 회전축으로 하여 1회전 시킨 회전 체는 오른쪽 그림과 같으므로 회전체의 부피는
;3~!;_p_6Û`_6-;3~!;_p_2Û`_2 -;3~!;_p_2Û`_3
=72p-;3*;p-4p=196
3 p …… 40`%
467
;6%;Ú 세 직선이 한 점에서 만날 때,
연립방정식 [9x+ay-27=0 yy ㉠ 2x+4y-6=0 yy ㉡ 에서 ㉠_2-㉡_9를 하면 (2a-36)y=0 ∴ y=0 y=0을 ㉡에 대입하면 2x-6=0 ∴ x=3 ax+y-1=0에 x=3, y=0을 대입하면 3a-1=0 ∴ a=;3!;
ax+y-1=0에서 y=-ax+1 yy ㉢ 9x+ay-27=0에서 y=-;a(;x+27
a yy ㉣ 2x+4y-6=0에서 y=-;2!;x+;2#; yy ㉤ Û 두 직선 ㉢, ㉣이 평행할 때,
-a=-;a(;, 1+:ªa¦: ∴ a=3 또는 a=-3 이때 직선 ㉤의 기울기는 -;2!;이다.
따라서 직선 ㉤은 나머지 두 직선과 평행하지 않으므로 조건을 만족 한다.
Ü 두 직선 ㉢, ㉤이 평행할 때, -a=-;2!;, 1+;2#; ∴ a=;2!;
이때 직선 ㉣, 즉 y=-18x+54의 기울기는 -18이다.
따라서 직선 ㉣은 나머지 두 직선과 평행하지 않으므로 조건을 만족 한다.
Ý 두 직선 ㉣, ㉤이 평행할 때, -;a(;=-;2!;, :ªa¦:+;2#;
따라서 조건을 만족하는 a의 값은 없다.
Ú~Ý에서 모든 상수 a의 값은 ;3!;, ;2!~;, 3, -3이므로 그 합은
;3!;+;2!~;+3+(-3)=;6%;
468
30창 의 융 합
[
6x+4y+2=0 yy ㉠ x-3y+4=0 yy ㉡ 5x-4y-13=0 yy ㉢,
[
3x+2y-4=0 yy ㉣ 2x-6y+12=0 yy ㉤ 10x-8y-c=0 yy ㉥ 세 직선을 평행이동하여도 기울기는 변함이 없으므로㉠ → ㉣, ㉡ → ㉤, ㉢ → ㉥으로 평행이동한 것이다.
㉠-㉡_6을 하면 22y-22=0 ∴ y=1 y=1을 ㉡에 대입하면 x-3+4=0 ∴ x=-1 즉 두 직선 ㉠, ㉡의 교점의 좌표는 (-1, 1)이다.
㉡_5-㉢을 하면 -11y+33=0 ∴ y=3 y=3을 ㉡에 대입하면 x-9+4=0 ∴ x=5 즉 두 직선 ㉡, ㉢의 교점의 좌표는 (5, 3)이다.
㉣_3+㉤을 하면 11x=0 ∴ x=0 x=0을 ㉣에 대입하면 2y-4=0 ∴ y=2 즉 두 직선 ㉣, ㉤의 교점의 좌표는 (0, 2)이다.
이때 두 직선 ㉠, ㉡의 교점 (-1, 1)이 두 직선 ㉣, ㉤의 교점 (0, 2)로 평행이동하였으므로 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행 이동한 것이다.
∴ a=1, b=1
따라서 두 직선 ㉡, ㉢의 교점 (5, 3)이 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방 향으로 1만큼 평행이동하면 (6, 4)이다.
직선 ㉥이 점 (6, 4)를 지나므로 10x-8y-c=0에 x=6, y=4를 대 입하면
60-32-c=0 ∴ c=28
∴ a+b+c=1+1+28=30
469
-90창 의 융 합
합동인 삼각형을 이용하여 각 부분의 길이를 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.
y
O
xD(0, 4)
A(2, 0) E(8, 0) C
4
4
4 2
2
B G
F
P Q
2 2
2
2 2
2
∴ B(6, 2), C(4, 6), F(10, 2), G(8, 4)
정사각형 ABCD의 두 대각선 AC, BD의 교점을 P, 정사각형 BEFG 의 두 대각선 BF, EG의 교점을 Q라고 하면 두 정사각형의 넓이를 동시 에 이등분하는 직선은 두 점 P, Q를 지나는 직선이다.
Ú A(2, 0), C(4, 6)을 지나는 직선의 기울기는 6-04-2 =3이므로 y=3x+m이라 하고 x=2, y=0을 대입하면
0=6+m ∴ m=-6, 즉 y=3x-6 yy ㉠ 두 점 B(6, 2), D(0, 4)를 지나는 직선의 기울기는 4-2
0-6 =-;3!;
이고 y절편은 4이므로 이 직선의 방정식은
y=-;3!;x+4 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 3x-6=-;3!;x+4 ∴ x=3 x=3을 ㉠에 대입하면 y=3, 즉 P(3, 3)
Û 두 점 B(6, 2), F(10, 2)를 지나는 직선의 방정식은
y=2 yy ㉢
두 점 E(8, 0), G(8, 4)를 지나는 직선의 방정식은
x=8 yy ㉣
즉 두 직선 ㉢, ㉣의 교점은 Q(8, 2)
두 점 P(3, 3), Q(8, 2)를 지나는 직선의 기울기는 2-3
8-3 =-;5!;이므로 y=-;5!;x+n이라 하고 x=3, y=3을 대입하면
3=-;5#;+n ∴ n=:Á5¥:
y=-;5!;x+:Á5¥:, 즉 x+5y-18=0이므로 p=5, q=-18
∴ pq=5_(-18)=-90
10