우석대학교 에너지전기공학과

미적분학

강의 (7)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

<지난 시간 강의 복습> 1-2. 함수의 극한  𝑓 𝑥 = 𝑥_𝑥−12−1 는

𝑥 = 1

일 때, 분모가

0

이 되므로 함수

𝑓(𝑥)

는

𝑥 = 1

에서 정의되지 않음.  𝑓(1) 이 정의되지 않으므로,

𝑓(𝑥)

는

𝑥 ≠ 1

인 모든

𝑥

에 대해 함수  함수 𝑓 𝑥 = 𝑥_𝑥−12−1

, 𝑥 ≠ 1

𝑉𝑠. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 (그림 1)  𝑓 𝑥 = 𝑥2−1 𝑥−1

=

(𝑥−1)(𝑥+1) 𝑥−1

= 𝑥 + 1, (𝑥 ≠ 1)

(그림 2) ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: (그림 2)에서

𝑥

가 1에 한없이 접근할 때,

𝑓(𝑥)

값은 2에 한없이 접근함. (그림 1) -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2− 1 𝑥 − 1 (그림 2) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

1-3. 함수의 극한값  좌 극한값: (그림 2)에서

𝑥

가 1보다 작은 값을 가지면서 1에 한없이 접근하여

𝑓 𝑥

가 2에 수렴 할 때  𝑥 → (1 − 0) 일 때

𝑓 𝑥 → 2 lim

𝑥→1−0

𝑓(𝑥) = 2

 우 극한값: (그림 2)에서 𝑥 가 1보다 큰 값을 가지면서 1에 한없이 접근하여

𝑓 𝑥

2에 수렴 할 때  𝑥 → (1 + 0) 일 때

𝑓 𝑥 → 2 lim

𝑥→1+0

𝑓(𝑥) = 2

 함수의 극한: 좌 극한값과 우 극한값이 존재하며, 좌 극한값 = 우 극한값 . 

lim

𝑥→1−0

𝑓(𝑥) = lim

𝑥→1+0

𝑓(𝑥) = 2 lim

𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1

= 2

-1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 지난 시간 강의 복습 (그림 2)

1-4. 극한값의 존재하지 않는 경우  좌 극한값과 우 극한값이 존재하나 서로 같지 않으면, 극한값이 존재하지 않음. 예시) (그림3) 에서 좌 극한값과 우 극한값이 존재하나 서로 같지 않으므로, 함수

𝑓(𝑥)

의 극한값은 존재하지 않음  좌 극한값:

lim

𝑥→2−0

𝑓(𝑥) = 1

 우 극한값:

lim

𝑥→2+0

𝑓(𝑥) = 2

-1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 2 (그림 3) 𝑓(𝑥)

lim

𝑥→2−0

𝑓(𝑥) ≠ lim

𝑥→2+0

𝑓(𝑥)

극한값이 존재하지 않음

 극한값의 발산  (그림 4) 에서 𝑥 가 0에 접근하면, 극한값이 양의 무한대로 발산

𝑓 𝑥 =

1 𝑥

lim

𝑥→0

𝑓(𝑥) = ∞

 (그림 5)에서 𝑥 가 2에 접근하면, 좌·우 극한값이 양의 무한대로 발산

lim

𝑥→2−0

𝑓(𝑥) = ∞

lim

𝑥→2+0

𝑓(𝑥) = ∞

 (그림 6)에서

𝑥

가 2에 접근하면, 좌·우 극한값이 음의 무한대로 발산

lim

𝑥→2−0

𝑓(𝑥) = −∞

lim

𝑥→2+0

𝑓(𝑥) = −∞

𝑥 𝑦 0 2 𝑥 𝑦 0 2 1. 함수의 극한

𝑓 𝑥 =

_𝑥−21 (그림 5)

𝑓 𝑥 = −

_𝑥−21 (그림 6) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 𝑥 𝑦 (그림 4) 0

1-5. 극한값의 기본성질  함수 𝑓(𝑥) & 𝑔(𝑥) 의 극한값이 존재하여,

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝛼 & lim

𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = 𝛽

이면, (1)

lim

𝑥→𝑎

𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑘𝛼

(2)

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ± lim

𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝛼 ± 𝛽

(3)

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 = lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) ∙ lim

𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = 𝛼 ∙ 𝛽

(4)

lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

=

lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥)

=

𝛼_𝛽 예제) 다음의 극한값을 구하라 1)

lim

𝑥→0

2

𝑥

₊

𝑥+3 3

= lim

_𝑥→0

2

𝑥

_{+ lim}

𝑥→0 𝑥+3 3

= 1 + 1 = 2

2)

lim

𝑥→0 1 𝑥2

= ∞

3)

lim

𝑥→2

𝑥 −

4 𝑥−2

= lim

_𝑥→2

𝑥 − lim

_𝑥→2 4 𝑥−2

= 2 − ∞ = −∞

1-6. 극한값 계산의 형태 (1) 확정형: 함수의 극한값이 결정되는 경우 (2) 불능형: 𝐶 0 형 (3)부정형  case 1: 0 0 형  case 2: ∞ ∞형  case 3: ∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞ 형 (1) 확정형 

𝑓 𝑥 & 𝑔 𝑥

가 다항함수이고 분수식의 분모

𝑔(𝑥) ≠ 0

일 때,

𝑥

의 정해진 값을 대입.

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 & lim

𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑎 & lim

𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

=

𝑓 𝑎 𝑔 𝑎

, (𝑔(𝑎) ≠ 0)

예시)

lim

𝑥→1

(3𝑥

2

_{+3) = 6}

1. 함수의 극한

(2) 불능형  함수에 𝑥 의 정해진 값을 대입하여 𝐶 0 형 (

𝐶

는 상수)의 불능이 되는 경우로써 극한값은 다음과 같음  𝐶 > 0 : 분모가

+0

이면, 극한값은

+∞,

분모가

−0

이면, 극한값은

−∞

 𝐶 < 0 : 분모가

+0

이면, 극한값은

−∞,

분모가

−0

이면, 극한값은

+∞

예시)

lim

𝑥→0 −1 𝑥

= −∞

예제) 다음의 극한값을 구하라 (1)

lim

𝑥→2

(𝑥 − 1)(𝑥

2

_{+ 2) = 6}

(2)

lim

𝑥→1 3𝑥2+2 2𝑥−1

= 5

(3)

lim

𝑥→0 1 𝑥

= ∞

확정형 불능형 확정형

(3) 부정형  case 1: 0 0 형  주어진 함수가 분수함수인 경우: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분  주어진 함수가 무리함수인 경우: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 한다. 예시) 다음의 극한값을 구하라 1)

lim

𝑥→2 𝑥3−8 𝑥2−3𝑥+2

=

0 0  주어진 함수가 분수함수 인수분해

∴ lim

𝑥→2 𝑥3−8 𝑥2_−3𝑥+2

= lim

_𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥2+2𝑥+4) (𝑥−2)(𝑥−1)

= lim

_𝑥→2 (𝑥2+2𝑥+4) (𝑥−1)

= 12

2)

lim

𝑥→0 𝑥 𝑥+9−3

=

0 0

 주어진 함수가 무리함수 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화

∴

lim

𝑥→0 𝑥 𝑥+9−3

= lim

𝑥→0 𝑥 ( 𝑥+9+3) ( 𝑥+9−3)( 𝑥+9+3)

= lim

𝑥→0 𝑥( 𝑥+9+3) 𝑥

= 6

1. 함수의 극한

(3) 부정형 (계속)  case 2: ∞ ∞ 형  주어진 함수가 분수함수: 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다.  주어진 함수가 무리함수: 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눈다. 예시) 다음의 극한값을 구하라 1)

lim

𝑥→∞ 6𝑥2+5𝑥 3𝑥−1

=

∞ ∞  주어진 함수가 분수함수 분모의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눔

∴ lim

𝑥→∞ 6𝑥2+5𝑥 3𝑥−1

= lim

_𝑥→∞ 6𝑥+5 3−_𝑥1

= ∞

2)

lim

𝑥→∞ 6𝑥 3+𝑥2−2

=

∞ ∞

 주어진 함수가 무리함수 근호 밖의 최고 차 𝑥 로 분모, 분자를 나눔

∴ lim

𝑥→∞ 6𝑥 3+𝑥2₋₂

= lim

_𝑥→∞ 6 3 𝑥2+1− 2 𝑥

= 6

(3) 부정형 (계속)  case 3: ∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞ 형  인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산. 예시) 다음의 극한값을 구하라. 1)

lim

𝑥→1 4 𝑥−1

−

2 𝑥2−1

= ∞ − ∞

 주어진 함수를 간단한 형태로 변형 인수분해 & 통분

∴

lim

𝑥→1 4 𝑥−1

−

8 𝑥2₋₁

= lim

_𝑥→1 4 𝑥−1

−

8 (𝑥−1)(𝑥+1)

= lim

_𝑥→1 4(𝑥+1)−8 (𝑥−1)(𝑥+1)

= lim

_𝑥→1 4(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1)

= 2

2)

lim

𝑥→1 𝑥−1 𝑥2

×

1 𝑥2−1

= 0 × ∞

 주어진 함수를 간단한 형태로 변형 인수분해 & 약분

∴

lim

𝑥→1 𝑥−1 𝑥2

×

1 𝑥2₋₁

= lim

_𝑥→1 (𝑥−1) 𝑥2

×

1 (𝑥−1)(𝑥+1)

= lim

_𝑥→1 1 𝑥2_(𝑥+1)

=

1 2 1. 함수의 극한

예제) 다음의 극한값을 구하라 1)

lim

𝑥→1 𝑥2+1 2𝑥−1

= 2

2)

lim

𝑥→2 −1 (𝑥−2)

=

−1 0

= −∞

3) lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥2_−3𝑥+2 = 0 0  주어진 함수는 부정형 case (1)  분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분  무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화

lim

𝑥→1 𝑥2−1 𝑥2−3𝑥+2

= lim

𝑥→1 (𝑥−1)(𝑥+1) (𝑥−2)(𝑥−1)

= lim

𝑥→1 (𝑥+1) (𝑥−2)

= −2

 만약 주어진 함수를 부정형 case (2)로 취급하면, ※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

부정형 case (2): ∞ ∞ 분수함수: 분모의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눔 ∴ lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥2_−3𝑥+2

= lim

_𝑥→1 1−1 𝑥2 1−_𝑥3+_𝑥22

=

0 0

= ? ? ?

확정형 불능형 부정형: case (1)

4)

lim

𝑥→0 𝑥 𝑥+4−2

=

0 0  주어진 함수는 부정형 case (1)  분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분  무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화

lim

𝑥→0 𝑥 𝑥+4−2

= lim

_𝑥→0 𝑥 𝑥+4−2

×

𝑥+4+2 𝑥+4+2

= lim

_𝑥→0 𝑥 𝑥+4+2 𝑥

= lim

_𝑥→0

𝑥 + 4 + 2 = 4

 만약 주어진 함수를 부정형 case (2)로 취급하면

※ 𝑛𝑜𝑡𝑒:

부정형 case (2): ∞ ∞ 무리함수: 근호 밖의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눔

∴ lim

𝑥→0 𝑥 𝑥+4−2

= lim

_𝑥→0 1 1 𝑥+ 4 𝑥2− 2 𝑥

=

_∞−∞1

= ? ? ?

부정형: case (1) 1. 함수의 극한