2003년 10월 고2 모의고사 수학 정답&해설

C B A O D

• 2교시 수리 ‘가’ 영역 •

1

②

2

③

3

①

4

③

5

⑤

6

③

7

②

8

④

9

②

10

①

11

③

12

①

13

⑤

14

⑤

15

①

16

⑤

17

②

18

④

19

④

20

⑤

21

④

22

2

23

8

24

2

25

5

26

3

27

4

28

-9

29

3

30

1.75 1. [출제의도] 거듭제곱근의 계산을 할 수 있다. 5 _16× 5 _{2 =} 5 _{16×2 =} 5 _{32 =} 5 ₂5 = 2  _② 2. [출제의도] 이중근호를 계산할 수 있다. 2 5 = 20이므로 16 < 20 < 25이다. 따라서, 정수부분은 4이고, 소수부분 a= 20-4 ∴ a+10 = 6+2 5 = 5+1  _③ 3. [출제의도] 다항식의 나눗셈에서 나머지를 구할 수 있다. f(x) = x2_{+x+1 이므로} f(x2_{) =x}4_+x2_{+1 = (x}2_+x+1)(x2_-x+1) =f (x)(x2_-x+1) f(x2_{)을 f(x) 로 나눈 나머지는 0 이다. } ① 4. [출제의도] 이항연산에 대한 성질을 이해할 수 있다. ㄱ. 임의의 실수 a,b에 대하여 a◎b=a+b-2ab∈ R(∵실수집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀있다.) (참) ㄴ. 임의의 실수 a에 대하여 항등원을 e라 하면 a◎e=a+e-2ae=a e(1-2a) = 0에서 ∴e= 0 (참) ㄷ. 12 의 역원을 a라 하면 1 2 ◎a= 12 +a-2․ 12 ․a= 0을 만족하는a가 존재하지 않으므로 역원이 존재하지 않는다. (거짓)  _③ 5. [출제의도] 자료에 대한 평균과 분산을 구하 여 두 자료를 비교할 수 있다. A조의 평균 : 90+89+92+88+91₅ = 90 B조의 평균 : 87+91+90+93+89₅ = 90 A조의 분산 : 02_+(-1)2₊₂2_+(-2)2₊₁2 5 = 2 B조의 분산 : (-3)2₊₁2₊₀2₊₃2_+(-1)2 5 = 4 A, B조의 표준편차는 각각 2, 2  _⑤ 6. [출제의도] 두 원 사이의 관계를 파악하여 반지름의 존재 범위를 구할 수 있다. 원 C 의 반지름을 r이라 하면, 3+ 5 2 <r < 5 + 52 를 만족하는 수는 3뿐이다.  _③ 7. [출제의도] 부등식의 영역을 집합 관계로 표현 할 수 있다. 그러므로, 그림에서 어두운 부분은  _② 8. [출제의도] 일반항을 구하여 주어진 범위 내 의 항의 개수를 구할 수 있다. ( ) ∴ ∴ 1≦ 2n-7 ≦40, 8≦ 2n≦ 47 4 ≦n≦23.5 , ∴an의 개수는 20  ④ 9. [출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 실생 활 문제를 해결할 수 있다. 흰색 타일의 총 개수는 a1=1, a2=1+5, a3=1+5+9,… a10=1+5+9+⋯+ 37 = 10(1+37)₂ = 190  _② 10. [출제의도] 행렬의 연산을 할 수 있다. A+B=

(

-2 1

)

-1 1 ⋯⋯⋯ ① A-B=

(

2 -1

)

3 3 ⋯⋯⋯ ② ① + ② 하면 2A=

(

0 0

)

2 4 , A=

(

10 02

)

① - ② 하면 2B=

(

-4 2

)

-4 -2 ,B=

(

-2-2 -11

)

A2₌

(

0 0

)

2 4 , B2=

(

62 -3-1

)

A2_-B2₌

(

0 0

)

2 4 -

(

62 -3-1

)

=

(

-2 3

)

-4 5  ① 11. [출제의도] 로그의 성질을 이해할 수 있다. log2175 =a, log2245 =b에서 2 log25+ log27 =a log25+ 2 log27 =b ∴ log25 = 2a-₃ b, log27 = 2b-₃ a

log2 35 = 12 ( log25+ log27)

= 12 ․ a+3b = a+6b  ③ 12. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 주어진 행렬의 식을 간단히 할 수 있다. A=

(

1 -1

)

3 -2 이므로, A2₌

(

-2 1

)

-3 1 , A3=

(

1 00 1

)

=E 따라서, A2_{+A+E=O이다.} A2003_+A+E = (A3₎667_․A2_+A+E=A2_+A+E=O  _① 13. [출제의도] 좌표평면에서 삼각형의 넓이를 삼등분하는 직선의 방정식을 구할 수 있다. 세 점 A (0, 1) , B (-1, 3) , C (5, 6) 에 대하여 점 A 를 지나고, 삼각형 ABC 의 넓이를 삼등 분하는 직선 중 점 B 에서 거리가 가까운 직 선은 BC를 1:2 로 내 분하는 점을 지나는 직 선이다. 이 내분점을 D라 하면 구하고자 하는 직선은 A (0, 1)과 D(1, 4)를 지난다. 따라서, ∴  _⑤ 14. [출제의도] 무한등비수열의 극한값을 구할 수 있다. 이므로 ,  _⑤ 15. [출제의도] 거듭제곱과 역행렬을 구할 수 있다. 이므로 이다. A5_{․A=E이므로 A= (A}5₎- 1₌

(

1 - 1

)

1 0  _① 16. [출제의도] 시그마의 성질을 이용하여 식의 계산을 할 수 있다.

∑

_k10_{= 1 k}2_-1_k+1-

∑

10 k= 1 1 k2_+k+1 = (1+ 13 + 17 +⋯+ 91 )1 -( 13 + 17 +⋯+ 91 +1 111 )1 = 1- 1_{111 =} 110₁₁₁  _⑤ 17. [출제의도] 주기함수의 성질과 함수 계산을 통하여 함수의 그래프를 평행이동할 수 있다. f(x- 2 ) =f(x+ 2) 에서 f(x) =f(x+ 4) 이므로 는 주기가 4 인 함수이다. 그러므로 f(x+ 3 ) =f( (x+ 4)- 1)=f(x- 1) y_{= 12 {}f(x- 1)+f(x+ 3)} = 12 {f(x- 1) +f(x- 1)} =f(x- 1) 따라서, 구하고자 하는 그래프는 y=f(x) 의 그래프를 축 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이다.  _② 18. [출제의도] 무한급수의 수렴조건을 구할 수 있다. 무한급수가 수렴하면 일반항은 0으로 수렴하므 로 lim n→∞(a n_-bn_{) = 0이다.} ⅰ) |a|≧1일 때, lim n→∞(a n_-bn_{) = lim} n→∞a n

{

_{1 -}

(

b a

)

n

}

= 0이고, lim n→∞a n_{= ∞이므로 이다.} 따라서, lim n→∞

(

b a

)

n = 1 이다. 즉, ⅱ) |a| < 1일 때, lim n→∞(a n_-bn_{) = lim} n→∞(-b n_{) = 0이므로} |b| < 1이다. 따라서, ⅰ), ⅱ)에 의하여

∑

∞ n= 1(a n_-bn_{)이 수렴할 조건은} |a|≧1일 때, b_a = 1 또는 |a| < 1일 때, |b| < 1이다.  _④ 19. [출제의도] 행렬의 성질을 이해할 수 있다. ㄱ. AB≠BA이므로 (A+B)(A-B)≠A2_-B2 _{이다. (거짓)} ㄴ. (A2₎- 1_{= (A}- 1₎2_이므로 (A2_)(A- 1₎2_=A․(A․A- 1_)․A- 1 =A․A- 1_=E (A- 1₎2_(A2_)=A- 1_․(A- 1_․A)․A =A- 1_{․A=E (참)} ㄷ. AB=O에서 A- 1_{가 존재하면} A- 1_AB=A- 1_{․O이므로 이다.} 대우가 성립하므로 (참)  _④ 20. [출제의도] 원이 직각삼각형의 넓이를 이등 분하는 조건을 구할 수 있다.

주어진 조건은 1 2 (△ABC 의 넓이) = (부채꼴의 넓이)이다. BC=r 이라 하면 AB_r = tan θ ∴ AB=r tan θ △ABC의 넓이_{= 12} r2_{tan θ ,} 부채꼴의 면적 = 12 r2_θ 1 2

(

12 r2tan θ

)

= 12 r2θ, ∴ tan θ = 2θ  ⑤ 21. [출제의도 ] 직선의 기울기의 대소관계를 파악 할 수 있다. 점 P , Q , R 이 곡선 y= log3(x+2) 위에 있다. P(s, log3(s+ 2) ), Q( 1, 1), R (t, log3(t+ 2)) OP 의 기울기 = log3(s+ 2) s OQ 의 기울기 = 1 OR 의 기울기 = log3(t+ 2) t

OR의 기울기 < OQ의 기울기 < OP의 기울기 log3(t+ 2) t < 1 < log3(ss+ 2) slog3(t+ 2) <st<tlog3(s+ 2) (t+2)s_{< 3}st_{< (s+ 2)}t _{ ④} 22. [출제의도 ] 곱셈공식을 활용하여 식의 계산을 할 수 있다. 2x+1 = 3 , 2y-1 = 3 에서 x= 3-1₂ , y= 3+1₂ ∴x+y= 3, xy_{= 12} ∴x2_+y2_=(x+y)2_{-2xy=3-1=2  2} 23. [출제의도 ] 집합의 포함관계를 만족하는 집합 의 개수를 구할 수 있다. X∩Ac_{= X-A =φ ⇔ X ⊂ A,} (A -B)∪X = X ⇒ (A - B) ⊂ X ∴ (A -B) ⊂ X ⊂ A 그러므로, 집합 X 의 개수는 26 - 3_{=8  8} 24. [출제의도 ] 연립방정식의 해를 구할 수 있다. 43x+34y= 206 ⋯⋯① 34x+43y= 179 ⋯⋯② ①+②하면 77x+77y= 385,x+y= 5 ⋯⋯③ ①-②하면 9x-9y= 27, x-y= 3 ⋯⋯④ ③+④하면 x= 4,y= 1, ₂x_{y= 42 =2,}  ₂ 25. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 구할 수 있다. 식을 정리하면 (k-3)x+2y= 0 2x+(k-3)y= 0 x= 0,y= 0 이외의 해를 갖기 위해서는 (k-3)2_{-4=0 즉 k}2_-6k+5=0 ∴k의 값들의 곱은 5  ₅ 26. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 관계를 이용하여 식의 값을 구할 수 있다. ∴지표 : , 가수 : ∴ 지표 : , 가수 : , ∴  27. [출제의도] 극한의 성질을 활용하여 수열의 극한값을 구할 수 있다. 라고 하면 이다. ∴ 2α-1=α+3, α_{= 4}  ₄ 28. [출제의도] 로그부등식과 해가 같은 이차부등식의 계수를 구할 수 있다. | log2(x-1)| < 1, -1 < log2(x-1) < 1

log2 1_{2 < log}2(x- 1) < log22

1 2 < x-1 < 2 ∴ 32 < x< 3 따라서, x2_{+a x+b< 0의 해집합과} 일치하므로 3 2 , 3은 x2+a x+b= 0의 두 근이 된다. 근과 계수와의 관계에서 -a_{= 32 +3,} a_{=- 92} b_{= 32 ․3,} b_{= 92} ∴ a-b_{=- 92 -} 9_{2 =-9} _-9 29. [출제의도] 치환을 이용하여 지수함수의 최소값을 구할 수 있다. 함수 y= 4x₊₄-x_-2(2x₊₂-x_{)+5 에서} 2x₊₂-x_{=X 라 하면} 2x₊₂-x_{≧ 2 2}x_․2-x_{=2이므로 X≧ 2이다.} 4x₊₄-x₌₍₂x₊₂-x₎2_-2․2x_․2-x_=X2_-2 y= (X2_{-2)-2X+ 5 = (X-1)}2_{+2 (X≧ 2)} ∴ X= 2 일 때, 최소값y= 4-4+3 = 3.  3 30. [출제의도] 순서도를 이해하고 수열의 합을 구할 수 있다. n 1 2 3 ⋯ A 1 1+2 1+2+3 ⋯ S 1 1+ _{1+2 1+}1 _{1+2 +}1 _{1+2+3 ⋯}1 따라서, n= 7 일 때, S의 값은

∑

7 k= 1 1 1+ 2+ …+k =

∑

7 k= 1 2 k(k+ 1) = 2

∑

7 k= 1

(

1 k- k+11

)

= 2｛(1- 12 )+( 12 - 13 )+⋯+( 17 - 18 )｝ = 74 =1.75  _1.75

• 2교시 수리 ‘나’ 영역 •

1

②

2

③

3

①

4

③

5

⑤

6

③

7

②

8

④

9

②

10

①

11

③

12

①

13

⑤

14

⑤

15

①

16

⑤

17

②

18

④

19

④

20

⑤

21

④

22

2

23

8

24

2

25

5

26

3

27

10

28

14

29

73

30

1.75 1. 수리‘가’형 1번과 같음 2. 수리‘가’형 2번과 같음 3. 수리‘가’형 3번과 같음 4. 수리‘가’형 4번과 같음 5. 수리‘가’형 5번과 같음 6. 수리‘가’형 6번과 같음 7. 수리‘가’형 7번과 같음 8. [출제의도] 곱셈공식과 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있다. ∴ (∵ )  _④ 9. 수리‘가’형 9번과 같음 10. 수리‘가’형 10번과 같음 11. 수리‘가’형 11번과 같음 12. 수리‘가’형 12번과 같음 13. 수리‘가’형 13번과 같음 14. [출제의도] 단위행렬의 성질을 이용하여 역행렬을 구할 수 있다. A2_{-E=8E, (A+E)(A-E) = 8E} ∴ (A-E)- 1 = 18 (A+E)  _⑤ 15. 수리‘가’형 15번과 같음 16. 수리‘가’형 16번과 같음 17. 수리‘가’형 17번과 같음 18. [출제의도] 수학적 귀납법의 원리를 이해할 수 있다. 1 1․3 + 3․5 +⋯+1 (2k-1)(21 k+1) = _2kk₊₁ 이 식의 양변에 _(2k+1)(21 _{k+3) 를 더하면} 우변 = _2kk_{+1 + (2k+1)(2}1 _k+3) = ₍₂k_k(2_{+ 1)(2}k+3)+1_{k+3) = (2k}2k_{+ 1)(2}2+3k+1_{k+ 3)} = (₍₂k_k+1)(2_{+ 1)(2}k_k+1)₊₃₎  _④ 19. 수리‘가’형 19번과 같음 20. 수리‘가’형 20번과 같음 21. [출제의도 ] 군수열을 이해하여 등비수열의 합 을 구할 수 있다. n회 실시 후 원의 개수를 라 하면 a1=1+4 a2=1+4+16 a₃=1+4+16+6 4 a4=1+4+16+6 4+256 = 341  ④ 22. 수리‘가’형 22번과 같음 23. 수리‘가’형 23번과 같음 24. 수리‘가’형 24번과 같음 25. 수리‘가’형 25번과 같음 26. 수리‘가’형 26번과 같음 27. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 자리수를 구할 수 있다. ( log3( log10x)) = 2, ∴지표가 9 이므로 x는 10자리수  28. [출제의도] 등비수열과 상용로그를 이용하여 실생활문제를 해결할 수 있다. 1마리가 한시간 후 2마리, 2시간 후 4마리, 3시간 후 8마리로 분열하므로, n시간 후에는 2n마리이다. ∴ 2n_{≧10000 nlog 2 ≧ 4} n≧ _{0.3010 = 13.×××}4  29. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 조건의 값을 구할 수 있다. an+ 1=-3an+2 ⋯⋯① a_n=-3a_n- 1+2 ⋯⋯② ①-②하면 an+ 1-an=-3(an-an- 1) 그러므로, 이 수열은 첫째항 : 이고. 공비가 인 등비수열이다. ∴ ∴  30. 수리‘가’형 30번과 같음