생명과학을 위한 수학 1 기말고사
(2017년 6월 10일 오후 01:00-03:00)
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모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1. [30점] 다음 미분방정식의 해를 구하시오.
(a) (10점) (1 + t2)y0+ 4ty = t, y(1) =1 4 (b) (10점) y0+ (tan t)y = cos2t, (−π
2 < t < π 2), y(0) = 1 (c) (10점) x0= y y0= 2 t2x − 2 ty 문제 2. [20점] 다음 초깃값 문제의 근사해를 구간의 크기가 1인 오일러의 방법을 이용하여 범위 0 ≤ t ≤ 3 에서 그리시오. y0= ty2− 3t2, y(0) = 2 문제 3. [20점] 동물 마취제로 쓰이는 어떤 약품은 혈관에 몸무게 1kg 당 최소 40mg 이상이 존재하면 마취 상태가 유지된다고 한다. 동물의 혈관 속에서 이 약품은 잔존량에 비례하여 줄어들고, 그 양이 반으로 줄어드는 데에는 6시간이 걸린다고 한다. 몸무게가 20kg인 한 동물에 2400mg 의 마취제를 투약한 경우 최대 몇 시간동안 마취된 상태를 유지할지 구하시오. (단, 마취제는 주사제를 통해 한 번에 투여된다고 한다.) 문제 4. [20점] 500톤의 넙치를 양식할 수 있는 넙치 양식장에서 처음 10톤의 넙치를 양식장에 풀어 놓았다. 시간 t(단위 년)에서 넙치의 양 y(t)(단위 톤)는 자연성장율 0.2인 로지스틱 모형을 따른다고 한다. (a) (10점) 이 모형을 설명하는 로지스틱 방정식을 쓰고 y(t) 를 구하시오. (b) (10점) 양식 10년차 부터는 매년 넙치의 양의 4%뿐 아니라 추가로 15톤을 더 시장에 판매한다고 한다. t > 10 일 때 y(t)가 만족하는 미분방정식에 대해 임계점을 찾고, 임계점의 종류와 안정성을 분석하시오. 문제 5. [20점] 어떤 물체가 냉각되는 비율은 노출되는 표면적 S에 의존한다. 시간 t(단위 분), 물체의 온도 T (◦ C), 방의 온도 Y (◦C)에 대하여 S가 상수이면 뉴턴의 냉각법칙은 dT dt = kS(T − Y ) 으로 변형된다. 이때 k < 0 이고, Y 는 항상 25◦ C로 유지된다. 두 개의 컵 A와 B에 85◦C인 커피를 동시에 채웠다고 하자. 컵 B에 있는 커피의 노출 표면적이 컵 A보다 2배가 더 넓다. 30분 후 컵 A의 온도가 40◦ C 라면 30분 후 컵 B에 있는 커피의 온도는 얼마인지 구하시오. 문제 6. [10점] 다음 이계미분방정식의 경곗값 문제를 푸시오. y00+ 2y0+ 2y = 0, y(0) = 2, y(π 2) = e −π 2 1
2 문제 7. [20점] 시간 t에서 어떤 섬에 사는 토끼와 여우의 개체수는 각각 x(t), y(t)라고 한다. 개체수는 다음 로트카-볼테라 모형을 따른다고 한다. dx dt = 0.6x − 0.02xy, dy dt = −0.4y + 0.001xy (a) (10점) 분기선 및 평형해를 구하고, 분할된 상태공간에서 대표적인 속도벡터를 그리시오. (b) (10점) x(0) = 500, y(0) = 10이었을 때, (x, y)가 만족하는 방정식을 구하시오. (힌트: dydx를 구해 본다.) 문제 8. [20점] 다음 미분방정식계에 대하여 물음에 답하시오. ( x0= x + 2y − 7 y0= 2x + y − 8 (a) (5점) 평형점을 구하고, 평형점의 종류와 안정성을 말하시오. (b) (5점) 직선궤적이 존재하는지 판단하고 존재할 경우 이를 구하시오. (c) (10점) 일반해를 구하시오. 문제 9. [20점] 다음 비선형 미분방정식에 대하여 물음에 답하시오. tdy dt + y = t 2 y2, (t ≥ 1), y(1) = −1 2
(a) (10점) 주어진 비선형 미분방정식을 치환(u = y−1)을 이용하여 u가 만족하는 미분방정식으로
바꾸시오. (b) (10점) (a)를 이용하여 위의 비선형 미분방정식의 해를 구하시오. 문제 10. [20점] 어떤 전염병이 총인구 N = 1000, 전이계수 α = 0.0002인 SIRS 모형을 따른다고 하자. 이때 평균적으로 회복하는 데에 걸리는 시간은 10일이며, 회복 후 면역이 생기지만 40일 후면 면역이 없어진다고 한다. (a) (10점) 이 모형을 설명하는 미분방정식을 S와 I에 대한 미분방정식계로 표현하시오. 그 후 S와 I에 대한 상태공간에 수직분기선과 수평분기선을 그려 나타내고, 분기선에 의하여 구분되는 각 영역에서의 대표적인 속도벡터를 표시하시오. (b) (10점) 평형점을 모두 구하고 각 평형점의 종류와 안정성을 판단하시오.
