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자동제어시스템 해석 및 설계

저 자 : 장 완 식

목 차

제 1 장 서 론

1.1 제어시스템의 발전 역사

……… ...……… p 1 1.2 자동제어 목적 ……… p 3 1.3 제어시스템 구성 ……… p 3

제 2 장 수학적 배경

……… ..……… p 6 2.1 Laplace 정의 ……… p 7 2.2 Laplace 기본 정리 ……… p 7

제 3 장 제어시스템 모델링 및 해석

..………..……..………. p 9 3.1 시스템의 수학적 모델링 ……… p 9 3.2 전달함수 ……… p 25 3.3 시스템 출력 ……… p

3.4 기본적 제어 요소의 전달함수 .……… p 31 3.5 블록선도 ……… . p 32 3.6 블록선도의 등가변환 ……… . p 35

제 4 장 제어시스템의 성능 및 특성

……… . p 58 4.1 시험표준입력 ……… p 59 4.2 제어시스템의 성능규격 ……… p 63 4.3 제어시스템의 과도응답 ……… p 70 4.4 1 차 시스템의 과도응답 ……… p 71 4.4 2차 시스템의 과도응답 ……… p 72 4.5 제어시스템의 정상상태 오차 ……… p 74 4.6 감도 ……… p 88

제 5 장 제어시스템의 안정성

……… .…… p 94 5.1 안정성 개념 ……… p 94 5.2 Routh – Hurwitz 판별법 ……… p 96

제 6 장 근궤적 기법

……… p 115 6.1 근궤적 개념 ……… p 117 6.2 근궤적의 절차 ……… p 120 6.3 극점과 영점 첨가의 영향 ……… p 151 6.4 연습문제 ……… .…p 158

제 7 장 제어시스템의 설계

……… .…p 161 7.1 설계순서 ……… p 161 7.2 제어시스템의 보상 방법 ……… p 162 7.3 제어기 종류 ……… ...….… p 164

제

1 장 서론

1.1 제어시스템의 발전 역사

■ 1769 James Watt 의 증기엔진과 속도조정기가 개발되었다 . Watt 의 증기엔진은 영국의 산업혁명의 시작으로 간주된다 . 산업혁명동안 자동화에 선행하는 기 술인 기계화에 대한 많은 연구가 수행되었다 . ■ 1800 Eli Whitney 의 교환 가능한 부품들을 이용한 제조 개념이 구식소총의 생산 에서 입증되었다 . Whitney 의 개발은 대량생산의 시작으로 간주된다 . ■ 1868 J. C. Maxwell 이 증기엔진 속도조정 제어기의 수학적 모델을 구성하였다 . ■ 1913 Henry Ford 가 자동차 생산에 기계화 조립장치를 이용하였다 . ■ 1927 H. W. Bode 가 궤환증폭기를 해석하였다 . ■ 1932 H. Nyquist 가 시스템의 안정성을 해석하는 방법을 개발하였다 .

■ 1952 Massachusetts Institute of Technology 에서 기계 · 도구 좌표축의 제어를 위하여 수치제어 (NC : numerical control) 를 개발하였다 .

■ 1954 George Devol 이 산업로보트 설계의 시작으로 간주되는 “프로그램에 의한 물품이동”을 개발하였다 .

■ 1960 Devol 의 설계에 따라 최초의 Unimate 로보트가 소개되었다 . Unimate 는 다이캐스팅 기계를 유지하기 위하여 1961 년에 설치되었다 .

■ 1980 견실제어시스템 설계가 광범위하게 연구되었다 .

1.2 자동제어의 목적

(1) 제어 (control) : 우리가 원하는 것을 달성하고자 하는 행위 (2) 제어 방법 : 수동제어 (manual control) : 인간

자동제어 (automatic control) : mechanism

혼합형제어 (mixed control) : 인간 + mechanism (3) 제어시스템 (control system) : 구성요소의 결합 1.3 제어시스템의 구성  제어목적 (1) 개루프 제어시스템 : 원하는 것을 얻기 위해 제어기 혹은 제어 구동기를 사용하는 시스템 제어기 제어구동기 공 정 입력 _출력

(2) 페루프 제어시스템 : 원하는 것을 얻기 위해서 원하는 값과 실제 측정된 값을 비교 하여 그 차이 값을 제어구동 수단으로 사용하는 시스템 제어기 제어구동기 공 정 입력

+

_출력

-측 정 오차신호 ( error signal ) 궤환신호 ( feedback signal )

( 예제 1 ) 교통신호 체계 동구청 법원 남광주 조대

<

분류 >

· 교통순경 → 수동제어 + 폐루프제어 · 신 호 등 → 자동제어 + 개루프제어 · 교통순경 + 신호등 → 혼합형제어 + 폐루프제어 (예제 2 ) 선생과 학생간의 학습과정

제

2 장 수학적 배경

대상체 대상체 수학적 모델링 ( 물리적 시스템 ) 수학적 모델링 ( 물리적 시스템 ) 선형화 된 모델 선형화 된 모델 미분 방정식 미분 방정식 일반해

일반해 Laplace _Laplace 변환_{변환 Fourier 변}

환 Fourier 변 환 미분방정식 Laplace 변환 대수방정식 해 (s 항 )

2.1 Laplace 정의 * 정의 ( f(t) 가 t ≥ 0 에서 존재 ) L{f(t)}= 2.2 Laplace 변환의 기본정리 ① 선형성 L{af(t)}=aL{f(t)}=aF(s) ② 합 및 차 L{f1(t)+f2(t)}=L{f1(t)±f2(t)}=F1(s)+F2(s) ③ 시간추이 ( 함수 f(t) 의 시간 영역에서 time delay ) L{f(t-a)} = e-as F(s) ④ 함수 t 의 곱 L{t ㆍ f(t)} = ⑤ 복소추이 (s 영역에서의 추이 ) L L ) ( ) ( 0 f t e dt F s st



  _ ) (s F ds d  ) ( )} ( {eatf t  F sa ) ( )} ( {eatf t  F sa

⑥ 미분 or 도함수 L{f’(t)} = sF(s) - f(o) L{f’’(t)} = s2F(s) - sf(0) - s0f’(0) L{f’’’(t)} = s3F(s) - s2f(0) - s1f’(0) - s0f’’(0) ⑦ 최종값 정리 ⑧ 초기값 정리 0 ) 2 )( 1 ( ) 3 ( lim ) ( lim ) ( lim 0         s s s s s sY t y t t 2 1 1 2 ) (     s s s Y

)

(

lim

)

(

lim

0

y

t

s

sY

s

t



 일 때

제

3 장 제어 시스템 모델링 및 해석

3.1

물리시스템의 수학적 모델링

기계시스템 (mechanical system) : Newton 법칙

전기시스템 (electric system) : kirchhoff 법칙

(1) 기계시스템 ( 기본적 m-k-c 시스템 ) m k c r(t) (선형화된 모델 ) ① 미분방정식  y c ky m r(t) y



   ma my F   ( ) ) ( t r ky y c y m y m y c ky t r            

② Laplace 변환 ) ( ) ( )] 0 ( ) ( [ )] 0 ( ' ) 0 ( ) ( [_s2_{Y s sy y c sY s y kY s R s} m       1) 초 기 값 : r(t) = 0, y(0) = y0 , y′(0) = 0

2) 초기조건 : r(t) = u(t) , y(0) = y′(0) = 0

0 ) ( ) ( ] [ 0 ) ( ] ) ( [ ] ) ( [ 0 2 0 0 2           y c ms s Y k cs ms s kY y s sY c sy s Y s m ) ( ) ( ) ( ) ( ₂ 0 s q s p k cs ms y c ms s Y     

 

) ( ) ( ) ( 2 0 q s s p k cs ms c ms y s Y      Where ; q(s) = ① 분모항 = 특성방정식 ② q(s) 의 근 = 분모항의 근 = 특성방정식의 근 (극점 ) ③ p(s) 의 근 = 분자항의 근 ( 영점 )

 

) ( ) ( ) ( 2 0 q s s p k cs ms c ms y s Y      * 기계 시스템의 예 (조건 : y₀=1 , k/m=2 , c/m=3) ) 2 )( 1 ( ) 3 ( 2 3 3 / / ) / ( ) ( ₂ 0 ₂             s s s s s s m k m c s y m c s s Y * 특성방정식 : q(s)=s2_+3s+2 극 점 : -1, -2 영 점 : -3 t t e e t y 2 2 ) (     ) 2 ( 1 ) 1 ( 2 ) (     s s s Y t = ∞ , y(t) 0 일때 ⅰ) 분모항 : 특성방정식 ( 각 인수항들이 근의 형태를 결정 ) ⅱ) 시간 영역상에서 근의 수렴할 때 극점과의 관계 ( 시스템 안정성 ) m mk c c s s k s k s s s s Y 2 4 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 )( 1 ( ) 3 ( ) ( 2 12 2 1             참 조 :

) 2 ( ) 1 ( ) 2 )( 1 ( ) 3 ( ) ( 1 2         s k s k s s s s Y q(s) = ( s + 1)( s - 2 ) 극 점 = -1 , 2 영 점 = -3 y(t) = 2e-t _{– e}+2t t∞ , y(t)=∞ ) ( ) ( ) ( ) ( ₂ 0 s q s p k cs ms y c ms s Y     

*

특성방정식 : q(s) = ms2_+cs+k • 2 개의 실근 : c2_{-4mk>0 (} 진 동 함 ) • 중 근 : c2_{-4mk=0 2√mk} • 복 소 수 근 : c2_{-4mk<0 (진동안함 )} m mk c c s 2 4 2 12     m k 중립의 위치에 있다 . (댐핑이 없음 ) q(s) = ms2_+k s = ±i√k/m w_n (고유주파수 )  주어진 q(s) 를 시스템 고유값 wn , ξ 로 표기

Where ; m k s m c s k cs ms s q_{( )} 2   2  2 2 _{( )} 2 2 m k s k m m k c s    _s2_{+2 w} ns+wn2 c c_c c/c_c= ξ = damping ratio ( 감쇠비 )



q(s) = s

2

_{+ 2ξw}

n

s + w

n2

_s

1,2

= - ξw

n

± √ ξ

2

w

n2

-w

n2

=

- ξw

n

± w

n

√ ξ

2

-1

ⅰ) ξ2_{-1 > 0 일 때 , ξ > 1 ( 실 근 ) : 감쇠과다 (overdamped)} ⅱ) ξ2_{-1 = 0 일 때 , ξ = 1 ( 중 근 ) : 임계감쇠} ⅲ) ξ2_{-1 < 0} 일 때 , ξ < 1 ( 복소수근 ) : 감쇠부족 (underdamped)

•감쇠부족 ( ξ < 1 ) 인 경우 ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 2 2 0 n n n w s w s w s k cs ms c ms y s Y           where ; q(s) = s2 _{+ 2ξw} ns + wn2 ) )( ( ) 2 ( ) ( ) )( ( ) 2 ( ) ( 2 1 0 2 1 0 s s s s y w s s Y s s s s w s y s Y n n            참조 : a + ib ) ( _{2 2 2 2} 2 2 b a b i b a a b a ib a       M` θ b a 0 M = √a 2 _+b2 





_i

_a

_b

_e

i

b

a

2



2

_(cos



_sin

₎



2



2



 i

Me



허 수 실수

*

s

1,2 = -ξwn ± iwn√1-ξ2 M θ w_n√1-ξ2 -ξw_n -w_n√1-ξ2 불안정 안 정 S 평면 = 복소평면 크 기 : M =

√ξ

2

w

n2

± w

n2

(1 - ξ

2

)

= w_n 각 도 : cos θ = -ξw_n/w_n = ξw_n/w_n=ξ(감쇠비 )

• 감쇠부족 ( ξ < 1 )  복소수근 = 실수부 + 허수부 y(t) = ke-ξwnt _{sin ( w} n√1-ξ2 ) -ξw_n  실수부 , wn√1-ξ2  허수부 1) 시스템 안정성 : 극점의 실수부  2) 극점의 허수부 결정 : 허수부가 클 때 진동이 심함 허수부가 작을 때 진동은 작음 3) 정상상태에 도달하는 시간 극점의 ㅣ 실수부 ㅣ  大 : 빨리 도달  小 : 늦게 도달

 실수부와 허수부의 크기에 따른 변화 1 2 3 7 16 8 17 15 4 11 10 5 14 9 6 13 12 0 불안정 안정 진동 大 : 4 . 11 . 12 정정시간이 빠름 : 12 . 13 . 14 . 15 감쇠비가 같은 것 : 6 . 10 . 12 감쇠비가 가장 작은 것 : 4 NOTE : 1 . 2 . 3 시스템 극점의 허수부에 존재 실수부 = 0

y



k

sin(

w

1





2

t





)

*

S 평면상 해석 ξ = 1 ( 임계감 쇠 ) ξ > 1  θ₁ θ₃ θ₂ w_n√1-ξ2 1. 모든 θ 에서 고유주파수는 같다 . w_n = M = √a2 _+b2 2. 감쇠비는 θ₁에서 θ₃ 로 갈수록 작아진다 . 이 유 : cos θ = ξ

(2) 전기 회로 시스템 (kirchhoff) A) kirchhoff 법칙 1) 전압법칙 : 하나의 폐회로 (closed circuit) 에서 전압강하의 대수적인 합은 같다 .

2) 전류법칙 : 전기회로의 어떤 접합점 (junction or node joint) 에서 들어오는 전류의 합은 같다 . A B C D i_{1 i} 2 i₃ A = B + C + D : 전압상승요소 전압강하요소 i₁ = i₂ + i₃ 19

B) 기본적인 전압강하 요소 ① 저 항 : ② 인덕턴 스 : ③ 전기용 량 : R L V  ohm’s law ; V = iR

 Faraday’s law ; V = L(di/dt)  Colnumb’s law ; Q = CV 에서

V= (1/C)

∫

idt

 i

 i

C) 예제 ; R-C 회로 ( 입력 : vi , 출력 : v0 ) v_i R C i 전압상 승 전압강 하 (V_c) V_o = V_c 뉴턴 제 3 법칙과 유사 (V_i = V_R + V₀) = V_R + V_C Where ; V_R = IR V_C = (1/C)

∫

idt V_i = iR + (1/C)

∫

idt ---- ① V₀ = V_C = (1/C)

∫

idt ---- ②

* Laplace 변환 CS s I s V CS s I s RI s Vi ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0    ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 0 S I S CSV S I CS R s vi    ) ( 1 1 ) ( ) ( ) 1 )( ( 0 V S RCS S V S V CS RCS S v i i i     ) 1 ( 1 ) ( ) ( 0    RCS S v S v i  I(s) 소거 ① ②  -- ③ -- ④ ④  ③ 대입 : 전달함수 = p(s)/q(s) Where ; 특성방정식 q(s) = RCS + 1 극 점 : -1/RC 영 점 : 없 음

1) 시정수 ( time costant ) : ① 응답이 e-1 에 도달하는 시간

② 극점의 역수값의 절대값

Note : y = e-at _{ Y(s) = 1/(s+a)}

극점 : -a e-1 T 0 t y 2% 이내 e0 _{= 1 , e}-1 _{= 0.368 , e}-2 _{= 0.135} ……. y = e-at _{= e}-1  -at = -1

 t = 1/a = T (Time constant)

2) 정정시간 : 원하는 값의 ±2% 이내 ( 정상상태영역 ) 에 도달하는 시 간 e-at _{= e}-4 _{= 0.018….} t = 4/a = 4T  극점의 절대값이 클수록 도달시간이 빠르다 .

)

2

1

sin(







_

_





ke

wt

w

t

y

이 식에서 볼 때 ; • 시정수 T = 1 / ξwn = 1 / 극점의 실수부 • t_s( 정정시간 ) = 4T = 4/ξw_n = 4 / 극점의 실수부

3.2

전달함수 (transfer function)

제어하고자 하는 시스템 input output 수학적 모델링 Laplace 변환 * 정의 : Laplace 변환을 한 입력에 대한 출력의 관계식 ; C(s) /R(s) C(s) R(s) output / input = C(s) / R(s) = 전달함수 = G(s)

1) 초기값 (t=0) ; 0 (zero)

2) 시불변 선형시스템

3) 입력은 전달함수에 무관

3.3

시스템 출력

C(s) / R(s) = G(s)  C(s) = G(s)R(s) ex1) 특성방정식이 1 차 시스템 C(s) / R(s) = 1 / s+a = G(s) (a>0) where ; G(s) = 1 / s+a R(s) = 1 / s  C(s) = (1/s+a) * 1/s = (k₁/s+a) + k₂/s  C(t) = k₁e-at _{+ k} 2 전달 입력 함수 ( = 0 이 되어야 함 ) input = output⇒

입력 ; 전달함수 ; 출력 ; ± 2%이내 C(t) t 과도응답 정상상태

ex2) 2 차 시스템 ( ξ <1 ) C(s) / R(s) = 1 / ( s2 _{+ 2ξw} ns + wn2 ) = G(s) q(s) = s2 _{+ 2ξw} ns + wn2 s_1,2 = -ξw_n ± iw_n√1-ξ2 C(s) = [ 1 / ( s2 _{+ 2ξw} ns + wn2 ) ] * 1 / s = [ 1 / ( s - s₁ ) ( s – s₂ ) ] * 1 / s 전달함수 입력 = k₁ / ( s - s₁ ) + k₂ / ( s - s₂ ) + k₃ / s

입력 ; 전달함수 ; 출력 ; C(t) t 과도응답 정상상태

3.4

기본적 제어요소의 전달함수

(1)

비례요소 y(t) = kx(t) Y(s) = kX(s)  Y(s) / X(s) = k (2) 미분요소 y(t) = k * [ dx(t) / dt ]  Y(s) = kSX(s)  Y(s) / X(s) = kS (3) 적분요소 y(t) = k∫x(t)dt Y(t) = k/S * X(s)  Y(s) / X(s) = k / S = k * ( 1 / S ) (4) 시간지연 요소

3.5

블록선도

:

제어시스템은 시스템을 구성하는 구성요소들의 결합  각 구성요소들은 입력과 출력간의 상호관계를 나타낸 것이 블록선도 (1) 블록선도의 구성요소 ① 전달요소 ( or 전달함수 ) : 각 요소가 입력 신호를 받아서 출력 신호를 만드는 요소 ⅰ) feed forward : G G₁ G₂ G₃ G₄

ⅱ) feedback : H H₁ H₂ H₃ (2) 가합점 : 신호가 2 개 이상일 경우 신호의 합과 차 + + X(s) Y(s) B(s) + -X(s) Y(s) B(s) Y(s) = X(s) + B(s) Y(s) = X(s) - B(s)

(3) 분기점

Y(s)

B(s)

3.6

블록선도의 등가변환

(1) 직력 접속 블록의 등가변환 G₁(s) G₂(s) X(s) X₁(s) Y(s) G₁(s)G₂(s) X(s) Y(s) X₁(s) = G₁(s)X(s) -- ① Y(s) = G₂(s)X₁(s) -- ② ①  ② Y(s) = G₂(s)G₁(s)X(s) Y(s) / X(s) = G₁(s)G₂(s)

(2) 병렬 접속블록의 등가변환 X(s) G₁(s) G₂(s) Y(s) + + X₁(s) X₂(s) Y(s) = X₁(s) + X₂(s) = G₁(s)X(s) + G₂(s)X(s) = [ G₁(s) + G₂(s) ] X(s)  Y(s) / X(s) = G₁(s) + G₂(s) G₁(s)+G₂(s) X(s) Y(s)

(3) 궤환 접속의 블록선도 등가변환 E(s) = X(s) – B(s)  ① B(s) = H(s)Y(s)  ② Y(s) = G(s)E(s)  ③ X(s) G(s) H(s) Y(s) + -E(s) B(s) 페루프 제어 시스템  위의 식 ① ② ③ 을 소거해서 풀이해 볼 때 ;

②  ① E(s) = X(s) - H(s)Y(s)  ④ ④  ③ Y(s) = [ X(s) – H(s)Y(s) ] G(s) Y(s) = X(s)G(s) – H(s)Y(s)G(s) Y(s) + H(s)Y(s)G(s) = X(s)G(s) Y(s) [ 1+ H(s)G(s) ] = X(s)G(s) * 페루프 제어 시스템의 전달함수 ; Y(s) / X(s) = G(s) / [ 1 + H(s)G(s) ] = G / ( 1 + GH )

* Spacial case

(4) 가합점을 블록 뒤로 이동 G1 + + X₁ X₂ X₃ X₁+X₂ X₃ = ( X₁ + X₂ ) G₂  ① G1 X₁ + + k X₂ X₃ X₁G₁ X₃ = G₁X₁ + kX₂  ② ① ② 식을 비교하면 ; X₃ = X₃ 따라서 : K = G

(5) 가합점을 블록 앞으로 이동 G1 X₁ + + X₂ X₃ G₁X₁ X₃ = G₁X₁ + X₂ G1 X₁ + + X₂ X₃ X₁+ kX₂ X₃ = G(X₁ + kX₂) k

* K = 1 / G

(6) 분기점을 블록 뒤로 이동 G X₁ X₂ X₁ X₂ = GX₁ G X₁ X₂ X₁ X₁ = kX₂ k

* K = 1 / G

(7) 분기점을 블록 앞으로 이동 G X₁ X₂ X₂ X₂= GX₁ G X₁ X₂ X₂ X₂ = kX₁ k

* K = G

( 예제 1) 그림과 같이 블록선도에서 전달함수 Y(s) / X(s) 를 구하라 . X(s) G₂(s) Y(s) + -B(s) + - G1(s) G₃(s)

sol )

정귀환 접속부는 에 의해 이며 그림 (a) 와 같다 . 1 ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( s H s G s G s X s Y   3 2 2 1 G G G  G₂(s) + -G₃(s) ) ( ) ( 1 ) ( 3 2 2 s G s G s G  ( a )

그림 (b) 의 직렬접속은 이며 3 2 2 1 3 2 2 1

1

1

G

G

G

G

G

G

G

G

G









) ( ) ( 1 ) ( 3 2 2 s G s G s G 

)

(

1

s

G

) ( ) ( 1 ) ( ) ( 3 2 2 1 s G s G s G s G  (b) 부분적으로 생각했던 것을 합하면 그림 (c) 의 블록선도롤 표시된다 . ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 3 2 2 1 s G s G s G s G  + -(c)

따라서 이 궤환 접속의 전달함수는 에 의해 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( s H s G s G s X s Y   2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1

1

1

1

1

)

(

)

(

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

s

X

s

Y















가 되며 그림 (d) 와 같다 .

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

2 1 3 2 2 1

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G





)

(s

X

Y

(s

)

(d)

제 4 장 제어시스템의 성능 및 특성

* 제어시스템 – 시간 (time)  해석 C(t) t T 정정상태 (ts) 과도응답 정상상태응답 •제어 시스템 설계 시스템성능 규격 정의  시스템 응답 특성 측정  성능규격 (5 개 ) 정의

4.1

시험기준입력

(1) 계단입력 r(t) t A 0 r(t) = Au(t) R(s) = A / s (2) 램프입력 r(t) t 0 r(t) = Atu(t) R(s) = A / s2 A

(3) 포물선 입력 r(t) t 0 r(t) = At2_u(t) R(s) = 2A / s3

(4) 임펄스 함수 ( impulse )  충격하중 ① 정의 1/ε t 0 1 ε 폭 : ε , 높이 : 1/ε , 면적 : 1 파형 ε  0 으로 가는 극한 파형 ; 단위 임펄스 함수 ② 수학적 표현 1/ε t 0 _ε δε(t) δ(t) = 1/ε*u(t) – 1/ε*u(t-ε) = 1/ε*[ u(t) – u(t-ε) ] = du /dt 0

lim

  0

lim

 

③ Laplace 변환



  







0 0

[

(

)

(

)]

1

lim

)}

(

{

u

t

u

t

u

t



e

st

dt







1

)

(

0

lim

0

0

)

1

(

1

lim

)

1

(

1

lim

0 0 0





















     

s

s

s

e

s

s

e

e

s

s s s      





L

4.2

제어시스템의 성능규격

k

1 s(s+a) R(s)

+

C(s)

-k

as

s

k

a

s

s

k

k

a

s

s

k

a

s

s

k

s

R

s

C





















₂

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

t_r tp C _max t_s t_r 0.1 1.0 0.9 Input = F.V 오버슈트 과도응답 정상상태 ⅰ) 신속성 (input) : t_r , t_p ⅱ) 적응성 ( 유사성 ) : input  output : 오버슈트 , t_s Cmax 가 1.2 일 때 ,  P.O = (1.2 – 1.0) / 1.0 * 100 % = 20 %

(1) 상승시간 ( rising time ) : t_r * 시스템응답 (output) 이 입력값에 최초로 도달하는 시간 ① 감쇠부족 : 0 ~ 100% 까지 도달하는 시간 ② 감쇠과다 : 10 ~ 90% 까지 걸리는 시간 (2) 첨두치 시간 ( peak time ) : tp : 시스템 응답 ( output ) 이 최대값에 최초로 도달하는 시간 (3) 오버슈트 : Cmax – F.V 백분율 오버슈트 = [(Cmax –F.V)/F.V] * 100 % = P.O where ; Cmax = 출력의 최대값 , F.V = 입력값 or 최종값

(4) 정정시간 (setting time ) : t_s ts = 4T  4/ξwn : ±2% 이내 t_s = 3T  3/ξw_n : ±5% 이내 • S 평면 극점과 성능규격과의 관계 ① 상승시간 : c(t) = 1.0  t = _ _ _ _ 감쇠과다 때 사용 _{제일 작은 값} ② 첨두치 시간 : dc(t)/dt = 0  t_p = ∏ / w_n√1-ξ2 _{= ∏ / 허수부}

③ 오버슈트 : Cmax – F.V Cmax = [ C(t)ㅣ _t=tp ] = 1 + e-ξ∏/√1-ξ2 overshoot = [ 1+ e-ξ∏/√1-ξ2 _{] – [ 1 ]} = e-ξ∏/√1-ξ2 P.O = [e-ξ∏/√1-ξ2 _{/ 1.0] * 100 = 100 e}-ξ∏/√1-ξ2 ④ 정정시간 ± 2% 이내 : t_s = 4T  4/ξw_n ± 5% 이내 : t_s = 3T  3/ξw_n

P.O t_p  ( 첨두치 시간 ) 허수부가 결정 하는 것 θ t_s ( 정정시간 ) 실수부가 결정 하는 것 * P.O = 100 e-ξ∏/√1-ξ2 _{ξ = cos θ}∝

If ) 100 e-ξ∏/√1-ξ2 _{≤ 5  ξ(?)} P.O  小 ξ  大 θ  小

P.O

5%

10%

15%

20%

ξ

0.707

0.6

0.53

0.45

4.3

제어시스템의 과도 응답

k

G(s) R(s)

+

C(s)

-C(s) / R(s) = kG / ( 1+ kG ) 특성방정식 극 점 영점 • 대표근 ( 우세근 : dominant root) -1 -2 허수축에 가장 가까이 있는 근

4.4 1

차 시스템의 과도 응답

C(s) / R(s) = k / (s+a) = p(s) /q(s) ① 단위 계단 입력 : R(s) = 1/ s C(s) = k/(s+a) * 1/s = k₁/(s+a) * k₂/s = 0 ② 임펄스 응답 : C(s) = k / ( s+a ) * R(s) _{L { δ(t) } = 1}

4.5 2

차 시스템의 과도 응답

)

(

)

(

2

)

(

)

(

2 2 2 2

q

s

s

p

Wn

WnS

s

Wn

k

cs

ms

k

s

R

s

C

_















특성방정식 : q(s) = 극 점 : s_1,2 = 2 2

2

WnS

Wn

s







-ξw_n ± iw_n√1-ξ2 • 감쇠부족 : ξ < 1 • ξ = 1 • 감쇠과다 : ξ > 1

* 감쇠부족 C(s) = Wn2 _{/ ( s}2_+2ξWnS+Wn2_{) * 1/s} = [ 전달함수 ] + [ 입력값 ] 전달함수 ;

+

입력 ; y(t) = ke-αt _{sin ( βt + θ )}

4.6

제어 시스템의 정상상태 오차

* 페루프 제어 시스템 R(s) G(s) H(s) C(s) + -E(s) B(s) r(t) e(t) b(t ) c(t) 구동오차 (구동 오차 , 시스템 오차 둘 다 사용 ) 구 동 오 차 : Ea(t) ; [ e(t) = r(t) – b(t) ] 시스템 오차 : E(s) ; [ e(t) = r(t) – c(t) ] 오차

* 개루프 제어시스템 G(s) R(s) r(t) c(t) C(s) (시스템 오차 사용 ) (1) 구동오차  G(s) Ea(s) = C(s)  Ea(s) = C(s) / G(s) = 1 / (1+GH) (2) 시스템오차 : E(s) = R(s) – C(s) = (1+GH-G) / (1+GH) (3) IF H(s) = 1 , Ea(s) = E(s)

* 정상상태오차

e_ss = lim e(t) = lim sE(s) = lim s[1/(1+GH)]R(s)  R(s) = ? GH 의 형태 t∞ s0 s0 Where ; G(s)H(s) 또는 G(s)

)

(

)

(

1 1 j n j l i m i

p

s

s

z

s

k









  =





















n i i

s

p

s

p

s

p

p

s

1 3 2 1

)

(

)

(

)

...

..

(

)

(

...

)...

)(

)(

(

)

(

s



p

_i



s



p

₁

s



p

₂

s



p

₃



참조

l = 0 일 때 , Type 0 ( 0 형 ) l = 1 일 때 , Type 1 ( 1 형 ) l = 2 일 때 , Type 2 ( 2 형 )

e

_ss

= lim s[1/(1+GH)]R(s)

s0



(1) 계단입력 : R(s) = A / S GH A GH A GH S A S e s s s ss 0 0 01 lim1 1 lim * lim          p

k

A





1

)

(

)

(

lim

lim

0 0 j l i s s p

p

s

s

z

s

k

GH

k













_{ } 위치오차상수 :

k

p

z

k

p

s

s

z

s

k

k

j i j i s p





















_

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

₀ 0 ① Type 0 : e_ss = A / (1+k′)

② Type 1 :

lim

₁

₍

(

)

₎

0 j i s p

p

s

s

z

s

k

k











_





e_ss = A / (1+k_p)  0 ③ Type 2 :

)

(

)

(

lim

₂ 0 j i s p

p

s

s

z

s

k

k











_





e_ss = A / (1+k_p) = 0

v s s s ss k A SGH A SGH S A GH S A S e           0 0 2 01 lim 1 lim * lim

)

(

)

(

lim

lim

0 0 j l i s s v

p

s

s

z

s

k

S

SGH

k













  속도오차상수 : ① Type 0 : e_ss = A / k_v

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

₀ 0 j i j i s v

p

z

k

p

s

s

z

s

k

S

k

















_



0

(2) 램프입력 : R(s) = A / S2

② Type 1 : e_ss = A / k_v = A / k′

k

p

z

k

p

s

s

z

s

k

S

k

j i j i s v























(

)

)

(

)

(

)

(

lim

₁ 0 ③ Type 2 :





e_ss = A / k_v  0

)

(

)

(

lim

₂ 0 j i s v

p

s

S

z

s

k

S

k











_

(3) 포물선입력 : R(s) = A / S3 a s s s ss k A GH S A GH S S A GH S A S e          2 0 2 2 0 3 01 lim lim * lim ① Type 0 : e_ss = A / k_a  ∞

0



가속도오차상 수 :

(

)

)

(

lim

lim

2 0 2 0 j l i s s a

p

s

s

z

s

k

S

GH

S

k













_{ }

)

(

)

(

lim

2 ₀ 0 j i s a

p

s

s

z

s

k

S

k











_

② Type 1 : e_ss = A / k_a = A / k′

)

(

)

(

lim

2 ₁ 0 j i s a

p

s

s

z

s

k

S

k











_



0

③ Type 2 : e_ss = A / k_a = A / k′

k

p

s

z

s

k

p

s

S

z

s

k

S

k

j i j i s v

























_

)

(

)

(

)

(

)

(

lim

2 ₂ 0

GH

의

Type

계단입력

램프입력

포물선입력

0

A / 1+k

_p

∞

∞

1

0

A / k

_v

∞

2

0

0

A / k

_a 정상상태 , 과도응답 가능 과도응답 과도응답 , 정상상태 모두 사용 불가능

Ex 1 )

k / (s+1)

R(s) C(s)

GH = k / (s+1) ; Type 0

Ex 2 )

k / s(s+1)

R(s) C(s)

Ex 3 )

K / s2_(s+1)

R(s) C(s)

4.7

감도 ( sensitivity )

G(s)

R(s) C(s)

H(s)

* 감도 : 공정전달함수 G(s) 의 백분율 변화에 대한 시스템 전달함수 T(s) 백분율 변화의 비 S = △T(s) / T(s) * 100 △G(s) / G(s) * 100 = △T / T △G / G ( 단 , 변화가 작다고 가정 ) G T T G G G T T      

예제 1) 개루프 제어 G(s) R(s) C(s) •공정전달함수 : G(s) • 시스템 전달함수 : T(s) = G(s) S = G T T G   =1 각각의 변화되는 백분율 값이 같다 .

예제 2) 페루프 제어 G(s) R(s) C(s) H(s) •공정전달함수 : G(s) • 시스템 전달함수 : T(s) = C / R = G / (1+GH) S = G T T G   = (₁ ) ₁ 1 1 1        GH GH G G GH G G

예제 3) 다음 블록선도를 표시되는 시스템은 무슨 형인가 ? 1 2 1 2 _{ s} s R(s) + C(s) -( a ) + 4 5 3 2 _{ s} s R(s) C(s) -s 1 ( b ) 루프 전달함수는 이므로 이 시스템은 0 형 제어시스템이다 . 1 2 1 2 _{ }  s s GH 루프 전달함수는 이므로 이 시스템은 1 형 제어시스템이다 . ( 1)( 4) 3 ) 4 5 ( 3 2 _{ }  _{ }  s s s s s s GH

) 4 ( 2 2 _s s R(s) + C(s) - ( 2) 1  s s ) 1 (s s s ( c ) 루프 전달함수는 이므로 이 시스템은 2 형 제어시스템이다 . ) 4 )( 2 )( 1 ( 2 ) 4 )( 2 )( 1 ( 2 2 3 _{  }  _{  }  s s s s s s s s s GH

제 5 장 제어시스템의 안정성

- 주어진 q(s) 의 근을 계산하지 않고 시스템 안정성 판별

5.1

안정성 개념

- 궤환 제어시스템 안정성 , q(s) 의 근의 위치 절대 안정성 : 안정성 여부 결정 상대 안정성 : 성능평가 ( including ) 안정성 (stability ) •제어시스템의 안정성을 갖기 위한 필요 충분조건 : q(s) 의 근 ( 극점 ) 이 모두 음의 실수부

안 정 불안정 중립위치  q(s) 의 근을 계산하지 않고 시스템 안정성 여부를 결정하는 방법

5.2 Routh – Hurwitz

안정성 판별법

G(s) R(s) C(s) H(s) C(s) / R(s) = G / (1+GH) = p(s) / q(s) * 특성방정식 : q(s) = a _n S n _{+ a} n-1 S n-1 + a n-2 S n-2 + …. + a0  ①

(1) 필요 조건 ( 계수조건 ) ① 식을 인수형태로 : q(s) = a_n (s – r₁) (s - r₂) (s - r₃) …. (s – r_i) …. (s – r_n)  ② ② 식을 전개하면 : q(s) = a_n sn _{– a} n ( r1 + r2 + r3 + … + rn ) s n-1 + a_n ( r₁r₂ +r₁r₃ + ….) sn-2 - a_n ( r₁r₂r₃ + r₁r₂r₄ + …. ) s n-3 _{+ ….} + an (-1)n ( r1r2r3 …. rn ) = 0 a_n > 0 이라는 조건  모든 값이 양의 값

1 ) 다항식의 모든 계수는 같은 부호를 가져야 함 ( 만약 an > 0 이라면 모든 계수는 양의 값 ) 2) 모든 계수는 0 (zero) 이 아니어야 함 Ex) q(s) = s2 _{+ 5s + 2 (O)} q(s) = s4 _{+ 5s}2 _{+ 6s + 9 (X)} q(s) = s3 _{+ 7s}2 _{+ 9s + 8 (O)}

(2) 필요충분조건 q(s) = a _n S n _{+ a} n-1 S n-1 + a n-2 S n-2 + …. + a0 ① 계수나열 S_n a_n a_n-2 a_n-4 S_n-1 a_n-1 a_n-3 a_n-5 S_n-2 b₁ b₂ b₃ ② 계산법 1) 계산하고자 하는 행의 바로 윗행의 첫번째 열이 기준

2) 2×2 행렬식 계산 b₁ = a_n a_n-2 a_n-1 a_n-3 a_n-1 a_n-1a_n-2 – a_n a_n-3 a_n-1 = b₂ = a_n a_n-4 a_n-1 a_n-5 a_n-1 a_n-1a_n-4 – a_n a_n-5 a_n-1 = b₁a_n-3 – a_n-1 b₂ b₁ c₁ = b1an-5 – an-1 b2 b₁ c₂ =

① 판별법  계산한 표에서 첫번째 열을 선택 첫번째 열의 부호 변화 조사  부호 변화 개수 = S 평면 우반부에 존재하는 극점의 수 •시스템의 안정성을 갖기 위해서는 첫번째 열의 부호변화가 없어야 한다 . (A) CASE 1 (일반적인 경우 ) : 표의 첫번째 열의 계수가 모두 0 (zero) 이 아닌 경우

S2 _a 2 a0 S1 _a 1 S0 Ex) 2차 시스템 : q(s) = a₂S2 _{+ a} 1S+ a0 a₁a₀ a1  a₂, a₁, a₀ > 0 필요충분조건  q(s) 가 2 차 필요조건 ( 계수 조건 ) = 필요충분조건 (Routh 판별법 )

Ex) q(s) = a ₃ S 3 _{+ a} 2 S 2 + a 1 S 1 + a0 (a0, a1, a2, a3, a4 > 0) S3 _a 3 a1 S2 _a 2 a0 S1 a1a2 – a3a0 a2 a₀ S0 a₁a₂ – a₃a₀ a2 > 0 a₃ > 0 a₂ > 0 a₀ > 0 a₂a₁ > a₃a₀

S4 _{1 3 5} S3 _{2 1} S2 S1 S0 b₁ b₂ 2.5 5 c₁ -3 d₁ 3 b₁ = (6 - 1) / 2 = 2.5 b₂ = (10 - 0) / 2 = 5 c₁ = (2.5 - 10) / 2.5 = -3 d₁ = (-15 – 0) / -3 = 5 • 2 번 부호 변화 = S 평면 우반부에 근이 2 개 존재 ( 3개는 S 평면 좌반부에 존재 ) Ex) q(s) = S4 _{+ 2S}3 _{+ 3S}2 _{+ S + 5}

Ex) q(s) = S4 _{+ 4S}3 _{+ 3S}2 _{+ 2S + k} S4 _{1 3 k} S3 _{4 2} S2 S1 S0 2.5 k (5-4k)/2.5 > 0 k > 0

_{0 < k < 5/4}

* 안정성을 가지려면 부호변화가 일어나지 않음에 유의

(B) CASE 2 : 표의 어떤 행에서 첫번째 열이 0 (zero) 이고 나머지 요소 들은 0 (zero) 이 아닌 경우

 0 인 계수를 아주 작은 ε ( > 0) 로 치환

계산이 완료 된 후 극한값을 취한다

Ex) q(s) = S4 _{+ 2S}3 _{+ 3S}2 _{+ 2S + 1} S4 _{1 1 1} S3 _{2 2} S2 S1 S0 0 1 c₁ < 0 1 _{lim c1 = (2ε – 2) / ε = 2 – 2/ε < 0} ε  0 ε 2 번의 부호 변화 = 우반부에 2 개 좌반부에 2 개 불안정한 시스템

(3) CASE 3 : 표의 어떤 행에서 첫번째열이 0 (zero) 이고 나머지 요소들은 모두가 0 (zero) 인 경우  허수축에 근이 존재  홀수차수 바로 윗 행을 보조 방정식 U(s) 으로 선택 U(s) 의 근 = 허수축에 존재하는 근 dU / dS  계수나열  Routh 판별법  안정성 판별

S3 _{1 4} S2 _{2 k} S1 8 - k 2 a₀ S0 Ex) q(s) = S 3 _{+ 2S} 2 _{+ 4S + k} 안정성  0 < k < 8 * k = 8 로 가정 S1 _{= 0} S3 _{1 4} S2 _{2 k(8)} S1 4 8 S0 U(s) = 2S2 + 8 dU / dS = 4S

예제 1) 3 차 시스템의 특성방정식이 다음과 같을 때 안정하기 위한 조건을 구하라 .

0

0 1 2 2 3 3

s



a

s



a

s



a



a

Sol ) 안정성을 판별하기 위한 Routh 표를 만들면 다음과 같다 . S3 _a 3 a1 S2 _a 2 a0 S1 S0 b₁ 0 c₁ 0 여기서 이고 , 이다 . 시스템이 안정하기 위해 서 는 첫번째 열의 요소가 모두 양수이어야 한다 . 즉 , 이 모두 “0” 보다 커야한다 . 그러므로 이 “ 0” 보다 크기 위해서는 이 어야한다 . 만일 인 경우는 허수축상에 한 쌍의 근이 존재하는 임 계안정이다 . 2 3 0 1 2 1

a

a

a

a

a

b





_c

₁

_

_a

₀ 1 1 2 3

,

a

,

b

,

c

a

3 0 1 2

a

a

a

a



3 0 1 2

a

a

a

a



110

예제 2) 4 차 시스템의 특성방정식이 다음과 같을 때 안정성을 판별하라 .

0

5

3

2

3 2 4

_

_s

_

_s

_

_s

_

_

s

Sol ) 안정성을 판별하기 위한 Routh 표를 만들면 다음과 같다 . S4 _{1 1 1} S3 _{2 2 0} S2 _{2.5 0 0} S1 _{-3 0 0} S0 _{5 0} 첫째 열에 두 번의 부호 변화가 있으므로 두개의 근이 우반평면에 존재하며 시스템은 불안정하다 . 우반면에 존재하는 근들은 이다 .

s



0

.

3713



j

1

.

1055

예제 3) 4 차 시스템의 특성방정식이 다음과 같으며 파라미터 K 를 포함하는 경우 안정하기 위한 K 의 범위를 결정하라 .

0

2

3

4

3 2 4

_

_s

_

_s

_

_s

_

_K

_

s

Sol ) 안정성을 판별하기 위한 Routh 표를 만들면 다음과 같다 . S4 _{1 3 K} S3 _{4 2 0} S2 _{2.5 K 0} S1 _c 1 0 0 S0 _{K 0} 여기서 이면 , 안정한 시스템 이 되기 위해서는 다음을 만족하여야 한다 . 5 . 2 4 5 1 K c  

25

.

1

0

 K



만일 K=1.25 이라면 jw 축상에 두 개의 근이 존재하는 경우로서 임계안정이며 , 이 경 우의 응답의 형태는 진동으로서 실제는 원하지 않는 경우이다 . 그리고 jw 축상에 존재 하는 두개의 근들은 이다 .

s





j

0

.

7071

예제 4) 4 차 시스템의 특성 방정식이 다음과 같을 때 안정성을 판별하라 .

0

1

2

2

3 2 4

_

_s

_

_s

_

_s

_

_

s

Sol ) 안정성을 판별하기 위한 Routh 표를 만들면 다음과 같다 . S3 _{1 1 1} S2 _{2 2 0} S1 _{0 1} S2 행의 제 1 열 요소가 0 이고 다른 요소는 0 이 아닌 경우이다 . 이런 경우는 제 1 열 요소를 0 대신 매우 작은 양의 값 (ε) 으로 대치시켜 놓고 , Routh 표를 환성하면 된 다 . S4 _{1 1 1} S3 _{2 2 0} S2 _{ε 1 0} S1 _c 1 0 0 113

여기서 이며 , ε 이 매우 작은 양의 값이므로 이 된 다 . 그러므로 첫째 열에 두번의 부호 변화가 있으므로 두개의 근이 우반평면에 존재하여 시 스템은 불안정하다 . 우반면에 존재하는 근들은 이다 .





2 2 1   c _{1  } 2 _0



c

9783

.

0

2071

.

0

j

s





2) Routh 표의 어느 한 행의 모든 요소가 0 이 되는 경우이다 . 이런 경우에는 0 이 되는 바로 위의 요소를 계수로 하는 차수가 짝수인 보조방정식 Q(s) 를 세우고 이를 한번 미분 한 후 0 이 되었던 행의 계수를 보조방정식의 일차미분식의 계수로 대치한 후 Routh 표 를 완성하여 부호의 변화를 조사한다 . 이와 같은 경우는 특성방정식의 근은 크기가 같고 부호가 다른 실근이거나 , 허축상에 공액복소근을 가질 때 또는 허축상에 대칭인 두 쌍의 공액복소근을 가질 때 발생한다 .

제 6 장 근궤적 기법 ( Root – Locus )

궤환 제어시스템 안정성  q(s) 의 근 ( 극점 ) 의 과도응답 ( 성능 ) 위치와 관계 매개 변수 변화에 따라서 극점의 위치 조절 안정성 , 과도응답 상대적 안정성

*

근궤적 (root – locus)

:

하나의 매개변수 변화에 따라서 q(s) 의 근

( 극점 ) 의 이동양상을 도식적으로 표현

ⅰ) 0 < k < ∞ : 근궤적

ⅱ) -∞ < k < 0 : 대응 근궤적

ⅲ) -∞ < k < ∞ : 완전 근궤적

ⅳ) k 가 2 개 이상일 때 : Root

contour

6.1

근궤적의 개념

k G(s) H(s) R(s) C(s) C(s) / R(s) = G / (1+GH) = p(s) / q(s)

= kG / (1+kGH)

특성방정식 : q(s) = 1 + kGH or 1 + GH  kGH = -1

1) 크 기 : ㅣ kGH ㅣ = 1

2) 각 도 : kGH = 180

∠

o

= 180

o

± k 360

)

)...(

)(

)(

(

)

)...(

)(

(

)

(

)

(

3 2 1 2 1 n m j i

p

s

p

s

p

s

p

s

z

s

z

s

z

s

k

p

s

z

s

k

kGH



























Note) kGH = -1