우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (25)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

7-5. 정적분의 응용 7-5-1. 도형의 면적 (복습) (1) 𝑥 축과 곡선의 면적  𝑥 축과 곡선이 만드는 면적은 다음의 3 가지로 분류. 1) 𝑓 𝑥 ≥ 0 인 경우: 그림 (a) _{𝑆 = 𝑓(𝑥)𝑎}𝑏 𝑑𝑥 2) 𝑓 𝑥 ≤ 0 인 경우: 그림 (b) _{𝑆 = − 𝑓(𝑥)}𝑏 𝑎 𝑑𝑥 3) 일반적인 경우: 그림 (c) 𝑆 = 𝑆₁+ 𝑆₂ = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑐 𝑑𝑥 − 𝑓(𝑥)_𝑐𝑏 𝑑𝑥 𝑆₁ 𝑦 = 𝑓(𝑥) 그림 (a) 그림 (b) _{그림 (c)} 𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑆 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 0 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑏

예제) 다음의 주어진 구간에서 곡선 𝑦 = 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 과 𝑥 축으로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라.} (1) 0, 1 (2) 1, 3 (3) 0, 3 <풀이과정> 함수 𝑦 와 𝑥 축 𝑦 = 0 으로 둘러쌓인 도형은 𝑥2_{− 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0} 1) 구간 0, 1 에서 도형의 면적은 𝑆1 이고, 함수 𝑦 ≥ 0 𝑆1 = 𝑓(𝑥)₀1 𝑑𝑥 = 𝑥₀1 2 − 4𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥 3 3 − 2𝑥 2_{+ 3𝑥} 0 1 = 4₃ 2) 구간 1, 3 에서 도형의 면적은 𝑆₂ 이고, 함수 𝑦 ≤ 0 𝑆₂ = − 𝑓 𝑥₁3 𝑑𝑥 = 𝑥3 2_{− 4𝑥 + 3} 1 𝑑𝑥 = − 𝑥3 3 − 2𝑥 2_{+ 3𝑥} 1 3 = 4 3 3) 구간 1, 3 에서 도형의 면적은 𝑆 = 𝑆₁ + 𝑆₂ 이고, 함수 𝑦 는 구간에서 부호가 바뀌므로 두 구간으로 나누어서 구한다. 𝑆 = 𝑆1+ 𝑆2 = 4₃+4₃ =8₃ 𝑦 𝑥 0 −1 3 2 3 𝑺_𝟏 𝑺_𝟐 1

(2) 두 곡선 사이의 면적  그림 (A)와 같이 구간 [a, b]에서 두 곡선 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 로 둘러싸인 면적 S 는 위 그래프에서 아래 그래프를 뺀 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 를 구간 [a, b]로 적분한 값.  두 곡선이 모두 𝑥 축 위 또는 아래에 있거나, 𝑥 축을 사이에 두고 있는 경우 모두 성립.  구간 𝑎, 𝑏 에서 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) 일 때, _{𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑎}𝑏 𝑑𝑥 그림 (A) 𝑆 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑥 0 𝑎 𝑏 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)

예제) 다음 두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 면적을 구하라. (1) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥2_{− 2} <풀이과정> 그림에서 직선과 곡선의 교점의 좌표는 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥2 _{− 2} ∴ 𝑥2− 2 − 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = −1 𝑜𝑟 2 1) 구간 −1, 2 에서 𝑥 ≥ 𝑥2 _{− 2 이므로, 도형의 면적 𝑆 는} 𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)₋₁2 𝑑𝑥 = 𝑥 − (𝑥₋₁2 2− 2) 𝑑𝑥 = (−𝑥2 2_{+𝑥 + 2)} −1 𝑑𝑥 = − 𝑥3 3 + 𝑥2 2 + 2𝑥 ₋₁ 2 = 9₂ 𝑦 𝑥 0 −2 2 −1 𝑺 𝑥 = 𝑥2_{− 2 𝑥}2_{− 2 − 𝑥 = 0}