우석대학교 에너지전기공학과

공학수학 (21~22&보강))

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

8-2-2. 부분 적분 (integration by part)  두 함수의 곱 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 에 관한 미분은… 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)  위의 식을 변형하면, 𝑓′ _{𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥} ′ _{− 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)}  다시 적분을 하면,

𝑓

′

𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥

※ _{𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 가 쉽게 계산될 수 있는 간단한 함수의 곱으로 구성되어야 함.} 예제 8-5)

𝑥𝑒

𝑥

𝑑𝑥

를 구하라

𝑒

𝑥

= 𝑓

′

𝑥 , 𝑥 = 𝑔(𝑥)

로 놓으면

𝑓 𝑥 = 𝑒

𝑥

, 𝑔′(𝑥) = 1

_𝑥𝑒

𝑥

𝑑𝑥 = 𝑒

𝑥

ㆍ

𝑥 − 𝑒

𝑥

𝑑𝑥 = 𝑥𝑒

𝑒

− 𝑒

𝑥

+ 𝐶

※ 만약, 𝑥 = 𝑓′ _{𝑥 , 𝑒}𝑥 _{= 𝑔(𝑥) 로 놓으면}

_{𝑓 𝑥 =}

𝑥2 2

, 𝑔

′

_{𝑥 = 𝑒}

𝑥

_{? ? ?}

8. 적분

8-2-2. 부분 적분 (계속)

𝑓

′

_{𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥}

예제 8-6)

𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥

를 구하라

𝑥 = 𝑓

′

_{𝑥 , 𝑙𝑛𝑥 = 𝑔(𝑥)}

_{로 놓으면}

_{𝑓 𝑥 =}

1 2

𝑥

2

, 𝑔′(𝑥) =

1 𝑥

_{𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 =}

1 2

𝑥

2

_ㆍ

_{𝑙𝑛𝑥 −}

1 2

𝑥𝑑𝑥 =

1 2

𝑥

2

_{𝑙𝑛𝑥 −}

1 4

𝑥

2

_{+ 𝐶}

8. 적분

8-2-3. 부분분수(partial fraction) 분해  유리함수: 분모와 분자가 다항함수로 구성되어 있는 분수 식  부분분수 분해: 여러 개의 분수 식의 합과 차로 변환하여 간단한 분수 식으로 표현 예제 8-7) 2 𝑥2−1

𝑑𝑥

를 구하라  피적분 함수를 부분분수로 분해

2 𝑥2₋₁

=

2 (𝑥−1)(𝑥+1)

=

𝐴 (𝑥−1)

+

𝐵 (𝑥+1)

=

𝐴 𝑥+1 +𝐵(𝑥−1) (𝑥−1)(𝑥+1)

=

𝐴+𝐵 𝑥+(𝐴−𝐵) (𝑥−1)(𝑥+1)

 항등식의 미정계수 법에 의해 A와 B를 구하면, 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 − 𝐵 = 2  그러므로, 2 𝑥2−1

=

𝐴 (𝑥−1)

+

𝐵 (𝑥+1)

=

1 (𝑥−1)

−

1 (𝑥+1)

2 𝑥2₋₁

𝑑𝑥 =

1 𝑥−1

𝑑𝑥 −

1 𝑥+1

𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝐶

8. 적분 𝐴 = 1, 𝐵 = −1

부정적분의 계산 (검토)

 치환 적분법  부분 적분법  부분분수 분해법 1) 치환 적분법 case 1) 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) 형 (2𝑥 + 1)3𝑑𝑥 2𝑥 + 1 = 𝑡, 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 (2𝑥 + 1)3_{𝑑𝑥 = 𝑡}3 1 2 𝑑𝑡 = 1 2 𝑡3𝑑𝑡 = 1 2∙ 𝑡4 4 + 𝐶 = 𝑡4 8 + 𝐶 = 1 8 2𝑥 + 1 4 + 𝐶 case 2) 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 형: 𝑔 𝑥 = 𝑡 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 _2𝑥(3𝑥2 + 5)6 𝑑𝑥 3𝑥2 + 5 = 𝑡 6𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 _2𝑥(3𝑥2 + 5)6 𝑑𝑥 = 𝑡6 1 3 𝑑𝑡 = 1 3 × 𝑡7 7 = (3𝑥2+5)7 21 8. 적분

Case 3) 함수 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥) 형: 𝑓 𝑥 = 𝑡 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑓′ 𝑥 𝑓(𝑥)

𝑑𝑥 =

1 𝑡

𝑑𝑡 = 𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝐶

𝑥 𝑥2₊₁

𝑑𝑥

𝑥2 + 1 = 𝑡 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡

_𝑥2𝑥₊₁

𝑑𝑥 =

1_{𝑡 2}1

𝑑𝑡 =

1₂

𝑙𝑛 𝑡 + 𝐶 =

1₂

𝑙𝑛 𝑥

2

+ 1 + 𝐶

8. 적분

9. 미분방정식(differential equation)

9-1. 미분방정식의 기본개념 9-1-1. 미분방정식의 정의

 미분방정식은 𝑦′, 𝑦“ 등의 도함수를 포함하는 방정식.

 미분방정식의 예

 상미분방정식(ordinary differential equation): 독립변수 𝑥 와 미지함수 𝑦의 도함수 만을 포함

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 5𝑥,

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2

+ 3

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 4𝑦 = 0, (

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2

)

3

+3(

𝑑𝑦 𝑑𝑥

)

4

+4𝑦 = 0

 편미분방정식(partial differential equation): 두 개 이상 독립변수 𝑥, 𝑦 와 미지함수 𝑧 의 편도함수 포함

𝜕2𝑧 𝜕𝑥2

+

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2

= 𝑥𝑦

 완전미분방정식 (exact differential equation): 독립변수와 종속변수 구분 없이 변수와 미분 사이의 관계를 나타냄.

_{𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 + 𝑥 𝑑𝑦 + 𝑥 + 𝑌 𝑑𝑧 = 0}

 미분방정식의 계수(order): 미지함수의 최고계 도함수의 계수.  미분방정식의 차수(degree): 최고계 도함수의 차수

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 5𝑥

:

1계 1차 상미분방정식

𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂

+ 3

𝑑𝑦_𝑑𝑥

+ 4𝑦 = 0

: 2계 1차 상미분방정식

(

𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂

)

3

+3(

𝑑𝑦_𝑑𝑥

)

4

+4𝑦 = 0 :

2계 3차 상미분방정식

𝜕_𝜕𝑥2𝑧₂

+

_𝜕𝑦𝜕2𝑧₂

= 𝑥𝑦

: 2계 1차 편미분방정식

 선형 미분방정식 (linear differential equation)

 특히, 미지함수 𝑦 및 그 도함수 𝑦′, 𝑦′′… 등에 관하여 1차인 미분방정식

9-1-2. 미분방정식의 해

𝑑𝑦_𝑑𝑥

− 𝑦 = 0

or

𝑦

′

− 𝑦 = 0

의 해는 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥  일반해 (general solution): 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥

 특수해 (particular solution): 일반해에 초기조건 등의 특정한 값을 대입하여 얻어지는 해.

9-2. 1계 미분방정식 case 1) 변수분리형 case 2) 동차형 case 3) 완전 미분방정식 9-2-1. 변수 분리형  변수 𝑥 와 𝑦 및 𝑦 의 함수 𝑓(𝑥) 가 각각 좌우로 분리 가능한 형태

𝑔 𝑦

𝑑𝑦_𝑑𝑥

= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

 양쪽을 적분하면,

_{𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶}

9. 미분방정식

예제 9-1) 다음 미분방정식의 해를 구하라.  변수분리

:

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= −

𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥  양변을 적분 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 1₂𝑦2 _{= −}1 2𝑥 2 _{+ C 𝑥}2 _{+ 𝑦}2 _{= 2C}  그러므로, 미분방정식의 일반 해는 𝑥2 _{+ 𝑦}2 _{= C} 예제 9-2)

1 + 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 1 + 𝑦

을 풀어라 1 + 𝑥 𝑑𝑦_𝑑𝑥 = 1 + 𝑦

𝑑𝑦 1+𝑦 = 𝑑𝑥 1+𝑥 1 1+𝑦𝑑𝑦 = 1 1+𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛 1 + 𝑦 = 𝑙𝑛 1 + 𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛1+𝑦 = 𝐶 1+𝑦 = 𝑒𝑐 1+𝑦 = 𝐶 9. 미분방정식

9-2-2. 동차형  1계 미분방정식의 형식이 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 = 0 이고,  𝑀, 𝑁 이 𝑥, 𝑦 에 관하여 같은 차수일 때 이를 동차형 미분방정식 이라함. 1)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦3 : 세 항 모두 3차 이므로 동차함수. 2) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦2 : 1, 3 항은 2차, 2항은 3차 이므로 동차함수가 아님. 3) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥+2𝑦 3𝑥−2𝑦 : 네 항 모두 1차 이므로 동차함수  동차함수의 적분 1) 각 항의 차수가 같으므로 각 항을 𝑦 𝑥 형으로 변환하면: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑦 𝑥) 2)

𝑦 = 𝑣𝑥

로 놓고, 이것을

𝑥

에 관해 미분하면: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 그러므로 1)과 2)로 부터: 𝑓 𝑣 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑣 − 𝑣 3) 위 식을 변수분리형으로 변환하여 적분하면, 𝑑𝑣 𝑓 𝑣 −𝑣 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑣 𝑓 𝑣 −𝑣 = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝐶 𝑑𝑣 𝑓 𝑣 −𝑣 = ln 𝑥 + C 9. 미분방정식

예제) 다음 미분방정식의 해를 구하라. 𝑥2 _{+ 𝑦}2 _{𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0} 1) 각 항이 동차(2차) 이므로 𝑦 𝑥 형으로 변환: 2) 𝑦 𝑥 = 𝑣 로 놓고, 이것을 𝑥 에 관해 미분하면: ※ 2)를 1)에 대입하면: 3) 변수분리형 적분: 4) 𝑦 𝑥 = 𝑣 로 환원: 1 + 𝑦 𝑥 2 𝑑𝑥 − 2𝑦 𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 (1 + 𝑣2) = 2𝑣(𝑣 + 𝑥𝑑𝑣_𝑑𝑥) 𝑥𝑑𝑣_𝑑𝑥 = (1+𝑣_2𝑣2)− 𝑣 𝑑𝑥_𝑥 = _(1−𝑣2𝑣₂₎𝑑𝑣 + 𝐶 𝑙𝑛𝑥 = 2𝑣 (1 − 𝑣2₎𝑑𝑣 + C 𝑙𝑛𝑥 = − ln 1 − 𝑣2 + C 𝑙𝑛 𝑥 1 − 𝑣2 = C 𝑙𝑛 𝑥 1 − 𝑣2 _{= C 𝑙𝑛 𝑥 1 −} 𝑦 𝑥 2 = C 𝑙𝑛 (𝑥 −𝑦_𝑥2 ) = C 𝑥2_−𝑦2 _{= 𝐶𝑥} 9. 미분방정식

9-2-3. 완전 미분방정식  임의의 함수 𝑢 𝑥, 𝑦 의 𝑥, 𝑦 에 대한 1계 편도함수( 𝜕𝑢 𝜕𝑥 , 𝜕𝑢 𝜕𝑦 )를 각각 𝑀, 𝑁 이라 할 때, 즉, 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 , 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦  1계 미분방정식의 형식이 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 의 미분방정식은 함수 𝑢 𝑥, 𝑦 의 완전미분이 되며, 이것을 완전미분방정식이라 함. 즉, 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0  위의 완전미분방정식을 적분하면, 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 0 𝑢 𝑥, 𝑦 = C  1계 편도함수 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 , 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 로 부터 2계 편도함수를 구하면, 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥 , 𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 ※ 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 는 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 이 완전미분방정식이 되기 위한 필요충분 조건 즉, 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑁 𝜕𝑥 이면 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 은 완전미분방정식이 아님. 9. 미분방정식

9-2-3. 완전 미분방정식(계속)  완전미분방정식의 일반 해 1) 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 을 𝑥 에 관해 적분: 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦) ※ 이때, 𝑓(𝑦) 는 적분상수 2) 𝑓(𝑦) 를 구하기 위해, 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢_𝜕𝑦 와 _{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦) 을 이용} 즉, 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦{ 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦)} = 𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓′(𝑦) 𝑓 ′ _{𝑦 = 𝑁 −} 𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑑𝑥 3) 𝑓′ _{𝑦 를 𝑦 에 대해 적분: 𝑓 𝑦 = {𝑁 −} 𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑑𝑥}𝑑𝑦 + 𝐶 4) 그러므로 완전미분방정식의 일반 해는 1)과 3) & 𝑢 𝑥, 𝑦 = C 으로부터, _{𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑓(𝑦) = 𝑀𝑑𝑥 + {𝑁 −} 𝜕 𝜕𝑦 𝑀𝑑𝑥}𝑑𝑦 = 𝐶 9. 미분방정식